湘教版 高中数学2-2（理科）电子书（课本 教材）.pdf

数 学 Mathematics 湖 南 教 育 出 版 社 普通高中课程标准实验教科书 选修2 - 2 （理科） 这一段课程， 包括导数及其应用、 推理与证明、 数系的扩充和复数的引入 微积分的创立是数学发展中的里程碑， 它的发展 和广泛应用开启了向近代数学过渡的新时期， 为研究 变量和函数提供了重要的方法和手段 运动物体的瞬 时速度， 曲线上一点处的切线斜率， 函数的瞬时变化 率， 到了数学世界本是一回事， 就是导数！ 导数的引 入使数学变得更有力更迷人 回顾过去： 大量的几何 问题和物理问题， 数学家本来要一个一个地辛苦地研 究 在微积分的方法和工具的威力之下， 这些问题摧 枯拉朽般地被解决 展望前程： 微积分的出现， 开创 了数学的新时期， 一系列内容丰富、 思想深刻、 应用 广泛的数学分支在微积分的基础上诞生成长 我们将通过大量的实例， 理解导数思想的奥妙， 感受数学思想的力量， 体会微积分的产生对人类文化 发展的价值 数学的力量和美， 来自对万物万象冷静的分析、 深入的探究和严谨的思维 推理与证明， 是数学的基 本思维过程， 也是学习和生活中常用的思维方式 通 过经验和直觉， 用归纳、 类比的方式来推测和发现有 用的概念或可能的结论， 叫作合情推理 数学中许多 重大创新， 如导数概念的提出， 定积分概念的提出， 感受数学思维的力与美 1 合情推理功不可没 根据已有的事实和正确的结论 （包括定义、 公理、 定理等）， 按照严格的逻辑法则得 到新的结论， 叫作演绎推理 合情推理和演绎推理紧 密联系， 相辅相成， 使数学生机勃勃， 使数学严谨有 力 数学欢迎一切有用有趣有创意的概念， 但它归根 结底只接受经过一丝不苟的演绎推理证明了的结论 数学的正确性必须由逻辑证明来保证 数学证明的方 法多姿多彩， 有直接证明的分析法、 综合法、 数学归 纳法， 也有间接证明的反证法、 同一法等 灵活使用 这些方法解决形形色色的数学问题， 往往需要多年的 专业磨练； 而结合学过的知识体会数学证明的特色并 对这些方法有所了解， 则是人人皆有机会体验的美的 享受 这种感受将留下言之成理、 论证有据的习惯， 使人终生受益 从自然数到有理数， 从有理数到实数， 数系的扩 充体现了数学的发现和创造过程， 也体现出数学发生 发展的客观需求和背景 复数的引入， 是数系的又一 次扩充 这是合情推理与演绎推理在数学中一次成功 的合作 复数的引入， 为数学增添了一系列华丽、 深 刻、 有用的篇章， 祝愿你将来有更多机会欣赏这人类 文化典藏中的瑰宝！ 2 书 书 书 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 导数及其应用 第4章 求积问切难题多， 瞬速极值奈若何 群贤同趋坎坷路， 双雄竞渡智慧河 百年寻谜无穷小， 万代受益财富多 撑起数学参天树， 人类精神奏凯歌 如何求曲线上任一点处的切线， 如何求运动物体在每 一时刻的瞬时速度， 这些问题好像是无穷无尽， 永远做 不完的 但是， 用微积分的方法， 成千上万的问题被一举 突破， 一个新的数学领域出现了 所以恩格斯认为， 微积 分的发现是人类精神的伟大胜利 书 书 书 导数概念 问题探索 求自由落体的瞬时速度 伽利略通过实验和推理发现了自由落体的运动定律：物体下落 的距离狊和所用的时间狋的平方成正比如果距离单位用米，时间单 位用秒，实验测出近似地有函数关系： 狊（）狊狋 狋 直接让物体从空中下落，它落得很快，不便观察测量伽利略是 让小球从光滑的斜面上滚下来进行观察测量的 伽利略发现，小球在斜面上滚下的距离狊（）和所用的时间狋（） 之间，有函数关系狊（）狊狋犪 狋 ，这叫作小球的运动方程 这里，犪 是与斜面的坡度有关的常数 伽利略看到，重力作用下在斜面上向下滚的小球，每时每刻都 滚得更快但是，他只知道如何计算在一个时间段里的平均速度，却 不知道如何计算小球在某一个时刻的速度，即瞬时速度 要计算物体的速 度，就要知道物体在一 段时间里走过的一段距 离，用时间除距离得到 速度，也叫平均速度 如果只看某一个时刻， 物体在这个时刻只有一 个位置，时间和距离都 是，通常的速度概念 不是失去了意义吗？ 所以，伽利略面临 的困难是深刻的，是概 念上的困难 一百多年之后，牛顿给出了瞬时速度的概念和计算方法，回答 了伽利略的问题 牛顿是怎么想，怎么做的呢？ 如果小球在某个斜面上向下滚动的运动方程是 狊（）狋狋 ， 要计算小球在开始运动时的速度，不妨先看看它在到 之 间的平均速度，即在区间， 上的平均速度： 狊（ ） 狊（） （） 同样，可以计算出， ， ，上的平均速度， 也可以计算出 ， ，上的平均速度： 第章 导数及其应用 时间区间间隔平均速度（） ， ， ， ， ， 时间区间间隔平均速度（） ， ， ， ， ， 仔细观察，时间间隔越来越小的过程中，对应的平均速度似乎 越来越接近一个数值，就是 但是，时间间隔的缩小是一个无穷无尽的过程有限的几次计 算，能得出 这个确定的结果吗？ 用字母代替数，可以把问题看得更清楚： 设犱是一个绝对值很小的非的数，在，犱或犱，这 段时间里，小球运动的平均速度是 （）犱 犱 犱犱（） 犱 （）犱（） 当犱越来越接近于时，这个平均速度确实越来越接近于 用数学语言来说，就是“时间段的长度趋于时，这段时间内的 平均速度以 为极限” 这个极限数值，就叫作小球开始运动后时的瞬时速度 用这个办法，不难计算小球在任意时刻狋的瞬时速度：先计算出 时刻狋和狋犱之间这个时间段运动的距离，除以这个时间段的长度犱， 求出平均速度并把结果化简，再让犱趋于，就得到时刻狋的瞬时速度 计算过程是： （）求平均速度： 狊狋（）犱（）狊狋 犱 狋 （）犱 狋 犱 狋犱 （）在平均速度表达式狋犱中让犱趋于，得到狋所以， 小球在时刻狋的瞬时速度是狋 类似地，从自由落体的运动方程（）狊狋 狋 出发，可以求出它 下落狋时的瞬时速度为 狋 导数及其应用 第章 例运动员从 高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中， 不同时刻的速度是不同的设起跳狋后运动员相对水面的高度为 （）犎狋 狋 狋 ， 用代数推导方法计算在时运动员的速度（瞬时速度） ，再用数值 计算列表观察检验计算的结果 解计算步骤是： （）求，犱上的平均速度： 犎（）犱犎（） 犱 犱 犱 犱 犱 （）在平均速度表达式 犱 中让犱趋于，得到 所以，运动员在时的瞬时速度是 下面是数值计算的结果： 时间区间间隔平均速度（） ， ， ， ， ， 时间区间间隔平均速度（） ， ， ， ， ， 从计算结果看出，当时间间隔越来越小时，运动员的平均速度 趋于 ，这和上面的代数推导的结论是一致的 现在，把上面解决问题的思路和方法总结一下： （）开始提出的问题是：知道了运动方程，求某个时刻的瞬时速度； （）但是我们还不知道如何用数学语言描述瞬时速度； （）所以我们面临两个任务，要建立瞬时速度的数学概念，并 且找出计算方法； （）要计算时刻狋的瞬时速度（）狏狋，先求出时刻狋和时刻狋犱 之间这个时间段的平均速度狏狋，（）犱； （）再在狏狋，（）犱中让犱趋于，得到的极限值就叫瞬时速度（）狏狋 这样，既有了瞬时 速度的数学概念，又有 了计算它的方法 若物体的运动方程为狊犳（）狋，则物体在任意时刻狋的瞬时速度 狏（）狋，就是平均速度狏狋，（）犱 犳狋 （）犱犳（）狋 犱 在犱趋于时的极限 第章 导数及其应用 练习 在本节例题中，求出运动员在任意时刻狋的瞬时速度 在本节例题中，求出： （）运动员起跳时刻的瞬时速度； （）运动员到达最高点时的瞬时速度； （）运动员入水时的瞬时速度 习题 学而时习之 匀速运动物体的运动方程是狊（）狊狋狊狏狋，求物体在时刻狋的瞬时速度 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离犺（）与时间狋（）之间的函数 关系为犺狋 求狋时此球在垂直方向的瞬时速度 温故而知新 根据竖直上抛物体的运动方程（）犺狋犺狏 狋 犵 狋 ，计算该物体在时刻狋的瞬时 速度再应用物理学的能量守恒原理，分析运动过程中动能和势能的相互转 化，说明用数学方法计算出的瞬时速度是否和物理现象相符合 设犳（）狓是增函数，请分别指出犱或犱时犳狓 （）犱犳狓（ ） 犱 的符号 导数及其应用 第章 问题探索 求作抛物线的切线 自由落体的速度方向总是向下的 竖直上抛的物体，例如跳水运动员跳水的运动过程中，速度的 方向开始向上，后来向下 斜抛或平抛的物体，例如炮弹的运动过程中，速度的方向时时 都在变化在物理中知道，这时物体运动的轨线是抛物线，而速度的 方向线正是抛物线的切线 但是，怎样作出抛物线的切线呢？ 在历史上，解析几 何的主要开创人笛卡儿 曾经研究过这个问题 但他所用的方法比较特 殊我们希望寻求更一 般更简便的方法 遇到一个问题而不 知道如何解答时，不妨 想想过去做过的类似的 问题看哪些经验适用 于解决新的问题 过去，我们作过圆 的切线 从特殊过渡到一 般，是思考数学问题的 好方法 这样的设想如果成 功，既建立了一般曲线 的切线的概念，又指出 了作切线的途径 圆的切线垂直于半径，这条性质不适用于抛物线 图 但是，圆的切线和割线之间的某些联 系却对我们富有启发性 如图 ，犃，犅是圆周上两点，过 犃犅可以作一条割线当点犅趋于犃时， 割线就趋于切线的位置 对于一般曲线，也可以照此办理 图 是曲线狔犳（）狓的图象犘， 犙是曲线上的两个点，直线犘犙是曲线的割线让点犙趋于犘，割线 犘犙如果趋于一条直线，这条直线不就是曲线在点犘处的切线吗？ 图 下面回到作抛物线切线的具体问题上来，用实际操作检验我们 的设想是否有效 第章 导数及其应用 图 是抛物线狔犳（）狓狓的图象犘，（）是图象上的一 个点为了过点犘作出该抛物线的切线，只要求出这条切线的斜率 就可以了 有时候，解题的困 难，在于不知道要求的 东西究竟是什么，也就 是问题没有说清楚把 问题说清楚了，往往就 有了解决的办法 图 在抛物线上再取一个点犙犱，（）犱（） ，作割线犘犙当犱 趋于时，点犙趋于点犘，割线犘犙趋于所要作的切线，割线犘犙的 斜率也就趋于切线的斜率 过犙作狔轴的平行线，过犘作狓轴的平行线，两线交于点犚， 则在 犙犚犘中，斜边犘犙的斜率就是犙犘犚的正切，即 犙犚 犘犚 （）犱 犱 犱， 让犱趋于，得到过点犘的切线的斜率为 根据直线的点斜式方程，得到切线方程为 狔狓， 这说明我们的设想是对的 同样的方法，可以求出这条抛物线上任一点犘狌，狌（） 处的切线的 斜率具体的步骤为： （）取不同于犘的点犙狌犱，狌（）犱（） ，根据犘，犙两点坐 标，计算出直线犘犙的斜率为狌 （）犱 狌 狌（）犱狌 狌犱； 导数及其应用 第章 （）在犘犙的斜率狌犱中让犱趋于，得到点犘狌，狌（） 处切 线斜率为狌 所以，过点犘狌，狌（） 的切线的方程为狔狌狓狌 在解决上述问题的 过程中，我们实际上得 到了根据函数的解析式 计算函数曲线上任一点 处切线斜率的途径 因此，对函数狔犳（）狓的曲线上的任一点犘狌，犳（）（）狌，求点犘 处切线斜率的方法是： （）在曲线上另取一点犙狌犱， 犳狌 （）（）犱，计算直线犘犙的 斜率 犽狌，（）犱 犳狌 （）犱犳（）狌 犱 ； （）在所求得的犘犙的斜率的表达式犽狌，（）犱中让犱趋于，如 果犽狌，（）犱趋于确定的数值犽（）狌，则犽（）狌就是曲线在点犘处的切线 的斜率 例求二次函数狔犳（）狓犪狓犫 狓犮（犪，犫，犮为常数，犪 ）图象上点犘狌，犳（）（）狌处切线的斜率 解（）在图象上取另一点犙狌犱， 犳狌 （）（）犱，计算直线犘犙 的斜率 犽狌，（）犱 犳狌 （）犱犳（）狌 犱 犪 狌犱犪犫 （）在所求得的斜率表达式中让犱趋于，表达式趋于犪 狌犫 所以，所求的切线的斜率犽（）狌犪 狌犫 例初速大小为狏（）的炮弹，如果发射方向和地面所成的 角为，则炮弹所经过的曲线在不计空气阻力时为抛物线以炮弹到 发射点的水平距离为自变量狓（） ，炮弹到发射点的垂直距离狔（） 可以看成是狓的函数，其表达式为狔犳（）狓狓 犵狓 狏 ，其 中犵 ，是重力加速度根据例的结果，求犳（） 狓的曲线上 任一点（狓，犳（狓） ）处切线的斜率 解对照例，犪 犵 狏 ，犫 ，狌狓，故所求斜率为 犽（）狓 犵狓 狏 第章 导数及其应用 练习 判断曲线狔狓 在点犘， （）处是否有切线，如果有，求出切线的方程 设犘狓，狔（）是曲线狔狓 上的一点，写出曲线在点犘处的切线的方程 习题 学而时习之 求曲线狔狓 在点犘， （）处的切线的斜率 计算抛物线狔狓 狓上任一点犘狌， （）狏处的切线的斜率，并求出抛物线 顶点处切线的方程 温故而知新 已知曲线狔狓 ，试在曲线上找一点犘狓 ，狔（），使得曲线在点犘处的切 线平行于直线狔狓 用“超级画板”或具有类似功能的作图软件，取适当的单位和比例，在 计算机屏幕上作出例中的抛物线，在抛物线上任取一点犘，使用例中求出 的斜率作过犘的直线，如图 所示拖动点犘或改变炮弹的出射角，观察 直线与曲线是否相切 图 导数及其应用 第章 书 书 书 导数的概念和几何意义 前面我们研究了两类问题，一类问题来自物理学，涉及平均速 度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率 两类问题来自不同的学科领域，但却有着相同的数学模型 两类问题，都涉及下列几件事： （）一个函数犳（）狓，可以是运动方程，也可以是曲线方程 （）函数犳（）狓在狓狌处步长为犱的差分犳狌（）犱犳（）狌可以是 物体在某个时段中运动的距离，也可以是曲线上两点纵坐标的差 （）上述差分和步长犱的比犳狌 （）犱犳（）狌 犱 可以是物体在某个 时段的平均速度，也可以是过曲线上两点的割线的斜率 从数学上看，它是函数犳（）狓在两点处的函数值之差和对应的自 变量之差的比，通常叫作犳（）狓在狓狌处步长为犱的“差商” （）上述差商在步长趋于时，如果趋于一个确定的数值，这个 数值在前一类问题中就是运动物体在时刻狌的瞬时速度，在后一类 问题中就是曲线在点狌，犳（）（）狌处切线的斜率 在研究函数的增减 性时，多次用到函数 犳（）狓的差分犳狌 （）犺 犳（）狌那时为了方便， 曾约定犺这样，差分 犳狌 （）犺犳（）狌可以看 成是函数犳（）狓在区间 狌，狌犺上的改变量 这里用到的差分 犳狌 （）犱犳（）狌，步长 犱可正可负当犱时， 要考虑的其实是函数 犳（）狓在狌犱， 狌上的 改 变 量 犳 （）狌 犳狌 （）犱，对应的自变 量的改变量就是狌 狌（）犱犱两个改 变 量 的 比 等 于 犳（）狌犳狌 （）犱 犱 犳狌 （）犱犳（）狌 犱 由此 可见，不论步长犱是正 数还是负数，差商的表 达式都一样，都可以写 成犳狌 （）犱犳（）狌 犱 在前面研究过的具体情形，差商可能是平均速度或割线的斜率 一般地，差商表示的是函数在自变量的某个区间上的平均变化率， 它反映了自变量在某个范围内变化时，函数值变化的总体的快慢 在各种实际问题中，常常用函数的平均变化率对事物的发展过 程进行评价 图 例某市环保局在规定的排污达 标的日期前，对甲、乙两家企业进行检 查，其连续检测结果如图 所示（图 中犠（）狋，犠（）狋分别表示甲、乙企业在 时刻狋的排污量）试问哪个企业治污效 果较好？ 第章 导数及其应用 解在时刻狋处，虽然犠狋（ ） 犠狋（ ），即排污量相等，但是 考虑到一开始有犠狋（ ） 犠狋（ ），所以有 犠狋（ ）犠狋（ ） 狋狋 犠狋 （ ） 犠狋（ ） 狋狋 即 犠狋（ ）犠狋（ ） 狋狋 犠狋 （ ） 犠狋（ ） 狋狋 这说明在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大若照此趋势 发展下去，企业甲很可能较快地达到规定的排污标准 在上面的问题解答中，平均治污率的表达式也可以使用前面使 用的函数的差商的表达式例如，记犱狋狋，狋狋犱，则 犠狋（ ）犠狋（ ） 狋狋 犠狋 （）犱犠狋（ ） 犱 当然，如果让狋狋犱，则有 犠狋（ ）犠狋（ ） 狋狋 犠狋 （ ） 犠狋（）犱 犱 这些表达式尽管形式不同，实际的意义并无区别，都是函数的差分 和对应的步长的比 图 例投石入水，水面会产生圆形波纹区， 且圆的面积随着波纹的传播半径狉的增大而增大 （如图 ）计算： （）半径狉从犪增加到犪犺时，圆面积相对 于狉的平均变化率； （）半径狉犪时，圆面积相对于狉的瞬时变化率 解（）半径狉从犪增加到犪犺时，圆的面积从犪增加到 犪（）犺 ，其改变量为 犪（）犺 犪 ，而半径狉的改变量为犺 两者的比就是所求的圆面积相对于半径狉的平均变化率： 犪（）犺 犪 犺 犪 犺犺（） 犺 犪（）犺 （）在上面得到的平均变化率表达式中，让狉的改变量犺趋于 ，得到半径狉犪时，圆面积相对于狉的瞬时变化率为 犪 企业的平均治污率，圆面积相对于半径狉的平均变化率，还有前 导数及其应用 第章 面讨论过的运动物体的平均速度，以及函数曲线的割线的斜率，从 数学上看，无非都是函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比， 即差商，因此它可以看成是函数在某个区间上的平均变化率 让所考虑的区间的一个端点犪固定，当区间的长度趋于时，如 果平均变化率趋于一个极限值，这个极限值便可看成是函数在点犪 处的瞬时变化率 这样看来，瞬时速度、切线的斜率以及例中所求的圆面积相对 于半径的瞬时变化率，都是函数的瞬时变化率 函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商 定义设函数犳（）狓在包含狓的某个区间上有定义，如果比值 犳狓 （）犱 犳狓 （ ） 犱 在犱趋于时（犱）趋于确定的极限值，则称此极 限值为函数犳（）狓在狓狓处的导数（ ）或微商，记作犳狓（ ） 这时我们就说犳（）狓在点狓处的导数存在，或者说犳（）狓在点狓处 可导或可微 用更多的符号代替语言，上述定义可以简单地表述为： 犳狓 （）犱 犳狓 （ ） 犱 犳狓（ ）（犱） 这个表达式读作“犱趋于时 犳狓 （）犱 犳狓 （ ） 犱 趋于犳狓（ ） ” 注意到狓是犳（）狓的定义区间中的任意一点，因此也可以就是狓，而 犳 （）狓也是狓的函数，叫作犳（）狓的导函数（ ）或一阶导数 导函数 犳 （）狓也是函数，如果 犳 （）狓在狓处又可导，则它的导数叫作 犳（）狓的二阶导数，记作 犳 （）狓类似地，可以定义三阶导数犳（）狓等等 例在初速度为零的匀加速直线运动中，路程狊和时间狋的关系为 狊狊（）狋犪 狋 （）求狊关于狋的瞬时变化率，并说明其物理意义； （）求运动物体的瞬时速度关于狋的瞬时变化率，说明其物理意义 解（）狊关于狋的瞬时变化率就是函数狊（）狋犪 狋 的导数狊 （） 狋按 第章 导数及其应用 定义计算有狊狋 （）犱（）狊狋 犱 犪狋（）犱 犪 狋 犱 犪狋 犱犱 （） 犱 犪 狋犪 犱 当犱时，犪 狋犪 犱 犪 狋，因此（）狊 狋犪 狋 从物理上看，狊关于狋的瞬时变化率犪 狋就是运动物体的瞬时速度 （）运动物体的瞬时速度关于狋的瞬时变化率，承上就是函数 （）狊 狋犪 狋的导数（）狊 狋按定义计算有 狊 狋（）犱（）狊 狋 犱 犪狋 （）犱犪 狋 犱 犪 犱 犱 犪 当犱时，犪还是犪，所以（）狊 狋犪它是运动物体的加速度 练习 求函数狔狓 狓在区间 ，上的平均变化率 设质点做直线运动，已知路程狊关于时间狋的函数为狊狋 狋求从狋 到狋犱之间的平均速度，并求出当犱，犱 与犱 时的平均速 度，再求在狋时的瞬时速度 习题 学而时习之 求一次函数狔犽 狓犫的瞬时变化率 在初速为狏的匀加速直线运动中，路程犔和时间狓的关系为犔（）犔狓狏 狓犪 狓 （）求犔关于狓的瞬时变化率，并说明其物理意义； （）求运动物体的瞬时速度关于狓的瞬时变化率，说明其物理意义 当圆的半径狉变化时，圆面积犛关于狉的瞬时变化率有什么几何意义？ 当圆的直径犇变化时，圆周长犆关于犇的瞬时变化率有什么几何意义？ 导数及其应用 第章 导数的运算 为了求运动物体的瞬时速度，要计算函数的导数 为了作出曲线在一点处的切线，要计算函数的导数 为了知道和评价事物变化的快慢和方向，要计算函数的导数 在科学研究和工程技术活动中，大量问题的解决离不开导数的 计算 函数导数的计算是如此有用，如此重要这一节我们就来学习 导数的计算方法和有关的运算公式 几个幂函数的导数 让我们根据函数的导数的定义，先计算几个简单的函数的导数 最简单的函数是常数函数，即犳（）狓犮 这时，犳狓（）犱犮，犳狓（）犱犳（）狓犮犮，所以 犳狓（）犱犳（）狓 犱 犱 当犱时，当然还是，这表明 犳 （）狓（）犮 即（）犮（） 想一想，式子（） 的实际意义是什么？ 若犳（）狓狓，则犳狓（）犱狓犱，于是 犳狓（）犱犳（）狓 犱 犱 犱， 即（）狓（） 几何意义是，直线狔狓的斜率为 若犳（）狓狓 ，你会求它的导数吗？ 前面我们计算过一般二次函数犳（）狓犪狓犫 狓犮（犪，犫，犮为 常数，犪）的导数，得到 犳 （狓）犪 狓犫只要分别让数组 第章 导数及其应用 犪，犫，（）犮取值，（）犮和，（）就可得到前面的公式（）和（） 当取值，（）时，就可得到 狓（ ） 狓（） 若犳（）狓狓 ，则 犳狓 （）犱犳（）狓 犱 狓（）犱 狓 犱 狓 犱 狓犱 犱 犱 狓 犱狓犱 当犱时，上式趋于狓，所以 狓（ ） 狓 （） 若犳（）狓 狓，则 犳狓（）犱犳（）狓 犱 狓犱狓 犱 狓狓（）犱 狓狓（）犱 犱 狓狓（）犱 当犱时，上式趋于 狓 ，所以 （ ） 狓狓 （） 若犳（）狓 槡 狓，则 过去我们常常把分 母有理化，这一次反其 道而行之，要把分子有 理化才解决问题！ 犳狓（）犱犳（）狓 犱 狓槡犱 槡 狓 犱 狓槡犱 槡 （）狓 狓槡犱 槡 （）狓 犱 狓 槡犱 槡 （）狓 狓槡犱 槡 狓 当犱时，上式趋于 槡 狓，所以 槡（ ） 狓 槡 狓 （） 我们将上述个公式总结列表如下，以后可以直接使用 常数函数导数为：（）犮 恒等函数导数为：（）狓 狓（ ） 狓 狓（ ） 狓 （ ） 狓狓 槡（ ） 狓 槡 狓 导数及其应用 第章 例立方体的棱长狓变化时，其体积关于狓的变化率是立方体 表面积的多少倍？ 解立方体的体积（）犞狓狓 因为（）犞 狓狓（ ） 狓 ，所以其体积关于狓的变化率为 狓 ， 是立方体表面积狓的 倍 例写出过点犃，（）并且和曲线 狓狔 相切的两条直 线的方程 解经验算知点犃不在曲线 狓狔 上设所求的切线和曲线 切于点犙狌，（）狏，由狌 狏容易求出狏 狌 把该曲线的方程写成函数狔 狓的形式，则 狔 狓 可见在点 犙处切线的斜率为犽 狌 计算线段犃犙的斜率，得到方程狏 狌狌 ，将狏 狌代入并整 理，得到关于狌的二次方程： 狌 狌 解得狌或狌，说明这样的切线可能有两条 继续计算，对应的两个切点的坐标为，（）和， （） ；两 条切线的斜率分别为和 ，对应的点斜式方程分别为狔 狓（）和狔 狓（），如图 求曲线上点犘处的 切线与求过点犘的切线 有区别，在点犘处的切 线，点犘必为切点，过 点犘的切线，点犘未 必为切点 图 第章 导数及其应用 练习 正方形的边长狓变化时，其面积关于狓的变化率是正方形周长的多少倍？ 求曲线狓 狔在点（ ，）处的切线的方程 习题 学而时习之 质点的运动方程是狊狋 （ 狊的单位：，狋的单位：）求质点在狋时的速度 求过点犘，（）且与曲线狔狓 相切的直线方程 曲线狔狓 在点犘处的切线斜率为求点犘的坐标及切线方程 温故而知新 写出过点犃，（）并且和曲线 狓狔 相切的两条直线的方程 把狔看成狓的函数，计算曲线狓狔 在点犃， （）处切线的斜率再把狓看 成狔的函数进行计算，对比两次计算的结果 根据用定义求犮，狓，狓 ，槡 狓的导数的过程，请用类似的方法求出狓 ， 狓 槡的 导数 导数及其应用 第章 一些初等函数的导数表 我们已经知道了狓，狓 ，狓， 狓和槡 狓这几个幂函数的导数 那么，一般的幂函数狓的导数如何计算呢？ 还有，我们学过的指数函数、对数函数和三角函数，它们的导 数又如何计算呢？ 数学家早已解决了这些函数的求导问题将来你学习更多的数 学知识，也会掌握这些函数求导的道理现在，把这些函数的求导公 式列表如下，便于应用： 一些基本的初等函数导数公式表 （公式对函数定义域内的自变量狓有效） （）犮 狓（ ） 狓 （） （ ） 狓狓 犪（ ） 狓犪狓 犪 （犪，犪） （）狓 狓 犪（）狓 狓 犪 （犪，犪） （）狓 狓 （）狓 狓 （）狓 狓 例用导数公式表计算： （） 狓 槡 （ ） ；（ ） （）狓；（）（ ） 狓 解（） 狓 槡 （ ） 槡狓 （） （）狓 狓 第章 导数及其应用 （）（ ） 狓狓 例设函数狔 狓的图象为曲线犾 （）在哪些点的切线斜率为？在哪些点的切线平行于狓轴？ （）试分别求此曲线在点犃，（），犅 ，（） ，犆 ，（） 处 的切线方程 解（）因 狔 狓，故该曲线在点（狓， 狓）处的切线斜 率为 狓 由于方程 狓的解集为狓狓犽，犽犣，因此当狓为 的整数倍时，即在点（犽，） （犽犣）处，该曲线的切线斜率为 由于 狓的解集为狓狓犽 ，犽 犣，因此当狓为 加 上的整数倍时，即在点犽 ，（） 或犽 ，（） （犽犣） 处，该曲线的切线平行于狓轴 （）记犽犃，犽犅，犽犆分别为曲线犾在点犃，犅，犆处切线的斜率 由导数的几何意义，得 犽犃 ，犽犅 ，犽 犆 由直线方程的点斜式，得曲线犾分别在点犃，犅，犆处的切线方 程为 狔犽犃狓（）狔狓； 狔犽犅狓 （） 狔； 狔犽犆狓 （） 狔 练习 求下列函数在指定点处的导数 （）犳（）狓狓，狓；（）犳（）狓 狓，狓 导数及其应用 第章 曲线狔 狓在哪些点的切线斜率为？在哪些点的切线平行于狓轴？ 习题 学而时习之 用导数公式表求下列函数的导数： （）狔狓；（）狔 ； （）狔狓；（）狔 狓 求下列函数在指定点处的导数 （）犳（）狓狓，狓；（）犳（）狓 狓，狓 曲线狔狓 狀（ 狀是正整数）在狓处的导数为 ，求狀的值 求下列曲线在指定点处的切线方程 （）狔槡狓，狓；（）狔 狓，狓 多 知 道 一 点 导数的另一种记号 比较导数公式表中的公式和，我们发现，对同一个表达式， 自变量的位置不同，求导的结果就不同 这就带来了一个问题，如果在实际问题中，求导的表达式狌（ ） 狏 该如何计算呢？是按幂函数求导，还是按指数函数求导？ 这个问题暴露了用一撇表示导数这个记号的缺点这个由微积 分学的创建者之一牛顿引进的记号虽然简单，但不能指出是关于哪 个变量求导所以有时并不方便 第章 导数及其应用 微积分学的另一位创建人莱布尼茨，使用记号 犳 狓来表示函数犳 关于变量狓的导数这里 狓是一个不可分割的运算符号，不要当成 分数被求导的函数可以写在横线的上方，也可以写在右面例如： 狓 狓 狓， 狓 狓 狓等等 用这种记号，表达式狌狏的求导问题就可以表示清楚了： 狌 狌狏是 把狌看成变量求导， 狏 狌狏是把狏看成变量求导，所以 狌 狌狏狏 狌 狏 （狏） ， 狏 狌狏狌 狏 狌（ 狌） 想一想， 狓 狌狏等于什么？ 例 狓 狓对不对？是不是约分的结果？ 解 狓 狓就是（） 狓，所以 狓 狓 ，是对函数狔狓求导，不是约分 例 犪犪 狓 （）犪 狓 （）（） ？ 解被求导的表达式等于犪，故 犪犪 狓 （）犪 狓 （）（） 犪 犪犪 例 狓 狌狓？ 解 狓 狌狓狌 狓 狌 导数及其应用 第章 想一想，三个或更 多函数的和函数的导数 计算，类似的法则该如 何表示呢？ 导数的运算法则 我们已经知道了几个函数的导数从这几个函数出发，经过加 减乘除，可以得到更多的函数相应地，从这几个函数的导数出发， 能不能经过加减乘除得到更多函数的导数呢？ 前面计算过函数狔狓 的导数，也计算过函数狔 狓 的导 数（那时用的自变量是狋，狋相当于这里的狓） ，后者的导数恰好是前 者导数的倍，这里是不是有更一般的规律呢？犉（）狓 犮 犳 （）狓的导 数，是不是 犳 （）狓和数犮的乘积呢？ 由于犮 犳狓 （）犱 犮 犳 （）狓 犱 犮犳狓 （）犱犳（）狓 犱 ，则当犱趋于时， 犳狓（）犱犳（）狓 犱 趋于 犳 （）狓，因而前面的式子应当趋于犮 犳 （）狓由此 可见，函数常数倍的导数，等于函数导数的同样的常数倍，这个运 算法则写成公式就是 犮 犳 （）（）狓 犮 犳 （）狓（） 前面计算过函数犎（）狋 狋 狋 的导数检查一 下，结果是不是等于 狋 ， 狋和 这三项的导数之和呢？ 一般地，和函数狌（）狓犳（）狓犵（）狓的导数，等于两函数的导数和 验证如下： 由于狌狓 （）犱狌（）狓 犱 犳狓 （）犱犵狓（）犱犳（）狓犵（）（）狓 犱 犳狓 （）犱犳（）狓 犱 犵狓 （）犱犵（）狓 犱 ， 因此，当犱趋于时，犳狓 （）犱犳（）狓 犱 和犵狓 （）犱犵（）狓 犱 分别趋于 犳 （）狓和 犵 （）狓，其和就趋于 犳 （）狓 犵 （）狓写成公式就是 犳（）狓犵（）（）狓 犳 （）狓 犵 （）狓（） 类似地有 第章 导数及其应用 犳（）狓犵（）（）狓 犳（）狓犵（）狓 例求曲线狔犳（）狓狓狓狓和直线狓交点处切 线的斜率犽 解求狔对变量狓的导数： 狔 犳（）狓狓 狓 将狓代入得 犳 （） 所以曲线和直线狓交点处切线的斜率犽 本例的直观示意图 如下： 犳（）狓犵（） （）狓 犳 （）狓犵 （）狓 设犉（）狓犳（）狓犵（）狓，则 犉狓 （）犱犉（）狓 犱 犳狓 （）犱犵狓（）犱犳（） 狓犵 （）狓 犱 犳狓 （）犱犵狓（）犱犳狓（） 犱犵 （）狓犳狓（） 犱犵 （）狓犳（） 狓犵 （）狓 犱 犳狓 （）犱犵狓（）犱犳狓（） 犱犵 （）狓 犱 犳狓 （） 犱犵 （）狓犳（） 狓犵 （）狓 犱 犳狓（）犱犵狓 （）犱犵（）狓 犱 犵（）狓犳狓 （）犱犳（）狓 犱 当犱趋于时，犳 狓（）犱趋于犳（）狓，犵狓 （）犱犵（）狓 犱 趋于 犵 （）狓， 犳狓（）犱犳（）狓 犱 趋于 犳 （）狓 因此得到犉 （）狓犳（）狓犵 （）狓犵（）狓犳 （）狓，即运算法则为 犳（） 狓犵 （）（）狓 犳 （）狓犵（）狓犳（）狓犵 （）狓（） 例求函数犳（）狓狓 狓的导数 解 犳 （）狓狓 （）狓狓（ ） 狓狓 （）狓 狓 狓狓 狓 设犉（）狓 犳（）狓 （犳（）狓） ，则 犉狓（）犱犉（）狓 犱 犳狓（）犱 犳（）狓 犱 犳（）狓犳狓（）犱 犳（） 狓犳狓（）犱 犱 导数及其应用 第章 让犱趋于，得到（）犉 狓犳 （）狓 犳（）（）狓 ，即运算法则为 犳（） （ ） 狓 犳（）狓 犳（）（）狓 （） 例求函数 狓的导数 解 （ ）狓 （）狓 （）狓 狓 狓 把上述（） 、（）结合起来，得到两函数之商的求导法则： 犵（）狓 犳（） （ ） 狓 犳（） 狓犵 （）狓犵（）狓犳 （）狓 犳（）（）狓 （犳（）狓） 例用两函数之商的求导法则求 狓 狓的导数 解设犵（）狓 狓，犳（）狓 狓，则 狓 （ ）狓 犵（）狓 犳（） （ ） 狓 犳（） 狓犵 （）狓犵（）狓犳 （）狓 犳（）（）狓 狓 （）狓 狓 （）狓 狓 狓 狓 狓 狓 结果和前面公式表中的 狓的导数一致 若狔犳（）狌，狌犵（）狓，如何计算犳犵（）（）狓 呢？ 我们无法用现有的方法求函数狔犳犵（）（）狓的导数下面，我们先分 析这个函数的结构特点 若设狌犵（）狓，则狔犳（）狌，从而狔犳犵（）（）狓可以看成是由狔 犳（）狌和狌犵（）狓经过“复合”得到的即狔可以通过中间变量狌表示为 自变量狓的函数，即 狔犳（）狌犳犵（）（）狓 我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的， 例如，函数狔狓（）由狔狌 和狌 狓“复合”而成，等等 一般地，对于两个函数狔犳（）狌和狌犵（）狓，如果通过变量狌，狔可 第章 导数及其应用 以表示成狓的函数，那么称这个函数为函数狔犳（）狌和狌犵（）狓的复合 函数（ ） ，记作狔犳犵（）（）狓 下面我们以狔狓（）为例来考虑怎样求复合函数的导数 由于狔狓（） 狓 狓 狓 狓， 所以 狔 狓 狓 狓 狓 狓 狓（） 狓（） 又狔狓（）可看成由函数狔狌 和狌 狓复合而成的函数， 其中狌是中间变量 由于狔狌狌（ ） 狌 ，狌 狓，因而 狔狌表示狔对狌的导 数，狌狓表示狌对狓的 导数 狔狌狌狓狌 狌 狓（） 狔 一般地，复合函数狔犳犵（）（）狓的导数和函数狔犳（）狌，狌犵（）狓的 导数间的关系为 狔狓狔狌狌狓 即狔对狓的导数等于狔对狌的导数与狌对狓的导数的乘积 例求下列函数的导数： （）狔狓（）；（）狔 狓 解（）函数狔狓（）可以看作函数狔狌 和狌 狓的复合 函数根据复合函数求导法则有 狔狓狔狌狌狓 狌（ ） 狓（） 狌 狓 （）函数狔 狓可以看作函数狔 狌和狌 狓的复合 函数根据复合函数求导法则有 狔狓狔狌狌狓 （ ） 狌 狓（） 狌 狓 导数及其应用 第章 为便于应用，现将上述几个公式列表如下： 导数运算法则表 犮 犳 （）（）狓 犮 犳 （）狓 犳（）狓犵（）（）狓 犳（）狓犵（）狓 犳（）狓犵（）（）狓 犳（）狓犵（）狓 犳（） 狓犵 （）（）狓 犳（）狓犵（）狓犳（）狓犵（）狓 犳（） （ ） 狓 犳（）狓 犳（）（）狓 （ 犳（）狓） 犵（）狓 犳（） （ ） 狓 犳（） 狓犵 （）狓犵（） 狓犳 （）狓 犳（）（）狓 （ 犳（）狓） 若狔犳（）狌，狌犵（）狓，则狔狓狔狌狌狓 练习 求下列函数的导数： （）犳（）狓狓狓；（）（）犛狋 狋狋 ； （）犵（）狓 狓狓 ； （）（）犠 狌 狌槡 狌 计算： （）狓（ ） 狓； （）狓 狓 狓 狓狓 （）； （） 狓 （ ） 狓； （） （）（）狓 ； （）狓（）（） ； （） （）狓 （） 狓 ； （） 狓 狓 （）狓；（） 狓（） 狓 （） 判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正： （）狓（） 狓（） 狓狓（） 狓 狓 （） ； （） 狓 狓 （） 狓 （）狓狓 狓 狓 第章 导数及其应用 习题 学而时习之 求下列函数的导数： （）犳（）狓狓；（）（）犎狋狋 狋； （）犵（）狓狓 狓； （）（）犉狌狌槡狌； （）狆（）狓狓狓狓狓；（）（）犜狓 狓 狓； （）（）狌狓 狓 狓； （）犳（）狓 狓 狓 计算： （）狓 （）狓；（） 狓 （）狓； （）狓 （）狓；（） 狓 （ ）狓； （）犃 狋 （）（） 狋； （）狌（ ） 狌（ ） （）狌； （）犪 狓 （）狓（） 狓； （）狓狓（） 物体的运动方程是狊 狋 狋 ，求物体在狋时的速度 设曲线狔狓 上一点 狓，狔（）处的切线犾平行于直线狔狓 （）求切点狓，狔（） ； （）求切线犾的方程 温故而知新 已知犘狌，（ ）狏是曲线狓（） 狔狓上的一点写出该曲线在点犘处的切线的方 程，并分别求出切线斜率为时和切线平行于狓轴时对应的切点犘的坐标 在阻力作用下的一个振动物体的运动方程为狊（）狊狋 犪 狋 犽 狋 （）犫，求物体 的瞬时速度和瞬时加速度（瞬时速度的瞬时变化率，就是物体的瞬时加速度） 导数及其应用 第章 书 书 书 数学实验 用计算机求函数的导数和作切线 由于求导运算在科技活动中有广泛的应用，人们编写了根据函 数表达式计算导数的程序，便于快捷地求出函数的导数 用“超级画板”可以计算函数的导数 打开“超级画板” ，在左面工作区下方单击“程序”按钮（图 ） ，打开程序工作区要计算函数狓 犪狓关于狓的导数，就在 英文输入状态下键入： 犇 犻 犳 犳（狓犪狓，狓） ； 然后按 键执行，则程序返回计算的结果： 图 这里“ （ ， ） ； ”是求