2020-2021学年湖北省高二（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年湖北省高二（上）期末数学试卷学年湖北省高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题包括一、单项选择题：本题包括 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若直线l的斜率为3，则直线l的倾斜角为( ) A30 B60 C120 D150 2 （5 分）若等差数列an满足 a1+a34，a5+a74，则等差数列an的公差 d（ ） A2 B1 C0 D1 3 （5 分）已知 0.3 2a ， 2 0.3b ，

2、0.3 log2c ，则( ) Abca Bbac Ccab Dcba 4 （5 分）将全班 50 名同学排成一列，则甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率是( ) A 1 2 B 1 6 C 1 3 D 3 50 5 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，若321 nn Sa，则 135 (a a a ) A8 B8 C64 D64 6 （5 分）1766 年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列 0，3，6，12，24，48， 96，经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，科学 家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据

3、此发现了“天王星” 、 “谷 神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯波得定则” 根据规律，新数列的第 8 项 为( ) A14.8 B19.2 C19.6 D20.4 7（5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点是F，A，B，D是抛物线C上的点 若ABD 的重心是点(2,3)，且| 15AFBFDF，则(p ) A4 B6 C8 D12 8 （5 分）已知圆 22 :20M xyx，点P是曲线 1 :(1) 1 C yx x 上的动点，过点P作 圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形PAMB的面积最小时，线段AB的长为( ) A2 B3 C 1 2 D1 二、多项选择

4、题：本题包括二、多项选择题：本题包括 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有在每小题给出的四个选项中，有 第 2 页（共 17 页） 多项是符合题目要求的多项是符合题目要求的.全部选对的得全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知直线:10()l xayaR ，则下列说法正确的是( ) A直线l过定点( 1,0) B直线l一定不与坐标轴垂直 C直线l与直线:0()lxaymmR 一定平行 D直线l与直线:0()laxymmR一定垂直 10 （5 分）已知正数 x，y

5、满足 x+y2，则下列结论正确的是（ ） Axy 的最大值是 1 B的最小值是 2 Cx2+y2的最小值是 4 D的最小值是 11 （5 分）已知函数( ) |3sin(2)| 6 f xx ，则下列结论正确的是( ) A函数( )f x的最小正周期为 B函数( )f x的最大值为3 C函数( )f x的图象关于点(,0) 12 对称 D函数( )f x的图象关于直线 7 12 x 对称 12（5 分） 设数列 n a、 n b的前n项和分别为 n S、nT，11S ， 1 2 nn n SS n ， 且 2 1 2 n n nn a b a a ， 则下列结论正确的是( ) A 2020 2

6、020a B (1) 2 n n n S C 1 1 (2) n b n n D 13 34 n Tn 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1, 1),( 2, )abt ，若/ /ab，则a b 14 （5 分）若方程 22 22 512150 xyaxya表示圆，则实数a的取值范围是 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为e，直线: l yx与双曲线C交 于M，N两点，若|2MNb，则e的值是 16 （5 分）如图，正二十面体是由 20 个等边三角形组成

7、的正多面体，共有 12 个顶点，30 第 3 页（共 17 页） 条棱，20 个面，是五个柏拉图多面体之一如果把sin36按 3 5 计算，则棱长为 6 的正二十 面体的外接球半径等于 四、解答题：共四、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （ 10分 ） 2 sintanbAaB； 22 62cosacbcbacB； 22 sinsin sinsin 4 BC BC ，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并 加以解答 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若4a ， 6 A ， 且 _， 求

8、ABC 的面积 18 （12 分）已知正项数列 n a的前n项和为. n S若 2 4a ， 11nnnnn SSaaa （1）求证：数列 n a是等差数列； （2）设 1 2 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）已知(0, )， 3 ( 1,cos(),(sin(),1) 22 ab ，且 1 5 a b （1）求sincos的值； （2）若( ,2 )，tan()7，求的值 20 （12 分） 已知直线l的斜率为2， 且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积等于 1 圆 C的圆心在直线l上，且被x轴截得的弦长为 4 （1）求直线l的方程； （2）若直线

9、:210lxy 与圆C相切，求圆C的方程 21 （ 12分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥SABCD中 ， 平 面SAD 平 面A B C D， 90ASDADCBCD ，SASD且 1 2 BCDCAD （1）求证：SCBD； （2）若点M是线段SD的中点，求二面角MABD的余弦值 第 4 页（共 17 页） 22 （ 12 分 ） 设 曲 线 22 :1(0,0)C mxnymn过(2,3),(2 2, 6)MN两 点 ， 直 线 :(2)l yxk与曲线C交于P，Q两点，与直线8x 交于点R （1）求曲线C的方程； （2）记直线MP，MQ，MR的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，求

10、证： 123 kkk，其中为 定值 第 5 页（共 17 页） 2020-2021 学年湖北省高二（上）期末数学试卷学年湖北省高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题包括一、单项选择题：本题包括 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若直线l的斜率为3，则直线l的倾斜角为( ) A30 B60 C120 D150 【解答】解：设直线l的倾斜角为(0)， l的斜率为3， tan3 ， 又0， 120； 故选：C 2

11、 （5 分）若等差数列an满足 a1+a34，a5+a74，则等差数列an的公差 d（ ） A2 B1 C0 D1 【解答】解：等差数列an满足 a1+a34，a5+a74， （a5+a7）（a1+a3）（a1+a3+8d）（a1+a3）8d8， 解得 d1 故选：D 3 （5 分）已知 0.3 2a ， 2 0.3b ， 0.3 log2c ，则( ) Abca Bbac Ccab Dcba 【解答】解： 0.30 221a ， 20 00.30.31b， 0.30.3 log2log10c ， cba 故选：D 4 （5 分）将全班 50 名同学排成一列，则甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概

12、率是( ) A 1 2 B 1 6 C 1 3 D 3 50 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：可以不考虑其他人，则甲、乙、丙三人的不同排法有： （甲，乙，丙） ， （甲，丙，乙） ， （乙，丙，甲） ， （乙，甲，丙） ， （丙，甲，乙） ， （丙，乙， 甲） ，共 6 种， 其中甲在乙的前面，且丙在乙的后面的排法只有 1 种， 故甲在乙的前面，且丙在乙的后面的概率是 1 6 p 故选：B 5 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，若321 nn Sa，则 135 (a a a ) A8 B8 C64 D64 【解答】解：当1n 时， 111 3321Saa，解得 1 1a

13、， 当2n时，321 nn Sa， 11 321 nn Sa ， 两式相减得 1 322 nnn aaa ，即 1 2 n n a a ， 1 ( 2)n n a ， 3 4a ， 5 16a ， 3 1 353 64aa aa， 故选：D 6 （5 分）1766 年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列 0，3，6，12，24，48， 96，经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，科学 家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星” 、 “谷 神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯波得定则” 根据规律，新数列的

14、第 8 项 为( ) A14.8 B19.2 C19.6 D20.4 【解答】解：观察两组数列 0，3，6，12，24，48，96， 0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10， 发现规律是将原数列的每一项加 4，再除以 10， 故第 8 项为(96 24) 1019.6 故选：C 7（5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点是F，A，B，D是抛物线C上的点 若ABD 的重心是点(2,3)，且| 15AFBFDF，则(p ) 第 7 页（共 17 页） A4 B6 C8 D12 【解答】解：设A，B，D的坐标分别为 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y， 3 (x

15、， 3) y， 由ABD的重心是点(2,3)得 123 3 3 yyy ， 由抛物线的定义可知 123 3 |15 2 AFBFDFyyyp，解得4p ， 故选：A 8 （5 分）已知圆 22 :20M xyx，点P是曲线 1 :(1) 1 C yx x 上的动点，过点P作 圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形PAMB的面积最小时，线段AB的长为( ) A2 B3 C 1 2 D1 【解答】解：由 22 20 xyx，得 22 (1)1xy， 则( 1,0)M ，半径为 1， 设 1 ( ,)(1) 1 P aa a ，则 22 2 1 |(1)2 (1) PMa a ， 当且仅当 2

16、 (1)1a，即0a 时上式取等号， 222 |1 1 PAMB SPAAMPAPMAMPM 四边形 ， 当且仅当|2PM 时取等号，此时P为(0,1)， 四边形PAMB是正方形，故|2AB ， 故选：A 二、多项选择题：本题包括二、多项选择题：本题包括 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有在每小题给出的四个选项中，有 多项是符合题目要求的多项是符合题目要求的.全部选对的得全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 第 8 页（共 17 页） 9 （5 分）已知直线:10()l xay

17、aR ，则下列说法正确的是( ) A直线l过定点( 1,0) B直线l一定不与坐标轴垂直 C直线l与直线:0()lxaymmR 一定平行 D直线l与直线:0()laxymmR一定垂直 【解答】解：对于A：由于直线:10()l xayaR ，1010a ，故A正确； 对于B：当0a 时，直线l与x轴垂直，故B错误； 对于C：当1m 时，两直线重合，故C错误； 对于D：因为11 ()0aa ，故直线l与直线 l 一定垂直，故D正确 故选：AD 10 （5 分）已知正数 x，y 满足 x+y2，则下列结论正确的是（ ） Axy 的最大值是 1 B的最小值是 2 Cx2+y2的最小值是 4 D的最小值

18、是 【解答】解：由 x+y2，得，所以 xy1（当且仅当 xy1 时取等号） ，故 A 正确； （当且仅当 xy1 时取等号）故 B 正确； 2（x2+y2）（x+y）24， x2+y22（当且仅当 xy1 时取等号） ，故 C 错误； （当且仅当时取等号） ，故 D 正确 故选：ABD 11 （5 分）已知函数( ) |3sin(2)| 6 f xx ，则下列结论正确的是( ) A函数( )f x的最小正周期为 B函数( )f x的最大值为3 C函数( )f x的图象关于点(,0) 12 对称 D函数( )f x的图象关于直线 7 12 x 对称 第 9 页（共 17 页） 【解答】解：由题

19、意，将( )3sin(2) 6 g xx 在x轴下方的图象沿x轴翻折(x轴上方的图 象不变） ， 可以得到函数( )f x的图象， 对于A：函数( )f x的最小正周期为：( )3sin(2) 6 g xx 的周期的一半， 即函数( )g x的周期 2 2 T 的一半为 2 ，故A错误； 对于B：根据函数的性质，函数( )f x的最大值为3，故B正确； 对于C：由于函数进行了翻折，函数( )f x的图象不是中心对称图形，故C错误， 对于D：由于 7 ()0 12 f ，得D正确 故选：BD 12（5 分） 设数列 n a、 n b的前n项和分别为 n S、nT，11S ， 1 2 nn n S

20、S n ， 且 2 1 2 n n nn a b a a ， 则下列结论正确的是( ) A 2020 2020a B (1) 2 n n n S C 1 1 (2) n b n n D 13 34 n Tn 【解答】解：由题意得， 1 2 n n Sn Sn ， 当2n时， 12 1 121 13(1) 1 1212 nn n nn SSSnnnn SS SSSnn ， 当且当1n 时也成立， (1) 2 n n n S ， 易得 n an， 2020 2020a， 故A，B正确； 2 (1)11 11 11() (2)(2)22 n n b n nn nnn ， 11111111111111

21、31113 (1)(1)() 232435112221242124 n Tnnnn nnnnnnnn ， 第 10 页（共 17 页） 又 n Tn随着n的增加而增加， 1 1 1 3 n Tn T ， 13 34 n Tn，C错误，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知向量(1, 1),( 2, )abt ，若/ /ab，则a b 4 【解答】解：由向量(1, 1),( 2, )abt ，/ /ab得2t ， 故1 ( 2)( 1) 24a b 故答案为：4 14（5 分） 若方程 22

22、 22 512150 xyaxya表示圆， 则实数a的取值范围是 (， 2)(10，) 【解答】解：由题意得， 2 12200aa， 解得2a 或10a 则实数a的取值范围是：(，2)(10，) 故答案是：(，2)(10，) 15 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为e，直线: l yx与双曲线C交 于M，N两点，若|2MNb，则e的值是 6 【解答】解：不妨设点( , )M x y在第一象限，联立 22 22 1 xy ab yx ， 得 22 22 22 a b xy ba ， 又|2MNb， 2 22 2 b xy，则 222 22 2 2 a

23、 bb ba ， 整理得 22 5ba，所以 2 2 16 b e a 故答案为：6 16 （5 分）如图，正二十面体是由 20 个等边三角形组成的正多面体，共有 12 个顶点，30 第 11 页（共 17 页） 条棱，20 个面，是五个柏拉图多面体之一如果把sin36按 3 5 计算，则棱长为 6 的正二十 面体的外接球半径等于 18 11 11 【解答】解：由图，正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球， 设其半径为R，正五边形的外接圆半径为r， 则 0 33 sin36 5r ，得5r ， 所以正五棱锥的顶点到底面的距离是362511， 所以 22 25(11)RR，解得 18 11

24、11 R 故答案为：18 11 11 四、解答题：共四、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （ 10分 ） 2 sintanbAaB； 22 62cosacbcbacB； 22 sinsin sinsin 4 BC BC ，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并 加以解答 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若4a ， 6 A ， 且 _， 求ABC 的面积 【解答】解：选择：2 sintanbAaB， sin 2 sin cos aB bA B ，由正弦定理可得 sinsin 2sins

25、in cos AB BA B ， sin0A，sin0B ， 1 cos 2 B ， (0, )B， , 32 BC ， 第 12 页（共 17 页） sinsin ab AB ，可得 4 1 3 2 2 b ，解得4 3b ， 11 sin44 3 18 3 22 SabC 选择： 22 62cosacbcbacB， 222 22 62 2 acb acbcbac ac ， 6bc ， 又 222 2cosabcbcA， 2 16()23bcbcbc， 20(23)bc ， 111 sin20(23)5(23) 222 SbcA 选择： 22 sinsin sinsin 4 BC BC ，

26、11 sinsinsin 42 BCA， 1 2 2 bca， 又 222 2cosabcbcA， 2 16()23bcbcbc， 12(23)bc ， 111 sin12(23)3(23) 222 SbcA 18 （12 分）已知正项数列 n a的前n项和为. n S若 2 4a ， 11nnnnn SSaaa （1）求证：数列 n a是等差数列； （2）设 1 2 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）由题意得， 11nnnnn SSaaa ，则 11nnnn aaaa ， 1 1 nn aa ，由 2 2a 可得 1 1a ， 数列 n a是首项为

27、 1，公差为 1 的等差数列 第 13 页（共 17 页） （2）由（1）可得 n an， 2 n an， 依题意， 1 2211 2() (1)1 n nn b n nnna a ， 1111112 2(1)2(1) 223111 n n T nnnn 19 （12 分）已知(0, )， 3 ( 1,cos(),(sin(),1) 22 ab ，且 1 5 a b （1）求sincos的值； （2）若( ,2 )，tan()7，求的值 【解答】解： （1）由题意得，( 1,sin ),( cos ,1)ab ， 1 sincos 5 a b， 1 12sincos 25 ， 24 2sinc

28、os0 25 ， 2 49 (sincos)12sincos 25 ， 又(0, )， sin0，cos0， 7 sincos 5 ； （2）联立 1 sincos 5 7 sincos 5 ，解得 4 sin 5 3 cos 5 ， sin4 tan cos3 ， tantan tan()7 1tantan ， 即 4 tan 3 7 4 1tan 3 ， 解得tan1， 又( ,2 )， 第 14 页（共 17 页） 5 4 20 （12 分） 已知直线l的斜率为2， 且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积等于 1 圆 C的圆心在直线l上，且被x轴截得的弦长为 4 （1）求直线l的方程；

29、（2）若直线:210lxy 与圆C相切，求圆C的方程 【解答】解： （1）设所求的直线l的方程为2(0)yxb b ，它与两坐标轴的正半轴的交 点依次为(0, ),( ,0) 2 b b， 因为直线l与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于 1， 所以 1 1 22 b b，解得2b ， 所以直线l的方程是22yx ，即220 xy （2）由题意，可设圆C的圆心为( ,22 )C aa，半径为r， 所以圆心C到直线:210lxy 的距离， |2(22 )1| 5 |1| 5 aa dar ， 又圆C被x轴截得的弦长等于 4， 所以 22 (22 )4ra， 所以 22 5(1)4(22 )a

30、a， 解得：1a 或3a ， 当1a 时，圆心( 1,4)C ，2 5r ； 当3a 时，圆心(3, 4),2 5Cr； 所以圆C的方程是 22 (1)(4)20 xy或 22 (3)(4)20 xy 21 （ 12分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥SABCD中 ， 平 面SAD 平 面A B C D， 90ASDADCBCD ，SASD且 1 2 BCDCAD （1）求证：SCBD； （2）若点M是线段SD的中点，求二面角MABD的余弦值 第 15 页（共 17 页） 【解答】 （1）证明：过点S作SOAD，垂足为O，连接OB，OC 平面SAD 平面ABCD， 平面SAD平面ABCDAD，S

31、O平面ABCD，SOBD SDA是等腰三角形， 1 2 ODADBC， 又/ /ODBC，90BCD，四边形OBCD是正方形，BDOC 又OCSOO，SO 平面SOC，CO 平面SOC， BD平面SOC，SC 平面SOC，SCBD （2）解：由（1）知，OS，OA，OB两两垂直， 以O为坐标原点，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空 间直角坐标系Oxyz 不妨设1BC ，则 11 (0,1,0),( 1,0,0), (0,0,1), (1,0,0),(,0, ) 22 BDSAM， 31 ( 1,1,0),(,0, ) 22 ABAM ， 设平面MAB的法向量为(

32、 , , )mx y z，则 0 0 m AB m AM ，即 0 31 0 22 xy xz ， 令1x ，得(1,1,3)m ， 平面ABD的一个法向量为(0,0,1)n ， 2 33 11 cos, |11 11 13 m n m n m n ， 即二面角MABD的余弦值是 3 11 11 第 16 页（共 17 页） 22 （ 12 分 ） 设 曲 线 22 :1(0,0)C mxnymn过(2,3),(2 2, 6)MN两 点 ， 直 线 :(2)l yxk与曲线C交于P，Q两点，与直线8x 交于点R （1）求曲线C的方程； （2）记直线MP，MQ，MR的斜率分别为 1 k， 2 k

33、， 3 k，求证： 123 kkk，其中为 定值 【解答】解： （1）由已知得 491 861 mn mn ， 解得 1 16 1 12 m n ， 所以曲线C的方程为 22 1 1612 xy ； （2）令8x ，则(8,6 )Rk， 联立 22 1 1612 (2) xy yx k ，整理得 2222 (43)1616(3)0 xxkkk， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 则 22 1212 22 1616(3) , 4343 xxx x kk kk ， 1212 12 121212 3311 3() 222222 yyyy xxxxxx kk 第 17 页（共 17 页） 2 2 12 22 1212 22 16 4 4 43 232321 16(3)322()4 4 4343 xx x xxx k k kkk kk kk ， 又 3 631 822 k kk， 123 2kkk，等于定值 2，得证、