2020-2021学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 个小题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的个小题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1 （5 分）已知直线10 xay 和直线210 xy 互相平行，则a的值为( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 2 （5 分）若ab，则下列结论正确的是( ) A 22 ab B 11 ab C22 ab Dlnalnb 3 （5 分）已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为(1,0)F，长轴长为

2、 4，则椭圆C的方 程为( ) A 2 2 1 4 x y B 22 1 43 xy C 2 2 1 16 x y D 22 1 1615 xy 4 （5 分） “0m ”是方程“ 2 0 xmy”表示抛物线的( ) A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）若命题 p：a（0，1） ，a2a0；命题 q：m0R 使直线 ymx+1 的倾斜角为 则下列判断正确的是（ ） Ap 是假命题 Bp（q）是真命题 Cq 是真命题 D （p）q 是真命题 6 （5 分）双曲线 22 1 169 xy 的焦点到渐近线的距离为( ) A2 B3 C4 D5 7

3、 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 20，则输出T的值为( ) 第 2 页（共 21 页） A1 B2 C3 D4 8 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，22ABBC，若此长方体的八个顶点都在体积 为 9 2 的球面上，则此长方体的体积为( ) A20 B16 C8 D4 9 （5 分） 周髀算经中提出了“方属地，圆属天” ，也就是人们常说的“天圆地方” 我 国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方” “天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如 图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为(0)aar，若在圆内随机取点，得到 点取自阴影部分的概率是p，

4、则圆周率的值为( ) A 2 2 (1) a p r B 2 2 (1) a p r C (1) a p r D (1) a p r 10 （5 分） 在 九章算术 中， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑(bi， no) 如 图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为 第 3 页（共 21 页） ( ) A6 B21 C27 D54 11 （5 分）设O为坐标原点， 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦点，若双曲线上 存在点P，满足 12 3 PFF ， 1 0OP PF，则该双曲线的离心率为( ) A1 5

5、 2 B1 13 3 C1 11 2 D1 2 2 3 12 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为 11 C D， 11 BC的中点，O，M 分别为BD，EF的中点，对于下列四个结论： 二面角 1 ABCD的大小为 4 ； 三条直线BF， 1 CC，DE有公共点； 直线 1 AC上存在点N使M，N，O三点共线； 直线OF与平面ABCD所成角的正切值为 2 其中错误结论的个数为( ) A0 B1 C2 D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题把答案填在答题纸上） 小题把答案填在答题纸上） 第 4 页（共 21 页） 13 （5 分）若变量x，y满

6、足约束条件 3 1 1 x y xy ，则2zxy的最小值等于 14 （5 分）已知圆锥的体积等于9 3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面圆半径 为 15 （5 分）如图所示的茎叶图，记录了甲、乙两位同学五次音乐素养的测试成绩，则这两 位同学中成绩比较稳定的同学的方差是 16（5 分） 设mR， 过定点A的动直线20 xmy和过定点B的动直线40mxym 交于点( , )P x y，则|PAPB的最大值是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）某品牌手机厂商推出新款旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上

7、市时 间(x个月）市场占有率( %)y的几组相关对应数据： x 1 2 3 4 5 y 2 5 11 14 18 根据如表中的数据完成下列问题： （）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； （） 用变量间的相关关系分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势， 并预测自上市起经过 多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%（精确到月） 附：最小二乘法估计分别为 11 2 22 1 1 ()() () nn iiii ii n n i i i i x ynxyxxyy b xnx xx ， a ybx，其中3x ， 10y ， 5 2 1 ()10 i i xx 18 （12 分）已知函数( )()

8、(4)f xxxk，其中Rk （）求关于x的不等式( )0f x 的解集； （）对任意1x，3，若关于x的不等式( )45f x k恒成立，求k的取值范围 第 5 页（共 21 页） 19 （12 分） “青年大学习”是共青团中央为持续引导广大青年深入学习宣传贯彻习近平新 时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神组织的青年学习行动 某市宣传部门为了解全 市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取 2000 名青年进行调 查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（时间单位：分钟） ，如图是根据调 查结果绘制的频率分布直方图 （）如果该市有 20 万名青年，根据频率分布

9、直方图，估计全市每周利用“青年大学习” 进行学习的时长不低于 60 分钟的青年有多少人？ （） 市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年召开一个座谈会， 并作交流发言 办法是： 采用分层抽样的方法从学习时长在80，90)和90，100的青年中抽取 7 人，且从参会的 7 人中又随机抽取 2 人发言，求学习时长在90，100中至少有 1 人被抽中发言的概率 20 （12 分）已知曲线C上的任意一点到点(0,1)F的距离与到直线20y 的距离小 1 （）求曲线C的方程； （）若不经过坐标原点O的直线l与曲线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点 O，求证：直线l过定点 21 （12 分）如图，四

10、棱锥SABCD的底面是菱形，SASC （）求证：平面SBD 平面ABCD； （）若P是侧棱SD上异于端点的一动点，试问在侧棱SD上是否存在一点E使/ /BE平 面ACP，若存在，求 PD ED 的值；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 21 页） 22（12分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为 1( 2,0) F ， 点 6 ( 2 ,) 3 P在椭圆C上 （）求椭圆C的顶点坐标； （）若等轴双曲线N的顶点分别是椭圆C的左、右焦点 1 F、 2 F，设Q为该双曲线N上异 于顶点的任意一点， 直线 1 QF和 2 QF与椭圆C的交点分别为E，F和G，H， 求|

11、 4 |E FG H 的最小值 第 7 页（共 21 页） 2020-2021 学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 个小题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的个小题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1 （5 分）已知直线10 xay 和直线210 xy 互相平行，则a的值为( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 【解答】解：因为直线10 xay 和直线210 xy 互相平行， 所以 1 ( 1)20 1( 1) 10 a a

12、 ，解得 1 2 a 故选：D 2 （5 分）若ab，则下列结论正确的是( ) A 22 ab B 11 ab C22 ab Dlnalnb 【解答】解：因为ab，若1a ，4b ，则 22 ab，故选项A错误； 因为 11ba abab ，当0ab 时， 11 ab ，故选项B错误； 因为2xy 在R上为增函数，若ab，则22 ab ，故选项C正确； 若0ab，则lna和lnb无意义，故选项D错误 故选：C 3 （5 分）已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为(1,0)F，长轴长为 4，则椭圆C的方 程为( ) A 2 2 1 4 x y B 22 1 43 xy C 2 2 1 16 x

13、y D 22 1 1615 xy 【解答】解；由题意1c ，24a ， 2a， 222 3bac， 椭圆C的方程： 22 1 43 xy 故选：B 4 （5 分） “0m ”是方程“ 2 0 xmy”表示抛物线的( ) A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：方程“ 2 0 xmy”表示抛物线则0m ， 而 |0 |0m mm m，mR， 所以“0m ”是方程“ 2 0 xmy”表示抛物线的充分但不必要条件 故选：A 5 （5 分）若命题 p：a（0，1） ，a2a0；命题 q：m0R 使直线 ymx+1 的倾斜角为

14、则下列判断正确的是（ ） Ap 是假命题 Bp（q）是真命题 Cq 是真命题 D （p）q 是真命题 【解答】解：当 a（0，1）时，a2a0，故命题 p 为真命题， 若直线 ymx+1 的倾斜角为 ，则 m0，故命题 q 为真命题， 所以 p（q）为假命题， （p）q 是假命题 故选：C 6 （5 分）双曲线 22 1 169 xy 的焦点到渐近线的距离为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：由 22 1 169 xy 可知4a ，3b ，5c ， 其中一个焦点为(5,0)， 一条渐近线方程为 3 ,340 4 yxxy， 所以 22 |3 540| 3 34 d 故选：B 7 （5

15、分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 20，则输出T的值为( ) 第 9 页（共 21 页） A1 B2 C3 D4 【解答】解：若输入20N ， 则2i ，0T ， 20 10 2 N i 是整数，满足条件011T ，213i ，5i不成立， 循环， 20 3 N i 不是整数，不满足条件 ，314i ，5i不成立， 循环， 20 5 4 N i 是整数，满足条件，1 12T ，415i ，5i成立， 输出2T ， 故选：B 8 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，22ABBC，若此长方体的八个顶点都在体积 为 9 2 的球面上，则此长方体的体积为( ) A

16、20 B16 C8 D4 【解答】解：根据长方体的结构特征可知，长方体外接球直径等于长方体体对角线的长， 因为长方体的外接球的体积为 9 2 ，设外接球的半径为R， 则有 3 49 32 R ，解得 3 2 R ， 第 10 页（共 21 页） 所以 222 1 2RABBCBB，因为22ABBC， 所以 2 1 34 1BB ，解得 1 2BB ， 则长方体的体积为 1 2 1 24VAB BC BB 故选：D 9 （5 分） 周髀算经中提出了“方属地，圆属天” ，也就是人们常说的“天圆地方” 我 国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方” “天地合一”的哲学思想现将铜钱抽象成如 图所示的图形

17、，其中圆的半径为r，正方形的边长为(0)aar，若在圆内随机取点，得到 点取自阴影部分的概率是p，则圆周率的值为( ) A 2 2 (1) a p r B 2 2 (1) a p r C (1) a p r D (1) a p r 【解答】解：圆形钱币的半径为rcm，面积为 2 Sr 圆 ； 正方形边长为acm，面积为 2 Sa 正方形 在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是 2 2 1 SSa p Sr 圆正方形 圆 ， 则 2 2 (1) a p r 故选：A 10 （5 分） 在 九章算术 中， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑(bi， no) 如 图，网格纸上小正方形的边

18、长为 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为 ( ) 第 11 页（共 21 页） A6 B21 C27 D54 【解答】解：根据几何体的三视图： 得知：该几何体是由一个底面以 3 和 4 为直角边的直角三角形和高为 3 的四面体构成， 所以： 1111 3 53 43 53 4 2222 S ， 27， 故选：C 11 （5 分）设O为坐标原点， 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦点，若双曲线上 存在点P，满足 12 3 PFF ， 1 0OP PF，则该双曲线的离心率为( ) A1 5 2 B1 13 3 C1 11 2 D1 2 2

19、3 【解答】解：如图， 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 1 0OP PF， 1 OPPF， 12 3 PFF ， 1 |OFc， 1 | 2 c PF ， 3 | 2 OPc，作PQx轴，垂足为Q，在Rt 1 PFO中， 第 12 页（共 21 页） 由 1 131 | 2 222 P cccy ，得 3 | | 4 P PQyc， 22 333 | | 4164 P OQxccc， 22 2 34913 | 16162 PFccc， 由双曲线定义可得， 13 2 22 c ca，解得 2113 3131 2 c e a 故选：B 12 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCD

20、ABC D中，E，F分别为 11 C D， 11 BC的中点，O，M 分别为BD，EF的中点，对于下列四个结论： 二面角 1 ABCD的大小为 4 ； 三条直线BF， 1 CC，DE有公共点； 直线 1 AC上存在点N使M，N，O三点共线； 直线OF与平面ABCD所成角的正切值为 2 其中错误结论的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：因为面 1 A BC和面 11 ABCD重合，面BCD和面ABCD重合， 由于 1111 ABCDABC D为正方体， 所以 1 AA 面ABCD， 1 DD 面ABCD， 即面 11 ABCD在面ABCD投影为ABCD， 又 2 ABCD SAB，

21、 11 2 22 A BCD SBCABAB， 所以所求二面角余弦值 11 2 2 ABCD S SABCD ， 第 13 页（共 21 页） 所以二面角 1 ABCD的大小为 4 ，故正确； 因为 1 1 2 C F BC ， 1 1 2 EC DC ，所以 11 C FEC BCDC ，从而BF、 1 CC、DE会交于一点，故正确； 因为 22 11 5 2 DED EDDAB， 22 11 5 2 BFB FBBAB， 所以四边形DEFB为等腰梯形， 又面 11 AAC C面EFBDOM，故正确； 作OPBC交BC于P，连接FP， 因为O为正方形ABCD中心，所以 11 22 OPABF

22、P， 所以所求角的正切值为 1 2 1 2 FP OP ，故正确 综上所述：都正确 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题把答案填在答题纸上） 小题把答案填在答题纸上） 13 （5 分）若变量x，y满足约束条件 3 1 1 x y xy ，则2zxy的最小值等于 1 【解答】解：画出约束条件 3 1 1 x y xy 表示的平面区域， 第 14 页（共 21 页） 如阴影部分所示： 目标函数2zxy转化为2yxz， 平移目标函数知，2yxz过点A时，直线2yxz在y轴上的截距最大，z的值最小； 由 1 1 y xy ，解得(0,1)A， 所以z的最小值是2011 min

23、z 故答案为：1 14 （5 分）已知圆锥的体积等于9 3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面圆半径 为 3 【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 因为圆锥的侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长， 所以 1 22 2 lr ， 解得2lr， 所以圆锥的高为 2222 (2 )3hlrrrr， 因为圆锥的体积等于9 3， 则 2 1 39 3 3 rrr，解得3r ， 所以该圆锥的底面圆半径为 3 故答案为：3 15 （5 分）如图所示的茎叶图，记录了甲、乙两位同学五次音乐素养的测试成绩，则这两 位同学中成绩比较稳定的同学的方差是 10 第 15 页（共 21 页） 【解答】解：

24、由茎叶图得甲同学的成绩比较稳定 甲同学成绩的平均数为： 1 (8182838490)84 5 x ， 这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是： 222222 1(81 84)(8284)(8384)(8484)(9084) 10 5 S 故答案为：10 16（5 分） 设mR， 过定点A的动直线20 xmy和过定点B的动直线40mxym 交于点( , )P x y，则|PAPB的最大值是 5 2 【解答】解：由题意可得，动直线20 xmy过定点( 2,0)A ， 直线40mxym可化为(1)40 xmy，斜率mk， 令 10 40 x y ，解得(1,4)B， 又1( 1)0mm ， 故两条直

25、线垂直，交点为P， 所以 222 |2.5PAPBAB， 由基本不等式可得 222 2.5 |(|)2|PAPBPAPBPA PB 222 |1 (|)2()(|) 22 PAPB PAPBPAPB ， 所以 2 (|)50PAPB，解得|5 2PAPB， 当且仅当| |PAPB时取等号， 所以|PAPB的最大值为5 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）某品牌手机厂商推出新款旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时 第 16 页（共 21 页） 间(x个月）市场占有率( %)y的几组相关对应数据： x

26、 1 2 3 4 5 y 2 5 11 14 18 根据如表中的数据完成下列问题： （）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； （） 用变量间的相关关系分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势， 并预测自上市起经过 多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%（精确到月） 附：最小二乘法估计分别为 11 2 22 1 1 ()() () nn iiii ii n n i i i i x ynxyxxyy b xnx xx ， a ybx，其中3x ， 10y ， 5 2 1 ()10 i i xx 【解答】解： （） 12345 3 5 x ， 2511 1418 10 5 y ， 5 1 ()

27、()2( 8)( 1)( 5)0 1 1 42 841 ii i xxyy ， 已知 5 2 1 ()10 i i xx ， 5 1 5 2 1 ()() 41 4.1 10 () ii i i i xxyy b xx ， 104.1 32.3aybx ， y关于x的线性回归方程为4.12.3yx； （）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关， 即上市时间每增加 1 个月，市场占有率都增加 4.1 个百分点， 由4.12.349yx，解得12.513x， 预测自上市起经过 13 个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49% 18 （12 分）已知函数( )()(4)f xxxk，其中Rk

28、 （）求关于x的不等式( )0f x 的解集； （）对任意1x，3，若关于x的不等式( )45f x k恒成立，求k的取值范围 【解答】解： （）不等式( )0f x ，即为不等式()(4)0 xxk， 当4k时，不等式的解集为( ,4)k； 当4k时，不等式的解集为(，4)(4，)； 当4k时，不等式的解集为(4, )k 第 17 页（共 21 页） （）对任意1x，3，不等式( )45f x k恒成立， 所以对任意1x，3，不等式()(4)45xxkk恒成立， 即对任意1x，3， 5 4x x k恒成立， 由对勾函数 5 4yx x 在1，5)单调递减，在( 5，3单调递增， 所以 5 4

29、yx x 在5x 处取得最小值为2 54， 所以2 54k， 即k的取值范围是(，2 54) 19 （12 分） “青年大学习”是共青团中央为持续引导广大青年深入学习宣传贯彻习近平新 时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神组织的青年学习行动 某市宣传部门为了解全 市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取 2000 名青年进行调 查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（时间单位：分钟） ，如图是根据调 查结果绘制的频率分布直方图 （）如果该市有 20 万名青年，根据频率分布直方图，估计全市每周利用“青年大学习” 进行学习的时长不低于 60 分钟的青年有多少人？

30、（） 市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年召开一个座谈会， 并作交流发言 办法是： 采用分层抽样的方法从学习时长在80，90)和90，100的青年中抽取 7 人，且从参会的 7 人中又随机抽取 2 人发言，求学习时长在90，100中至少有 1 人被抽中发言的概率 【解答】解： （）由频率分布直方图，得全市每周利用“青年大学习”进行学习的时长不 低于 60 分钟的频率为： 1(0.0050.010) 100.85， 该市有 20 万名青年， 第 18 页（共 21 页） 根据频率分布直方图，估计全市每周利用“青年大学习”进行学习的时长不低于 60 分钟 的青年有： 2000000.851700

31、00（人) （）采用分层抽样的方法从学习时长在80，90)和90，100的青年中抽取 7 人， 则从学习时长在80，90)中抽取： 0.025 75 0.0250.010 人， 从学习时长在90，100中抽取： 0.010 72 0.0250.010 人 从参会的 7 人中又随机抽取 2 人发言， 基本事件总数 2 7 21nC， 学习时长在90，100中至少有 1 人被抽中发言包含的基本事件个数 211 252 11mCC C， 学习时长在90，100中至少有 1 人被抽中发言的概率为 11 21 m P n 20 （12 分）已知曲线C上的任意一点到点(0,1)F的距离与到直线20y 的距

32、离小 1 （）求曲线C的方程； （）若不经过坐标原点O的直线l与曲线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过点 O，求证：直线l过定点 【解答】解： （）因为曲线C上的任意一点到点(0,1)F的距离与到直线20y 的距离小 1， 所以曲线C上的任意一点到点(0,1)F的距离与到直线10y 的距离相等， 所以曲线C为以F为焦点，直线1y 为准线的抛物线，即2p ， 所以曲线C的方程为 2 4xy （）证明：根据题意设直线AB方程为(0)xmyb b， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立 2 4 xmyb xy ，可得 222 (24)0m ymbyb， 所以 12 2

33、42mb yy m ， 2 12 2 b y y m ， 2 2222 12121212 22 424 ()()()() bmbb x xmyb mybm y ymb yybmmbb mmm ， 因为以线段AB为直径的圆过点O， 所以AOBO， 第 19 页（共 21 页） 所以 1 (AO BOx ， 12 ) (yx ， 2 21212 2 4 )0 bb yx xy y mm ， 即0b （舍去） 或4bm ， 所以直线l的方程为4xmym，即(4)xm y， 所以直线l经过定点(0,4) 21 （12 分）如图，四棱锥SABCD的底面是菱形，SASC （）求证：平面SBD 平面ABCD

34、； （）若P是侧棱SD上异于端点的一动点，试问在侧棱SD上是否存在一点E使/ /BE平 面ACP，若存在，求 PD ED 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （）证明：设BDACO，连接SO， 四棱锥SABCD的底面是菱形，SASC ACSO，ACBD，且BDSOO，DB、SO 面SBD， AC面SBD， AC 面ABCD，平面SBD 平面ABCD （）在侧棱SD上存在一点E使/ /BE平面ACP，且 1 2 PD ED ， 理由如下：连接PO，可得O为DB中点， 当 1 2 PD ED 时，/ /OPBE， 且OP 面ACP，BE 面ACP， / /BE平面ACP 故在侧棱SD上存在一

35、点E使/ /BE平面ACP，且 1 2 PD ED 第 20 页（共 21 页） 22（12分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为 1( 2,0) F ， 点 6 ( 2 ,) 3 P在椭圆C上 （）求椭圆C的顶点坐标； （）若等轴双曲线N的顶点分别是椭圆C的左、右焦点 1 F、 2 F，设Q为该双曲线N上异 于顶点的任意一点， 直线 1 QF和 2 QF与椭圆C的交点分别为E，F和G，H， 求| 4 |E FG H 的最小值 【解答】解： （）由题意可得 22 222 46 1 9 2 ab abc c ，解得 2 6a ， 2 2b ， 所以椭圆的方程为 2

36、2 1 62 xy ， 所以椭圆的左右顶点坐标为(6，0)，( 6，0)， 上下顶点坐标为(0, 2)，(0,2) （）由题知双曲线N的方程为 22 1 44 xy ， 设 1 (E x， 1) y， 2 (F x， 2) y， 3 (G x， 3) y， 4 (H x， 4) y， 设直线 1 QF的方程为2xmy，直线 2 QF的方程为2xny， 联立直线 1 QF的方程与椭圆的方程 22 2 1 62 xmy xy ，得 22 (3)420mymy， 所以 12 2 4 3 m yy m ， 12 2 2 3 y y m ， 同理联立直线 2 QF的方程与椭圆的方程，可得 34 2 4

37、3 n yy n ， 34 2 2 3 y y n ， 所以 222 222 1212 22222 168(3)1 |1 ()412 6 (3)(3)3 mmm EFmyyy ym mmm ， 第 21 页（共 21 页） 222 222 3434 22222 168(3)1 |1 ()412 6 (3)(3)3 nnn GHnyyy yn nnn ， 联立直线 1 QF， 2 QF方程 2 2 xmy xny ，解得 22 4 mn x mn y mn ， 所以Q点坐标为 22 ( mn mn ， 4 ) mn ， 因为点Q在双曲线上， 所以 2 22 (22 )16 1 4()4() mn

38、 mnmn ，化简得 2222 242mnmnmnmn， 所以1mn ，即 1 n m ， 所以 222 2 222 2 1 1 111 | 4| 2 6(4)2 6(4) 1 333 3 mnm m EFGH mnm m 2222242 224242 11(1)(41231)7203 2 6(4)2 62 6 33131033103 mmmmmmm mmmmmm ， 令 2 tm，则 2 2 2 70109 776 710 335 |4|2626() 2777693768 310333 3 552525 tttt EFGH tt tt t 10 710179 6 3 2 6 () 2 6() 9768104 3332768104 3() 2 3 9 55 255 25() 5 t t ， 当且仅当 9768 3() 9 5 25() 5 t t ，即 2 5mt ，5m 时，取等号， 所以| 4|EFGH最小值为 9 6 2