2020-2021学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分每小题有四个选项，其中只有一分每小题有四个选项，其中只有一 个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷的相应位置上 ）个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷的相应位置上 ） 1 （4 分）已知集合 1A ，0，1，1B ，2，3，4，则(AB ) A 1，0，1 B0，1 C1 D0，1 2 （4 分）圆心角弧度数和半径均为 2 的扇形的弧长为( ) A1 B2 C4

2、 D8 3 （4 分）已知向量(1,2)a， 1 (1,) 2 b ，且a，b是共线向量，则实数的值为( ) A4 B 5 2 C 3 2 D0 4 （4 分）化简sin3cos(xx ) A2sin() 3 x B2sin() 3 x C2cos() 3 x D2cos() 3 x 5 （4 分）设函数 2 2,06 ( ) (6),6 x xx f x f xx 剟 ，则(10)(f ) A0 B 62 26 C1 D 102 210 6 （4 分）设为锐角，且 1 sin() 22 ，则tan( ) A 3 3 B3 C 3 2 D1 7 （4 分）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0

3、)上单调递减的是( ) A x ye Bcosyx Csinyx D 2 yx 8 （4 分）函数( )(1)f xln x的定义域是( ) A(1,) B(2,) C2，) D(1,2) 9 （4 分）设 0.9 1.3a ， 0.7 log0.8b ， 1.3 log0.9c ，则a，b，c的大小关系是( ) Aabc Bcba Cacb Dbca 10 （4 分）设函数 22 ( )cossin2cos sinf xxxxx，下列说法中，错误的是( ) A( )f x的最小值为2 第 2 页（共 16 页） B( )f x在区间, 4 8 上单调递增 C函数( )yf x的图象可由函数2

4、sinyx的图象先向左平移 4 个单位，再将横坐标 缩短为原来的一半（纵坐标不变）而得到 D将函数( )yf x的图象向左平移 4 个单位，所得函数的图象关于y轴对称 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分请将你认为正确的答案填在答题卷分请将你认为正确的答案填在答题卷 的相应位置上 ）的相应位置上 ） 11 （4 分）若点(2, 2)在幂函数( )yf x的图象上，则f（4） 12 （4 分）计算2250lglg 13 （4 分）设非零向量a，b满足()aba，|2 |ba，则a与b的夹角为 14（4分） 245 sinsinsins

5、insinsin2 3333 22020 sinsinsinsin 333 15 （4 分）以下条件， 1ab： 1ba； 10ab； 10ba； 1a ，10b： 1b ，10a 能够使得：log 2log 2(0 ab a，1a ，0b ，1)b 成立的有 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 32 分解答应写出文字说明，证明过程或分解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤 ）演算步骤 ） 16 （8 分）在平面直角坐标系中，已知角，的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非 负半轴重合，角的终边上有一点A，坐标为(1, 1) （1）求sin2

6、的值； （2）若角满足下列三个条件之一 锐角满足tan2: 锐角的终边在直线2yx上； 角的终边与 2020 3 的终边相同 请从上述三个条件中任选一个，你的选择是_求cos()的值 17 （8 分）设函数( )yf x为定义在R上的偶函数，当0 x时，( )2xf x 第 3 页（共 16 页） （1）求函数( )(0)yf x x的解析式，并作出函数( )yf x的大致图象； （2）判断函数 2 ( )( )g xf xx的零点个数（可结合图象判断） 18 （8 分）三角形ABC中，D为BC上一点，2BDDC，设ABa，ACb，可以用a， b来表示出AD，方法如下： 方法一： 2 3 AD

7、ABBDABBC， BCACAB， 21212 () 33333 ADABACABABACab 方法二： 1 3 ADACCDACCB， CBABAC， 11212 () 33333 ADACABACABACab 方法三：如图所示，过点D作AC的平行线，交AB于点E，过点D作AB的平行线，交AC 于点F，则四边形AEDF为平行四边形 / /DFAB且2BDDC， 1 3 FDCD ABCB ， 1 3 FDAEAB / /EDAC，2BDDC 2 3 EDBD ACBC ，得 2 3 EDAFAC 1212 3333 ADAEEDAEAFABACab 请参照上述方法之一（用其他方法也可） ，解

8、决下列问题： （1）三角形ABC中，D为BC的中点，设ABa，ACb，试用a，b表示出AD； （2）设D为直线BC上任意一点（除B、C两点） ，BDDC k点A为直线BC外任意一 点，ABa，ACb，证明：存在唯一实数对，使得：ADab，且1 19 （8 分）某市为了方便市民出行，缓解交通压力，引进甲、乙两家电动自行车营运商， 在市政规定路段投放大量电动自行车供市民出行选择使用，两家收费标准分别如下： 第 4 页（共 16 页） 甲：每骑行一次，需交基本使用费 2 元，骑行时间不超过 40 分钟的，每分钟收费 0.05 元， 超出 40 分钟的，超出部分按每分钟 0.055 元收费 （如：某人

9、骑行 1 小时，则其应付费用为 240 0.05(6040) 0.0555.1元） 乙：不收取基本费，按实际骑行时间收费，每分钟收费 0.08 元 （1）写出选择骑行营运商甲的电动自行车的收费y与骑行时间t（单位：分钟）的函数解析 式； （2）若某市民骑行营运商甲的电动自行车一次，花费 7.3 元，求该市民骑行的时间； （3）该市民的骑行时间t满足何条件时，选择甲营运商比乙营运商更划算 四、阅读与探究（本大题四、阅读与探究（本大题 1 个小题，共个小题，共 8 分解答应写出文字说明，条理清晰 ）分解答应写出文字说明，条理清晰 ） 20 （8 分）定义函数( )cos(sin )f xx为“正余

10、弦”函数结合学过的相关知识，我们可以 得到该函数的性质： 1我们知道，正弦函数sinyx和余弦函数cosyx的定义域均为R，故函数 ( )cos(sin )f xx的定义域为R 2 我们知道， 正弦函数sinyx为奇函数， 余弦函数cosyx为偶函数， 对( )cos(sin )f xx， ()cossin()cos( sin )cos(sin )( )fxxxxf x， 可得： 函数( )cos(sin )f xx为偶函数 3我们知道，正弦函数sinyx和余弦函数cosyx的最小正周期均为2，对 ( )cos(sin )f xx，(2 )cossin(2 )cos(sin )( )f xxx

11、f x， 可知2为该函数的周期， 是否是最小正周期呢？我们继续探究： ()cossin()cos( sin )cos(sin )( )f xxxxf x 可得：也为函数( )cos(sin )f xx的周期但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究 ( )cos(sin )f xx在区间0，上的单调性，在区间0，上，余弦函数cosyx单调递 减，正弦函数sinyx在0, 2 上单调递增，在(, 2 上单调递减，故我们需要分这两个区 间来讨论 当0, 2 x 时， 设 12 0 2 xx 剟， 因正弦函数sinyx在0, 2 上单调递增， 故 12 sinsinxx， 令 11 sintx， 22

12、 sintx，可得 12 01tt剟，而在区间0，上，余弦函数cosyx单调 递减，故： 12 coscostt即： 12 cos(sin)cos(sin)xx从而，0, 2 x 时，函数( )cos(sin )f xx 单调递减 同理可证，(, 2 x 时， 函数( )cos(sin )f xx单调递增 可得， 函数( )cos(sin )f xx在0, 2 第 5 页（共 16 页） 上单调递减，在(, 2 上单调递增结合()( )f xf x 可以确定：( )cos(sin )f xx的最小正周期为 这样，我们可以求出该函数的值域了： 显然：( )()cos(sin)cos1 22 mi

13、n f xf ，而(0)1( )ff 故( )cos(sin )f xx的值域为cos1，1 定义函数( )sin(cos )f xx为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： （1）求该函数的定义域； （2）判断该函数的奇偶性； （3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域 第 6 页（共 16 页） 2020-2021 学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分每小题有四个选项，其中只有一分每小题有四个选

14、项，其中只有一 个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷的相应位置上 ）个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷的相应位置上 ） 1 （4 分）已知集合 1A ，0，1，1B ，2，3，4，则(AB ) A 1，0，1 B0，1 C1 D0，1 【解答】解： 1A ，0，1，1B ，2，3，4， 1AB 故选：C 2 （4 分）圆心角弧度数和半径均为 2 的扇形的弧长为( ) A1 B2 C4 D8 【解答】解：根据弧长公式得，224lr 故选：C 3 （4 分）已知向量(1,2)a， 1 (1,) 2 b ，且a，b是共线向量，则实数的值为( ) A4 B 5 2 C 3 2 D0 【解

15、答】解：向量(1,2)a， 1 (1,) 2 b ，且a，b是共线向量， 12 1 1 2 ，解得 5 2 故选：B 4 （4 分）化简sin3cos(xx ) A2sin() 3 x B2sin() 3 x C2cos() 3 x D2cos() 3 x 【解答】解：sin3cos2sin() 3 xxx 故选：A 5 （4 分）设函数 2 2,06 ( ) (6),6 x xx f x f xx 剟 ，则(10)(f ) 第 7 页（共 16 页） A0 B 62 26 C1 D 102 210 【解答】解：因为函数 2 2,06 ( ) (6),6 x xx f x f xx 剟 ， 则

16、(10)ff（4） 42 240 故选：A 6 （4 分）设为锐角，且 1 sin() 22 ，则tan( ) A 3 3 B3 C 3 2 D1 【解答】解：为锐角，且 1 sin()cos 22 ， 3 ， 则tan3， 故选：B 7 （4 分）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)上单调递减的是( ) A x ye Bcosyx Csinyx D 2 yx 【解答】解：对于A， x ye为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，cosyx为偶函数，但在区间(,0)上不单调，不符合题意； 对于C，sinyx为奇函数，不符合题意； 对于D， 2 yx为偶函数，且在区间(,0)上单调递减，符合题

17、意 故选：D 8 （4 分）函数( )(1)f xln x的定义域是( ) A(1,) B(2,) C2，) D(1,2) 【解答】解：要使函数有意义，则(1) 0ln x ， 即1 1x ， 2x ， 即函数的定义域为2，)， 故选：C 9 （4 分）设 0.9 1.3a ， 0.7 log0.8b ， 1.3 log0.9c ，则a，b，c的大小关系是( ) Aabc Bcba Cacb Dbca 第 8 页（共 16 页） 【解答】解： 0.90 1.31.31，1a， 0.70.70.7 log1log0.8log0.71，01b， 1.31.3 log0.9log10，0c ， cb

18、a ， 故选：B 10 （4 分）设函数 22 ( )cossin2cos sinf xxxxx，下列说法中，错误的是( ) A( )f x的最小值为2 B( )f x在区间, 4 8 上单调递增 C函数( )yf x的图象可由函数2sinyx的图象先向左平移 4 个单位，再将横坐标 缩短为原来的一半（纵坐标不变）而得到 D将函数( )yf x的图象向左平移 4 个单位，所得函数的图象关于y轴对称 【解答】解：函数 22 ( )cossin2cos sincos2sin22sin(2) 4 f xxxxxxxx 对于A：当22() 42 xZ kk时，函数取得最小值2，故A正确； 对于B：当,

19、 4 8 x 时，2, 44 2 x ，所以函数在该区间上单调递增，故B正确； 对于C：函数2sinyx的图象先向左平移 4 个单位， 得 到2 s i n () 4 yx ， 再 将 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 一 半 （ 纵 坐 标 不 变 ） 而 得 到 2sin(2) 4 yx ，故C正确； 对于D：函数( )yf x的图象向左平移 4 个单位， 所得函数的关系式为 3 ( )2sin(2) 4 g xx ，函数的图象不关于y轴对称，故D错误； 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分请将你认为正确的答案填在答

20、题卷分请将你认为正确的答案填在答题卷 的相应位置上 ）的相应位置上 ） 11 （4 分）若点(2, 2)在幂函数( )yf x的图象上，则f（4） 2 【解答】解：点(2, 2)在幂函数( ) a yf xx的图象上， 第 9 页（共 16 页） 22 a ，解得 1 2 a ， ( )f xx， f（4）42 故答案为：2 12 （4 分）计算2250lglg 2 【解答】解：原式2501002lglglg 故答案为：2 13 （4 分）设非零向量a，b满足()aba，|2 |ba，则a与b的夹角为 4 【解答】解：根据题意，设向量a与b的夹角为， 又由|2 |ba， 设|0at ，则|2b

21、t， 又由()aba，则 2 22 ()2 cos0aabaa btt， 变形可得： 2 cos 2 ； 又由0 剟，则 4 ； 故答案为： 4 14（4分） 245 sinsinsinsinsinsin2 3333 0 22020 sinsinsinsin 333 【解答】 解： 2453333 sinsinsinsinsinsin2000 33332222 ， 由于函数sin 3 yx 是以 6 为周期的周期函数， 要求的式子 22020 sinsinsinsin 333 共有 2020 项， 故要求式子的值为336 0( 3333 0) 2222 ， 故答案为：0； 3 2 15 （4

22、分）以下条件， 1ab： 1ba； 10ab； 10ba； 1a ，10b： 1b ，10a 第 10 页（共 16 页） 能够使得：log 2log 2(0 ab a，1a ，0b ，1)b 成立的有 【解答】解：对于，1ab，故 22 loglog0ab，所以 22 11 log alog b ，由换底公式可 得log 2log 2 ab ，故满足题意； 对于，1ba， 则 22 loglog0ba， 所以 22 11 log blog a ， 由换底公式可得log 2log 2 ba ， 故不满足题意； 对于，10ab，故 22 0loglogab，所以 22 11 log alog b

23、 ，由换底公式可得 log2log 2 ab ，故满足题意； 对于，10ba，故 22 0loglogba，所以 22 11 log blog a ，由换底公式可得 log 2log2 ba ，故不满足题意； 对于，1a ，10b，所以log 20 a ，log 20 b ，故log 2log 2 ab ，故不满足题意； 对于，1b ，10a，所以log 20 b ，log 20 a ，故log 2log 2 ab ，故满足题意 故能够使得：log 2log 2(0 ab a，1a ，0b ，1)b 成立的有 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题

24、8 分，共分，共 32 分解答应写出文字说明，证明过程或分解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤 ）演算步骤 ） 16 （8 分）在平面直角坐标系中，已知角，的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非 负半轴重合，角的终边上有一点A，坐标为(1, 1) （1）求sin2的值； （2）若角满足下列三个条件之一 锐角满足tan2: 锐角的终边在直线2yx上； 角的终边与 2020 3 的终边相同 请从上述三个条件中任选一个，你的选择是_求cos()的值 【解答】解： （1）已知角始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且角的终边上有 一点A，坐标为(1, 1)， 则 12 sin 22 ， 12 co

25、s 22 ，可得 22 sin22sincos2()1 22 ； （2）若选，锐角满足 sin tan2 cos ， 第 11 页（共 16 页） 可得 22222 sincos(2cos )cos5cos1，解得 5 cos 5 ， 2 5 sin 5 ， 可得 5222 510 cos()coscossinsin() 522510 ； 若选，锐角的终边在直线2yx上，可得tan2，由可得 10 cos() 10 ； 若选，角的终边与 2020 3 的终边相同， 可得 20203 sinsinsin(673)sin 3332 ， 20201 coscoscos(673)cos 3332 ，

26、可得 212362 cos()coscossinsin()()() 22224 17 （8 分）设函数( )yf x为定义在R上的偶函数，当0 x时，( )2xf x （1）求函数( )(0)yf x x的解析式，并作出函数( )yf x的大致图象； （2）判断函数 2 ( )( )g xf xx的零点个数（可结合图象判断） 【解答】解： （1）设0 x ，则0 x ，所以()2 x fx ， 由函数( )yf x为定义在R上的偶函数， 则( )()2 x f xfx ， 所以0 x 时，( )2 x f x ， 作出函数图象如图所示： （2）函数 2 ( )( )g xf xx的零点个数等价

27、于 2 yx与( )yf x图象交点的个数， 第 12 页（共 16 页） 如图可得交点的个数为 4 个，即( 2)0g ，( 4)0g ， 所以函数 2 ( )( )g xf xx的零点个数为 4 个，分别为2x ，4x 18 （8 分）三角形ABC中，D为BC上一点，2BDDC，设ABa，ACb，可以用a， b来表示出AD，方法如下： 方法一： 2 3 ADABBDABBC， BCACAB， 21212 () 33333 ADABACABABACab 方法二： 1 3 ADACCDACCB， CBABAC， 11212 () 33333 ADACABACABACab 方法三：如图所示，过点

28、D作AC的平行线，交AB于点E，过点D作AB的平行线，交AC 于点F，则四边形AEDF为平行四边形 / /DFAB且2BDDC， 1 3 FDCD ABCB ， 1 3 FDAEAB / /EDAC，2BDDC 2 3 EDBD ACBC ，得 2 3 EDAFAC 1212 3333 ADAEEDAEAFABACab 请参照上述方法之一（用其他方法也可） ，解决下列问题： （1）三角形ABC中，D为BC的中点，设ABa，ACb，试用a，b表示出AD； （2）设D为直线BC上任意一点（除B、C两点） ，BDDC k点A为直线BC外任意一 点，ABa，ACb，证明：存在唯一实数对，使得：ADab

29、，且1 【解答】 （1）解：因为ADABBD， 1 2 BDBC，BCACAB， 第 13 页（共 16 页） 所以 111111 () 222222 ADABBDABBCABACABABACab； （2）证明：如图所示，BDDC k，则 1 BDBC k k ， 所以() 11 ADABBDABBCABACAB kk kk 1 11 ABAC k kk ， 1 11 ab k kk ， 取 1 , 11 k kk ， 故1且唯一， 所以存在唯一实数对，使得：ADab，且1 19 （8 分）某市为了方便市民出行，缓解交通压力，引进甲、乙两家电动自行车营运商， 在市政规定路段投放大量电动自行车供

30、市民出行选择使用，两家收费标准分别如下： 甲：每骑行一次，需交基本使用费 2 元，骑行时间不超过 40 分钟的，每分钟收费 0.05 元， 超出 40 分钟的，超出部分按每分钟 0.055 元收费 （如：某人骑行 1 小时，则其应付费用为 240 0.05(6040) 0.0555.1元） 乙：不收取基本费，按实际骑行时间收费，每分钟收费 0.08 元 （1）写出选择骑行营运商甲的电动自行车的收费y与骑行时间t（单位：分钟）的函数解析 式； （2）若某市民骑行营运商甲的电动自行车一次，花费 7.3 元，求该市民骑行的时间； （3）该市民的骑行时间t满足何条件时，选择甲营运商比乙营运商更划算 【

31、解答】解： （1）根据题意可得， 当040t 时，20.05yt， 第 14 页（共 16 页） 当40t 时，20.05 40(40) 0.0550.0551.8ytt 20.05 (040) 0.0551.8(40) tt y tt ； （2）040t 时，20.05yt， 此时20.05404 max y元， 故该市民花费 7.3 元时，其骑行时间一定超过 40 分钟， 令0.0551.87.3t ，解得100t （分钟） ， 故该市民骑行的时间为 100 分钟； （3）设骑行乙营运商的电动车费用 1 y，则由题意知， 1 0.08 (0)yt t， 令 1 ( )f tyy， 则 20

32、.050.08 (040)20.03 (040) ( ) 0.0551.80.08 (40)1.80.025 (40) ttttt f t tt tt t 剟 当040t 时，( )20.03f tt单调递减， ( )(40)0.80 min f tf， 故当040t 时，甲的费用大于乙的费用， 当40t 时，( )1.80.025f tt，令( )0f t ，解得72t ，此时甲的费用小于乙的费用 故当骑行时间大于 72 分钟时，甲的费用小于乙的费用，选择选择甲营运商比乙营运商更划 算 四、阅读与探究（本大题四、阅读与探究（本大题 1 个小题，共个小题，共 8 分解答应写出文字说明，条理清晰

33、 ）分解答应写出文字说明，条理清晰 ） 20 （8 分）定义函数( )cos(sin )f xx为“正余弦”函数结合学过的相关知识，我们可以 得到该函数的性质： 1我们知道，正弦函数sinyx和余弦函数cosyx的定义域均为R，故函数 ( )cos(sin )f xx的定义域为R 2 我们知道， 正弦函数sinyx为奇函数， 余弦函数cosyx为偶函数， 对( )cos(sin )f xx， ()cossin()cos( sin )cos(sin )( )fxxxxf x， 可得： 函数( )cos(sin )f xx为偶函数 3我们知道，正弦函数sinyx和余弦函数cosyx的最小正周期均为

34、2，对 ( )cos(sin )f xx，(2 )cossin(2 )cos(sin )( )f xxxf x， 可知2为该函数的周期， 是否是最小正周期呢？我们继续探究： ()cossin()cos( sin )cos(sin )( )f xxxxf x 第 15 页（共 16 页） 可得：也为函数( )cos(sin )f xx的周期但是否为该函数的最小正周期呢？我们来研究 ( )cos(sin )f xx在区间0，上的单调性，在区间0，上，余弦函数cosyx单调递 减，正弦函数sinyx在0, 2 上单调递增，在(, 2 上单调递减，故我们需要分这两个区 间来讨论 当0, 2 x 时，

35、设 12 0 2 xx 剟， 因正弦函数sinyx在0, 2 上单调递增， 故 12 sinsinxx， 令 11 sintx， 22 sintx，可得 12 01tt剟，而在区间0，上，余弦函数cosyx单调 递减，故： 12 coscostt即： 12 cos(sin)cos(sin)xx从而，0, 2 x 时，函数( )cos(sin )f xx 单调递减 同理可证，(, 2 x 时， 函数( )cos(sin )f xx单调递增 可得， 函数( )cos(sin )f xx在0, 2 上单调递减，在(, 2 上单调递增结合()( )f xf x 可以确定：( )cos(sin )f x

36、x的最小正周期为 这样，我们可以求出该函数的值域了： 显然：( )()cos(sin)cos1 22 min f xf ，而(0)1( )ff 故( )cos(sin )f xx的值域为cos1，1 定义函数( )sin(cos )f xx为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： （1）求该函数的定义域； （2）判断该函数的奇偶性； （3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域 【解答】解： （1）因为cosyx的定义域为R，所以( )sin(cos )f xx的定义域为R； （2）( )f x在R上为偶函数，理由如下： ( )f x的定义域为R，关于原点对称， ()sin(cos()sin(cos )( )fxxxf x， 则( )f x为偶函数； （3）( )f x的最小正周期为2T； 当22xk 剟k，Zk时，cosyx递减，所以sin(cos )yx递减； 当222xk剟k，Zk时，cosyx递增，所以sin(cos )yx递增 所以( )f x的减区间为2k，2k，Zk；增区间为2k，22 k，Zk； 第 16 页（共 16 页） 由xR，可得cos 1x ，1，而 1，1 2 ， 2 ， 所以sin(cos )sin( 1)x ，sin1 sin1 ，sin1， 即( )f x的值域为 sin1，sin1；