2020-2021学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷 一、选择题一、选择题 1设全集1U ，2，3，4，5，集合2M ，3，4，3N ，4，则()( U MN ) A2，3，4 B1，2，5 C3，4 D1，5 2下列函数中，与函数yx相等的是( ) A 2 yx B 3 ( 3 )yx C 4 ( 4 )yx D 2 x y x 3 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合， 始边与x轴的非负半轴重合， 且 4 cos 5 若 角的终边上有一点( ,3)P x，则x的值为( ) A4 B4 C3 D3 4设函数 2 2 2,3

2、, ( ) log (1),3. x ex f x xx 则( (0)f f的值为( ) A2 B3 C 3 1e D 2 1e 5已知扇形的圆心角为30，面积为3，则扇形的半径为( ) A3 2 B3 C6 2 D6 6函数( )29f xlnxx的零点所在区间是( ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 7已知函数( )2cos(2)1 6 f xx ，则函数( )f x的递减区间是( ) A 7 ,() 1212 Z kkk B 5 ,() 1212 Z kkk C,() 63 Z kkk D 5 ,() 36 Z kkk 8函数 2 | | ( ) 33 x x f

3、 x 的图象大致为( ) 第 2 页（共 15 页） A B C D 9已知函数( )2sin() 4 f xx ，先将函数( )f x图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵 第 3 页（共 15 页） 坐标不变） ，再将所得到的图象向右平移 3 个单位长度，最后得到函数( )yg x的图象，则 () 6 g 的值为( ) A1 B2 C0 D3 10已知函数 2 1 1 ( )( ) 2 xax f x 在1，2上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A2，4 B 2，) C 4，2 D(，4 11设 1 2 3 6,log 2ab ，2cln，则( ) Aabc Bbca Ccab D

4、cba 12设函数 2 1 ( ) 1|1| 1 xx f xlg xx ， 1 ( )(21)( ) 2 g xfxf若( )g x的值不小于 0，则x 的取值范围是( ) A 3 ,0) 4 B 311 1 ,)(, ) 422 4 C 3 (0, 4 D 11 3 (0, )( , 22 4 二、填空题二、填空题 13tan330 14已知函数 21 1(0 x yaa 且1)a 的图象恒过定点 0 (P x， 0) y，则 0 x的值为 15已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且对区间(，0上的任意 1 x， 2 x，当 12 xx 时，都有 12 12 ( )() 0 f xf

5、 x xx 若实数t满足(21)(3)ftf t，则t的取值范围是 16已知函数( )sin()(0) 3 f xx 在 4 (,) 33 上单调，且将函数( )f x的图象向右平移 4个单位长度后与原来的图象重合当(0,4 )x时，使得不等式 1 ( ) 2 f x 成立的x的最大 值为 三、解答题：三、解答题： 17计算下列各式的值： （） 2 022 3 3 ( 2021)(2)1.5(3 ) 8 ； （） 2 log 3 1 2 100 lgln e 18已知tan2 ，且(, ) 2 （）求sin，cos的值； 第 4 页（共 15 页） （）求 2sin()sin() 2 cos(

6、2)cos() 2 的值 19已知函数 2 ( )1 21 x f x （）用函数单调性的定义证明函数( )f x在R上是增函数； （）当1x，3时，求函数 3 ( )log( )g xf x的最值 201986 年 4 月 26 日，一场地震造成乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸并引起大火这 一事故导致约 8 吨的强辐射物严重泄露，事故所在地被严重污染主要辐射物是锶 90，它 每年的衰减率为2.47%，经专家模拟估计，辐射物中锶 90 的剩余量低于原有的8.46%时， 事故所在地才能再次成为人类居住的安全区； 要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少 需要 800 年设辐射物中原有的锶 90

7、有(08)aa吨 （）设经过(*)t tN年后辐射物中锶 90 的剩余量为( )P t吨，试求( )P t的表达式，并计算 经过 800 年后辐射物中锶 90 的剩余量； （）事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留为整数）参 考数据：0.08462.47ln ，0.97530.03ln 21 已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的最小值为2， 其图象经过点(0, 1)， 且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为 2 （）求函数( )f x的解析式； （）若关于x的方程( )0f x k在 11 , 612 上有且仅有两个实数根 1 x，

8、 2 x，求实数k的取 值范围，并求出 12 xx的值 22已知函数 2 ( )21f xaxax的定义域为R，其中a为实数 （）求a的取值范围； （）当1a 时，是否存在实数m满足对任意 1 1x ，1，都存在 2 xR，使得 1111 2 99(33)1() xxxx mf x 成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理 由 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1设全集1U ，2，3，4，5，集合2M ，3，4，3N ，4，则()(

9、 U MN ) A2，3，4 B1，2，5 C3，4 D1，5 【解答】解：全集1U ，2，3，4，5，集合2M ，3，4，3N ，4， 2MN，3，4， ()1 U MN，5 故选：D 2下列函数中，与函数yx相等的是( ) A 2 yx B 3 ( 3 )yx C 4 ( 4 )yx D 2 x y x 【解答】解：对于A，函数 2 |()yxxxR，与()yx xR的解析式不同，不是相等 函数； 对于B，函数 3 ( 3 )()yxx xR，与()yx xR的定义域相同，解析式也相同，是相 等函数； 对于C，函数 4 ( 4 )(0)yxx x，与()yx xR的定义域不同，不是相等函数

10、； 对于D，函数 2 (0) x yx x x ，与()yx xR的定义域不同，不是相等函数 故选：B 3 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合， 始边与x轴的非负半轴重合， 且 4 cos 5 若 角的终边上有一点( ,3)P x，则x的值为( ) A4 B4 C3 D3 【解答】解：角的顶点与直角坐标系的原点重合， 始边与x轴的非负半轴重合，且 4 cos 5 角的终边上有一点( ,3)P x， 第 6 页（共 15 页） 22 4 cos 5 3 x x ，可得0 x ， 整理可得 2 144 9 x ，解得4x 故选：A 4设函数 2 2 2,3, ( ) log (1),3. x ex

11、 f x xx 则( (0)f f的值为( ) A2 B3 C 3 1e D 2 1e 【解答】解：根据题意，函数 2 2 2,3, ( ) log (1),3. x ex f x xx ，则 0 (0)23fe， 则( (0)f ff（3） 2 log 83， 故选：B 5已知扇形的圆心角为30，面积为3，则扇形的半径为( ) A3 2 B3 C6 2 D6 【解答】解：设扇形的半径为r， 扇形的圆心角为30，面积为 2 3 cm， 2 30 3 360 r ， 解得6r 故选：D 6函数( )29f xlnxx的零点所在区间是( ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)

12、【解答】解：设( )29f xlnxx，显然( )f x是(0,)上的增函数， 0 x是连续函数( )f x的 零点 因为f（3）3239330lnln ，f（4）4249410lnln ， f（3）f（4）0， 故 0 (3,4)x ， 故选：C 7已知函数( )2cos(2)1 6 f xx ，则函数( )f x的递减区间是( ) A 7 ,() 1212 Z kkk B 5 ,() 1212 Z kkk 第 7 页（共 15 页） C,() 63 Z kkk D 5 ,() 36 Z kkk 【解答】解：令222 6 x k 剟k，Zk， 7 222 66 x k剟k， 7 1212 x

13、 k剟k， ( )f x的递减区间 12 k， 7 12 k，()Zk， 故选：A 8函数 2 | | ( ) 33 x x f x 的图象大致为( ) A B C 第 8 页（共 15 页） D 【解答】解：根据题意，函数 2 | | ( ) 33 x x f x ，有 | | 330 x ，解可得1x ， 即函数的定义域为 |1x x ， 有 2 | | ()( ) 33 x x fxf x ，( )f x为偶函数，排除AB， 又由f（2） 2 41 0 312 ，排除D， 故选：C 9已知函数( )2sin() 4 f xx ，先将函数( )f x图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（

14、纵 坐标不变） ，再将所得到的图象向右平移 3 个单位长度，最后得到函数( )yg x的图象，则 () 6 g 的值为( ) A1 B2 C0 D3 【解答】解：把函数( )2sin() 4 f xx 的函数( )f x图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 可得2sin() 24 x y 的图象； 再 将 所 得 到 的 图 象 向 右 平 移 3 个 单 位 长 度 ， 最 后 得 到 函 数 ()2 s i n ()2 s i n () 26421 2 xx yg x 的图象， 则()2sin1 66 g ， 故选：A 10已知函数 2 1 1 ( )( ) 2 xa

15、x f x 在1，2上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A2，4 B 2，) C 4，2 D(，4 第 9 页（共 15 页） 【解答】解：函数 2 1 1 ( )( ) 2 xax f x 在1，2上单调递减， 2 ( )1g xxax在1，2单调递增，1 2 a ，求得2a ， 故选：B 11设 1 2 3 6,log 2ab ，2cln，则( ) Aabc Bbca Ccab Dcba 【解答】解： 1 2 11 6 26 a ， 33 1 log 2log3 2 b ； 33 3 33 22 2log 2 3 loglog ln log elog ， 故abc， 故选：A 12设函

16、数 2 1 ( ) 1|1| 1 xx f xlg xx ， 1 ( )(21)( ) 2 g xfxf若( )g x的值不小于 0，则x 的取值范围是( ) A 3 ,0) 4 B 311 1 ,)(, ) 422 4 C 3 (0, 4 D 11 3 (0, )( , 22 4 【解答】解：由 1 0 1 x x 且|1| 10 x ，得11x ，且0 x ， 故函数定义域( 1，0)(0，1)， 函数 2 11 ( ) 1|1| 11 xxx f xlglgx xxx 在( 1,0)，(0,1)上单调递减， 由 1 ( )(21)( ) 0 2 g xfxf得， 1 (21)( ) 2

17、fxf ， 所以 1 1211 2 x 且210 x ， 解得， 1 0 2 x或 13 24 x 故选：D 二、填空题二、填空题 13tan330 3 3 【解答】解： 3 tan330tan(36030 )tan30 3 ， 第 10 页（共 15 页） 故答案为： 3 3 14已知函数 21 1(0 x yaa 且1)a 的图象恒过定点 0 (P x， 0) y，则 0 x的值为 1 2 【解答】解：对于函数 21 1(0 x yaa 且1)a 的图象， 令210 x ，求得 1 2 x ，2y ，可得它的图象经过定点 1 ( 2 ，2) 再根据它的图象恒过定点 0 (P x， 0) y

18、，则 0 1 2 x ， 故答案为： 1 2 15已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且对区间(，0上的任意 1 x， 2 x，当 12 xx 时，都有 12 12 ( )() 0 f xf x xx 若实数t满足(21)(3)ftf t，则t的取值范围是 2 4, 3 【解答】解：因为对区间(，0上的任意 1 x， 2 x，当 12 xx时，都有 12 12 ( )() 0 f xf x xx ， 所以函数( )f x在(，0上单调递减， 因为( )f x是定义在R上的偶函数， 若实数t满足(21)(3)ftf t， 则|21|3|tt， 两边平方得， 2 3108 0tt ， 解得，

19、 2 4 3 t 剟 故答案为： 4， 2 3 16已知函数( )sin()(0) 3 f xx 在 4 (,) 33 上单调，且将函数( )f x的图象向右平移 4个单位长度后与原来的图象重合当(0,4 )x时，使得不等式 1 ( ) 2 f x 成立的x的最大 值为 11 3 【解答】解：函数( )sin()(0) 3 f xx 在 4 (,) 33 上单调， 所以 45 () 2333 T ， 即 10 3 T ， 由于函数( )f x的图象向右平移4个单位长度后与原来的图象重合 所以4nT， 第 11 页（共 15 页） 当1n 时， 则 2 4T ， 整理得 1 2 ， 则 1 (

20、)sin() 23 f xx ， 由于不等式 1 ( ) 2 f x 成立， 故 71 22() 6236 xZ k 剟kk， 解得344() 3 xZ k 剟kk， 由于(0,4 )x， 当1k时， 11 3 max x 故答案为：11 3 三、解答题：三、解答题： 17计算下列各式的值： （） 2 022 3 3 ( 2021)(2)1.5(3 ) 8 ； （） 2 log 3 1 2 100 lgln e 【解答】解： （）原式 2 2 3 32749 1(2)( )()1(2) 2894 （）原式 2 1 log 32 2 11 10223 22 lglne 18已知tan2 ，且(,

21、 ) 2 （）求sin，cos的值； （）求 2sin()sin() 2 cos(2)cos() 2 的值 【解答】解： （）由tan2 ，得sin2cos 22 sincos1， 2 1 cos 5 (, ) 2 ， 第 12 页（共 15 页） sin0，cos0 5 cos 5 ， 2 5 sin 5 （）原式 2sincos2tan1 cossin1tan ， tan2 ， 原式 41 1 12 19已知函数 2 ( )1 21 x f x （）用函数单调性的定义证明函数( )f x在R上是增函数； （）当1x，3时，求函数 3 ( )log( )g xf x的最值 【解答】 （）证明

22、：任取 1 x， 2 xR，且 12 xx 则 12 122121 12 22222(22 ) ( )()1(1) 21212121(21)(21) xx xxxxxx f xf x 12 xx， 12 22 xx ，即 12 220 xx 又 21 (21)(21)0 xx ， 12 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x 函数( )f x在R上单调递增 （）解：令( )tf x，函数 3 ( )log( )g xf x化为 3 ( )logh tt 由（）知当1x，3时，函数( )f x单调递增 当1x 时，函数( )f x有最小值 1 (1) 3 f； 当3x 时，函数(

23、 )f x有最大值 7 (3) 9 f 1 7 , 3 9 t 又函数 3 ( )logh tt在 1 7 , 3 9 上单调递增， 当 1 3 t ，即1x 时，函数( )h t有最小值1，即( )g x有最小值1； 当 7 9 t ，即3x 时，函数( )h t有最大值 3 2log 7 ，即( )g x有最大值 3 2log 7 201986 年 4 月 26 日，一场地震造成乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸并引起大火这 一事故导致约 8 吨的强辐射物严重泄露，事故所在地被严重污染主要辐射物是锶 90，它 每年的衰减率为2.47%，经专家模拟估计，辐射物中锶 90 的剩余量低于原有的8.

24、46%时， 事故所在地才能再次成为人类居住的安全区； 要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少 第 13 页（共 15 页） 需要 800 年设辐射物中原有的锶 90 有(08)aa吨 （）设经过(*)t tN年后辐射物中锶 90 的剩余量为( )P t吨，试求( )P t的表达式，并计算 经过 800 年后辐射物中锶 90 的剩余量； （）事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留为整数）参 考数据：0.08462.47ln ，0.97530.03ln 【解答】解： （）由题意，得( )(1 2.47%)tP ta， * tN， 化简得( )0.9753tP ta， *

25、 tN， 800 (800)0.9753Pa， 经过 800 年后辐射物中锶 90 的剩余量为 800 0.9753a吨 （）由（） ，知( )0.9753tP ta， * tN， 由题意，得0.97530.0846 ta a， 不等式两边同时取对数，得0.97530.0846 t lnln， 化简，得0.97530.0846tlnln， 由参考数据，得0.032.47t 247 3 t ， 又 247 82.3 3 ， 事故所在地至少经过 83 年才能再次成为人类居住的安全区 21 已知函数( )sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的最小值为2， 其图象经过点(0, 1)， 且图象上

26、相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为 2 （）求函数( )f x的解析式； （）若关于x的方程( )0f x k在 11 , 612 上有且仅有两个实数根 1 x， 2 x，求实数k的取 值范围，并求出 12 xx的值 【解答】解： （）由题意，得2A， 1 22 T T， 2 2 T ( )2sin(2)f xx 又函数( )f x的图象经过点(0, 1)，则2sin1 第 14 页（共 15 页） 由| 2 ，得 6 ( )2sin(2) 6 f xx （）由题意，关于x的方程( )0f x k在 11 , 612 上有且仅有两个实数根 1 x， 2 x， 即函数( )yf x与y

27、k的图象在 11 , 612 上有且仅有两个交点 由（）知( )2sin(2) 6 f xx 令2 6 tx ，则2sinyt 11 , 612 x ， 5 , 63 t 则 2y ，2其函数图象如图所示由图可知，实数k的取值范围为( 2,3)1,2) 当1k，2)时， 1 t， 2 t，关于 2 t 对称，则 1212 (2)(2) 66 ttxx 解得 12 2 3 xx 当( 2,3 k时， 1 t， 2 t关于 3 2 t 对称，则 1212 (2)(2)3 66 ttxx 解得 12 5 3 xx 综上，实数k的取值范围为( 2,31,2) ， 12 xx的值为 2 3 或 5 3

28、22已知函数 2 ( )21f xaxax的定义域为R，其中a为实数 （）求a的取值范围； （）当1a 时，是否存在实数m满足对任意 1 1x ，1，都存在 2 xR，使得 第 15 页（共 15 页） 1111 2 99(33) 1() xxxx mf x 成立？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理 由 【解答】解： （）由函数 2 ( )21f xaxax的定义域为R， 则不等式 2 21 0axax 对任意xR都成立， 当0a 时，1 0显然成立； 当0a 时，欲使不等式 2 21 0axax 对任意xR都成立， 则 2 0 440 a aa ，解得01a 综上，实数a的取值范

29、围为0，1； （）当1a 时， 2 ( )21f xxx 当xR时，( )0 min f x 令 1 333( ) 3 xxxx t 可得函数33 xx t 在 1x ，1上递增，则 8 8 , 3 3 t ， 2 99(33 ) 11 xxxx mtmt ， 令 2 ( )1h ttmt， 8 8 , 3 3 t 若存在实数m满足对任意 1 1x ，1，都存在 2 xR，使得 1111 2 99(33) 1() xxxx mf x 成立， 则只需( )0 min h t 当 8 23 m 即 16 3 m时，函数( )h t在 8 8 , 3 3 上单调递增 则 8648 ( )()1 0 393 min h thm 解得 73 24 m，与 16 3 m矛盾； 当 88 323 m 即 1616 33 m时，函数( )h t在 8 , 32 m 上单调递减，在 8 , 2 3 m 上单调 递增， 则 22 ( )()1 0 242 min mmm h th ，解得22m 剟； 当 8 23 m 即 16 3 m时，函数( )h t在 8 8 , 3 3 上单调递减 则 8648 ( )( )1 0 393 min h thm 解得 73 24 m，与 16 3 m矛盾 综上，存在实数m满足条件，其取值范围为 2，2