2020-2021学年沪科版数学八年级下册17.3：一元二次方程根的判别式课件.ppt

1、173一元二次方程根的判别式 一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式： 二次项系数二次项系数 ，一次项系数，一次项系数 ，常数项，常数项 a b c 2 0(0)axbxca 解一元二次方程的方法：解一元二次方程的方法： 因式分解法因式分解法 配方法配方法 公式法公式法 直接开平方法直接开平方法 一元二次方程的根的情况怎样确定？一元二次方程的根的情况怎样确定？ 一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？ acb4 2 没有实数根 两个相等的实数根 两个不相等的实数根 0 0 0 ) 04( 2 4 2 2 acb a acbb x 一元二次方程的根的情况：一元二次方程

2、的根的情况： 1当当 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根. 2当当 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根. 3当当 时，方程没有实数根时，方程没有实数根. 反过来：反过来： 1当方程有两个不相等的实数根时，当方程有两个不相等的实数根时， 2当方程有两个相等的实数根时，当方程有两个相等的实数根时， 3当方程没有实数根时，当方程没有实数根时， 2 40bac 2 40bac 2 40bac 2 40.bac 2 40.bac 2 40.bac 问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？ （1） 2 2570 xx ； （2

3、） 2 30 xx ； （3） 2 423xkxk . 提示：步骤：第一步第一步：写出判别式；第二步；第二步 根据的正负写结论. 解： （1）因为=b2-4ac=52-427=-310，即，即 a 5 4 时，时， 52520 2 a x a ； 当当=0，即，即 a= 5 4 时，时，x=2； 当当 5 4 时，方程无解时，方程无解. 课时训练课时训练 1一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是的根的情况是 ( ) A有一个实数根有一个实数根 B有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D没有实数根没有实数根 D 2方程方程x2-3x+1

4、=0的根的情况是的根的情况是( ) A有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C 没有实数根没有实数根 D只有一个实数根只有一个实数根 A 3下列一元一次方程中下列一元一次方程中，有实数根的是有实数根的是 ( ) Ax2-x+1=0 Bx2-2x+3=0 Cx2+x-1=0 Dx2+4=0 C 4关于关于x的方程的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根有实数根，则下列则下列 结论正确的是结论正确的是 ( ) A当当k=1/2时时，方程两根互为相反数方程两根互为相反数 B当当k=0时时，方程的根是方程的根是x=-1 C当当k=1时时，方程两根互为倒

5、数方程两根互为倒数 D当当k1/4时时，方程有实数根方程有实数根 D 课时训练课时训练 5若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根有实数根，则则m 的取值范围是的取值范围是 ( ) Am1 B m1且且m0 Cm1 D m1且且m0 D 7若关于若关于x的方程的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根有两个相等的实数根，则则k= 2 6已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根有实数根， 则则k的取值范围是的取值范围是 ( ) Ak1 Bk1 Ck1 A 解：解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m

6、+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 (m-1)2=1，即，即 m12， m20(二次项系数不为二次项系数不为0，舍去，舍去) 当当m=2时，原方程变为时，原方程变为2x2-5x+30， x3/2或或x=1 8关于关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0， 其根的判别式的值为其根的判别式的值为1，求，求m的值及该方程的根的值及该方程的根 例例1 若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两 个实数根，则m的取值范围是 （ ） A m 0 B m 0 C m 0 且m1 D m 0且m1 解：由题意，得 m-10 =（2m)2-4（m-1）

7、m0 解之得，m0且m1，故应选D D 练习1 选择题 1 不解方程，判断方程02x2-5=15x的根的情况是 （ ） A )有两个不相等的实数根 B) 有两个相等的实数根 C) 没有实数根 D)无法确定 2 若关于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数 根，则k的取值范围是（ ） A)k 15 B)k 15 C) k 15 且k1 D)k15 A C 练一练练一练 例例2 求证：不论求证：不论m取何值，关于取何值，关于x的一元二次的一元二次 方程方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相都有两个不相 等的实数根等的实数根 证明：证明：=-（m+7）2-49（m-3） =

8、m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36 不论不论m取何值，均有（取何值，均有（m-11）20 （m-11）2+360，即，即0 不论不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根取何值，方程都有两个不相等的实数根 小结：将根的判别式化为一个小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正非负数与一个正 数的和数的和的形式的形式 练习 一、填空题 1、关于x的方程x+2kx+k-0的根的情况是 _ 2 关于的一元二次方程（a+c）x2+bx+ =0有 两个相等的实数根，则ABC为 三角形 二、求证：不论a为任何实数，2x2+3(a-1)+a2-4a- 7=0必有两个

9、不相等的实数根 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 4 ca 直角直角 例3 已知关于的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等 的实数根x 1 x2 求k的取值范围 是否存在实数k，使方程的两个实数根 互为相反数？ 如果存在，求k的取值；如果不存在，请说明理由 解：根据题意，得 =（2k-1）2-4k20 又 k20 解得k 且K0 当k0且k0时，方 程有两个不相等的实 数根 4 1 不存在 假设存在方程的两个实数根x 1 x2 互为相反数 则x 1 + x2 =- =0 k20 2k-1=0 k= k= 与k 且k0相矛盾 k不存在 2 12 k k 1 2 2 1 4 1

10、 练习练习 是否存在这样的非负整数m，使关于的一元二次方 程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个实数根，若存在，请 求出的值；若不存在，请说明理由 解：不存在这样的非负整数m 理由：要使关于x的一元二次方程m2x2-(2m- 1)x+1=0有两个实数根 则m20 =-(2m-1)20 解得m 且 m0， 而题中要求m为非负整数，因此这样的非负整数m 不存在. 4 1 达标练习达标练习 一、选择题：一、选择题： 1、已知关于、已知关于x的一元二次方程的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，有实数根， 则则k的取值范围是（的取值范围是（ ） ）k ）k ）k且且k0 ）k 且且k0 2、若关

11、于、若关于y的方程的方程ay -4y+ 0有实数根，则有实数根，则a的的 最最 大整数值为（大整数值为（ ） A）0 B） 4 C）0或或4 D）3 D B 二、证明二、证明 若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x-m+1=0没有实没有实 数根，求证：关于数根，求证：关于y的方程的方程y2+my+12m=1一定一定 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 提示：将提示：将y2+my+12m=1化为一化为一 般形式般形式 y2+my+12m-1=0 例例2在一元二次方程在一元二次方程 中)0(0 2 acbxax 则方程异号与若,ca ( ) A有两个不相等的实数根有两个不相等的

12、实数根 B有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C没有实数根没有实数根 D根的情况无法根的情况无法 例例3设关于设关于x的方程，的方程， 2 2240 xmxm 证明：不论证明：不论m为何值，这个方程为何值，这个方程 总有两个不相等的实数根总有两个不相等的实数根 2 4424mm 解解： 2 42112mm 2 41120m 所以，不论所以，不论m为何值，这个方程总有两为何值，这个方程总有两 个不相等的实数根个不相等的实数根 2 4816mm 【例例4】 已知：已知：a、b、c是是ABC的三边的三边，若方程若方程 有两个等根有两个等根，试判断试判断ABC的形状的形状 解：利用解：利用 0，得出

13、，得出a=b=c ABC为等边三角形为等边三角形 典型例题解析典型例题解析 提示：可以先换元：令 t=|x|，转化为关于 t 的一 元二次方程，求 t，再求 x. 317 () 2 t 舍负号 317 () 2 x 舍正号 min 12-2 317317 9-174317x （） 提示：先降幂，将一元二次方程转化为一元一次方 程，再求 x. 当a+b0时，x=-1 提示：先利用判别式求 k 的范围，再化简. 2 3 3 k 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 1 1一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情况：根的情况： (1)(1)当当0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根； (2)(2)当当=0=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根； (3)(3)当当0 0时，方程无实数根时，方程无实数根 2 2根据根的情况，也可以逆推出根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题的知识主要用来求取值范围等问题 1 1求判别式时，应该先将方程化为一般形式求判别式时，应该先将方程化为一般形式 2 2应用判别式解决有关问题时，前提条件为应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程方程是一元二次方程”，即二次项系数不为，即二次项系数不为0 0