（新教材）2021年高中数学人教B版必修第四册课件：9.1.1　正弦定理.pptx

1、9.1.1 正弦定理 课标阐释 思维脉络 1.通过对任意三角形边长和角 度的关系的探索,掌握正弦定理 的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形的 内角和定理解决简单的解三角 形问题. 3.熟记并能应用正弦定理的有 关变形公式解决三角形中的问 题. 4.能根据条件,判断三角形解的 个数. 5.能利用正弦定理、三角形面 积公式解决较为复杂的三角形 问题. 激趣诱思 知识点拨 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望星空,会 有无限遐想,有人不禁会问,遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢? 其实,早在1671年,两位法国科学家就测出了地球与月球之间的距 离约为385 400千米,如左

2、侧的图所示.你知道他们是怎样测量出来 的吗?提示:将左侧的图简化为右侧的图,再思考一下吧。 激趣诱思 知识点拨 知识点一:三角形的面积 常用三角形面积公式 S=1 2absin C= 1 2acsin B= 1 2bcsin A; S=1 2r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径)= abc 4R (R 为三角形外接圆半 径)= p(p-a)(p-b)(p-c)(其中 p=a+b+c 2 ). 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知ABC 的面积为3 2,且 b=2,c= 3,则 A= . 答案:60或120 解析:因为 b=2,c= 3,S=3 2,S= 1 2bcsin A,所以 1 22 3

3、sin A= 3 2, 所以 sin A= 3 2 . 又因为 A(0,180),所以 A=60或 120. 激趣诱思 知识点拨 知识点二:正弦定理 1.正弦定理的表示 文字语言 在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相 等 符号语言 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 则 激趣诱思 知识点拨 2.正弦定理的变形 a A = b B = c C =2R(R为ABC外接圆的半径). (1)sin Asin Bsin C=abc; (2) a A = b B = c C = a+b+c A+B+C=2R; (3)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (

4、4)sin A= a 2R,sin B= b 2R,sin C= c 2R. 激趣诱思 知识点拨 名师点析1.使用正弦定理的前提是在同一三角形中. 2.正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 3.由正弦定理可知三角形中每两边及对应角的正弦为知三求一的 关系. 激趣诱思 知识点拨 微思考 (1)在直角三角形中,你能由锐角正弦值的定义探究出角与边的等式 关系吗? 提示:(1) 在 RtABC 中,设 C为直角,如图,由三角函数的定 义:sin A=a c,sin B= b c, 所以 c= a A = b B = c 90 = c C. 所以 a A = b B = c C. 激趣诱思

5、知识点拨 (2)在锐角三角形ABC中,正弦定理是否成立? 提示:在锐角三角形 ABC 中,设 AB 边上的高为 CD,如图,CD=asin B=bsin A,所以 a A = b B, 同理,作 AC 边上的高 BE,可得 a A = c C, 所以 a A = b B = c C. 激趣诱思 知识点拨 (3)在钝角三角形ABC中,正弦定理是否成立? 提示:在钝角三角形ABC中,设C为钝角,如图,过点B作BDAC交AC 的延长线于点D,则BD=asin(-C)=asin C,BD=csin A, 故有asin C=csin A, 所以 a A = c C.同理, a A = b B,所以 a

6、A = b B = c C. 激趣诱思 知识点拨 (4)如果O是任意ABC的外接圆,直径为 2R,则 a A = b B = c C是 不是某个常数? 提示:如图,图,分别作ABC的外接圆直径 CD,则 CD=2R,连接 DB,则DBC=90,由 sin A=sin D= a 2R,得 a A=2R.同理 b B=2R, c C=2R,即 a A = b B = c C=2R. 在如图的直角三角形中,若 AC为直径,则 sin A= a 2R,sin C= c 2R, sin B=1= b 2R,即 a A = b B = c C=2R. 激趣诱思 知识点拨 (5)能否利用三角形的面积公式推出

7、正弦定理? 提示:因为 S=1 2absin C= 1 2acsin B= 1 2bcsin A,所以等式两侧分别乘 2 再 除以 abc 得 2S abc = C c = B b = A a .又 sin A0,sin B0,sin C0,故 a A = b B = c C. 激趣诱思 知识点拨 知识点三:解三角形 1.习惯上,我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素.已知 三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 2.利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题: (1)已知两角和任意一边求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出 其他的

8、边和角. 激趣诱思 知识点拨 名师点析1.应用正弦定理,要明确角化边(或边化角)的方法,对三角 形有几个解必须清楚明了,防止出现漏解或增解. 2.求角问题注意大边对大角性质的应用,以便判断解的个数. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 c= 2,b= 6,B=120,则 a=( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 答案:D 解析:由正弦定理,得 6 120 = 2 C,所以 sin C= 1 2.又因为 C 是锐角,所 以 C=30,所以 A=30,所以ABC 为等腰三角形,所以 a=c= 2.故 选 D. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 已知A

9、BC 中,a= 2,b= 3,B=60,那么角 A 等于 . 答案:45 解析:由正弦定理 a A = b B,得 2 A = 3 60,解得 sin A= 2 2 .又 a= 2b= 3,所以 AB,所以 A=45. 激趣诱思 知识点拨 知识点四:对三角形解的个数的判断 已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时三角形被 唯一确定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能 出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.现以已知 a,b和A解三角形为例予以说明: 激趣诱思 知识点拨 图形 关系式 解的个数 A 为 锐 角 a=bsin A; ab 一解 bsin Aab

10、两解 激趣诱思 知识点拨 图形 关系式 解的个数 A 为 锐 角 ab 一解 ab 无解 激趣诱思 知识点拨 微思考 在ABC中,若AB,一定有sin Asin B吗?反之,若sin Asin B,一定 有AB吗? 提示:由AB,得ab, 所以2Rsin A2Rsin B,即sin Asin B; 由sin Asin B,得2Rsin A2Rsin B,即ab, 所以AB. 激趣诱思 知识点拨 微练习 不解三角形,判断下列三角形解的个数. (1)a=5,b=4,A=120; (2)a=7,b=14,A=150; (3)a=9,b=10,A=60. 解:(1)A为钝角且ab,ABC有一解. (2

11、)A为钝角且ab,ABC无解. (3)bsin Aaa,所以 CA, 所以 C=60或 C=120. 当 C=60时,B=75,b=sin sin = 6sin75 sin60 = 3+1; 当 C=120时,B=15,b=sin sin = 6sin15 sin120 = 3-1. 所以 b= 3+1,B=75,C=60或 b= 3-1,B=15,C=120. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 反思感悟 正弦定理的两个应用 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法: 如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时,先由三角形内角 和定理计算出三角形的第三个角,再由

12、正弦定理计算出三角形的另 两边. (2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法: 首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,若这个角不是直角, 则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角,当已知 的角为大边所对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角,当已知 的角为小边所对的角时,则不能判断,此时就有两组解,再分别求解 即可;然后由三角形内角和定理求出第三个角;最后根据正弦定理 求出第三条边. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将本例(2)中的条件“c= 6”改为“c= 2”,结果如何? 解:由正弦定理 sin = sin, 可知 sin

13、 C=sin = 2sin45 2 = 1 2.因为 ca,所以 CBC,BA,B=45或 135.故选 B. (3)因为 sin B+cos B=0,显然 B 2, 所以 tan B+1=0,所以 tan B=-1. 因为 B(0,),所以 B=3 4 . 又因为 b= 2a,所以由正弦定理可得 sin B= 2sin A, 所以 sin A=1 2,且 A 0, 4 ,所以 A= 6. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 求三角形的面积求三角形的面积 例 2 已知在ABC 中,c=2 2,ab,C= 4,tan A tan B=6,试求三角形 的面积. 解:

14、因为 C= 4,所以 A+B= 3 4 . 又因为 tan A tan B=6, 所以 tan A+tan B=tan(A+B) (1-tan A tan B) =(-tan C) (1-6)= -tan 4 (-5)=5. 所以 tan A0,tan B0,即 A,B 皆为锐角,且 ab,则 tan Atan B, 所以 tan A=3,tan B=2. 所以 sin A=3 10 10 ,sin B=2 5 5 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 由正弦定理,得 a=sin sin = 2 23 10 10 2 2 = 6 10 5 , b=sin si

15、n = 2 22 5 5 2 2 = 8 5 5 . 所以 SABC=1 2absin C= 1 2 6 10 5 8 5 5 2 2 = 24 5 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1)三角形面积公式的选取依据 求三角形面积时通常以角为主,即在题目中已知哪个角或者涉及哪 个角就以含有该角的公式进行面积的求解. (2)在解三角形问题时需要根据正弦定理结合已知条件灵活转化边 和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然 后确定转化的方向; 第二步:定工具,即根据条件和所求合理

16、选择转化的工具,实施边角 之间的转化; 第三步:求结果. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 变式训练 2在ABC 中,B=30,AB=2 3,AC=2,求ABC 的面积. 解:由正弦定理,得 sin C=sin = 3 2 . 又因为 ABAC,所以 C=60或 120. 当 C=60时,A=90, 所以 SABC=1 2AB AC sin A=2 3; 当 C=120时,A=30, 所以 SABC=1 2AB AC sin A= 3. 所以ABC 的面积为 2 3或 3. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 判断三角形的形状判

17、断三角形的形状 例3在ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,且sin A=2sin B cos C.试判断 ABC的形状. 解:由正弦定理,得 sin A= 2,sin B= 2,sin C= 2,R 为ABC 外接圆的 半径. 因为 sin2A=sin2B+sin2C,所以 2 2 = 2 2 + 2 2 ,即 a2=b2+c2,故 A=90. 所以 C=90-B,cos C=sin B. 所以 2sin B cos C=2sin2B=sin A=1. 所以 sin B= 2 2 . 因为B为锐角,所以B=45. 所以ABC是等腰直角三角形. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五

18、探究六 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断三角形形状的方法 (1)判断三角形的形状,可以从考查三边的关系入手,也可以从三个 内角的关系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现 出边与边的关系或求出角与角的关系或大小,从而作出准确判断. (2)判断三角形的形状,主要看其是不是等边三角形、等腰三角形、 直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三 角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 变式训练 3在ABC中,若b=acos C,试判断该三角形的形状. 解:因为 b=acos C, sin = sin=

19、2R(2R 为ABC 外接圆的直径). 所以sin B=sin Acos C. 因为B=-(A+C),所以sin(A+C)=sin Acos C. 即sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C, 所以cos Asin C=0, 因为 A,C(0,),所以 cos A=0,所以 A= 2, 所以ABC为直角三角形. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 判断三角形解的个数判断三角形解的个数 例4已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否 有解,有解的作出解答. (1)a=10,b=20,A=80; (2)a=2 ,b=6,A=30.

20、 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 解:(1)因为 bsin A=20sin 8020sin 60=10 3,所以 absin A,所以 本题无解. (2)因为 bsin A=6sin 30=3, 所以 bsin Aab,所以本题有两解. 由正弦定理,得 sin B=sin = 6sin30 2 3 = 3 2 , 又因为 B(0,),所以 B=60或 B=120. 当 B=60时,C=90,c=sin sin = 2 3sin90 sin30 =4 3; 当 B=120时,C=30,c=sin sin = 2 3sin30 sin30 =2 3. 所以

21、B=60,C=90,c=4 3;B=120,C=30,c=2 3. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 反思感悟 已知三角形两边和其中一边的对角时,判断三角形解的 个数 已知三角形两边和其中一边的对角时,利用正弦定理求出另一边对 角的正弦值后,需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐角、 直角还是钝角,从而确定三角形有两解还是只有一解.也可以用几 何法来判断,即比较已知角的对边与另一边和该角正弦值乘积的大 小来确定解的个数. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 变式训练 4(1)(多选题)(2020江苏高一期末)已知ABC的内角

22、 A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,有两解的是 ( ) A.a= 2,b=2,B=120 B.a=2,b= 3,B=45 C.b=3,c= 3,B=60 D.a=2 3,b= 10,B=60 (2)(2020黑龙江齐齐哈尔高一期中)在ABC中,a=x,b=2,B=45.若 该三角形有两解,则x的取值范围是 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 答案:(1)BD (2)(2,2 2) 解析:(1)A.因为 a= 2,b=2,B=120, 所以 sin A=sin = 2sin120 2 = 6 4 , 因为 ab,所以 AB,即 A 为锐

23、角,只有一解; B.因为 a=2,b= 3,B=45,所以 asin B= 2, 因为 asin Bbc,有一解; D.因为 a=2 3,b= 10,B=60,所以 asin B=3, 因为 asin Bba,所以有两解.故选 BD. (2)由 asin Bba,得 2 2 x2x, 所以 2x2 2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 用正弦定理证明问题用正弦定理证明问题 例5在任意ABC中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-sin B)=0. 证明:由正弦定理,令 =2R(R为ABC外接圆的 半径),所以a=

24、2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,得 左边=2R(sin Asin B-sin Asin C+sin Bsin C-sin Bsin A+sin Csin A- sin Csin B)=0=右边, 所以等式成立. sin = sin = sin 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 反思感悟 边与角的互化方法 正弦定理的变形公式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为ABC外 接圆的半径)能够使三角形边与角的关系相互转化. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 变式训练 5利用正弦定理证明

25、定理:等腰三角形的两个底角相等. 证明:设等腰ABC的两边AB=AC, 由正弦定理,得 sin = sin,所以 sin C=sin B. 由于0B+C0), 判断此三角形解的个数. 解:由于b是不确定的边长,无法知道a与b的大小关系,即无法判断B 是锐角还是钝角,这就需要对x的取值进行分类讨论. (方法一)当 0 x4 时,由大边对大角知 B 为锐角,sin B=sin 1 2,此 时三角形有唯一解. 当 4x8 时,sin B=sin , 所以1 2sin B8 时,sin B=sin 1,B 无解,此时ABC 无解. 综上可知:当0 x4或x=8时,ABC有一解;当4x8时,ABC无解.

26、 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 (方法二)A=30,是锐角,分三种情况: 当a=bsin A或ab,即4=xsin 30或4x, 即x=8或0 x4时,ABC有一解. 当xsin 304x,即4x8时,ABC有两解. 当48时,ABC无解. 综上可知,当0 x4或x=8时,ABC有一解; 当4x8时,ABC无解. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 1.(2020 江苏如东高级中学高一期中)在ABC 中,若 a=2,b= 2,A= 4, 则 B=( ) A. 6 B. 4 C.5 6 D. 6 或 5 6 答案:A 解析:由

27、正弦定理 sin = sin,得 2 sin 4 = 2 sin,解得 sin B= 1 2,又 ab,所以 AB,故 B= 6. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 2.在ABC中,若ABC=123,则abc=( ) A.123 B.321 C.1 32 D.2 31 答案:C 解析:设A=k,B=2k,C=3k,由A+B+C=180,得6k=180,k=30,所 以A=30,B=60,C=90,abc=sin Asin Bsin C= 1 2. 3 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 3.(2020 哈尔滨第一中学模拟)在AB

28、C 中,若cos cos = ,则ABC 的形 状是( ) A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 答案:B 解析:由正弦定理,得cos cos = = sin sin, sin Acos A=sin Bcos B,sin 2A=sin 2B.又因为 A,B(0,),且 A,B 不可能同时为钝角,所以2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B= 2,所以 ABC 是等腰三角形或直角三角形. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 4.已知ABC的外接圆半径是2 cm,A=60,则BC边的长 为 . 答案:2 3 cm 解析:因为 sin=

29、2R,所以 BC=2Rsin A=4sin 60=2 3(cm). 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 5.(2020 浙江诸暨中学高二期中)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c.已知 tan 4+A =2. (1)求 sin2 sin2+cos2的值; (2)若 B= 4,a=3,求ABC 的面积. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 解:(1)由 tan 4+A =2,得 tan A= 1 3, 所以 sin2 sin2+cos2 = 2sincos 2sincos+cos2 = 2tan 2tan+1 = 2 5. (2)由 tan A=1 3可得,sin A= 10 10 ,cos A=3 10 10 .a=3,B= 4, 由正弦定理知 b=sin sin = 3 2 2 10 10 =3 5. 又 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2 5 5 , 所以 SABC=1 2absin C= 1 233 5 2 5 5 =9.