2015年高考文科数学湖南卷-答案解析163wenku.com.docx

1、【 ;百万教育资源文库 】 2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学 （文科） 答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】 由题 2(1 i) 1iz? ? ， 2(1 i ) 2 i 2 i (1 i ) 1i1 i 1 i 2z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，故选 D. 【提示】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得 z 的值 . 【考点】复数的运算 . 2.【答案】 B 【解析】根据茎叶图中的数据，得 到 成绩在区间 139, 151 上的运动员人数是 20，用系统抽样方法从 35人中抽取 7人，成绩在区间 139, 151 上的运动员应抽取

2、 207435?（人），故选 B. 【提示】对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取 . 【考点】茎叶图 . 3.【答案】 A 【解析】 由题易知 “ 1x? ” 可以推得 “ 2 1x? ” ，而 “ 2 1x? ” 可以得到 “ 1x? ” 或 “ 1x? ” ，所以 “ 1x? ”是 “ 2 1x? ” 的充分不必要条件，故选 A. 【提示】利用充要条件的判断方法判断选项即可 . 【考点】命题与充分必要条件 . 4.【答案】 A 【解析】由约束条件 111xyyxx?作出可行域，由图可知，最优解为 A ，联立 11xyyx? ?

3、， 01xy? ?， (0,1)A? .2z x y? ? ? 2z x y? ? ? 在点 A 处取得最小值为 2 0 1 1? ? ? .故选 A. 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得 出 答案 . 【考点】简单的线性规划 . 5.【答案】 B 【解析】 由题 1 1 1 31 3 3 5 5 7 7? ? ? ? ?，故选 B. 【提示】列出循环过程中 S 与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 . 【考点】程序框图 . 6.【答案】 D 【解析】 因为双曲线 221xyab?的一条渐近线经过点 (3 4)?, ，

4、 2 2 2 53 4 9 ( ) 1 6 3cb a c a a e a? ? ? ? ? ? ? ?， ， 故选 D. 【提示】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到 ab， 关系式，然后求出双曲线的离心率即可 . 【考点】双曲线的简单性质 . 7.【答案】 C 【解析】 Q 12abab? 1 2 1 2 2, 0 , 0 , 2 2a b a ba b a b a b? ? ? ? ? ? ? ?Q， 2 2,ab? （当且仅当 2ba? 时取等号），所以 ab 的最小值为 22， 故选 C. 【提示】由 12abab? ，可判断 00ab?， ，然后利用基础不等式 22abab?， 即

5、可求解 ab 的最小值 . 【考点】基本不等式 . 8.【答案】 A 【解析】 函数 ( ) ln (1 ) ln (1 ),f x x x? ? ? ?函数的定义域为 (1,1)? ， 函数 ( ) ln (1 ) ln (1 )f x x x? ? ? ? ? ln (1 ) ln (1 ) ( )x x f x? ? ? ? ? ? ?， 所以函数是奇函数 ，21 1 1() 1 1 1fx x x x? ? ? ?， 已知在 (01), 上 ( ) 0fx? ? ， 所以 ()fx在 (0,1) 上单调递增，故选 A. 【提示】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果

6、即可 . 【考点】利用导数研究函数的性质 . 9.【答案】 B 【解析】 由题意， AC 为直径，所以 PA PB PC?uur uur uuur 24P O P B P B? ? ? ?uuur uur uur， 已知 B为 (10)?， 时， 4 PB?uur 取得最大值 7，故选 B. 【提示】由题意， AC 为直径，所以 PA PB PC?uur uur uuur 24P O P B P B? ? ? ?uuur uur uur， 即可得出结论 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】直线与圆的位置关系 ， 平面向量的运算性质 . 10.【答案】 A 【解析】如图所示，则有 2 221

7、2xh hx? ? ? ?， ， 所以长方体体积为 322 2 2 3 2( 2 ) ( 2 2 ) 4 ( 2 2 ) 4 ,3 2 7x x xx h x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ?当且仅当 22xx? ， 即 23x? 时，等号成立，故利用率为232 162719 123?g g g， 故选 A. 【提示】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求 . 【考点】三视图 ， 基本不等式求最值 ， 圆锥的内接长方体 . 第 卷 二、填空题 11.【答案】 123， ， 【解析】 由题 ?2UB? ，所以

8、? ? 1 2 3U BA ? ， ， . 【提示】首先求出集合 B 的补集，然后再与集合 A 取并集 . 【考点】 集合的运算 . 12.【答案】 22( 1) 1xy? ? ? 【解析】 曲线 C的极坐标方程为 22 s in 2 s in ,? ? ? ? ? ? ?， 它的直角坐标方程为 222x y y?， 22( 1) 1xy? ? ? ?， 故答案为 22( 1) 1xy? ? ? 【提示】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可 . 【考点】圆的极坐标方程 . 13.【答案】 2 【解析】如图 直线 3 4 5 0xy? ? ? 与圆 2 2 2 ( 0)x y r r? ? ?

9、交于 AB， 两点， O 为坐标原点，且 120AOB?，【 ;百万教育资源文库 】 则圆心 (00)， 到直线 3 4 5 0xy? ? ? 的距离为 12r ，2251 2234 rr? ? ? ， ， 故答案为 2. 【提示】若直线 3 4 5 0xy? ? ? 与圆 2 2 2 0x y r r?（ ）交于 AB， 两点， 120AOB?，则 AOB 为顶角为120 的等腰三角形，顶点（圆心）到直线的距离 12dr? ，代入点到直线距离公式，可构造关于 r 的方程，解方程可得答案 . 【考点】直线与圆的位置关系 . 14.【答案】 02b? 【解析】由函数 ( ) 2 2xf x b?

10、 ? ?有两个零点，可得 22x b?有两个零点，从而可得函数 22xy?与函数 yb? 的图像有两个交点，结合函数的图像可得， 02b? 时符合条件，故答案为 02b? . 【提示】由函数 ( ) 2 2xf x b? ? ?有两个零点，可得 22x b?有两个零点，从而可得函数 22xy?与 函数 yb? 的图像有两个交点，结合函数的图像可求 b 的范围 . 【考点】函数零点 . 15.【答案】 2? 【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为11 ,24k?，215,24k? ?， 12,kk ?N ，距离最短的两个交点一定在同一个周期内 ， 222215( 2 3 ) ( 2 2

11、 )44? ? ? ? ? ? ? ? ，2?. 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】根据正弦线，余弦线得出交点， 12kk， 都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程 ， 求解即可 . 【考点】三角函数图像与性质 . 三、解答题 16.【答案】（ ） 见 解析 . （ ） 见 解析 . 【解析】 （ ）所有可能的摸出结果是： 11Aa， ， 12Aa， ， 11Ab， ， 12Ab， ， 21Aa， ， 22Aa， ，21Ab， ， 22Ab， ， 1Ba， ， 2Ba， ， 1Bb， ， 2Bb， ； （ ）不正确，理由如下：由（ ）知，所有可能的摸出结果共 12种，其中摸

12、出的 2个球都是红球的结果为 1 1 1 2 2 1 2 2 A a A a A a A a， ， ， ， ， ， ，共 4种，所以中奖的概率为 41,12 3? 不中奖的概率为 1 2 11,333? ? ? 故这种说法不正确 . 【提示】（ ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果； （ ）在（ ）中求出摸出的 2 个球都是红球的结果数，然后利用古典概型计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的 . 【考点】 概率统计 . 17.【答案】 （ ） 答案见 解析 . （ ） 3 0 1 2 0 3 0A B C? ? ? ? ?， ，. 【解析】 （ ） 由 tana b A?

13、 及正弦定理，得 sin sincos sinA a AA b B? ， 所以 sin cos .BA? （ ） 因为 s i n s i n c o s s i n 1 8 0 ( ) s i n c o sC A B A B A B? ? ? ? ? s i n ( ) s i n c o s s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i nA B A B A B A B A B A B? ? ? ? ? ? ? 3cos sin .4AB? 由 （ ） 知 sin cos ,BA? 因此 2 3sin ,4B? 又 B 为钝角，所以 3sin

14、 ,2B?故 120,B ? 由 3cos sin2AB?知 30,A ? 从而 1 8 0 ( ) 3 0 ,C A B? ? ? ? 综上所述， 3 0 1 2 0 3 0A B C? ? ? ? ?， ， 【提示】（ ）由正弦定理及已知可得 sin sincos sinAAAB? ，由 sin 0A? ，即可证明 sin cosBA? . （ ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得 3s i n s i n c o s c o s s i n 4C A B A B? ? ?，由 （ ） sin cosBA? ，可得 2 3sin 4B? ，结合范围可求 B ，由 sin cosBA? 及

15、A 的范围可求 A ，由三角形内角和定理可求 C . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 正弦定理及其运用 18.【答案】 （ ） 答案见 解析 . （ ） 三棱锥 F AEC? 的体积 为 612. 【解析】 （ ） 如图，因为三棱柱 1 1 1ABC ABC? 是直三棱柱，所以 1AE BB? ， 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC的中点，所以 AE BC? ， 因此 AE? 平面 11BBCC ， 而 AE? 平面 AEF ， 所以平面 AEF? 平面 11BBCC . （ ） 设 AB 的中点为 D ，连接 1AD CD， ，因为 ABC 是正三角形， 所以 CD AB? ，又三

16、棱柱 1 1 1ABC ABC? 是直三棱柱，所以 1CD AA? ， 因此 CD? 平面 11AABB ，于是 1CAD? 直线 1AC 与平面 11AABB 所成的角， 由题设知 1 45CAD ?，所以1 3 32A D C D A B? ? ?， 1AD CD? ， 在 1Rt AAD 中， 2211 3 1 2 ,A A A D A D? ? ? ? ?所以11222FC AA?故三棱锥 F AEC? 的体积 1 1 3 2 63 3 2 2 1 2AECV S F C? ? ? ? ? ?【提示】（ ）证明 1AE BB? ， AE BC? ， 1BC BB B? ，推出 AE?

17、平面 11BBCC ，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面 AEF? 平面 11BBCC . （ ）取 AB 的中点 G ，说明直线 1AC 与平面 11AABB 所成的角为 45，就是 1CAG? ，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】柱体、椎体、台体的体积 计算， 面面垂直的判定与性质 19.【答案】 （ ） 见解析 . （ ）2223 ( 5 3 1 ) ( 2 1 , )23 ( 3 1 ) ( 2 , )2nnnn k kSn k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?NN，【解析】 （ ） 由条件 得 ，对任意 n ?N ，有 213 3 , ( )n n na S S n ? ? ? ? N， 因而对任意 n ?N ， 2n? 有 113 3 , ( )n n na S S n ? ? ? ? N，两式相减，得 2 1 13,n n n na a a a? ? ? ? ? 即 2 3 ,( 2)nna a n? ? ， 又 121, 2aa?， 所以 3 1 2 1 1 2 13 3 3 ( ) 3 3a S S a a a a? ? ? ? ? ? ? ?， 故对一切 ,n ?N 2 3nnaa? ? . （ ） 由 （ ） 知， 0na? ， 所以 2 3nnaa? ? ， 于是 .