初中物理竞赛及自主招生专题讲义：第2讲 力与物体的平衡 第3节 共点力的平衡（含解析）.docx

1、第三节第三节 共点力的平衡共点力的平衡 物体的平衡是指物体处于静止状态或匀速直线运动状态，静止和匀速直线运动又叫做物体的平 衡状态。一般地，如果物体做一种极其缓慢的运动，则在任何时刻都可以认为物体静止，在运动中 可认为物体处于平衡状态。本节我们讨论共点力的平衡。 一、共点力一、共点力 共点力是指几个力的作用点在同一点，或者几个力的作用线相交于同一点，如图 4.94 为三个力 共点的情况。 二、共点力的平衡条件二、共点力的平衡条件 当几个共点力平衡时，几个力的作用效果互相抵消，它们的合力0F 合 ，这就是共点力的平衡 条件。众所周知，当两个共点力平衡时，这两个力被称为一对平衡力，它们大小相等、方

2、向相反。 下面我们分析多个力平衡时，各个力之间的关系。 1三力平衡三力平衡 三个力平衡时，这三个力的合力0F 合 ，我们可以先将其中的 1 F， 2 F两个力合成为 12 F，如图 4.95（a）所示，则可等效为物体受 12 F与 3 F作用而平衡，于是 12 F与 3 F必然等大反向且共线。因此， 三个力平衡时， 它们必满足的条件为： 任意两个力的合力与第三个力等大反向。 为了满足 12 F与 3 F共 线，这三个力必然还得是共点力，否则物体不可能处于平衡状态，如图 4.95（b）所示，物体会发生 转动。 也可将图 4.95（a）中的三个力进行平移，如图 4.96 所示，结合力的三角形定则可

3、知，若三个 力的合力为零，则这三个力一定可以首尾相接组成三角形。 特殊地，合力为零的三个力满足 123 FFF，则可理解为这三个力构成了一个极扁的三角形。 例例 1 （上海第 29 届大同杯初赛）如图 4.97 所示，长度为1m的均匀棒AB通过细绳悬挂在光 滑的竖直墙面上的C点处。细绳与AB棒连接于D点，BD的长度为0.35m。不考虑棒的粗细，平 衡时AB棒与墙面之间的夹角13 sin130.225,cos130.974。则细绳CD的长度约为 （ ） 。 A1m B0.8m C0.6m D0.4m 分析与解分析与解 棒静止，必处于平衡状态。对棒受力分析，其受竖直向下的重力G、垂直于墙壁的 弹力

4、N、细线CD的拉力T，这两三个力的合力为零，必是共点力。如图 4.98 所示，P为三个力 作用线的交点，O为棒的中点。则0.5mOB ，0.5m 0.35m0.15mOD，POD，则 sin0.1125mPBOB，cos0.4870mOPOB， 由DOP与DBC相 似 ， 有 0.357 0.153 BCDB OPDO ，因此 7 1.1363m 3 BCOP，在直角PBC中应用勾股定理，有 22 1.1419mPCBCPB， 由 7 3 DC PD ， 且1 . 1 4 1 9 mP DD CP C， 解 得 0 . 7 9 9 3 m0 . 8 mDC 。选项 B 正确。 例例 2 一个半

5、径为R、重为G的重球，用长度为R的细绳悬挂在光滑的竖直墙壁上，悬线的延 长线恰好通过重球的球心，如图 4.99 所示，用T表示绳子对球的拉力，用 N F表示墙对 球的支持力，下列结果中正确的是（ ） 。 A3TG，2 N FG B 2 3 3 TG， 3 3 N FG C 3 3 TG， 1 2 N FG D3TG， 3 2 N FG 分析与解分析与解 小球受细线拉力T、墙壁支持力 N F、重力G三个共点力的作用，则其中任意两个 力的合力与第三个力等大反向， 不妨把T与 N F合成为F， 则F与G等 大反向，如图 4.100（a）所示。也可以将三个力平移，围成一个封闭三 角形， 如图 4.10

6、0 （b） 所示， 由题给条件， 可知细线与墙壁夹角为30， 则 在 力 的 三 角形 中 ，利 用 三 角 比 可得cos30 FG TT ， 解 得 2 3 cos303 G TG ，tan30 N F G ， 3 tan30 3 N FGG ，选 项 B 正确。 例例 3 如图 4.101 所示，两根长度相等的轻绳下端悬挂一个质量为m的物体，上端分别固定在 水平天花板上的M，N点，M，N间距为s，已知两绳所能承受的最大拉力为T，则每根绳的长 度不得短于_。 分析与解分析与解 当细线拉力为最大值T时，物体受重力 mg 和两根细线的拉力T的作用，设细线长 为L，与竖直方向夹角为，则可画出细线

7、拉力T与重力围成的力的三角形如图 4.102 所示，由几 何关系有2cosTmg，cos 2 mg T 。此时所对应的线长即为最短长度。又cos 2 mg T 2 2 2 s L L ，解得 2 2 4 Ts L Tmg 。 2多个力平衡多个力平衡 （1）当物体受N个力作用而平衡时，其中任意一个力与其余的1N 个力的贪力等六反向。且 其中m个力mN的合力与其余的Nm个力的合力等大反向。 例例 4 如图 4.103 所示，处于水平面上的物体在斜向上的拉力F的作用下做匀 速直线运动。则物体所受拉力F与地面摩擦力/的奋力的方向一定（ ） 。 A斜向右上方 B竖直向上 C斜向左上方 D无法确定 分析与

8、解分析与解 物体受四个力的作用：拉力F、重力G、滑动摩擦力f和支持力N，由于不知道 拉力F和滑动摩寧力的具体情况，因此直接求解它们的合力有困难。考虑到这 4 个力的合力为零， F，f的合力与G，N的合力必等大反向，而G，N的合力竖直向下，所以F，f的合力一定 竖直向上，本题正确答案为 B。 （2）物体受力平衡，则物体在任一方向上受力都是平衡的（正交分解法） 。 当物体受到多个力作用时，以这些力的作用点为坐标原点，建立相互垂直的x轴、y轴。将各 个力沿着x轴、y轴的方向分解，则在x轴、y轴轴方向上的所有分力的合力为零，即0 x F 合 ， 0 y F 合 这是处理多个力平衡时非常方便有效的方法。

9、 例例 5 如图 4.104 所示，质量为6kg的物体放在水平面上，在同一竖直平面 内，用大小为20 2N、方向与水平面成45角的 1 F和大小为50N、方向与水 平面成37角的 2 F两个力提它，物体仍静止不动。则物体受到的支持力大小为 _，摩擦力大小为_，摩擦力方向是_。 分析与解分析与解 物体受到五个力的作用：拉力 1 F、拉力 2 F、重力G、支持力N以及静摩擦力f。 由于重力G和支持力在竖直方向，静摩擦力f沿水平方向，因此可选水平方向、竖直方向为坐标轴 将力分解，如图 4.105 所示。由于物体静止，在坚宣和水平方向上，物体所受合力为零，则有： 水平方向： 12 24 25 FfF，

10、解得 21 42 40N20N20N 52 fFF 竖直方向： 12 23 25 FFNG，解得 12 23 60N20N30N10N 25 NGFF 例例 6 如图 4.106 所示，倾角为的斜面上放置一重为G的木块，现将与斜面夹角为斜向上 的拉力F作用在木块上，木块仍静止。求： （1）斜面对木块的支持力N； （2）讨论木块所受的静摩擦力f。 分析与解分析与解 先对物体进行受力分析，物体一定受到的力是拉力F、 重力G、支持力N，但是静摩擦力f的大小、方向均末知，因此不妨假 设静摩擦力f方向沿斜面向下，若求出的f为负值，则说明假设错误，f方向沿斜面向上。画出各 力的示意图如图 4.107（a）

11、所示，把各个力分解为平行于斜面方向和乗直于斜面方向的分力（即正 交分解，未画出坐标轴） ，各力的分力如图 4.107（b）所示。 （1）在垂直于斜面方向上，物体所受力的合力为零，则有sincosNFG，解得 cossinNGF （2）在平行于斜面方向上，物体所受力的合力为零，则有sincosfGF，解得 cossinfFG 现对上式讨论如下： 若cossinFG，则0f ，静摩擦力cossinfFG，方向沿斜面向下。 若cossinFG，则0f ，物体恰不受静摩擦力作用。 若cossinFG，则0f ，静摩擦力sincosfGF，方向沿斜面向上。 三、共点力平衡的几种典型问题三、共点力平衡的几

12、种典型问题 （一）力的动态平衡问题 所谓动态平衡，是指物体在做某种极其缓慢的运动，整个过程中物体受到的力可能都在变化， 由于在运动过程中物体速度趋近于零，故在任一状态，均可认为物体静止，物体受力平衡。下面给 出解决这类问题的几种方法： ， 1公式法公式法 公式法是求出未知力与角度、已知力（如重力）之间的关系，应用数学表达式求解力的变化过 程的方法。 例 7 如图 4.108 所示，用细绳悬挂一个小球，小球在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓 慢地沿圆弧移动到Q点，在这个过程中，绳子拉力T和水平拉力F的大小 变化情况是（ ） 。 AT不断增大，F不断减小 BT不断减小，F不断增大 CT与F都不断

13、增大 DT与F都不断减小 分析与解分析与解 小球受重力G、拉力F、绳子的拉力T的作用，我们可以试 着写出拉力F与绳子拉力T的表达式，由表达式判断它们的大小变化。不妨 设细线与竖直方向的夹角为，画出小球受到的力的示意图，因为小球缓慢移 动，因此三个力的合力为零，可以将拉力F与T合成为 F ，则GF，如 图 4.109 所示。在力的三角形中可得 cos G T ，tanFG。由于拉起小球 的过程中逐渐增大，可知T与F都不断增大。本题正确选项为 C。 例例 8 如图 4.110 所示，人在岸边用跨过定滑轮的绳子拉 船，设水对船的阻力大小不变，在小船匀速靠岸的过程中， 绳的拉力F和小船所受浮力F浮如何

14、变化？ 分析与解分析与解 船匀速前进的过程中受四个力的作用：重力 G、拉力F、浮力F浮和水的阻力f的作用。设绳子与水面 的夹角为，可以将拉力F沿着竖直和水平方向分解，如图 4.111 所示。 则水平方向上有cosFf， 由于f不变， 拉船过程中逐渐增加，cos 减小，因此拉力F遂渐蝤如。竖直方向上有sinFFG 浮 ，由于逐 渐增加，sin逐渐增加，拉力F也逐渐增加，而重力G不变，因此F浮逐 渐变小。综上所述，拉船的过程中，拉力F逐渐增加，浮力F浮逐渐减小。 2图解法图解法 我们知道，如果三个力平衡，则这三个力必组成首尾相接的封闭三角形。所谓图解法，即画出 由力组成的封闭三角形，根据三角形三个

15、边边长的变化，来判断各个力的大小的变化情况。 例例 9 如图 4.112 所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的弹力大小为 1 N，木 板对球的弹力大小为 2 N。 以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴， 将木板从图示位置开始缓慢地 转到水平位置。不计摩擦，在此过程中（ ） 。 A 1 N始终减小， 2 N始终增大 B 1 N始终减小， 2 N始终减小 C 1 N增大后减小， 2 N始终减小 D 1 N先增大后减小， 2 N先减小后增大 分析与解分析与解 如图 4.113（a）所示，小球受三个力作用， 弹力 1 N与 2 N的合力与重力G等大反向，我们可以将 1 N， 2 N和重力

16、G平移，围成一个封闭三角形。如图 4.113（b） 所示，在挡板缓慢转到水平位置的过程中，重力的大小和方 向均不变，弹力的方向不变，而弹力 2 N将逆时针旋转且 2 N 的末端始终落在 1 N的作用线上。可见弹力 2 N逐渐变小，弹 力 1 N逐渐减小，本题正确选项为 B。 例例 10 如图 4.114 所示，重为G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板绕底端逆 时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小 1 F， 2 F如何变化？ 分析与解分析与解 如图 4.115（a）所示，小球受三个力作用，由于小球始终受力平衡，斜面对小球的 弹力 1 F和挡板对小球的弹力 2

17、 F的合力F与重力等大反向。将弹力 1 F， 2 F以及重力G平移，围成封 闭三角形，其中力 1 F始终垂直于斜面，方向不变，力 2 F始终垂直于挡板，在挡板缓慢逆时针转动的 过程中，力 2 F将缓慢逆时针转动，但其末端始终落在 1 F的作用线上，如图 4.115（b）所示。当 2 F由 初始位置转向垂直于 1 F时， 2 F逐渐变小；当 2 F由垂直于 1 F的位置继续逆时针向上转动时， 2 F又逐 渐变大。可见， 2 F垂直于 1 F时， 2 F取得最小值。以上整个过程中， 1 F均为由 2 F的末端指向G起 始端的有向线段，因此 1 F始终减小。 例例 11 用与竖直方向成角 （已知45

18、） 的倾斜轻绳a和水平轻绳b 共同固定一个重为G的小球。现保持小球在原位置不动，放长绳b并使其在 原竖直平面内逆时针缓慢转动，当绳b转过角到 2 的位置时，绳b上的拉 力为 2 T _；绳b再转过角到 3 的位置时，绳b上的拉力为 3 T _。 分析与解分析与解 小球受重力G、轻绳a的拉力 a T和轻绳b的拉力 b T这三个力的作用， 将三个力平移并围成一个封闭三角形，如图 4.117 所示，由于轻绳a与竖直方向夹角 不变， 因此 a T方向不变。 当轻绳b由水平位置转过角时， 轻绳b的拉力 2 T恰与 a T 垂直，因此 2 sinTG。轻绳b继续转过角时，绳b上的拉力 3 T与 1 T恰构

19、成一个 等腰三角形的两个腰，即 31 tanTTG。 由以上几个例子可知， 在物体受三个力而平衡时， 利用图解法可以很方便地判断力的变化情况， 尤其在三个力满足以下条件时，判断起来尤为方便：一个力的大小和方向都不变（恒力） ；一个 力只改变大小而不改变方向；另一个力大小和方向都改变。 3相似三角形法相似三角形法 相似三角形法是指利用力组成的三角形与几何线段组成的三角形相似，数据对应边成比例，判 断各力的变化情况。 例例 12 如图 4.118 所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰 链固定在C点， 另一端B拴牢一根轻绳， 轻绳下端悬挂一重为G的物体。 将另一根轻绳也

20、拴在B点， 上端绕过定滑轮A，用水平拉力F拉这根轻绳，开始时160BCA，现使 BCA缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。在此过程中（不计滑轮质量 及摩擦） （ ） 。 A拉力F大小不变 B轻杆的B端所受轻杆的作用力大小不变 C拉力F逐渐增大 D轻杆的B端所受轻绳的作用力先减小后增大 分析与解分析与解 分析杆上的B点的受力情况，B点除了受两轻绳的拉 力外，还受到杆的弹力作用，由于杆为轻杆且可自由转动，因此杆受 力必沿着杆，否则杆不可能平衡。由此画出B点的受力情况，并将轻 绳拉力F及杆BC对B点的弹力N合成，则合力 F 与G等大反向， 如图 4.119 所示。 观察可知由力组成的三角形与几何线段

21、组成的三角形 相似，可得 GNF ACBCAB ，因为G，AC，BC大小均不变，则 弹力N大小不变；AB变短时，力F变小。本题正确选项为 B。 例例 13 如图 4.120 所示，半径为1.3mR 的半球置于水平地面上，在半球正上方天花板上悬挂 一根细线，细线末端拴一个重为10NG 的小球，小球半径忽略不计。半径顶端距天花板为 0.7mH ，细线长度为1mL 。求小球所受细线的拉力T和大球对小球的弹力 N F。 分析与解分析与解 画出小球的受力示意图，如图 4.121 所示，设细线的拉力T与弹力 N F的合力为F， 则F与重力G等大反向，由图中力组成的三角形与几何线揆组成的三用形相似，可得 N

22、 FGT HRRL ，可解得6.5N N R FG HR ，5N L TG HR 。 4其他动态变化问题其他动态变化问题 在有些力学平衡问题中，平衡状态不明显，需要我们根据力学规律和题给情景去判断物体在什 么条件下会处于平衡状态。下面举出几个例子。 例例 14 如图 4.122 所示，A，B两物体的质量分别为 A m， B m，且 AB mm，整个系统处于 静止状态。滑轮的质量和一切摩擦均不计。如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新 平衡后，绳的拉力F和两滑轮间绳子与水平方向的夹角的变化情况是（ ） 。 AF变大，变大 BF变小，变小 CF不变，变小 DF不变，不变 分析与解分析与解

23、 分析A物体的受力情况，由于A处于平衡状态，可知绳子拉力 A Fm g，F大小 恒定。分析悬挂B物体的滑轮，滑轮受两侧绳子的拉力均为F，则两个拉力F的合力必竖直向上， 沿着绳子夹角的角平分线，因此易得两根绳子与水平方向的夹角均为，如图 4.123 所示，有 2sin B Fm g，即sin 22 BB A m gm Fm ，所以在绳端由Q点缓慢地向左移到P点的过程中，夹 角保持不变，移动过程中绳子与滑轮的位置变化如图 4.123 中的虚线所示。本题正确选项为 D。 例例 15 如图 4.124 所示， 两根竖立的晾衣杆相距为d， 将一长为l ld 的细绳的两端A，B分别固定在左、右两杆的某处。

24、现通过轻质光滑动滑轮 将质量为m的物体挂在绳子上，静止后： （1）求绳子与竖直方向的夹角的表达式（用三角比表示）以及绳子拉 力F的大小。 （2）若保持绳子的A端不动，将绳子的B端在右杆上上下移动，如 何变化？绳子拉力F的大小如何变化？ （3）若保持绳子A，B端在杆上的位置不动，使两杆靠近少许，如何变化？绳子拉力F的 大小如何变化？ 分析与解分析与解 由滑轮两侧绳子拉力相同，且拉力的合力竖直向上，得两侧 绳子与竖直方向的夹角相等，均为。如图 4.125 所示，设滑轮静止时所在 位置为O，延长AO交右侧杆于C点，则由几何关系可知COB为等腰三 角形，因此绳长lAC，在直角ADC中，有sin DCd

25、 ACl ，此即为 角度的表达式。绳子拉力F满足2cosFmg，即 2cos mg F ，结合 22 2 cos1 sin ld l ，得 22 2 mgl F ld 。 （2）由sin d l 可知，当绳子的B端在右杆上上下移动时，并不会改变绳子两端点间的水平 距离（即两杆距离） ，得不变。绳子拉力 2cos mg F 也不会改变。 （3）若绳子的A，B端在杆上的位置不动，则两杆靠近时，绳子两端点的水平距离d变小， 由sin d l ，得角将变小，而cos要变大，因此 2cos mg F 将变小。 本题的结论可以直接套用于类似题目。 （二）整体法与隔离法 在力学问题中，经常会出现两个或多个物

26、体通过某种方式连接或联系在一起，比如，两物体通 过细线、轻杆、弹簧等相连，或者两个物体直接接触而组成一个系统，我们把这样的系统叫做连接 体。处理连接体问题最常用的方法就是整体法与隔离法。下面我们通过两道例题的讲解，帮助同学 们领会这种方法。 例例 16 有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙；OB竖直向下，表面光滑，AO上 套有小球P，OB上套有小球Q，两球质量分别为 1 m和 2 m，两球间由一根质量可忽略且不可伸长 的细绳相连， 并在某一位置平衡， 如图 4.126 所示。 现将P球向左移一小段距离， 两球再次达到平衡。那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对 P球的支持

27、力 P N和细绳上的拉力T的变化情况是（ ） 。 A P N不变，T变大 B P N不变，T变小 C P N变大，T变大 D P N变大，T变小 分析与解分析与解 先对P，Q两球进行受力分析， 并设细线与竖直方向夹角为， 如图 4.127 所示。由于两球均平衡，则可分别对它们列出平衡方程。 对P球： 1 cos P NTm g（竖直方向） sinTf（水平方向） 对Q球： 2 cosTm g（竖直方向） sin Q TN（水平方向） 由以上四个式子，我们可以判断出 P N和T的大小变化情况：当P球左移少许时，角变小， sin变小，cos变大。 由式可得T变小， 再将式代入式， 可得； 21P

28、Nm gm g， 可见 P N 大小不变。像这样具体分析系统内某一个或某几个物体受力情况从而解决问题的方法，我们称之为 隔离法。 下面我们进行下列操作： 将式代入式，可得 21P Nm gm g 比较和两式可得 Q Nf 可见，在和式中并没有出现绳子的拉力T。如果我们把两球及绳子视为一个整 体，绳子的拉力T是整体内部的作用力，我们将其称为内力，而其他的力，比如， 重力、 摩擦力、杆对球的弹力，是整体之外的物体对这个整体内某个成员施加的力， 我们将这样的力叫做整体受的外力。因为这种处理方法不需要考虑整体的内力，因 此干脆用一个点来表示这个整体，画出它所受外力的示意图如图 4.128 所示。由此可

29、 直接得出和两式，从而直接判断出 P N保持不变。但是由于和式中并没有出 现绳子的拉力T，因此，还得继续分析整体内部某一个物体，即将这个物体与其他物体“隔离”出 来，再用一次隔离法，比如，分析小球Q（受力少，方便分析） ，得到和两式，即可顺利分析出 绳子拉力的变化情况。 在处理连接体问题时，若能熟练、灵活地利用整体法和隔离法，则往往能快速、有效地解决问 题。 例例 17 一个挡板固定于光滑水平地面上， 截面为 1 4 圆的柱状物体甲 放在水平面上，半径与甲相等的光滑圆球乙被夹在甲与挡板之间，没有 与地面接触而处于静止状态，如图 4.129 所示。现在对甲施加一个水平 向左的力F，使甲沿地面极其

30、缓慢地移动，直至甲与挡板接触为止。设 乙对鑛板的压力为 1 F，甲对地面的压力为 2 F，在此过程中（ ） 。 A 1 F缓慢增大， 2 F缓慢增大 B 1 F缓慢增大， 2 F不变 C 1 F缓慢减小， 2 F不变 D 1 F缓慢减小， 2 F缓慢增大 分析与解分析与解 将甲、 乙视为一个整体， 凡是其他物体作用在甲上或者乙上的力均为整体受到的力。 结合作用力和反作用的知识，甲对地面的压力和地面对甲的支持力大小均为 2 F，乙对挡板的压力和 挡板对乙的弹力大小均为 1 F。因此整体受到的四个力可以表述为推力F、重力G总、地面对整体的 支持力 2 F和挡板对整体的弹力 1 F。以一个点表示甲、

31、乙组成的整体，画出其受力示意图如图 4.130 （a）所示，则有 2 FG 总，1 FF。可见， 甲对地面的压力 2 F不变。 由于甲缓慢移动过程中推力F 的变化情况未知，因此仅由整体法无法判断出 1 F的变化情況，考虑隔离法。现对乙进行受力分析， 乙受到三个力的作用：重力G乙、挡板对乙的弹力 1 F和甲对乙的弹力F甲乙，三个力组成的封闭三角 形如图 4.130（b）所示。当甲逐渐向左移动时，F甲乙的方向将逐渐顺时针转动，而 1 F方向不变，G乙 的大小和方向均不变，因此由三角形的动态变化可得F甲乙逐渐变小， 1 F逐渐变小。本题正确答案为 C。 例例 18 如图 4131 所示，质量均为m的

32、，两木块叠放在水平面上，受到斜向上与水平 面成角的力F的作用，受到斜向下与水平面成角的力F的作用，两力在同一竖直平面内，此 时两木块保持静止，则（ ） 。 A，之间一定存在静摩擦力 B与水平面之间可能存在静摩擦力 C对的支持力一定等于mg D水平面对的支持力可能大于2mg 分析与解分析与解 将两木块视为一个整体，则整体受重力2mg、地面支持力N以及两个拉力F的作 用如图 4.132（a）所示。由于两个拉力F为平衡力，因此地面对木块的静摩擦力为零，整体竖直 方向上受力平衡， 则可得2Nmg。 两木块之间的摩擦力是整体的内力， 必须采用隔离法进行分析。 现隔离木块，如图 4.132（b）所示，木块

33、受拉力F、重力mg和木坎对木块的支持力 1 N的 作用，可见，木块必受水平向左的摩擦力的作用，大小等于cosF。本题正确选项为 A。 （三）摩擦力参与下的物体平衡 1静摩擦力的求解静摩擦力的求解 静摩擦力作为一种“被动力” ，其大小、方向完全由物体所受其他力的情况決定。在分析物体间 的静摩擦力的作用时，物体的平衡条件成为一把判定静摩擦力大小及方向的金钥匙。我们只需要先 分析出物体所受其他力的情况，再视情况结合假设法，往往可以使得问题迎刃而解。 例例 19 如图 4.133 所示，五本书相叠放在水平桌面上，用水平力F拉中间的书c但未拉动，各 书仍静止。关于它们所受摩擦力的情况，以下判断中正确的是

34、（ ） 。 A书e受两个摩擦力作用 B书b受到一个摩擦力作用 C书c受到两个摩擦力作用 D书a不受摩擦力作用 分析与解分析与解 将a，b作为一个整体，如果a，b整体在水平方向受到摩擦力，就不能处于平衡 状态，同理再单独分析a，可知a，b均不受摩擦力。分析书e时，可以把a，b，c，d作为一 个整体， 易知d与e间存在摩擦力， 把a，b，c，d，e作为一个整体， 可知地面对e必有摩擦力， 本题正确选项为 AD。 例例 20 如图 4.134 所示，在两块竖直的木板之间，有质量均为m的 4 块相同的砖，用两个大小 均为F的水平力压木板，使砖静止不动。则第 2 块对第 3 块砖的摩擦力的大 小为（ ）

35、 。 A0 Bmg C 2 mg D2mg 分析与解分析与解 直接分析 2，3 两块砖之间的静摩擦力有难度，因此可考虑采用整体法，由外向内逐 步分析。将 4 块砖视为一个整体，则整体重力为4mg，由竖直方向上整体受力平衡和对称关系，可 得两木板对 1，4 两块砖的静摩擦力为2mg，方向竖直向上。再将 2，3 两块砖作为整体，可得 2，3 两砖分别受到 1，4 两砖施加的大小为mg、方向竖直向上的静摩擦力。至此，2，3 两块砖均已受力 平衡，2，3 两砖之间的静摩擦力为 0。本题正确答案为 A。值得注憙的是，本题切不可选 1，2 为整 体，得出左边木板对 1 以及 3 对 2 施加的静摩擦力均为

36、mg的错误结论。这是因为 1，2 整体左右两 边并不对称，因此它们所曼的静摩擦力的大小并不相等。 2全反力问题初探全反力问题初探 我们知道，滑动摩擦力与接触面间的弹力 N F、接触面间的动摩擦因数有 关，可用公式表示为 N fF。所谓全反力，就是物体所受滑动摩擦力与物体所 受支持力 N F的合力，用R表示。如图 4.135 所示，设全反力R与支持力 N F的夹 角为，则tan N f F ，可见，对子同一接触面，无论弹力和滑动摩擦力如何变化，虽然R的 大小随之变化，但R的方向恒定。这是一个很有用的结论。实际上，被称为摩擦角。值得注意的 是，一般认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若是静摩擦力与弹力

37、的合成，则R与 N F的夹角应介于 0 和之间，不可能大于。 例例 21 如图 4.136 所示，斜面静止在粗糙的水平地面上，一个小物体恰能沿斜面匀速下滑。若 以斜向下方向的力F向下推小物体，使小物体加速下滑，则（ ）。 A斜面一定静止，且与地面之间没有摩擦力产生 B斜面可能静止，且受到地面向右的静摩擦力 C斜面一定运动，且受到地面向右的摩擦力 D斜面一定静止，且受到地面向右的静摩擦力 分析与解分析与解 斜面体是否受地面的静摩擦力作用，取决于斜面体所受 的其他力的作用，易知斜面除了受竖直方向的重力和支持力外，还受到 小物体对其的作用力。 现在从小物体入手来分析。 小物体能沿着斜面匀速下滑， 则

38、其受力一定平衡。 小物体所受斜面的支持力 N F和滑动摩擦力f的合力，即全反力R一定与它的重力G等大反向。根 据作用力与反作用力的知识， 小物体对斜面的压力 N F 和小物体对斜面体的滑动摩擦力 f 的合力 R （也是全反力）必竖直向下，如图 4.137 所示。这样，斜面体受到的力都 在竖直方向上，水平方向的合力为零，因此斜面体没有水平方向的运动 趋势，不受地面的静摩擦力作用。当用一个斜向下的力F推小物体使得 小物体加速下滑时， 小物体受力不再平衡， 且小物体对斜面的压力 N F 要 变大，对应的小物体对斜面体的滑动摩擦力 f 也增加，但是注意到 N fF ， N F ， f 是等比例增加的，

39、其合力 R 虽然也增加相同的愤 数，但是 R 的方向仍竖直向下，因此，斜面体仍不受地面的静摩擦力作 用。本题正确选项为 A。 例 22 如图 4.138 所示，质量为m的物块与水平面间的动摩擦因数为， 为使物块沿水平面做匀速直线运动，则所施加的拉力F至少应为多大？此时拉 力与水平方向的夹角应满足什么关系式？ 分析与解分析与解 求解力的最小值问题， 我们在前面讲过三个力平衡时， 可以利用动态三角形来处理。 但是本题中物体受四个力： 拉力F、 重力G以及支持力 N F和滑动摩擦力f。 不难想到可将 N F和f 合成为全反力R，并设R与弹力方向夹角为，则tan N f F ，可得R方向不变。至此，我

40、 们就将四个力的平衡问题转化为三个力的问题。 如園 4.139 所示， 画出全反力R、 拉力F以及重力G所围成的力的三角形，由于R方向不变，容易看出当F与R 垂直时，F取得最小值 min F， min sinFG，结合tan，由数学知识得 2 sin 1 ，因此 min 2 1 G F 。结合图 4.139 的几何关系可知，当拉力 F取得最小值 min F时， 拉力与水平方向的夹角满足， 即t a nt a n 。 练习题练习题 1 （上海第 31 届大同杯初赛）木块静止在水平桌面上，下列关于桌面对木块的弹力跟木块受到 的重力之间的关系的说法中，错误的是（ ） 。 A一对作用力和反作用力 B对

41、平衡力 C一对大小相等、方向相反的力 D作用在同一物体上的力 2在四个共点力 1 F， 2 F， 3 F， 4 F的作用下，物体的平衡条件可表述为（ ） 。 A 1 F， 2 F， 3 F， 4 F的合力为零 B 1 F， 2 F， 3 F合力与 4 F大小相等，方向相反 C 1 F， 2 F的合力与 3 F， 4 F的合力相同 D 1 F， 2 F的合力与 3 F， 4 F的合力大小相等，方向相反 3在同一平面内大小不同的三个共点力同时作用在一个物体上，以下各组力中，可能使物体平 衡的是（ ） 。 A2N，3N，6N B1N，4N，6N C35N，25N，25N D5N，15N，15N 4一

42、个物体在许多个共点力的作用下处于平衡状态，现使其中某个力F增大10N，为使物体 仍处于平衡状态，应该采取的措施是（ ） 。 A其他各个力都增大10N B其他各个力的合力增大10N C在力F的反方向加一个大小为10N的力 D将与F反方向的力减小10N 5一个质点受到如图 4.140 所示的五个共点力 1 F， 2 F， 3 F， 4 F， 5 F的作用，则物体所受合 力的大小为（ ） 。 A 4 2F B 5 2F C 45 FF D 45 FF 6 图 4.141 中重物的质量为m， 轻细线AO和BO的A，B端是固定的， 平衡时AO是水平的， BO与水平面的夹角为，AO的拉力 1 F和BO的拉

43、力 2 F的大小是（ ） 。 A 1 cosFmg B 1 cotFmg C 2 sinFmg D 2 sin mg F 7 （上海第 26 届大同杯初赛）某人在车后用80N的水平力推车使车在平直公路上匀速前近， 突然发现车辆前方出现情况，他马上改用120N的水平拉力使车减速，在减速的过程中，车受到的 合力大小为（ ） 。 A40N B80N C120N D200N 8 （上海第 23 届大同杯初赛）小明在广场上游玩时，将一充有氢气的气球系于一辆玩具小汽车 上，并将玩具小汽车放置在光滑的水平地面上，如图 4.142 所示，无风时细 绳处于竖直方向，当一阵风沿水平方向吹向气球时，下列说法中正确的

44、是 （ ） 。 A小汽车可能被拉离地面 B氢气球仍处于静止状态 C小汽车一定沿地面滑动 D小汽车仍处于静止状态 9 （上海第 22 届大同杯初赛）如图 4.143 所示，汽车在平直的公路上做匀速直线运动，则属于 一对平衡力的是（ ） 。 A汽车的牵引力和汽车所受的重力 B汽车所受的重力和汽车对地面的压力 C汽车所受的重力和地面对汽车的支持力 D汽车对地面的压力和汽车所受的摩擦力 10 （上海第 22 届大同杯复赛）如图 4.144 所示，斜面上质量为m的物 体受到方向沿斜面向上、大小为7N的力F作用，物体静止在斜面上，则关 于斜面对物体的静摩擦力，以下说法中正确的是（ ） 。 A方向一定沿斜面

45、向上 B方向一定沿斜面向下 C大小不可能大于7N D大小可能等于7N 11 （上海第 28 届大同杯初赛）假设实心球体在空中下落时受到的空气阻力大小正比于球体半 径与球体速度的乘积。现有实心木球甲、乙和实心铁球丙从高空由静止下落，三球的半径关系为 RRR 甲乙丙，三球的质量关系为m mm 甲乙丙，若三球匀速到达地面的速度分别为v甲，v乙， v丙，则三球落地时的速度大小关系是（ ） 。 Avvv 甲乙丙 Bvvv 甲乙丙 Cvvv 甲乙丙 D无法确定 12 （上海第 31 届大同杯初赛）如图 4.145 所示，形状一样、质量相等A，B的两个楔形物块 放置在水平桌面上，质量均为m的两个物块分别放在

46、A，B斜面上，其中，A斜面上的物体恰好匀 速下滑，而B斜面上的物体静止在斜面上。A，B斜面都始终保持静止，A，B对地面的正压力 分别为 A N， B N，A，B对地面的摩擦力分别为 A f， B f。则下列判断正确的是（ ） 。 A AB NN；0 AB ff B AB NN；0 BA ff C BA NN；0 BA ff D BA NN；0 AB ff 13拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（见图 4.146） 。设拖把头的质量为m，拖杆质量可 以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，某同学用该 拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为。 当拖把头在地

47、板上匀速移动时推拖把的力F的大小为（ ） 。 A sincos mg B sincos mg C cossin mg D cossin mg 14 在上海世博会最佳实践区，江苏城市案例馆中穹形门窗充满了浓郁的地域 风情和人文特色。如图 4.147 所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长 的轻绳通过轻质滑轮悬挂一重物G，现将轻绳的端固定于支架上的A点，另一 端从B点沿支架缓慢地向C点靠近 （C点与A点等高） ， 则绳中拉力大小变化的情 况是（ ） 。 A先变小后变大 B先变小后不变 C先变大后不变 D先变大后变小 15 （上海第 27 届大同杯初赛） 如图 4.148 所示， 两根细绳的

48、一端与质量为2kg的小球A相连， 它们的另一端分别固定在竖直墙面上B，B点两点，若对小球施加一个方向与水平面成60角 的拉力F， 使得细绳都能伸直， 此时，AC恰好水平， 与AB的夹角也为60。下列关于拉力F 大小的说法正确的是（ ） 。 A最大值为20 3N B最大值为 40 3N 3 C最小值为10 3N D最小值为 20 3N 3 16 （上海第 27 届大同杯初赛）如图 4.149 所示，细绳一端固定在竖直墙面上，另一端与一个 密度分布均匀的球相连。现用手托住球，让球紧贴墙面，保持细绳上有一定的张力，让小球处于静 止状态，且细绳与小球的连接点恰好在球心的正上方。考虑在一般情况下，摩擦因

49、数均小于 1， 则在将手拿开的一瞬间（ ） 。 A小球可能会平衡 B小球一定不会平衡 C小球可能受到向下的摩擦力 D小球一定受到向上的摩擦力 17 （上海第 26 届大同杯初赛）如图 4.150 所示，建筑工人施工时，需要将物体运送到高处。 高处的建筑工人通过定滑轮拉动绳子ab，为防止物体与墙壁相碰，站定在地面上的另一个建筑工人 还需要用绳子bc拉住物体， 使物体与墙壁的距离始终保持不变， 则在物体缓慢上升的过程中 （ ） 。 A绳ab上的拉力增大，绳bc上的拉力减小 B绳ab上的拉力减小，绳bc上的拉力增大 C两根绳上的拉力均增大 D两根绳上的拉力均减小 18如图 4.151 所示，不可伸长的轻质柔软细绳AO和BO的节点为O，在O点悬吊重物G， 绳OA处于水平，重物G处于平衡。如果保持O点位置不变，使A点逐渐上移至C点。随着A点逐 渐上移，细绳AO的拉力将（ ） 。 A逐渐增大 B逐渐减小 C先减小再增大 D先增大再减小 19 （上海第 20 届大同杯复赛）如图 4.152 所示，晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根等高的 竖直杆上，绳子的质量及绳子与衣架挂钩间的摩擦均忽略不计。原来衣服保持静止，一阵恒定的风 吹来，衣服受到水平向右的恒力而发生滑动，并在新的位置保持静止。则相比原来，在新的位置时 （