2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）.docx

1、第 1 页（共 25 页） 2020-2021 学年上海市金山区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市金山区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 】一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 】 1 （4 分）已知二次函数 2 (2)1yx，那么该二次函数图象的对称轴是( ) A直线2x B直线2x C直线1x D直线1x 2

2、（4 分）下列各点在抛物线 2 2yx上的是( ) A(2,2) B(2,4) C(2,8) D(2,16) 3 （4 分）在Rt ABC中，90C，那么锐角A的正弦等于( ) A A A 锐角 的对边 锐角 的邻边 B A锐角 的对边 斜边 C A锐角 的邻边 斜边 D A A 锐角 的邻边 锐角 的对边 4 （4 分）若是锐角， 2 sin(15 ) 2 ，那么锐角等于( ) A15 B30 C45 D60 5（4 分） 如图， 已知点D、E分别在ABC的边AB、AC上，/ /DEBC，2AD ，3BD ， BCa，那么ED等于( ) A 2 3 a B 2 3 a C 2 5 a D 2

3、 5 a 6 （4 分）如图，已知Rt ABC中，90C，3AC ，4BC ，如果以点C为圆心的圆 与斜边AB有公共点，那么C的半径r的取值范围是( ) 第 2 页（共 25 页） A 12 0 5 r剟 B 12 3 5 r剟 C 12 4 5 r剟 D3 4r剟 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请直接将结果填入答题纸的相应分） 【请直接将结果填入答题纸的相应 位置】位置】 7 （4 分）计算： 3 2() 2 aab 8 （4 分）已知 2 ( )3f xxx，那么( 2)f 9 （4 分）抛物线 2 2yx沿着

4、x轴正方向看，在y轴的左侧部分是 （填“上升”或 “下降” ) 10 （4 分）正十边形的中心角等于 度 11 （4 分） 已知 1 O和 2 O的半径长分别为 3 和 4， 若 1 O和 2 O内切， 那么圆心距 12 O O 的长等于 12 （4 分）在Rt ABC中，90C，15AB ， 4 sin 5 A ，那么BC 13 （4 分）在ABC中，:1:2: 5AB AC BC ，那么tan B 14 （4 分）已知：如图，ABC的中线AE与BD交于点G，/ /DFAE交BC于F，那么 DF AG 15 （4 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ADBC，2BCAD，设ABa，ADb，那么

5、 向量CD用向量a、b表示为 第 3 页（共 25 页） 16 （4 分）如图，已知O中，120AOB，弦18AB ，那么O的半径长等于 17 （4 分）如图，在ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若2CEBE， ABC的面积等于 15，那么FEC的面积等于 18 （4 分）已知在Rt ABC中，90C，1BC ，2AC ，以点C为直角顶点的Rt DCE 的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若 1 tan 2 CED，CEGE，那 么BD的长等于 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （ 10 分 ） 如 图 ， 已

6、 知 在R tA B C中 ，90C，3AC ，4BC 求 ： 2 t a n t a ns i n| 1c o s| 4 t a n 3 0 A BAB 的值 第 4 页（共 25 页） 20 （10 分）已知：如图， 1 O与 2 O外切于点T，经过点T的直线与 1 O、 2 O分别 相交于点A和点B （1）求证： 12 / /O AO B； （2）若 1 2O A， 2 3O B ，7AB ，求AT的长 21 （10 分）已知抛物线 2 2yxbxc经过点(0,1)A、(1, 5)B （1）求抛物线的表达式； （2）把表达式化成 2 2()yxmk的形式，并写出顶点坐标与对称轴 22 （

7、10 分）如图，在距某输电铁塔(GH GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离 60 米的 点B处有一个山坡，山坡AB的坡度1: 3i ，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于 40 米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30（铁塔GH与山坡AB在同一平面内） （1）求山坡的高度； （2）求铁塔的高度GH （结果保留根号） 23 （12 分） 已知： 如图， 四边形ABCD是菱形， 点M、N分别在边BC、CD上， 联结AM、 AN交对角线BD于E、F两点，且MANABD （1）求证： 2 ABBF DE； 第 5 页（共 25 页） （2）若 BEDN DEDC ，求证：/ /EFMN 24 （12 分

8、）在平面直角坐标系xOy中，直线 3 2 4 yx 与直线 1 3 2 yx相交于点A，抛 物线 2 1 (0)yaxbxa经过点A （1）求点A的坐标； （2）若抛物线 2 1yaxbx向上平移两个单位后，经过点(1, 2)，求抛物线 2 1yaxbx 的表达式； （3）若抛物线 2 (0)yaxbxc a与 2 1yaxbx关于x轴对称，且这两条抛物线的 顶点分别是点 P 与点P，当3 OPP S 时，求抛物线 2 1yaxbx的表达式 25（14分） 定理： 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 如图 1， 1 2 AO 已知：如图 2，AC是O的一条弦，点D在O上（与A、C不

9、重合） ，联结DE交射线AO 于点E，联结OD，O的半径为 5， 3 tan 4 OAC （1）求弦AC的长 （2）当点E在线段OA上时，若DOE与AEC相似，求DCA的正切值 （3）当1OE 时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案） 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2020-2021 学年上海市金山区九年级 （上） 期末数学试卷 （一学年上海市金山区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有

10、分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 】一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 】 1 （4 分）已知二次函数 2 (2)1yx，那么该二次函数图象的对称轴是( ) A直线2x B直线2x C直线1x D直线1x 【解答】解： 2 (2)1yx， 对称轴是：直线2x 故选：A 2 （4 分）下列各点在抛物线 2 2yx上的是( ) A(2,2) B(2,4) C(2,8) D(2,16) 【解答】解：把2x 代入 2 2yx得 2 2 28y ， 故点(2,8)在抛物线上 故选：C 3 （4 分）在Rt AB

11、C中，90C，那么锐角A的正弦等于( ) A A A 锐角 的对边 锐角 的邻边 B A锐角 的对边 斜边 C A锐角 的邻边 斜边 D A A 锐角 的邻边 锐角 的对边 【解答】解：在Rt ABC中，90C，锐角A的正弦表示的是锐角A的对边与斜边的比， 即： A锐角 的对边 斜边 ， 故选：B 4 （4 分）若是锐角， 2 sin(15 ) 2 ，那么锐角等于( ) A15 B30 C45 D60 【解答】解： 2 sin45 2 ， 1545 ， 30， 第 8 页（共 25 页） 故选：B 5（4 分） 如图， 已知点D、E分别在ABC的边AB、AC上，/ /DEBC，2AD ，3BD

12、 ， BCa，那么ED等于( ) A 2 3 a B 2 3 a C 2 5 a D 2 5 a 【解答】解：/ /DEBC， 2 23 DEAD BCAB ， 2 5 DEBC， BCa， 2 5 DEa， 2 5 EDa ， 故选：D 6 （4 分）如图，已知Rt ABC中，90C，3AC ，4BC ，如果以点C为圆心的圆 与斜边AB有公共点，那么C的半径r的取值范围是( ) A 12 0 5 r剟 B 12 3 5 r剟 C 12 4 5 r剟 D3 4r剟 【解答】解：过点C作CDAB于点D， 第 9 页（共 25 页） 3AC ，4BC 如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一

13、个公共点， 5AB， 当直线与圆相切时，dr，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点， CDABACBC， 12 5 CDr， 当直线与圆如图所示也可以有交点， 12 4 5 r剟 故选：C 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【请直接将结果填入答题纸的相应分） 【请直接将结果填入答题纸的相应 位置】位置】 7 （4 分）计算： 3 2() 2 aab 42ab 【解答】解：原式3242aabab 故答案是：42ab 8 （4 分）已知 2 ( )3f xxx，那么( 2)f 2 【解答】解：把2x 代入

14、2 ( )3f xxx得 2 ( 2)( 2)3 ( 2)462f 第 10 页（共 25 页） 故答案为：2 9 （4 分）抛物线 2 2yx沿着x轴正方向看， 在y轴的左侧部分是 上升 （填 “上升” 或“下降” ) 【解答】解：抛物线 2 2yx的开口向下，对称轴为y轴， 在对称轴左侧y随x的增大而增大， 抛物线 2 2yx在y轴左侧的部分是上升的， 故答案为：上升 10 （4 分）正十边形的中心角等于 36 度 【解答】解：正十边形的中心角为： 360 36 10 故答案为：36 11 （4 分） 已知 1 O和 2 O的半径长分别为 3 和 4， 若 1 O和 2 O内切， 那么圆心

15、距 12 O O 的长等于 1 【解答】解： 1 O和 2 O的半径长分别为 3 和 4， 1 O和 2 O内切， 圆心距 12 O O的长431， 故答案为：1 12 （4 分）在Rt ABC中，90C，15AB ， 4 sin 5 A ，那么BC 12 【解答】解：90C， 4 sin 5 BC A AB ， 44 1512 55 BCAB 故答案为 12 13 （4 分）在ABC中，:1:2: 5AB AC BC ，那么tan B 2 【解答】解：根据题意，可设AB k，则2AC k，5BC k， 2222 5ACABBC k， ABC是直角三角形，且90A 第 11 页（共 25 页）

16、 2 tan2 AC B AB k k 故答案是：2 14（4 分） 已知： 如图，ABC的中线AE与BD交于点G，/ /DFAE交BC于F， 那么 DF AG 3 4 【解答】解：连接DE， AE、BD是ABC的中线， ADDC，BEEC， / /DEAB， 1 2 DEAB， DEGBAG ，EDGABG ， DEGBAG， 1 2 DEGEGD ABGAGB ， 设GE k，则2AG k，23AE kkk， 又/ /DFAE，ADDC， 1 2 DF AE ， 3 2 DFk， 3 3 2 24 DF AG k k ， 故答案为： 3 4 第 12 页（共 25 页） 15 （4 分）如

17、图，在梯形ABCD中，/ /ADBC，2BCAD，设ABa，ADb，那么 向量CD用向量a、b表示为 ab 【解答】解：如图，过点D作/ /DEAB，交BC于点E， / /ADBC， 四边形ABCD是平行四边形， BEAD，DEAB， 2BCAD， ADEC ABa，ADb， DEABa，ECADb， ()CDDCDEECab 故答案为：ab 16 （4 分） 如图， 已知O中，120AOB， 弦18AB ， 那么O的半径长等于 6 3 第 13 页（共 25 页） 【解答】解：如图，过点O作OHAB于H OHAB， 1 9 2 AHBHAB， OAOB，120AOB， 30AB ， 6 6

18、cos30 AH OA 故答案为：6 3 17 （4 分）如图，在ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若2CEBE， ABC的面积等于 15，那么FEC的面积等于 4 【解答】解：在ABCD中， / /ADCE，ADBC ADFCEF， ADFDAF CEEFFC ， 2CEEB， 22 33 CEBCAD， 3 2 ADFDAF CEEFFC ， 2 9 () 4 ADF CEF SAD SCE ， 15 ABCADC SS ， 15 ACDAFDCFD SSS ， 第 14 页（共 25 页） 3 2 AF FC ， 3 2 AFD CFD SAF SFC ， 9 AFD S

19、，6 CFD S， 4 FEC S 故答案为：4 18 （4 分）已知在Rt ABC中，90C，1BC ，2AC ，以点C为直角顶点的Rt DCE 的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若 1 tan 2 CED，CEGE，那 么BD的长等于 25 【解答】解：如图，过点A作AHCE于.H 1 tantan 2 CEDBAC， EBAC ， CEEG， CGEECG ， 180BACGAK ， 180EGAK ， 180AGEAKE， 180AKEAKC， AKCCGE ， AKCACK ， 2ACAK， AHCK， KHCH， 90AHEDCK ， 第 15 页（共 25 页）

20、 / /AHCD， KAAD， 24DKAK，2ADAK， 90ACB，1BC ，2AC ， 2222 215ABACBC， 25BDABAD， 故答案为：25 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （ 10 分 ） 如 图 ， 已 知 在R tA B C中 ，90C，3AC ，4BC 求 ： 2 t a n t a ns i n| 1c o s| 4 t a n 3 0 A BAB 的值 【解答】 解： 在Rt ABC中，90C，3AC ，4BC ， 由勾股定理得， 222 ABACBC， 2222 345ABACBC， 3 tan 4 AC

21、B BC ； 4 sin 5 BC A AB ； 4 cos 5 BC B AB ； 4 tan 3 BC A AC ， 原式 2 4 34449 3 |1|1 455553 4() 3 20 （10 分）已知：如图， 1 O与 2 O外切于点T，经过点T的直线与 1 O、 2 O分别 相交于点A和点B 第 16 页（共 25 页） （1）求证： 12 / /O AO B； （2）若 1 2O A， 2 3O B ，7AB ，求AT的长 【解答】 （1）证明：联结 12 O O，即 12 O O为连心线， 又 1 O与 2 O外切于点T， 12 OO经过点T 11 O AOT， 22 O BO

22、 T 1 AOTA ， 2 BO TB 12 OTAO TB ， AB 12 / /O AO B； （2） 12 / /O AO B， 1 2 AOAT BOBT 1 2O A ， 2 3O B ，7AB ， 2 37 AT AT ， 解得： 14 5 AT 第 17 页（共 25 页） 21 （10 分）已知抛物线 2 2yxbxc经过点(0,1)A、(1, 5)B （1）求抛物线的表达式； （2）把表达式化成 2 2()yxmk的形式，并写出顶点坐标与对称轴 【解答】解： （1）抛物线 2 2yxbxc经过点(0,1)A、(1, 5)B， 1 25 c bc ，解得： 4 1 b c ；

23、抛物线的解析式为： 2 241yxx； （2） 22 2412(1)3yxxx ， 抛物线的顶点坐标为：( 1,3)，对称轴为：直线1x 22 （10 分）如图，在距某输电铁塔(GH GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离 60 米的 点B处有一个山坡，山坡AB的坡度1: 3i ，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于 40 米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30（铁塔GH与山坡AB在同一平面内） （1）求山坡的高度； （2）求铁塔的高度GH （结果保留根号） 【解答】解： （1）过点A作AD垂直HB，交HB的延长线于点D， 即90ADB， 第 18 页（共 25 页） 由题意得：1: 3i ，6

24、0AB （米)， 1 3 AD BD ， 即3BDAD； 又 222 ABADBD， 即 222 40( 3)ADAD， 20AD（米)， 答：山坡的高度为 20 米； （2）作/ /AEBH交GH于点E， ADBH，GHBH， / /ADGH， 即：四边形ADHE是平行四边形， 由题意可知：30GAE，60BH （米)， 320 3BDAD（米)， 6020 3AEDH（米)， 在Rt AGE中，tan GE GAE AE ， 2020 3GE （米)， 又20EHAD（米)， 4020 3GHGEEH（米)， 答：铁塔的高度GH为(4020 3)米 23 （12 分） 已知： 如图， 四边

25、形ABCD是菱形， 点M、N分别在边BC、CD上， 联结AM、 第 19 页（共 25 页） AN交对角线BD于E、F两点，且MANABD （1）求证： 2 ABBF DE； （2）若 BEDN DEDC ，求证：/ /EFMN 【解答】证明： （1）四边形ABCD是菱形， ABAD， ABDADB， AEDABDBAE，BAFMANBAE ，MANABD ， AEDBAF， AEDFAB， ADDE BFAB ， 即AD ABBF DE， 2 ABBF DE； （2）四边形ABCD是菱形， ADBC，/ /ADBC， BMEDAE， BEBM DEAD ， BEDN DEDC ， BMDN

26、ADDC ， BMDN BCDC ， / /MNBD， / /EFMN 24 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，直线 3 2 4 yx 与直线 1 3 2 yx相交于点A，抛 第 20 页（共 25 页） 物线 2 1 (0)yaxbxa经过点A （1）求点A的坐标； （2）若抛物线 2 1yaxbx向上平移两个单位后，经过点(1, 2)，求抛物线 2 1yaxbx 的表达式； （3）若抛物线 2 (0)yaxbxc a与 2 1yaxbx关于x轴对称，且这两条抛物线的 顶点分别是点 P 与点P，当3 OPP S 时，求抛物线 2 1yaxbx的表达式 【解答】解： （1）直线 3 2 4

27、 yx 与直线 1 3 2 yx相交于点A， 3 2 4 1 3 2 yx yx ， 解得： 4 1 x y ； 点A的坐标为(4, 1) （2）抛物线 2 1 (0)yaxbxa经过点(4, 1)A， 16411ab ， 即4ba ， 2 41yaxax ， 平移后的抛物线的表达式是 2 41yaxax， 241aa ， 解得：1a ， 第 21 页（共 25 页） 抛物线 2 1yaxbx的表达式是： 2 41yxx （3）如图， 22 41(2)41yaxaxa xa ， (2, 41)Pa， 抛物线 2 (0)yaxbxc a与 2 41yaxax关于x轴对称， (2,41)Pa， 0

28、a ， 0a， 82P Pa， 又2OD ， 1 2 OPP SODPP ， 1 2(82)3 2 a ， 解得： 1 8 a ， 抛物线 2 1yaxbx的表达式是 2 11 1 82 yxx 25（14分） 定理： 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 如图 1， 1 2 AO 已知：如图 2，AC是O的一条弦，点D在O上（与A、C不重合） ，联结DE交射线AO 于点E，联结OD，O的半径为 5， 3 tan 4 OAC （1）求弦AC的长 （2）当点E在线段OA上时，若DOE与AEC相似，求DCA的正切值 （3）当1OE 时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案） 第 22 页

29、（共 25 页） 【解答】解： （1）如图 1，过点O作OHAC于点H， 由垂径定理得： 1 2 AHBHAC， 在Rt OAH中， 3 tan 4 OH OAC AH ， 设3OHx，4AHx， 222 OHAHOA， 222 (3 )(4 )5xx， 解得：1x ，(1x 舍去） ， 3OH，4AH ， 28ACAH； （2）如图 2，过点O作OHAC于H，过E作EGAC于G， DEOAEC ， 当DOE与AEC相似时可得：DOEA 或者DOEACD ； 第 23 页（共 25 页） 由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半可知： 1 2 ACDDOE， ACDDOE 当DO

30、E与AEC相似时，不存在DOEACD 情况， 当DOE与AEC相似时，DOEA ， / /ODAC， ODOE ACAE ， 5ODOA，8AC ， 55 8 AE AE ， 40 13 AE ， 90AGEAHO ， / /GEOH， AEGAOH， AEEGAG AOOHAH ， 40 13 534 EGAG ， 24 13 EG ， 32 13 AG ， 3272 8 1313 CG ， 在Rt CEG中， 24 1 13 tan 72 3 13 EG DCA CG ； （3） 当点E在线段OA上时， 如图 3， 过点E作EGAC于G， 过点O作OHAC于H， 延长AO交O于M，连接AD

31、，DM， 第 24 页（共 25 页） 由（1）可得3OH ，4AH ，8AC ， 1OE ， 4AE，6ME ， / /EGOH， AEGAOH， 4 5 AEAGEG AOAHOH ， 16 5 AG， 12 5 EG ， 24 5 GC， 22 57614412 5 25255 ECGCEG， AM是直径， 90ADMEGC ， 又MC ， EGCADM， ECEG AMAD ， 12 512 55 10AD ， 2 5AD； 当点E在线段AO的延长线上时，如图 4，延长AO交O于M，连接AD，DM，过点E作 EGAC于G， 同理可求 18 5 EG ， 24 5 AG ，6AE ， 16 5 GC ， 22 3242562 145 25255 ECGCEG， 第 25 页（共 25 页） AM是直径， 90ADMEGC ， 又MC ， EGCADM， ECEG AMAD ， 2 14518 55 10AD ， 18 145 29 AD， 综上所述：AD的长是2 5或 18 145 29