人教A版高中数学选修2-3 课件ppt(全册15份打包).rar

导入新课 想一想 先看下面的问题 从我们班推选出两名同学担任班长，有 多少种不同的选法？ 把我们的同学排成一排，共有多少种 不同的排法？ 要解决这些问题， 就要运用有关排列、组 合知识. 排列组合是一种重要的数学 计数方法. 是研究按某一规则做某 事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用 到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两 个原理. 1.1分类加法计数原理 与 分步乘法计数原理 教学目标 知识目标 （1）理解分类加法计数原理与分步 乘法计数原理； （2） 会利用两个原理分析和解决一 些简单的应用问题. 能力目标 培养学生的归纳概括能力. 情感目标 （1）了解学习本章的意义，激发学生 的兴趣； （2）引导学生形成 “自主学习”与“合 作学习”等良好的学习方式. 教学重难点 重点 分类加法计数原理与分步 乘法计数原理的应用理 解. 难点 分类加法计数原理与分步 乘法计数原理的理解. 1、分类加法计数原理 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘 汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么 一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共 有多少种不同的走法？ 解答解答 由题意画图如下： 观察有什么特征 解： 从甲地到乙地有2类方法, 第一类方法:乘火车，有3种方法; 第二类方法:乘汽车，有2种方法. 所以从甲地到乙地共有3+2=5种方法. 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案 中有m 种不同的方法，在第2类方案中有 n种不 同的方法. 那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法. 知识要知识要 点点 A大学B大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 数学 会计学 信息技术学 法学 例题1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了 解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的 强项专业，具体情况如下： 如果这名同学只能选一个专业，那么 它共有多少种选择呢？ 分析 由于这名同学在A，B两所大学中只能 选择一所，而且只能选择一个专业，又由于 两所大学没有共同的强项的专业，因此符合 分类加法计数原理的条件. 继续解答 解： 这名同学可以选择两所大学中的一所，在A所 大学中有5种专业选择方法，在B所大学中有4种 专业选择方法，又由于没有一个强项专业是两所 大学共有的，因此更具分类加法计数原理，这名 同学可能的专业选择共有 5+4=9（种） 探究 如果完成一件事有三种不同方案，在第1 类方案中有m1种方法，在第2类方案中有m2 种方法，在第3类方案中有m3种方法那么完成 这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢 ？ N=m1+m2+m3 2、分步乘法计数原理 用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯 数字，以A1，A2，B1，B2，的方式给 教室里的座位编号，总共能变出多少个不同 的号码？ 解答解答 由题意画图如下： 字母 数字 得到的号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 注意 上图是解决计数问题常用的“树 形图”. 你能用树形图列出所有 可能的号码吗？ 观察有什么特征 解： 由于前6个英文字母中的任意一个都能 与9个数字中的任意一个组成一个号码，而 且它们各不相同，因此共有 69=54 个不同的号码. 知识要知识要 点点 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有 m 种不同的方法，做第2步有 n种不同的方 法. 那么完成这件事共有 N=mn 种不同的方法. 例题2 书架的第一层放有4本不同的计算机书， 第二层放有5本不同的文艺书，从书架的第1 、2层各取1本书，有多少种不同的取法？ 分析 读题意可知，这是一个分步乘 法计数题. 解： 从书架的第1，2，各取1本书，可以分成两 个步骤完成: 第一步，从第一层取1本计算机书，有4种 方法； 第二步，从第二层取1本文艺书，有5种方 法； 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 N=45=20 继续解答 探究 如果完成一件事需要三个步骤，做第1步 有m1种方法，做第2步有m2种方法，做第3步 有m3种方法那么完成这件事共有多少种不同 的方法？ 如果完成一件事有n种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢 ？ N=m1m2m3 例题3 一名同学有7枚明朝不同古币和10枚 清朝不同古币 (1）从中任取一枚，有多少种不同取 法？ (2）从中任取明清古币各一枚，有多 少种不同取法？ 分析 由于这名同学有明朝清朝两种不同的古币 ，（1）中要从中任取一枚，符合分类计数原 理，（2）中要从明清中各取一枚，符合分步 计数原理. 解： （1）该题应用分类计数原理，分两类：第 一类，取明朝古币有7种；第二类，取清朝古 币有10种. 所以共有 7+10=17 种不同取法. （2）该题应用分步计数原理，分两步：第 一步，取明朝古币有7种；第二步，取清朝古 币有10种. 共有 710=70 种不同取法. 继续解答 课堂小结 1.分类加法计数原理和分步乘法计数 原理： 是排列组合问题的最基本的原理； 是推导排列数、组合数公式的理论依据； 是求解排列、组合问题的基本思想. 2理解分类加法计数原理与分步 乘法计数原理，并加区别： 分类加法计数原理针对的是“分类”问 题，其中各种方法相对独立，用其中任何一 种方法都可以完成这件事； 分步乘法计数原理针对的是“分步”问 题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个 步骤都完成后才算做完这件事. 3.运用分类加法计数原理与分步乘法 计数原理的注意点： 分类加法计数原理：首先确定分类标准 ，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属 于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都 是不同的方法，即不重不漏. 分步乘法计数原理：首先确定分步标准 ，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步 骤，这件事才算完成. 高考链接 A 1（2008年福建卷7）某班级要从4名男生、2名 女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少 有1名女生，那么不同的选派方案种数_____ . A. 14 B. 24 C. 28 D. 48 先分类，再分 步！ 2（2007年全国卷文科第10题）5位同学报 名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中 的一个小组，则不同的报名方法共有_____. A10种 B20种 C. 25种 D . 32种 D 学生选小组N= 3. (2007年四川文科第9题）用数字1，2，3 ，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大 的五位偶数共有______. A.48个 B.36个 C.24个 D.18个 分析： 先分类，再分步，据题意，当个位数是2时 ，万位数是3，4，5，其他随意，共有 3321=18种；当个位数是4时，万位数是2 ，3，5，其他随意，共有3321=18种 所以共有36种. B 课堂练习 1.填空 （1）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有 ______种. （2）甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名， 现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校 三好学生代表大会，共有______种不同的推选方 法. 11 31 2.选择 （1）一件工作可以用2种方法完成，有5人 会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法 完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选 法的种数是（ ） A.9 B.2 C.20 D.6 （2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C 村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的 路线有 ( )条. A.3 B.4 C.5 D.6 3.解答题 (1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允 许重复数字的三位数. 解： 由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、十、个位数各有5种取法， 所以可以组成 555=125 个三位数. （2）电子元件很容易实现电路的通与断、电位 的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两 种状态. 因此计算机内部就采用了每一位只有0 或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算 机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字 符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计 算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 个二进制位构成，问： 一个字节（8位）最多可以表示多少个不 同的字符？ 计算机汉字国标码（GB码）包含了6763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进 行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 第1位第2位第3位第8位 2种2种2种2种 分析： 如00000000， 10000000， 11111111. 解： 由图可知组成一个字节为分步计数 所以最多可以表示 一个字节有256种表示方法，而汉字 有6763个，所以每个汉字至少要用2个字节 来表示. 习题解答 A组 1. “一件事情”是“买一台某型号的电视机”不 同的选法有4+7=11（种）. 2. “一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁 地去”. 所以是“先分类，再分步”，不同的路线共 有23+42=14（条）. 3. 对于第一问，“一件事情”是“构成一个分 数”由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是 偶数，所以以1，5，9，13中任意一个为分子， 都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数： 第一步，选分子，有4种选法； 第二步，选分母，也有4种选法. 共有不同的分数 44=16（个）. 对于第二问，分四类： 分子为1时，分母可以从4，8，12，16中 任选一个，有4个， 分子为5时，分母从8，12，16中选一个， 有3个； 分子为9时，分母从12，16中选一个，有2 个； 分子为13时，分母只能是16，有1个. 所以共有真分数 4+3+2+1=10（个）. 4.”一件事情”是“接通线路”。更具电路的有关知 识，容易得到不同的接通线路有 3+1+22=8（条）. 5.(1)分两步完成： 第一步，从A中选横坐标，有6种选择； 第二步，从A中选纵坐标，也有6种选择. 所以共有坐标 66=36（个） （2）由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相 同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的， 因此可分两步完成： 第一步，取斜率，有4种取法； 第二步，取截距，有4种取法. 所以共有直线 44=16（条）. B组 1. “一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于 数字可以重复，最后一个只能在05这拨个数字 中拔，所以有号码1010106=6000（个）. 2. (1) “一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队 中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队 ”. 应该是人选运动队，所以不同报法种数是 . （2）“一件事情”是“3个班分别从5个景点中选择 一处游览”. 应该是人选风景，故不同的选法种数 是 .导入新课 由数字1，2 ，3，4可以组成 多少个没有重复 数字的三位数？ 你能用树形 图列出所有结果 吗？ 先看下面的问题 2 3 4 1 1 2 1 3 1 4 1 2 3 1 2 4 1 3 2 1 3 4 1 4 2 1 4 3 3 4 3 2 3 1 3 1 2 3 1 4 3 4 2 3 2 1 3 2 4 3 4 1 2 1 2 3 2 4 2 1 3 2 1 4 2 3 1 2 3 4 2 4 1 2 4 3 4 1 4 2 4 3 4 1 2 4 1 3 4 2 1 4 2 3 4 3 1 4 3 2 假如由数字19这几个数字可以组成 多少个没有重复数字的三位数？ 下题又如何呢？ 上节课，我们一起学习了两个基本原 理及基本原理的简单应用，这一节，我们 将继续应用基本原理研究排列问题. 1.2.1排列 教学目标 知识目标 （1）基本概念：元素、排列、排列 数、全排列、阶乘; （2）基本公式：排列数公式. 能力目标 (1) 理解排列的意义； (2) 熟悉阶乘运算； (3) 掌握排列数的计算公式； (4) 注意体会由特殊到一般的研究问 题的方法； (5) 掌握运用科学计算器进行阶乘运 算； (6) 能够应用排列数公式解决一些简 单的问题. 情感目标 在排列的概念理解上，在排列数公式 的推导过程中，要求学生学会透过现象抓 本质，通过对事物现象本质的进一步分析 ，得出一般的规律. 教学重难点 重点 理解排列的概念，能用 列举法、树形图列出排列， 从简单排列问题的计数过程 中体会排列数公式 . 难点 对排列要完成的“一件事 ”的理解； 对“一定顺序”的理解 . 某学校计划在元旦安排一场师生联欢会 ，需要从甲、乙、丙三名候选人选2名作主持 人，其中1名作正式主持人，一名作候补主持 人，有多少种不同的方法？ 解答解答 解决上述问题，可以应用分步计数原理进行 ，可分两步：第1步，确定正式主持人，从3人 中任选1人，有3种不同选法；第2步，确定候补 主持人，从余下的2人中选取，有2种不同的方 法. 根据分步计数原理，在3名同学中选2名， 按照参加正式主持人在前，候补主持人在后的 不同顺序排列方法有326种. 我们把上面问题中被取的对象叫做元素.于 是，所提出问题就是从3个不同的元素a、b、c 中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一 共有多少种不同的排列方法所有不同排列为 ab，ac，ba，bc，ca，cb，所有排列的种数为 326. 如果我们把上述问题再推广到更为一 般的情形，就得到排列及排列数的概念. 1 排列 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不 同元素取出m个元素的排列. 知识要知识要 点点 你能归纳一下排列 的特征吗？ 根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当 两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序 也相同. 知识要知识要 点点 2 排列数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的排列数，用符号 表示. 上面的问题，是求从3个不同元素中取出 2个元素的排列数，记为 ，已经算得 注 ：A是英文 arrangement(排列)的第 一个字母 知识要知识要 点点 3 排列数公式 这里，n，mN*，并且mn . 4 全排列 n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个不同元素的一个全排列这是公式中m=n, 即有 也就是说，n个元素全部取出的排列数， 等于1到n的连乘积.即n的阶乘，用n!表示. 0！=1 例题1 6！=654321=720 例题2 求下列各式中n值： 解析： 该题是 对排列 数公式 的考察 解： (1)由排列数公式得 (2n1)(2n)(2n-1)(2n-2)140n(n-1)(n-2) 整理得： (4n-23)(n-3)0 n3或n(舍去) n3 (2)由排列数公式得 化简得： 解得n6或n13 n8，n6 继续解答 例题3 某段铁路上有12个车站，共需要准备多 少种普通客票？ 解： 例题4 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少 个没有重复数字的三位数？ 解法一:对排列方法分步思考. 百位十位个位 解法二：对排列方法分类思考. 符合条件的三位数可分为两类： 百位 十位 个位 0 百位 十位 个位 0 百位十位 个位 根据加法原理 解法三：间接法. 从0到9这十个数字中任取三个数字的排 列数为 ， 所求的三位数的个数是 其中以0为排头的排列数为 . 课堂小结 1. 知识要求： （1）要求大家在理解排列的意义的基础上 ，掌握排列数的运算； （2）了解科学计算器的阶乘运算功能，为 进一步学习排列的应用打好基础. 2重点掌握排列的两个公式： 1 用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的 三位数,其中偶数共有______个. A 24 B 30 C 40 D 60 针对性练习 A 先分类，再分步 2、如图，小圆圈表示网络的结点，节点之间 的连线表示它们有网络相连. 连线标注的数字表 示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿 不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大 信息量为_____. A 26 B 24 C 20 D 19 D 3.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同 的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名 学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ______. A 18 B 24 C 30 D 36 C 解析: 用间接法解答：四名学生中有两名学生分 在一个班的种数是 ，顺序有 种，而甲乙 被分在同一个班的有 种，所以种数是 课堂练习 1.填空 （1）从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主 席台前，其中有两盆花不宜摆放在正中间，则 一共有_____种不同的摆放方法（用数字作答）. （2） 5人成一排，要求甲、已相邻，有 _____种排法. 1800 48 2.选择 （1）将5列车停在5条不同的轨道上，其中a 列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道 上，那么不同的停放方法有（ ）. A 120种 B 96种 C 78种 D 72种 （2）七人排成一排，甲、乙两人必须相邻， 且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法（ ） 种. A 960种 B 840种 C 720种 D 600种 3.解答题 (1)有棋盘型街道如图，某人由 A 点到 B 点 取捷径 共有几种走法？ 若不过 D 点，取捷径的走法共有几种？ 解： （2）用0、1、2、3、4、5六个数字，若 数字可以重复，则可以构成几个三位数？其 中奇数共几个？ 解： 由于0不能排在百位，所以百位有5种方法 ，而十位与个位皆有6种方法，故共可排成 5 6 6 = 180 个三位数. 若所排成的三位数为奇數，则个位可以排1 、3、5共3种方法，而百位有5种，十位有6种排 法，故共可排成 5 6 3 = 90 个奇数. （3） 计划展出不同的画10幅，其中一幅水彩 画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同 一品种的画必须连在一起，并且水彩画不能放在 两端，那么不同的陈列方式有多少种？ 解： 依题意，不同的陈列方式有 种.导入新课 先看下面的问题 问题一： 从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加某天的一 项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加 下午的活动,有多少种不同的选法 ？ 问题二： 从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加一项活 动,有多少种不同的选法 ？ 观察 问题一与问题二 有何不同？ 问题1中不但要求选出2名同学,而且还要按 照一定的顺序“排列”,而问题2只要求选出2名同 学,是与顺序无关的. 这就是我们这节课要学习的内容 组合 1.2.2组合 教学目标 知识与能力 （1）使学生正确理解组合的意义； （2）明确组合与排列的区别与联系； （3）掌握组合数公式； （4）能够应用组合数公式解决一些简单的 实际应用问题. 过程与方法 （1） 通过创设问题情景，引导学生主动探究 ，积极思考，学会学习； （2）通过师生互动及时反映教学信息，以调 整教学进度. 情感态度与价值观 （1）通过组合数公式的推导过程，使学生学会 用联系的观点看问题，从排列与组合的概念中找 到区别与联系，来培养学生探索数学规律的能力; （2） 通过问题的解决，树立自信心，体会成 功与快乐，学会探究，学会自主学习. 教学重难点 重点 组合数及排列与组合的区 别. 难点 组合数公式的推导及应用. 1 组合 一般地，从n个不同元素中取出m（mn ）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合 知识要知识要 点点 你能说说排列与组 合的联系与区别吗？ 相同点： 都要“从n个不同元素中任取m个 元素” 不同点： 对于所取出的元素，排列要“按照一定 的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样 的顺序并成一组”. 排列与元素的顺序有关，而组合则与 元素的顺序无关 . ab与ba是相同的排列还是相同的组合 ?为什么? 由于组合与顺序无关 ，ab与ba是相同的组合. 例题1 判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元 素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共 需准备多少种车票? 知识要知识要 点点 2 组合数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素 的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数.用符号 表示. 上面的问题，是求从3个不同元素中取出 2个元素的组合数，记为 ，已经算得 注 ：C是英文 combination(组合)的第一 个字母 知识要知识要 点点 3 组合数公式 这里，n，mN*，并且mn. 因为 所以，上面的组合数公式还可以写成 例题2 解不等式 = 解： 原不等式可化为 继续解答 即 n12. 但原不等式中n取值范围为n-40,即n4, 所以n=4,5,6,11. (nN+)， 例题3 从编号为1，2，3，10，11的共11个 球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和 为奇数，则一共有多少种不同的取法？ 解： 共有 例题4 5名同学同时参加五门不同科目的考试 ，恰有两名学生拿到了自己该考的科目的 试卷，问试卷分发的方法有多少种？ 解： 5名同学选出2名选法有 种，3名学生 拿到的都不是自己该考的试卷，试卷分发的方 法有2种， 故共有试卷分发方法 知识要知识要 点点 4 组合数的两个性质 性质1 性质2 课堂小结 l、组合的概念； 2、组合与排列的区别； 3、组合数公式； 4、组合的应用：分清是否要排序. 1.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、 星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一 人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加， 则不同的选派方法共有_____. A.120种 B.96种 C.60种 D.48种 针对性练习 C 解析： 5人中选4人则有 种，周五一人有 种 ，周六两人则有 ，周日则有 种， 故共有 =60种,故选C. 2.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中 甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会 ，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业 的可能情况的种数为_____. A14 B16 C20 D48 B 由间接得 ， 故选B. 3.甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男 同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同 学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 _____. A. 150种 B. 180种 C. 300种 D. 345种 D 本小题考查分类计算原理、 分步计数原理、组合等问题 课堂练习 1.填空 （1）6人分乘两辆小汽车出行，每辆车最多可坐4 人，不同的乘车方法种数为_____种(用数字作答). （2）长方体的长、宽、高分别为自然数a、b、c 且0cb100， 取法数1个；取出50，有50+51100， 50+52100,，50+100100共50个. 取出数字1至50共有1+2+3+50= 1275， 取出51，有51+52100,51+100100，共49个 取出52有48个，取出100，只有0个. 取出51至100有49+48+2+1+0=1225(个) 故共有1 275+1 225=2 500(个) （2）课外活动小组共13人，其中男生8人，女 生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法? 只有一名女生; 两队长当选; 至少有一名队长当选; 至多有2名女生当选; 既要有队长，又要有女生当选. 解： 一名女生，四名男生.故共有 将两队长作为一类，其他11人作为一类，故 共有 至少有一名队长含有两类：只有一名队长和 两名队长.故共有： 或采用排除法： 至多有两名女生含有三类：有2名女生、只 有一名女生、没有女生.故选法为： 分两类： 第一类女队长当选： 第二类女队长不当选： 故选法共有： 继续解答 （3）A的一边AB上有4个点,另一边AC上 有5个点,连同A的顶点共10个点，以这些点 为顶点，可以构成多少个三角形? 解： 方法1:把可构成的三角形可分成两类: 第一类，含点A的有 个； 第二类，不含点A的，又分为在AB上取两 点在AC上取一点，和在AB上取一点AC上取 两点，共有 个. 根据加法原理，共可构成三角形的个数为 继续解答 方法2:不考虑可否成为三角形，从这10个中 点任取3个点共有 种方法,但仅在AB上或AC上 任取3个点不能构成三角形，共有 种方法, 因此可构成三角形的个数为导入新课 先看下面的问题 若今天是星期一，再过810天后的那一天 是星期几？ 在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3 观察 对于(a+b)4， (a+b)5 如何展开? (a+b)100又怎么办？ (a+b)n (nN+)呢？ 我们知道，事物之间或多或少存在着规 律. 这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开 式的规律性. 1.3.1二项式定理 教学目标 知识目标 1.利用二项式定理及二项式系数的性质解 决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算 ；求余数或证明某些整除或余数的问题等； 2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这 个思想处理问题. 能力目标 1.培养学生发现和揭示事物内在客 观规律能力和逻辑推理能力； 2.培养学生运算能力，分析能力和 综合能力. 通过学生的主体活动，营造一种愉悦的 情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围 中，不断获得成功的体验，从而对自己的数 学学习充满信心. 情感目标 教学重难点 重点 二项式定理的推导及证 明. 难点二项式定理的证明. 规律： (a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b) =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 如何从组合知识得到(a+b)4展开 式中各项的系数? (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4； (2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b； (3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2； (4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3； (5)若每个括号都取b，共有种取法得b4. 1 二项式定理 知识要知识要 点点 如何证明上述猜想呢？ 证明： 由于(a+b)n是（a+b）相乘，每个（a+b ）在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个 （a+b）中的a或b都选定后，才能得到展开式 的一项. 因此，由分步乘法计数原理可知，在合 并同类项之前， (a+b)n的展开式共有2n项， 其中每一项都是an-kbk（k=0，1，n）的 形式. 对于某个k（ ）， 对应的项an-kbk是由n-k个（a+b）中选a，k个（ a+b）中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随 之确定. 因此， an-kbk出现的次数相当于从n个(a+b) 中取k个b的组合数 . 这样，(a+b)n的展开式 中， an-kbk共有 个，将它们合并同类项，就可 以得到二项展开式： 对二项式定理的理解 （1）它有n+1项; （2）各项的次数都等于二项式的次数n; （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0; 字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 知识要知识要 点点 2 二项式系数 我们看到的二项展开式共有n+1项，其中 各项的系数 ( ) 叫做二项式系数（binomial coefficient）. 3 通项 式中的 叫做二项展开式的 通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第 k+1项： 对通项的理解 （1）它是(a+b)n的展开式的第k+1项，这里 k=0，1，2，n; （2）字母a，b是一种“符号”，实际上它们 可以是数、式及其它什么的，只要具备二项式 的形式就可以用定理写出展开式; （3）展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的 ，还可以对等式进行变形. 例题1 用二项式定理展开下列各式： 思考（1）如何求展开式中的第三项？ （2）如何求展开式中第三项的系数？ 方法（1）用定理展开，再找指定项； （2）用通项公式. 解: （2）先将原式化简，再展开，得 例题2 1. 的展开式中，第五项是（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中，不含a的项是第（ ） A.7 项 B.8 项 C.9 项 D.6项 要解答上题必须熟记 二项式定理 上题答案： (1) B (2) A 例题3 求近似值（精确到0.001） （1）(0.997)3 （2）(1.002)6 分析： （1）(0.997)3=(1-0.003)3 （2）(1.002)6=(1+0.002)6 类似这样的近似计算转化为二项式定 理求展开式，按精确度展开到一定项. 例题4 4.求二项式 的展开式中的有理项. 分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用） 答案： 课堂小结 1.二项式定理 二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ Cnran-rbr+Cnnbn是通过不完全归纳法，并 结合组合的概念得到展开式的规律性，然后 用数学归纳法加以证明. 2.二项式定理的特点 (1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 (2)系数 (3)指数 ：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列. 1. 在 的展开式中，常数项是______. A.14 B.14 C.42 D. 42 针对性练习 解析： 则k=6，故展开式中的常数项是 ,选答案A. 令 2.在(x-a)10的展开式中，x7的系数是15，则实 数a的值为_______.-1/2 解析： 课堂练习 1.填空 （1）(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为_____. （2）在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项 的系数的和为______ . 1.179 -210 2.选择 （1）( i)12展开式中所有奇数项的和是( ) A.-1B.1 C.0 D.i （2） 数11100-1的末尾连续的零的个数是( ) A.0B.3 C.5 D.7 )rC12r 3.解答题 （1）求( + )12展开式中所有的有理数项. 解： 通项为Tr+1C12r( )12-r( (r0,1,2，12)，为得有理数项，只需r 是6的倍数，即r0,6,12，即有理数项为T1 C1202416，T7C126223399792，T13 C121236729. （2）二项式 的展开式中第三 项系数比第二项系数大44，求第4项的系数. 分析：由第三项系数比第二项系数大44先 求n， 再由通项求第四项系数. 答案：165 (3) 某班有男、女学生各n人，现在按照男 生至少一人，女生至多n人选法，将选出的学 生编成社会实践小组，试证明：这样的小组的 选法共有2n(2n-1)种. 证：依题意，这些小组中女生人数分别 是Cn0，Cn1,Cn2,Cnn个.对于上述女生人数 的每种情况，男生人数可以有Cn0， Cn1,Cn2,Cnn个。 根据乘法原理和加法原理可得 Cn0Cn1+Cn0Cn2+Cn0Cnn+Cn1Cn1+Cn1 Cn2+Cn2Cn1+Cn2Cn2+Cn2Cnn+CnnCn1+ Cnn Cn2+ Cnn Cnn Cn0(Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn1 (Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn2(Cn1+Cn2+Cnn)+Cnn(Cn1+Cn2+ Cnn) (Cn1+Cn2+ Cnn)(Cn0 +Cn1+Cn2+ Cnn) (2n-1)2n 依题意所编成的小组共有2n(2n-1)个.导入新课 一般地，对于n N*有二项定理 : 观察 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 （1）上述的表叫做二项式系数的表,观察表中 二项式系数的规律,并加以归纳. （2）继续观察,归纳每行二项式系数的特点( 即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质. 1.3.2“杨辉三角” 与 二项式系数的性质 教学目标 知识目标 （1）掌握二项式系数的性质； （2）进一步认识组合数、组合数的性质. 能力目标 （1）使学生建立“杨辉三角”与二项式系 数之间的直觉，并探索其中的规律，培养学 生的探索精神和创新意识; （2）能运用函数观点分析处理二项式系 数的性质,提高学生分析问题、发现问题、解 决问题的能力,激发学生的学习兴趣. 结合 “杨辉三角”，对学生进行爱 国主义教育，激励学生的民族自豪感 和为国富民强而勤奋学习的热情 情感目标 教学重难点 重点 通过探究提炼二项式系 数的性质和讨论它的一些方法 ，如：赋值法 、递推法、图 象法. 难点 用函数的角度研究二项 式系数的性质和对赋值法的 灵活运用. 通过画出函数图 象，数形结合地进行思考. 1、杨辉三角 南宋末年钱塘人，是当 时有名的数学家和教育家， 杨辉一生编写的数学书很 多,但散佚严重. 杨辉生活在浙江杭州一 带，曾当过地方官,到过苏 州、台州等地，他每到一处 都会有人慕名前来 请教数 学问题. 杨 辉 本节课的课题二项式定理就是研究 （ a+b）的平方,(a+b)的三次方 （a+b）的n次方 的乘法展开式的规律， 法国数学家帕斯卡在17世 纪发现了它，国外把这一规律称为帕斯卡三角.其 实，我国数学家杨辉早在1261年在他的详解九 章算法中就有了相应的图表. 九章算术 详解九章算法中记载的表 2、二项式系数性质 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的 函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立 点 由以上分析可以画出如下图: 观察 结合杨辉三角和上图来 研究二项式系数的一些性质. 知识要知识要 点点 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数 相等. 这一性质可直接由 公式Cnm=Cnn-m 得到. 直线 将函数 的图像分成对称的 两部分，它是图像的对称轴 知识要知识要 点点 2.增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定 由： 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知 它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最 大值. 可知，当 时， 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值. 知识要知识要 点点 3.各二项式系数之和 已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cnrxr+Cnnxn 令x=1，则 2n=Cn0+Cn1+Cnn 例题 证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 分析： 奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+ 偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+ 由于在二项式定理中a、b可以取任意实数 ，因此我们可以通过对a、b适当赋值来得到上 述两个系数和. 证明： 在二项展开式中，令a=1，b=-1，则得 (1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+(-1)nCnn 即 0=(Cn0+Cn2 +)-(Cn1+Cn3+), 所以 Cn0+Cn2 += Cn1+Cn3+, 即得证. 课堂小结 1.二项式系数的三条性质 （1）对称性; （2）增减性与最大值; （3）各二项式系数的和; （4）递推性（杨辉三角中）. 2. 数学思想方法 （1）函数法; （2）特殊值法 ; （3）赋值法 、递推法、图象法. 3.“系数”与“二项式系数”的区别 不能混淆两者，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项. 1. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三 角中，第______行中从左到右第14与第15个数的 比为2:3 . 针对性练习 34 解析： 由图1我们能发现，第1行中的数是 第2行中的数是 第3行中的数是 则第n行中的数是 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为 则，解得 2.(1-x3)(1+x)10的展开式中含x4的项的系数为 _____(用数字作答). 解析： (1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1