2020-2021学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）能正确表示集合|02MxRx剟和集合 2 |0NxR xx的关系的韦恩图 的是( ) A B C D 2 （5 分） “1x ”是“3x ”的( )条件 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）函数(

2、)(1)f xlg x的定义域是( ) A(2,) B(1,) C1，) D2，) 4 （5 分）渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短时间内将其分 拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确 定鱼的新鲜度三甲胺量是一种挥发性碱性氨，是氨的类似物，它是由细菌分解产生的三 甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降， 鱼体开始变质进而腐烂） 已知某种鱼失去的新鲜度h与 其出海后时间t（分)满足的函数关系式为 t hm a若出海后 10 分钟，这种鱼失去的新鲜 度为10%，出海后 20 分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这 种

3、鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度( )（已知20.3lg ，结果取整数） A33 分钟 B43 分钟 C50 分钟 D56 分钟 5 （5 分）设 0.2 log2a ， 0.2 log3b ， 0.2 2c ， 2 0.2d ，则这四个数的大小关系是( ) Aabcd Bdcab Cbacd Dbadc 6 （5 分）已知函数 (3)3,1 ( ) log,1 a axx f x x x 在R上单调递增，则实数a的取值范围为( ) A13a B36a C36a D01a 7 （5 分）三个变量 1 y， 2 y， 3 y随着变量x的变化情况如表： 第 2 页（共 18 页） x 1 3 5

4、7 9 11 1 y 5 135 625 1715 3645 6655 2 y 5 29 245 2189 19685 177149 3 y 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( ) A 1 y， 2 y， 3 y B 2 y， 1 y， 3 y C 3 y， 2 y， 1 y D 1 y， 3 y， 2 y 8 （5 分）已知区间( , )a b是关于x的一元二次不等式 2 210mxx 的解集，则32ab的最 小值是( ) A 32 2 2 B52 6 C 5 6 2 D3 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共

5、4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）设集合 |02Mxx剟， |02Nyy剟，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M到集合N的函数关系的有( ) A B C D 10 （5 分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和()b ab，其全程的平均速度为v，则 ( ) Aavab Bvab C 2 ab abv D 2ab v ab 11 （5 分）关于函数( ) |sin |sin|f x

6、xx，下述四个结论中正确的有( ) A( )f x是偶函数 B( )f x在区间( 2 ，)单调递增 C( )f x在，有 4 个零点 D( )f x的最大值为 2 第 3 页（共 18 页） 12 （5 分）设函数 (1),0 ( ), 22,0 x aa x a xx f x x 下列四个结论中正确的有( ) A对0a ，tR ，使得( )f xt无解 B对0t ，aR ，使得( )f xt有两解 C当0a 时，0t ，使得( )f xt有解 D当2a 时，tR ，使得( )f xt有三解 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小颗，每小题小颗，每小题 5 分，共分，共 20 分分

7、.请将答案填在答题卡对应题号的位置请将答案填在答题卡对应题号的位置 上上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13 （5 分）命题“xR ， 2 0 xx ”的否定是 14 （5 分）设函数( )2sin() 25 f xx 若对任意xR，都有 12 ()( )()f xf xf x剟成立，则 12 |xx的最小值为 15 （5 分）已知函数 2 ( )( 1)1f xlnxx，f（a）4，则()fa 16 （5 分）用 I M表示函数sinyx在闭区间I上的最大值，若正数a满足 0, ,2 2 aaa MM， 则 0, a M ；a的取值范围为 四、解

8、答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知tan2，求下列式子的值： （1） sincos sincos ； （2）sin()cos() 2 18 （12 分）已知集合 |22Axa xa剟， |1Bx x或4x （1）当3a 时，求AB，() R AB； （2）若AB ，求实数a的取值范围 19 （12 分）已知函数( )2sin(2) 6 f xx （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）求函数( )f x的对称轴和对称中心； （3）求函数( )f

9、x在区间,0 2 上的最大值和最小值 20 （12 分）阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说： “数缺形时少直观，形少数时难 第 4 页（共 18 页） 入微，数形结合百般好，隔离分家万事休 ”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研 究函数的性质， 也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征 我们来看一个应用函数解析式 研究对应函数图象形状的例子 对于函数 1 y x ，我们可以通过解析式来研究它的图象和性质，如： 图象特征： （1）在函数 1 y x 中，由0 x ，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相 交；由0y ，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交； （2

10、）在函数 1 y x 中，当0 x 时0y ，当0 x 时，0y ，可以推测出，对应的图象能分 布在第一、三象限； （3）在函数 1 y x 中，若(0,)x，则0y ，且当x逐渐增大时，y逐渐减小，可推测 出， 对应的图象越向右越靠近x轴； 若(,0)x ， 则0y ， 且当x逐渐减小时， 逐渐增大， 可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴； （4）由函数 1 y x 可知()( )fxf x ，即函数 1 y x 是奇函数，可以推测出，对应的图象 关于原点对称 结合以上性质，逐步猜想出函数 1 y x 对应的图象，如图所示： 尝试类比，探究函数 2 2 1 yx x 的图象，写出图象特征，

11、并根据你得到的结论，尝试作出函 数对应的图象 21 （12 分） 已知( )f x对任意的实数m，n都有：()( )( ) 1f mnf mf n， 且当0 x 时， 第 5 页（共 18 页） 有( )1f x （1）求(0)f； （2）求证：( )f x在R上为增函数； （3）若f（6）7，且关于x的不等式 2 (2)()3f axf xx对任意的 1x ，)恒 成立，求实数a的取值范围 22 （12 分）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆 与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间） ，当此距离等于报警距离时就开始 报警提醒，等于危险距离时就自动刹

12、车，某种算法（如图所示）将报警时间划分为 4 段，分 别为准备时间 0 t、人的反应时间 1 t、系统反应时间 2 t、制动时间 3 t，相应的距离分别为 0 d、 1 d、 2 d、 3 d，当车速为v（米/秒） ，且0v，33.3时，通过大数据统计分析得到如表（其 中系数k随地面湿滑成都等路面情况而变化，0.5k，0.9) 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 0 t 1 0.8t 秒 2 0.2t 秒 3 t 距离 0 20d 米 1 d 2 d 2 3 1 20 dv k 米 （1）请写出报警距离d（米)与车速v（米/秒）之间的函数关系式( )d v，并求0.9k

13、 时， 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施， 仍以此速度行驶， 则汽车撞上固定 障碍物的最短时间（精确到 0.1 秒） ； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于 80 米，则汽车的行驶速度应 限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？ 第 6 页（共 18 页） 2020-2021 学年广东省中山市高一（上）期末数学试学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一

14、项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）能正确表示集合|02MxRx剟和集合 2 |0NxR xx的关系的韦恩图 的是( ) A B C D 【解答】解：集合 2 |0 0NxR xx，1，集合|02MxRx剟， 0MN且互不包含， 故选：A 2 （5 分） “1x ”是“3x ”的( )条件 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当2x 满足1x ，但3x 不成立， 当3x 时，1x 成立，即“1x “是“3x ”的必要不充分条件， 故选：B 3 （5 分）函数( )(1)f xlg x的定义域是( ) A(2,) B(1,)

15、C1，) D2，) 【解答】解：要使函数的解析式有意义， 自变量x须满足： 10 x 即1x 故函数( )(1)f xlg x的定义域是(1,) 故选：B 4 （5 分）渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短时间内将其分 拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确 定鱼的新鲜度三甲胺量是一种挥发性碱性氨，是氨的类似物，它是由细菌分解产生的三 第 7 页（共 18 页） 甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降， 鱼体开始变质进而腐烂） 已知某种鱼失去的新鲜度h与 其出海后时间t（分)满足的函数关系式为 t hm a若出海后 10 分钟，这种鱼失去

16、的新鲜 度为10%，出海后 20 分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这 种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度( )（已知20.3lg ，结果取整数） A33 分钟 B43 分钟 C50 分钟 D56 分钟 【解答】解：依题设有 10 20 (10)0.1 (20)0.2 hma hma ，解得 1 10 2a ，0.05m ， 故 1 10 ( )0.05(2 )th t ， 令 1 10 ( )0.05 (2 )1 t h t ， 得 1 10 (2 )20 t ， 故 1 10 201210(10.3) 43 1 0.3 2 2 10 lglg t lg lg （分

17、钟） ， 故选：B 5 （5 分）设 0.2 log2a ， 0.2 log3b ， 0.2 2c ， 2 0.2d ，则这四个数的大小关系是( ) Aabcd Bdcab Cbacd Dbadc 【解答】解：由 0.2 logyx是减函数， 0.20.2 0log2log3，即0ba 0.2 21c ， 2 0.2(0,1)d 所以，badc 故选：D 6 （5 分）已知函数 (3)3,1 ( ) log,1 a axx f x x x 在R上单调递增，则实数a的取值范围为( ) A13a B36a C36a D01a 【解答】解：函数 (3)3,1 ( ) log,1 a axx f x

18、x x 在R上单调递增， 可得1a ，30a ，且33 log 1 a a ， 即有3a 且6a，即为36a 故选：C 第 8 页（共 18 页） 7 （5 分）三个变量 1 y， 2 y， 3 y随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 1 y 5 135 625 1715 3645 6655 2 y 5 29 245 2189 19685 177149 3 y 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( ) A 1 y， 2 y， 3 y B 2 y， 1 y， 3 y C 3 y， 2 y， 1 y D

19、1 y， 3 y， 2 y 【解答】解：由表可知： 2 y随着x的增大而迅速的增大，是指数函数型变化， 3 y随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型变化， 1 y相对于 2 y的变化要慢一些，是幂函数型的变化， 故选：C 8 （5 分）已知区间( , )a b是关于x的一元二次不等式 2 210mxx 的解集，则32ab的最 小值是( ) A 32 2 2 B52 6 C 5 6 2 D3 【解答】解：( , )a b是不等式 2 210mxx 的解集， a，b是方程 2 210mxx 的两个实数根且0m ， 2 ab m ， 1 ab m ， 11 2 ab abab ；且0a ，0

20、b ； 111 32(32 ) () 2 abab ab 1231231 (5)(52)(52 6) 222 baba abab ， 当且仅当23ba时“”成立； 32ab的最小值为 15 (52 6)6 22 故选：C 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）设集合 |02Mxx剟， |02Nyy剟，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 第 9

21、页（共 18 页） M到集合N的函数关系的有( ) A B C D 【解答】解：对于A，函数的定义域为0，1，而集合 |02Mxx剟，不符合题意， 对于B，函数的定义域为0，2，值域为0，2，符合题意， 对于C，函数的定义域为0，2，值域为0，2，符合题意， 对于D，图形中一个x有两个y值和x对应，不能表示函数，不符合题意， 故选：BC 10 （5 分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和()b ab，其全程的平均速度为v，则 ( ) Aavab Bvab C 2 ab abv D 2ab v ab 【解答】解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为 ss ab ， 则全程的

22、平均速度 22sab v ss ab ab ，D正确， 又由0ba，由基本不等式可得 2 ab ab ，则 22 2 abab vab abab ， 同时 2 2222() 22 2 ,0 2 ab ababababaaa vvaa ababababab ，va， 则avab，A正确， 故选：AD 11 （5 分）关于函数( ) |sin |sin|f xxx，下述四个结论中正确的有( ) A( )f x是偶函数 B( )f x在区间( 2 ，)单调递增 C( )f x在，有 4 个零点 D( )f x的最大值为 2 第 10 页（共 18 页） 【解答】解：()sin|sin()| sin|

23、sin |( )fxxxxxf x则函数( )f x是偶函数，故A 正确； 当( 2 x ，)时，sin| sinxx，|sin | sinxx， 则( )sinsin2sinf xxxx为减函数，故B错误； 当0 x剟时，( )sin|sin | sinsin2sinf xxxxxx， 由( )0f x 得2sin0 x 得0 x 或x， 由( )f x是偶函数，得在，)上还有一个零点x ，即函数( )f x在，有 3 个零 点，故C错误， 当sin| 1x ，|sin | 1x 时，( )f x取得最大值 2，故D正确， 故选：AD 12 （5 分）设函数 (1),0 ( ), 22,0

24、x aa x a xx f x x 下列四个结论中正确的有( ) A对0a ，tR ，使得( )f xt无解 B对0t ，aR ，使得( )f xt有两解 C当0a 时，0t ，使得( )f xt有解 D当2a 时，tR ，使得( )f xt有三解 【解答】解：对于选择A， 可取3a ，则 33 3(1),0 ( ), 22,0 xx xx f x x 当0 x 时，( )3(1)(f xx ，3)， 当0 x时， 3333 ( )222 222 xxxx f x ， 当且仅当3x 时取等号， 第 11 页（共 18 页） 故3a 时，( )f x的值域为R， 则对tR ，使得( )f xt都

25、有解，故选项A错误； 对于选项B， 可取0a ，则 0,0 ( ) 22 ,0 xx x f x x ， 可得( )f x在R上单调递增， 对0 ( )tf xt 至多一解，故选项B错误； 对于选项C， 当0a 时，若0 x ，则( )(1)f xa x单调递减，故( )f xa， 若0 x，则0 xa，则有21 x a ，可得221 x aa x ， 故函数( )f x的值域为( ,)a ， 所以0t ，使得( )f xt有解，故选项C正确； 对于选项D， 当2a ，若0 x ，则( )(1)f xa x单调递增，故( )f xa， 若0 x，则( )222 222 x aa xx aa x

26、 f x ， 当且仅当xa时取等号， 由图象可知，当23t 时，( )f xt有三个解，故选项D正确 故选：CD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小颗，每小题小颗，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填在答题卡对应题号的位置请将答案填在答题卡对应题号的位置 上上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13 （5 分）命题“xR ， 2 0 xx ”的否定是 xR ， 2 0 xx 【解答】解：原命题“xR ， 2 0 xx ” 第 12 页（共 18 页） 命题“xR ， 2 0 xx ”的否定是： xR ， 2 0 xx 故答案为

27、：xR ， 2 0 xx 14 （5 分）设函数( )2sin() 25 f xx 若对任意xR，都有 12 ()( )()f xf xf x剟成立，则 12 |xx的最小值为 2 【解答】解：函数( )2sin() 25 f xx 的周期 2 4 2 T ， 对任意xR，都有 12 ()( )()f xf xf x剟成立， 说明 1 ()f x取得最小值， 2 ()f x取得最大值， 12 |2 2 min T xx 故答案为：2 15 （5 分）已知函数 2 ( )( 1)1f xlnxx，f（a）4，则()fa 2 【解答】解：根据题意， 2 ( )( 1)1f xlnxx，则 2 ()

28、( 1)1fxlnxx， 则( )()2f xfx，即有f（a）()2fa， 又由f（a）4，则()2fa ； 故答案为：2 16 （5 分）用 I M表示函数sinyx在闭区间I上的最大值，若正数a满足 0, ,2 2 aaa MM， 则 0, a M 1 ；a的取值范围为 【解答】解：如图是函数sinyx，0 x，3 的图象， 若0 2 a ，sinyx在0，a上单调递增， 所以， 0, sin a Ma， 此时， ,2 0, sin aaa MaM， 这与已知 0, ,2 2 aaa MM，矛盾所以， 2 a ，所以 0, 1 a M，故正确答案是：1 显然 5 2 2 a 时， ,2

29、1 aa M，这与已知 0, ,2 2 aaa MM，矛盾所以， 5 2 2 a 即 5 4 a ， 所以 5 24 a 又已知， 0, ,2 2 aaa MM，即 ,2 1 2 aa M，因为当 5 24 a 时， 5 2 2 a ， ,2 sin aa Ma或 sin2a， 第 13 页（共 18 页） 所以， 1 sin 2 1 sin2 2 a a 55 64 13 2 6 a a 剟 513 612 a 剟 故正确答案为：1， 5 6 ，13 12 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明

30、、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知tan2，求下列式子的值： （1） sincos sincos ； （2）sin()cos() 2 【解答】解： （1）因为tan2， 所以 sincostan121 3 sincostan121 ； （2） 2 2222 111 sin()cos()coscos 21215 cos sincostan 18 （12 分）已知集合 |22Axa xa剟， |1Bx x或4x （1）当3a 时，求AB，() R AB； （2）若AB ，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）将3a 代入A中的不等式得：15x 剟，即 | 15Axx 剟， |1Bx

31、x或4x，UR， | 11ABxx 剟或45x剟， |14 UB xx， 则() |15 U ABxx 剟； （2） |22Axa xa剟， |1Bx x或4x，且AB ， 21 24 a a ， 解得：1a 第 14 页（共 18 页） 19 （12 分）已知函数( )2sin(2) 6 f xx （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）求函数( )f x的对称轴和对称中心； （3）求函数( )f x在区间,0 2 上的最大值和最小值 【解答】解： （1）令222 262 x k剟k，Zk， 解得 36 x k剟k，Zk， 所以函数( )f x的单调递增区间为 3 k， 6 k，Zk

32、 （2）令2 62 x k，Zk，解得 26 x k ，Zk，即函数( )f x的对称轴为 26 x k ，Zk， 令2 6 x k，Zk， 解得 212 x k ，Zk， 即函数( )f x的对称中心为( 212 k ，0)， Zk （3）,0 2 x ，则 5 2 66 x ， 6 ，sin(2) 1 6 x ， 1 2 ， 所以( ) 2f x ，1， 所以函数( )f x在区间,0 2 上的最大值为 1，最小值为2 20 （12 分）阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说： “数缺形时少直观，形少数时难 入微，数形结合百般好，隔离分家万事休 ”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研

33、究函数的性质， 也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征 我们来看一个应用函数解析式 研究对应函数图象形状的例子 对于函数 1 y x ，我们可以通过解析式来研究它的图象和性质，如： 图象特征： （1）在函数 1 y x 中，由0 x ，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相 交；由0y ，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交； （2）在函数 1 y x 中，当0 x 时0y ，当0 x 时，0y ，可以推测出，对应的图象能分 布在第一、三象限； （3）在函数 1 y x 中，若(0,)x，则0y ，且当x逐渐增大时，y逐渐减小，可推测 第 15 页（共 18 页）

34、出， 对应的图象越向右越靠近x轴； 若(,0)x ， 则0y ， 且当x逐渐减小时， 逐渐增大， 可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴； （4）由函数 1 y x 可知()( )fxf x ，即函数 1 y x 是奇函数，可以推测出，对应的图象 关于原点对称 结合以上性质，逐步猜想出函数 1 y x 对应的图象，如图所示： 尝试类比，探究函数 2 2 1 yx x 的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试作出函 数对应的图象 【解答】解：由 2 0 x 得0 x ，即函数的定义域为 |0 x x ， ()( )fxf x，则函数( )f x为偶函数， 由( )0f x ，得 4 1x

35、，得1x 或1x ，即函数( )f x只有两个零点， 当0 x 时， 2 yx为增函数， 2 1 y x 为增函数，则( )f x为增函数，则当0 x 时，( )f x为 减函数， 则对应的图象如图： 第 16 页（共 18 页） 21 （12 分） 已知( )f x对任意的实数m，n都有：()( )( ) 1f mnf mf n， 且当0 x 时， 有( )1f x （1）求(0)f； （2）求证：( )f x在R上为增函数； （3）若f（6）7，且关于x的不等式 2 (2)()3f axf xx对任意的 1x ，)恒 成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）解：令0mn，则(0)2

36、(0) 1ff，解得(0)1f （3 分） （2）证明：设 1 x， 2 x是R上任意两个实数，且 12 xx，则 令 21 mxx， 1 nx，则 2211 ()()()1f xf xxf x （5 分） 所以 2121 ()()()1f xf xf xx 由 12 xx得 21 0 xx，所以 21 ()1f xx 故 21 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x（7 分） 所以( )f x在R上为增函数 （3）由已知条件有： 22 (2)()(2) 1f axf xxf axxx 故原不等式可化为： 2 (2) 13f axxx 即 2 (1)22fxax 而当 * nN

37、时，( )(1)f nf nf（1）1(2)2f nf （1）2 (3)3f nf（1）3nf （1）(1)n 所以f（6）6f（1）5，所以f（1）2 故不等式可化为 2 (1)2fxaxf（1）（9 分） 第 17 页（共 18 页） 由（2）可知( )f x在R上为增函数，所以 2 (1)21xax 即 2 (1)30 xax 在 1x ，)上恒成立（10 分） 令 2 ( )(1)3g xxax，即( )0 min g x成立即可 ( ) i当 1 1 2 a 即3a 时，( )g x在 1x ，)上单调递增 则( )( 1)1(1)30 min g xga 解得5a ，所以53a （

38、11 分） ( )ii当 1 1 2 a 即3a 时 有 2 111 ( )()()(1)30 222 min aaa g xga 解得2 312 31a 而32 31 ，所以32 3 1a （13 分） 综上所述：实数a的取值范围是( 5,2 31)（14 分） 注：( )( )i ii两种情况少考虑一种或计算错一种扣两分，最后综上所述错误扣一分 22 （12 分）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆 与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间） ，当此距离等于报警距离时就开始 报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如图所示）将报警时间划分为 4

39、 段，分 别为准备时间 0 t、人的反应时间 1 t、系统反应时间 2 t、制动时间 3 t，相应的距离分别为 0 d、 1 d、 2 d、 3 d，当车速为v（米/秒） ，且0v，33.3时，通过大数据统计分析得到如表（其 中系数k随地面湿滑成都等路面情况而变化，0.5k，0.9) 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 0 t 1 0.8t 秒 2 0.2t 秒 3 t 距离 0 20d 米 1 d 2 d 2 3 1 20 dv k 米 （1）请写出报警距离d（米)与车速v（米/秒）之间的函数关系式( )d v，并求0.9k 时， 第 18 页（共 18 页） 若汽车

40、达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施， 仍以此速度行驶， 则汽车撞上固定 障碍物的最短时间（精确到 0.1 秒） ； （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于 80 米，则汽车的行驶速度应 限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？ 【解答】解： （1）根据题意， 22 0123 200.80.220 2020 vv dddddvvv kk ， 当0.9k 时， 2 202020 200.9 11 213.1 1818 v dvv t vvvvv 秒， 当且仅当 2 360v ，即6 1019/vm s时等号成立； （2）依题意，若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于 80 米， 则路况最糟糕时也需满足，即0.5k 时， 2 2080 20 0.5 v dv ， 即 2 106000vv， 解得020v米/秒，合 72 千米/小时