安徽省皖江名校联盟2021届高三下学期2月开年考文科数学试题（解析版）.doc

1、数学数学(文科文科) 一一 选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 若集合 1 0 ,lg0, 2 Mx x xNxx 则MN （ ） A. 1 , 2 B. 1 ,1 2 C. (0，1) D. 1 0, 2 【答案】B 2. 若复数z满足2 1 3 (z ii i 是虚数单位),则z （ ） A. 3 1 22 i B. 3 1 22 i C. 31 22 i D. 31 22 i 【答案】A 3. 函数 ln, 10 e ,0

2、1 ax xx f x x 剟 (,aR e是自然对数的底数)且 12f，则 4 1 log 3ff e （ ） A. 1 3 B. 1 3 C. 1 3 D. 1 3 【答案】A 4. 若直线 1ymx被圆 22 1 4 xy截得的弦长是 5 , 5 则实数m（ ） A. 19 B. 21 3 C. 11 3 D. 2 【答案】D 5. 数列 n a中 * 11 211 ,2 nnn nNn aaa 且. 20202022 22 , 35 aa则 2023 a（ ） A. 7 2 B. 2 7 C. 1 3 D. 3 【答案】C 6. 执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ） A. 4

3、B. 8 C. 20 3 D. 112 15 【答案】C 7. 某校对数学特长生进行了一次培训，培训结束后进行了一次考核，为了解本次培训活动的效果，从 AB 两个实验班随机各抽取 10名学生的考核成绩， 如茎叶图所示.将学生的考核成绩分为两个等级， 如下表所示， 现从样本考核等级为优秀的学生中任取两人，则两人来自同一实验班的概率是（ ） 考核成绩 60,85 86,100 考核等级 合格 优秀 A. 3 5 B. 2 5 C. 3 10 D. 1 5 【答案】B 8. 已知圆锥顶点为A，过母线ABAC的截面面积是2 3.若ABAC的夹角是60，且AC与圆锥底 面所成的角是30，则该圆锥的表面积

4、是（ ） A. 2 2 B. 2 36 C. 4 26 D. 4 36 【答案】D 9. 设0， 将函数 sin4 3 f xx 的图象向左平移 3 个单位长度， 再向下平移 4个单位长度， 得到函数 ( ) yg x=的图象.若 g x在区间, 12 3 上单调递增，在区间 5 , 3 12 上单调递减，则 （ ） A. 3 6 2 k ，kN B. 3 6 2 k ，kN C. 3 2 D. 3 【答案】C 10. 在ABC中，角 , ,A B C的对边分别是, , ,a b c向量 2,sin,mbcC向量sin ,2nBcb，且满足 2 sin ,m naA则角A （ ） A. 6 B

5、. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】C 11. 设aR，e为自然对数的底数，函数 esin x f xax在0,内有且仅有一个零点，则a（ ） A. e B. 1 C. 4 e D. 4 2e 【答案】D 12. 斜率为k的直线l与抛物线 2 :3C yx交于 ,A B两点，若|4,AFBF 则k的取值范围是（ ） A. 1515 , 55 B. 1515 ,00, 55 C. 1515 , 33 D. 1515 ,00, 33 【答案】A 二二 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 若一组数据 123 , n x x xx

6、的平均数是 30，另一组数据 112233 , nn xy xy xyxy的平均数是 70,则第三组数据 123 41,41,41,41 n yyyy的平均数是_. 【答案】161 14. 若直线220 xy与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两交点在x轴上的射影落在该双曲线的两个焦 点上，则该双曲线的离心率是_. 【答案】 2 15. 设点O是ABC外接圆的圆心， 3AB ，且 4AO BC .则 sin sin B C 的值是_. 【答案】 1 3 16. 如图 1，在一个正方形 1234 S S S S内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起 来

7、，使 1 S， 2 S， 3 S， 4 S重合于点S，且折叠后的四棱锥SABCD的外接球的表面积是16(如图 2)，则 四棱锥SABCD的体积是_. 【答案】16 3 三三 解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17. 为响应习近平总书记在党的十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召， 某市旅游局筹划共投 入 4千万元，对全市各旅游景区的环境进行综合

8、治理，并且对各旅游景区收益的增加值作了初步的估计， 根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如图所示频率分布直方图，由 于操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0开始计数的. （1）旅游局在投入 4千万元治理经费下，估计全市旅游景区收益增加值的平均数为多少万元(以各组的区 间中点值代表该组的取值)； （2）若旅游局投入不同数额的经费，按照以上的研究方法，得到以下数据： 投入的治理经费 x(单位：千万 元) 1 2 3 4 5 6 7 收益的增加值 y(单位：万元) 2 3 2 7 7 9 将第（1）问结果填入表格后，数据显示 x 与 y 之间存在线性相关关系.

9、在优化环境的同时，旅游局还谋划使 全市旅游景区收益的总额至少增加 10万元，试估计在此目标下，旅游局应该对全市旅游景区至少投入多少 千万元的治理经费？(答案精确到 0.01). 参考公式：回归直线方程 ybxa中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 11 222 11 ()() , () nn iiii ii nn ii ii xxyyxnx y baybx xxxnx y 【答案】 （1）5(万元)； （2）旅游局对全市旅游景区至少投入 8.12 千万元治理经费. 18. 已知数列 n a的前n项和为 * 11 ,1,1, nnn SaamSnNmR 且1m . （1）证明： n a是等比数

10、列； （2）若 63 9,SS求m的值和数列 n a的通项公式. 【答案】 （1）证明见解析； （2）1m， 1* 2, n n anN . 19. 在等腰梯形ABCD中， / /,2,ABCD ABDC E为AB的中点， 将 ADE与BEC分别沿EDCE、 向上折起，使AB、重合于点.P （1）在折后的三棱锥PDCE中，证明:PECD； （2）若60DEC，且折后的三棱锥PDCE的表面积是3，求三棱锥PDCE的体积. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 12 . 20. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率是 2 , 2 点F是椭圆E的左焦点，点A为椭圆E的右

11、顶 点，点B为椭圆E的上顶点，且 21 2 ABF S . （1）求椭圆E方程； （2）设点,0P m为椭圆E长轴上的一个动点，过点P作斜率为 b a 的直线l交椭圆E于,S T两点，证明 22 :|PSPT为定值. 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2）证明见解析. 21. 已知函数 2 ln,f xxaxx其中0.a （1）讨论 f x的单调性； （2）若当2x时 3 1 ,1 2 fxx恒成立，求a的取值范围. 【 答 案 】（ 1 ） 当 1 8 a 时 ， 函 数 f x在0,内 单 增 ； 当 1 0 8 a， f x在 11 811 8 0, 4 , 4 aa aa

12、内单增,在 11 811 8 , 44 aa aa 内单减；当0a 时， f x在(0， 1)内单增，在 1,内单减； （2） 7ln2 0, 4 . 22. 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 3sin k k xt yt (t为参数)以坐标原点为极点，x轴非负半轴 为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同.曲线 2 C的极坐标方程为2 cos8 sin50. （1）当1k 时， 1 C是什么曲线？ （2）当4k 时，求 1 C与 2 C的公共点的直角坐标. 【答案】 （1）曲线 1 C以坐标原点为中心，焦点在y轴上，长轴长为 6，短轴长为 4 的椭圆； （2） 1 3 , 2 4 . 23. 设aR， 3f xxxa. （1）当2a时，解不等式 1f x ； （2）若对于任意实数x，不等式 2f xa恒成立，求a的取值范围. 【答案】 （1）( ) ,0-?； （2）3,.