2015年高考文科数学北京卷-答案解析163wenku.com.docx

1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (北京卷 ) 数学 (文科 )答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】 ? ?| 3 2A B x x? ? ? ?.故选 A. 【提示】在数轴上，将集合 A， B 表示出来，如图所示： 由交集的定义可得， AB为图中阴影部分 ， 即 ? ?| 3 2xx? ? ? . 【考点】集合的交集运算 2.【答案】 D 【解析】 由已知得，圆心为 (1,1) ，半径为 2 ，圆的方程为 22( 1) ( 1) 2xy? ? ? ?.故选 D. 【提示】由题意可得圆的半径为 2r? ，则圆的标准方程为 22( 1) (

2、 1) 2xy? ? ? ?. 【考点】圆的标准方程 3.【答案】 B 【解析】根据偶函数的定义 ( ) ( )f x f x? ， A 选项为奇函数， B 选项为偶函数， C 选项定义域为 (0, )? 不具有奇偶性， D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选 B. 【提示】 函数 2siny x x? 为奇函数， 2cosy x x? 为偶函数， lnyx? 与 2xy ? 为非奇非偶函数 . 【考点】函数的奇偶性 4.【答案】 C 【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为 1600 16900 9? ；设样本中老年教师的人数为 x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教

3、师的比例相等，即 320 169x ? ，解得 180x? . 【提示】根据题意，可先求出 总体中青年教师与老年教师比例， 由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等即可得出结论。 【考点】分层抽样 【 ;百万教育资源文库 】 5.【 答案】 B 【解析】初值为 3a? ， 0k? ， 进入循环体后 ， 32a? ， 1k? ； 34a? ， 2k? ； 38a? ， 3k? ； 316a? ， 4k? ；此时 14a? ，退出循环，故 4k? . 【提示】 通过循环框图，计算循环变量的值，当 14a? 时结束循环，输出结果即可 . 【考点】程序框图 6.【答案】 A 【解析

4、】 | | | | c o s ,a b a b a b? ? ?， cos , 1ab? ? ? ， 即 ,0ab? ? ， /ab.又当 /ab时， ,ab?还可能是 ， | | | |a b a b? ? ，所以 “ | | | |ab a b? ”是“ /ab”的充分而不必要条件 .故选 A. 【提示】 | | | | co s ,a b a b a b? ? ?，由已知得 cos , 1ab? ? ，即 ,0ab? ? ， /ab.而当 /ab时， ,ab?还可能是 ，此时 | | | |a b a b? ，故 “ | | | |ab a b? ”是“ /ab”的充分而不必要条件 .

5、 【考点】充分必要条件，向量共线 7.【答案】 C 【解析】四棱锥的直观图如图所示： SC? 平面 ABCD ， SA 是四棱锥最长的棱， 2 2 2 2 2 3S A S C A C S C A B B C? ? ? ? ? ?. 【提示】 由三视图可知， SC? 平面 ABCD ， SA 是四棱锥最长的棱，通过勾股定理即可得出结论 . 【考点】三视图 8.【答案】 B 【解析】由题意知，耗油量 48V? 升，所以这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 48 100 8600?升，故选 B. 【提示】 因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 48V? 升

6、 .而这段时间内行驶的里程数 3 5 6 0 0 3 5 0 0 0 6 0 0S ?千米 . 【考点】平均耗油量 第 卷 【 ;百万教育资源文库 】 二、填空题 9.【答案】 1? 【解析】复数 i(1 i) i 1 1 i? ? ? ? ? ?，其实部为 1? . 【提示】直接 进行计算即可得到答案 . 【考点】复数的乘法运算与实部 10.【答案】 2log5 【解析】 3 1218? ?， 123 3 1?， 22lo g 5 lo g 4 2 3? ? ?，所以 2log5 最大 . 【提示】将数化成简单的数并与 1 比较 即可得到答案 . 【考点】比较大小 11.【答案】 4 【解析

7、】由正弦定理，得 sin sinabAB? ，即3236sinB? ，所以 2sin 2B? ，所以 4B ? . 【提示】 由正弦定理，得 sin sinabAB? ， 将已知数值代入 即可得到答案 . 【考点】正弦定理 12.【答案】 3 【解析】由题意知 2c? ， 1a? ， 2 2 2 3b c a? ? ? ，所以 3b? . 【提示】 由题意知 2c? ， 1a? ，代入 2 2 2 3b c a? ? ? 即可得到答案 . 【考点】双曲线的焦点 13.【答案】 7 【解析】由题图可知，目标函数 23 33zbx? ? ? ?， 因此当 2x? ， 1y? ， 即在点 A 处时

8、z 取得最大值 7. 【提示】 由题图可知，将 2x? ， 1y? 代入 目标函数 23 33zbx? ? ? ?即可得到答案 . 【考点】线性规划 14.【答案】乙 数学 【解析】由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙 . 由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学 . 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前； 由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后

9、的人数比较少 . 【考点】散点图 三、解答题 15.【答案】（） ( ) s i n 3 c o s 3 2 s i n 33f x x x x? ? ? ? ? ?， ()fx? 的最小正周期为 2 . （） 20 3x? ， 33x? ? ? ? .当 3x?， 即 23x? 时 ， ()fx取得最小值 . ()fx? 在区间 20,3?上的最小值为 2 33f ? . 【提示】（）先利用倍角公式 2sin2x 降幂，再利用两角和的正弦公式将 ()fx化简 ， 使之化简成( ) sin ( )f x A x B? ? ?的形式 ，最后利用 2T ? 计算函数的最小正周期 ； （）将 x 的

10、取值范围代入，先求出 3x? 的范围，再数形结合得到函数的最小值 . 【考点】倍角公式，两角和的正弦公式，三角函数的周期，三角函数的最值 16.【答案】（）设等差数列 ?na 的公差为 D.因为 432aa?，所以 2d? .又因为 1210aa? ，所以12 10ad? ，故 1 4a? ，所以 4 2 ( 1 ) 2 2 ( 1 , 2 , )na n n n? ? ? ? ? ? ； （）设等比数列 ?na 的公比为 q .因为 238ba?， 3716ba?，所以 2q? ， 1 4b? ，所以 616 4 2 128b ? ? ? .由 128 2 2n?，得 63n? ，所以 6b

11、 与数列 ?na 的第 63 项相等 . 【提示】（）利用等差数列的通项公式，将 1a ， 2a ， 3a ， 4a 转化成 1a 和 d ，解方程得到 1a 和 d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可； （） 先利用第一问的结论得到 2b 和 3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将 2b 和 3b 转化为 1b 和 q ，解出1b 和 q 的值，得到 6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出 n 的值，即项数 . 【考点】等差数列，等比数列的通项公式 17.【答案】（）从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中，有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率

12、可以估计为 200 0.21000? ； （）从 统计表可以看出，在在这 1000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品 .所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 100 200 0.31000? ? ； 【 ;百万教育资源文库 】 （）与（）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200 0.21000? ，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 100 200 300 0.61000? ?，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100 0.11000? ，所以，如果顾客购买了甲，

13、则该顾客同时购买丙的可能性最大 . 【提示】 （） 由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数 200，计算出概率； （） 先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的人数 100+200，再计算概率； （） 由统计表读出顾客 同时购买甲和乙的人数为 200，顾客同时购买甲和丙的人数为 100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为 100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论 . 【考点】统计表，概率 18.【答案】（）因为 O ， M 分别为 AB ， VA的中点，所以 OM VB .又因为 VB? 平面 MOC ，所以 VB平面 MOC ； （）因为 AC BC? ， O

14、为 AB 的中点，所以 OC AB? .又因为平面 VAB? 平面 ABC ，且 OC? 平面 ABC ，所以 OC? 平面 VAB ，所以平面 MOC? 平面 VAB . （）在等腰直角三角形 ACB 中， 2AC BC?， 所以 2AB? ， 1OC? ，所以等边三角形 VAB 的面积3VABS? ? .又因为 OC? 平面 VAB ，所以三棱锥 -CVAB 的体积等于 1333VABOC S? ? ?.又因为三棱锥V ABC? 的体积与三棱锥 C VAB? 的体积相等，所以三棱锥 V ABC? 的体积为 33 . 【提示】（）在三角形 ABV 中，利用中位线的性质得 OM VB ，最后直

15、接利用线面平行的判定得到结论； （） 先在三角形 ABC 中得到 OC AB? ，再利用面面垂直的性质得 OC? 平面 VAB ，最后利用面面垂直的判定得出结论； （） 将三棱锥进行等体积转化，利用 C VAB V ABCVV? ，先求出三角形 VAB 的面积，由于 OC? 平面 VAB ，所以 OC OC 为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可 . 【考点】线线平行，线面平行，面面平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直，三棱锥的体积公式 19.【答案】（）由 2( ) ln2xf x k x? ， ( 0)k? 得 2() k x kf x x xx? ? ? ? ， 由 ( ) 0fx?

16、 ? 得解 .xk?()fx与 ()fx? 在区间 (0, )? 上的情况如下 ： x (0, )k k ( , )k? ()fx? ? ? ()fx (1 ln )2kk? 所以， ()fx的单调递减区间是 (0, )k ，单调递增区间是 ( , )k? ， 【 ;百万教育资源文库 】 ()fx在 xk? 处取得极小值 (1 ln )() 2kkfk ? ； （）由（）知， ()fx在区间 (0, )? 上的最小值为 (1 ln )() 2kkfk ? .因为 ()fx存在零点，所以(1 ln ) 02kk? ? ，从而 ek? .当 ek? 时， ()fx在区间 (1, e) 上单调递减，且 ( e) 0f ? ，所以 ex? 是 ()fx在区间 ?1, e? 上的唯一零点 .当 ek? 时， ()fx在区间 (0, e) 上单调递减，且 1(1) 02f ?， e( e ) 02 kf ?，所以 ()fx在区间 ?1, e? 上仅有一个零点 . 综上可知，若 ()fx存在零点，则 ()fx在区间 ?1, e? 上仅有一个零点 . 【提示】（）先对 ()fx求导，令 ( ) 0fx? ? 解出 x ，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当 xk? 时，函数取得极小值，同时也是最小值； （）利用（