2020-2021学年辽宁省抚顺市新宾县、顺城区九年级（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 29 页） 2020-2021 学年辽宁省抚顺市新宾县、顺城区九年级（上）期末学年辽宁省抚顺市新宾县、顺城区九年级（上）期末 数学试卷数学试卷 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处。每小一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处。每小 题题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列方程是一元二次方程的是( ) A321xy B 2 51xx C 2 1 1x x D 2 231xx 2 （3 分）在下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A B C D 3 （3 分）下列事件中是不可

2、能事件的是( ) A三角形内角和等于360 B两实数之和为正 C抛物线 2 2yxbx的开口方向向上 D抛一枚硬币 2 次都正面朝上 4 （3 分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估 计白球的个数，小刚向其中放入 10 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它 放回盒子，不断重复，共摸球 200 次，其中 40 次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球( ) A30 个 B35 个 C40 个 D50 个 5 （3 分）二次函数 2 2(2)2yx图象向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位后，所 得图象的函数表达式是( ) A 2 22024yxx

3、 B 2 243yxx C 2 22024yxx D 2 241yxx 第 2 页（共 29 页） 6 （3 分）当0ab 时， 2 yax与yaxb的图象大致是( ) A B C D 7 （3 分）关于x的方程 22 (1)2(1)10mxmx 有实数根，则m的取值范围是( ) A1m B1m C1m D1m 8（3 分） 如图， 将菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转， 得菱形AB C D ， 连接AC，AC， 若120B，100BAD，则CAC等于( ) A30 B40 C50 D60 9 （3 分）如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接AB，CD，相交于点E，若 40BOD，120

4、AOC，则AEC等于( ) A70 B75 C80 D85 10 （3 分）如图所示，抛物线 2 yaxbxc的对称轴为 3 2 x ，与x轴的一个交点 1 ( 2 A ， 0)， 抛物线的顶点B纵坐标12 B y， 则以下结论： 0abc ； 2 40bac； 30ab； 第 3 页（共 29 页） 40ac； 11 28 a ，其中正确结论的个数是( ) A2 B3 C4 D5 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）方程 2 2xx 的根是 12 （3 分）在平面直角坐标系xOy中，以点( 3,4)为圆心，4 为半径的圆与y轴的位置关系 为 1

5、3 （3 分）若1x 是关于x的一元二次方程 2 20(0)axbxa的一个根，则 201722ab的值等于 14 （3 分）在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概 率是 15 （3 分）如图，圆锥母线长9BC 厘米，若底面圆的半径4OB 厘米，则侧面展开扇形 图的圆心角为 16 （3 分）若一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人感染了流感按照这样的传染速 度，若 2 人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 人 第 4 页（共 29 页） 17 （3 分）如图，已知ABC中，90ACB，2ACBC，将直角边AC绕A点逆时 针旋转至AC，连接BC，E为BC的

6、中点，连接CE，则CE的最大值为 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为 2 yx将x轴绕原点O逆时针 旋转45，交抛物线于点 1 A，将直线 1 OA绕点 1 A顺时针旋转45，交抛物线于点 2 A，将直线 12 A A绕点 2 A逆时针旋转45，交抛物线于点 3 A，将直线 23 A A绕点 3 A顺时针旋转45，交抛 物线于点 4 A ，依次进行下去，则点 2020 A的坐标为 三、解答题（三、解答题（19 题题 10 分，分，20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10 分） （1） 2 (1)2(1)xx （2） 2 2520 xx 20 （12

7、分）如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐 标分别为( 3,4)A ，( 4,1)B ，( 1,2)C 请解答下列问题： （1） 如图， A B C 是ABC绕点D顺时针旋转90得到的图形， 请直接写出旋转中心点D 的坐标； （2）在（1）的条件下，求点B经过的路径BB的长？（结果保留) （3）ABC与 111 ABC关于原点O成中心对称， 画出 111 ABC并直接写出点A的对应点 1 A的 坐标 第 5 页（共 29 页） 四、解答题（四、解答题（21 题题 12 分，分，22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）某校组织读书征文比赛活

8、动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示 的条形统计图和扇形统计图（不完整） ，请你根据图中信息解答下列问题 （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活 动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率 22 （12 分） 某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t， 三月份的总产量为720t， 若平均每月的增长率相同 （1）第一季度平均每月的增长率； （2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请

9、你估计该 厂今年 5 月份总产量能否突破1000t？ 五、解答题（本题五、解答题（本题 12 分）分） 23 （12 分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企 第 6 页（共 29 页） 业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售， 成本价与出厂价之间的差价由政府承担 李明 按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯 已知这种节能灯的成本价为每件 10 元， 出厂价为每件 12 元， 每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系近似满足一次函数： 10500yx （1） 李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元， 那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元

10、？ （2）设李明获得的利润为w（元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润 不低于 3000 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 六、解答题（本题六、解答题（本题 12 分）分） 24（12 分） 如图， 在矩形ABCD中， 点O在对角线BD上， 以OB的长为半径的圆O与AB， BD分别交于点E，F，连接DE，且ADEBDC （1）判断直线DE与O的位置关系，并证明你的结论； （2）若6BC ，8CD ，4.5AE ，求O的半径 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 25 （12

11、分）在ABC中，ABAC，BAC，过点A作直线l平行于BC，点D是直 线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转交直线AB于点E （1）如图 1，若60，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的 数量关系，不用证明； （2）如图 2，若60，当点E在线段BA的延长线上时， （1）中的结论是否成立？若成 立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明 （3）如图 3，若90，6BC ，2AD ，请直接写出AE的长 第 7 页（共 29 页） 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 2 2yaxbx与x轴交于两点( 4,0)A 和(1

12、,0)B，与y轴交于点 C，连接AC，BC，AB （1）求抛物线的解析式； （2）点D是ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90，得 到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标； （3）点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，是否存在以A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由 第 8 页（共 29 页） 2020-2021 学年辽宁省抚顺市新宾县、顺城区九年级（上）期末学年辽宁省抚顺市新宾县、顺城区九年级（上）期末 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题只有一

13、个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处。每小一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处。每小 题题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列方程是一元二次方程的是( ) A321xy B 2 51xx C 2 1 1x x D 2 231xx 【解答】解：A、321xy含有两个未知数， 321xy不是一元二次方程，选项A不符合题意； B、 2 51xx含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2， 2 51xx是一元二次方程，选项B符合题意； C、 2 1 1x x 不是整式方程， 2 1 1x x 不是一元二次方程，选项C不符合题意； D、 2

14、231xx不是方程， 选项D不符合题意 故选：B 2 （3 分）在下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A B C D 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 第 9 页（共 29 页） 故选：D 3 （3 分）下列事件中是不可能事件的是( ) A三角形内角和等于360 B两实数之和为正 C抛物线 2 2yxbx的开口方向向上 D抛一枚硬币 2 次都正面朝上 【解答】解：A、

15、三角形内角和等于360是不可能事件，符合题意； B、两实数之和为正是随机事件，不符合题意； C、抛物线 2 2yxbx的开口方向向上是必然事件，不符合题意； D、抛一枚硬币 2 次都正面向上是随机事件，不符合题意， 故选：A 4 （3 分）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估 计白球的个数，小刚向其中放入 10 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它 放回盒子，不断重复，共摸球 200 次，其中 40 次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球( ) A30 个 B35 个 C40 个 D50 个 【解答】解：设盒子里有白球x个， 根据 黑球个数摸到黑球的

16、次数 黑白球总数摸球总次数 得： 1040 10200 x 解得：40 x 故选：C 5 （3 分）二次函数 2 2(2)2yx图象向右平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位后，所 得图象的函数表达式是( ) A 2 22024yxx B 2 243yxx C 2 22024yxx D 2 241yxx 【解答】 解： 将二次函数 2 2(2)2yx图象向右平移 3 个单位， 再向上平移 3 个单位后， 所得图象的函数表达式是 2 2(23)23yx，即 2 241yxx 故选：D 第 10 页（共 29 页） 6 （3 分）当0ab 时， 2 yax与yaxb的图象大致是( ) A B C

17、 D 【解答】解：根据题意，0ab ， 当0a 时，0b ， 2 yax开口向上，过原点，yaxb过一、三、四象限； 此时，A选项符合， 当0a 时，0b ， 2 yax开口向下，过原点，yaxb过一、二、四象限； 此时，没有选项符合 故选：A 7 （3 分）关于x的方程 22 (1)2(1)10mxmx 有实数根，则m的取值范围是( ) A1m B1m C1m D1m 【解答】解：当方程 22 (1)2(1)10mxmx 为一元二次方程时， 2 10m ，即1m 关于x的方程 22 (1)2(1)10mxmx 有实数根， 22 2(1)4(1)mm 88 0m ， 解得1m； 1m， 当方程

18、 22 (1)2(1)10mxmx 为一元一次方程时， 2 10m 且2(1)0m， 则1m ， 综上，1m 时方程有实数根 第 11 页（共 29 页） 故选：A 8（3 分） 如图， 将菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转， 得菱形AB C D ， 连接AC，AC， 若120B，100BAD，则CAC等于( ) A30 B40 C50 D60 【解答】解：四边形ABCD是菱形，120B， 60BAD， 40DADBADBAD ， 将菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形AB C D ， 40CACDAD ， 故选：B 9 （3 分）如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接AB，CD，

19、相交于点E，若 40BOD，120AOC，则AEC等于( ) A70 B75 C80 D85 【解答】解：连接BC， AC对的圆周角是ABC，圆心角是AOC，120AOC， 第 12 页（共 29 页） 1 60 2 ABCAOC， 同理可得： 11 4020 22 DCBBOD ， 602080AECABCDCB ， 故选：C 10 （3 分）如图所示，抛物线 2 yaxbxc的对称轴为 3 2 x ，与x轴的一个交点 1 ( 2 A ， 0)， 抛物线的顶点B纵坐标12 B y， 则以下结论： 0abc ； 2 40bac； 30ab； 40ac； 11 28 a ，其中正确结论的个数是(

20、 ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：由图象可知：0a ，0c ， 对称轴0 2 b x a ， 0b， 0abc，故正确； 抛物线与x轴有两个交点， 2 40bac，故正确； 由对称轴可知： 3 22 b x a ， 30ba ，故错误； 由图可知：1x ，0y ， 340abcaacac，故正确； 由题意可知： 3 2 x ，12y， 即 93 12 42 abc， 第 13 页（共 29 页） 抛物线与x轴的一个交点 1 ( 2 A ，0)， 11 0 42 abc， 3ba ， 7 4 ca ， 997 12 424 aaa ， 11 24 a ，故错误； 故选：B 二、填空题（每

21、题二、填空题（每题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）方程 2 2xx 的根是 1 0 x ， 2 2x 【解答】解：方程变形得： 2 20 xx，即(2)0 x x， 可得0 x 或20 x ， 解得： 1 0 x ， 2 2x 故答案为： 1 0 x ， 2 2x 12 （3 分）在平面直角坐标系xOy中，以点( 3,4)为圆心，4 为半径的圆与y轴的位置关系 为 相交 【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3 半径 4， 所以圆与y轴相交， 故答案为：相交 13 （3 分）若1x 是关于x的一元二次方程 2 20(0)axbxa的一个根，则 201722ab的值等于

22、2021 【解答】解：将1x 代入方程得：20ab， 则2ab ， 则原式20172()ab 20172 ( 2) 20174 2021 第 14 页（共 29 页） 故答案为：2021 14 （3 分）在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概 率是 3 4 【解答】解：观察发现阴影部分占所有面积的 1 4 ， 其他部分的面积占所有面积的 3 4 ， 飞镖未落在阴影区域的概率是 3 4 ； 故答案为： 3 4 15 （3 分）如图，圆锥母线长9BC 厘米，若底面圆的半径4OB 厘米，则侧面展开扇形 图的圆心角为 160 【解答】解：由题意知：弧长圆锥底面周长248（

23、厘米） ， 设所求圆心角的度数为n， 则 9 8 180 n ，解得160n ， 即侧面展开扇形图的圆心角为160 故答案为：160 16 （3 分）若一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人感染了流感按照这样的传染速 度，若 2 人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 22 人 【解答】解：设每轮传染中 1 人传染给x人，则第一轮传染后共(1) x人患流感，第二轮传 染后共1(1)xx x人患流感， 根据题意得：1(1)121xx x， 第 15 页（共 29 页） 解得： 1 10 x ， 2 12x （舍去） ， 2(1)22x 故答案为：22 17 （3 分）如图，已知ABC中，

24、90ACB，2ACBC，将直角边AC绕A点逆时 针旋转至AC，连接BC，E为BC的中点，连接CE，则CE的最大值为 21 【解答】解：取AB的中点M，连接CM，EM， 当CECMEM时，CE的值最大， 将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC， 2ACAC ， E为BC的中点， 1 1 2 EMAC ， 90ACB，2ACBC， 2 2AB， 1 2 2 CMAB， 21CECMEM， 故答案为：21 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为 2 yx将x轴绕原点O逆时针 第 16 页（共 29 页） 旋转45，交抛物线于点 1 A，将直线 1 OA绕点 1 A顺时针旋转45，交抛

25、物线于点 2 A，将直线 12 A A绕点 2 A逆时针旋转45，交抛物线于点 3 A，将直线 23 A A绕点 3 A顺时针旋转45，交抛 物线于点 4 A ，依次进行下去，则点 2020 A的坐标为 ( 1010， 2 1010 ) 【解答】解： 1 A点坐标为(1,1)， 直线 1 OA为yx， 2( 1,1) A ， 231 / /A AOA， 直线 23 A A为2yx， 由 2 2yx yx 得 1 1 x y 或 2 4 x y ， 3(2,4) A， 4( 2,4) A， 451 / /A AOA， 直线 45 A A为6yx， 解 2 6yx yx 得 2 4 x y 或 3

26、 9 x y ， 5(3,9) A， 6( 3,9) A， ， 第 17 页（共 29 页） 2020( 1010 A， 2 1010 )， 故答案为( 1010， 2 1010 ) 三、解答题（三、解答题（19 题题 10 分，分，20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19 （10 分） （1） 2 (1)2(1)xx （2） 2 2520 xx 【解答】解： （1） 2 (1)2(1)xx， 2 (1)2(1)0 xx， (1)(12)0 xx ， 1x或3x （2） 2 2520 xx， 2a，5b ，2c ， 254 2 ( 2)41 ， 541 4 x 20 （12 分）如

27、图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐 标分别为( 3,4)A ，( 4,1)B ，( 1,2)C 请解答下列问题： （1） 如图， A B C 是ABC绕点D顺时针旋转90得到的图形， 请直接写出旋转中心点D 的坐标； （2）在（1）的条件下，求点B经过的路径BB的长？（结果保留) （3）ABC与 111 ABC关于原点O成中心对称， 画出 111 ABC并直接写出点A的对应点 1 A的 坐标 第 18 页（共 29 页） 【解答】解： （1）ABC绕点D顺时针旋转90后得到的A B C 如图所示，( 1, 1)D ； （2） 22 2313DB， 点B经过的路径

28、BB的长： 901313 1802 ； （3） 如图所示， 111 ABC即为所求， 点 1 A的坐标为(3, 4)， 四、解答题（四、解答题（21 题题 12 分，分，22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21 （12 分）某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示 的条形统计图和扇形统计图（不完整） ，请你根据图中信息解答下列问题 （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活 动，请用列表法或画树状图的方法

29、，求出恰好抽到甲和乙的概率 【解答】解： （1）本次比赛获奖的总人数为410%40（人)， 所以二等奖人数为40(424)12（人)， 补全图形如下： 第 19 页（共 29 页） （2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为 12 360108 40 ； （3）树状图如图所示， 从四人中随机抽取两人有 12 种可能，恰好是甲和乙的有 2 种可能， 抽取两人恰好是甲和乙的概率是 21 126 22 （12 分） 某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t， 三月份的总产量为720t， 若平均每月的增长率相同 （1）第一季度平均每月的增长率； （2）如果第二季度平均每月的增长率保持

30、与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该 厂今年 5 月份总产量能否突破1000t？ 【解答】解： （1）设第一季度平均每月的增长率为x， 根据题意得： 2 500(1)720 x， 解得： 1 0.220%x ， 2 2.2x （舍去） 答：第一季度平均每月的增长率为20% 第 20 页（共 29 页） （2） 2 720 (1 20%)1036.8( ) t， 1036.81000， 该厂今年 5 月份总产量能突破1000t 五、解答题（本题五、解答题（本题 12 分）分） 23 （12 分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企 业按成本价提供产品给大学毕

31、业生自主销售， 成本价与出厂价之间的差价由政府承担 李明 按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯 已知这种节能灯的成本价为每件 10 元， 出厂价为每件 12 元， 每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系近似满足一次函数： 10500yx （1） 李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元， 那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元？ （2）设李明获得的利润为w（元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润 不低于 3000 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 【解答】解：

32、（1）当20 x 时，1050010 20500300yx ， 300 (12 10)300 2600元， 即政府这个月为他承担的总差价为 600 元 （2）由题意得，(10)( 10500)wxx 2 106005000 xx 2 10(30)4000 x 100a ，当30 x 时，w有最大值 4000 元 即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 元 （3）由题意得： 2 1060050003000 xx， 解得： 1 20 x ， 2 40 x 100a ，抛物线开口向下， 第 21 页（共 29 页） 结合图象可知：当2040 x剟时，40003000w 又25x，

33、 当2025x剟时，3000w 设政府每个月为他承担的总差价为p元， (12 10) ( 10500)px 201000 x 200 k p随x的增大而减小， 当25x 时，p有最小值 500 元 即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元 六、解答题（本题六、解答题（本题 12 分）分） 24（12 分） 如图， 在矩形ABCD中， 点O在对角线BD上， 以OB的长为半径的圆O与AB， BD分别交于点E，F，连接DE，且ADEBDC （1）判断直线DE与O的位置关系，并证明你的结论； （2）若6BC ，8CD ，4.5AE ，求O的半径 【解答】解： （1）直线

34、DE与O相切， 证明：连接OE， 四边形ABCD是矩形， / /ABCD， 第 22 页（共 29 页） EBDBDC ， OBOE， EBDBEO ， ADEBDC ， BEOEBDBDCADE ， 四边形ABCD是矩形， 90ADC， EODEDO EBDBEOEDO BDCADEEDO ADC 90， 180()1809090OEDEODEDO ， 即OEED， OE为半径， 直线DE与O相切； （2）解：四边形ABCD是矩形， 90AC ， 在Rt DCB中，90C， 2222 6810BDBCCD， 四边形ABCD是矩形， 6ADBC， 在Rt ADE中，90A， 2222 15 4

35、.56 2 EDAEAD， 设O的半径为R， 在Rt DOE中， 222 DODEOE， 222 15 (10)() 2 RR， 解得： 35 16 R ， 即O的半径是 35 16 第 23 页（共 29 页） （2）第二种方法： 解：四边形ABCD是矩形， 90AC ， 在Rt DCB中，90C， 2222 6810BDBCCD， 8ABCD，4.5AE ， 84.53.5BE， 作OGBE于G，则 17 24 BGEGBE， / /OGAD， BOBG BDAB ，即 7 4 108 OB ， 35 16 OB， 即O的半径是 35 16 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分）

36、 25 （12 分）在ABC中，ABAC，BAC，过点A作直线l平行于BC，点D是直 线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转交直线AB于点E （1）如图 1，若60，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的 数量关系，不用证明； 第 24 页（共 29 页） （2）如图 2，若60，当点E在线段BA的延长线上时， （1）中的结论是否成立？若成 立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明 （3）如图 3，若90，6BC ，2AD ，请直接写出AE的长 【解答】解： （1）ACAEAD 证明：连接CE， 射线DC绕点D顺时针旋转交直线AB于点E，60， DCDE，60

37、CDE， CDE为等边三角形， CDCE，60ECD， ABAC，60BAC， ABC为等边三角形， CBCAAB，60ACB， BCEACD ， ()BCEACD SAS ， BEAD， ABAEBEAEAD， ACAEAD； （2）不成立，ADACAE 理由如下：在AC的延长线上取点F，使AFAD，连接DF， 第 25 页（共 29 页） 当60时，60BACEDC ， ABAC， ABC是等边三角形， 60ABACBCBCA， / /lBC， 60DACBCA ，60EADABC ， AFAD， ADF是等边三角形， 60ADFAFD ，ADFDAF， 60EDCADF ， EDCADC

38、ADFADC ， 即EDACDF ， ADFD，60EADAFD ， ()EADCFD ASA ， AECF， ADAFACCFACAE； （3）AE的长为3 22或3 22 当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图 3 所示 ABC中，90BAC，ACAB， 45ACBB 直线/ /lBC， 第 26 页（共 29 页） 45DAFACB FD 直线l， 45DAFDFA ADFD 90EDCADF ， ADEFDC 射线DC绕点D顺时针旋转交直线AB于点E， DCDE， ()ADEFDC SAS ， AECF 2AD ， 2AF， 6BC ， 3 2ACAB， 3 22

39、AEACAF 当点E在线段AB的延长线上时，如图 4 所示 过点D作直线l的垂线，交AB于点M， 同理可证得()ADCMDE SAS ， 3 2ACEM， 2AD ， 2AM， 3 22EMAM 综合以上可得AE的长为3 22或3 22 第 27 页（共 29 页） 八、解答题（本题八、解答题（本题 14 分）分） 26 （14 分）如图，抛物线 2 2yaxbx与x轴交于两点( 4,0)A 和(1,0)B，与y轴交于点 C，连接AC，BC，AB （1）求抛物线的解析式； （2）点D是ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90，得 到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此

40、时点E的坐标； （3）点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，是否存在以A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）点( 4,0)A ，(1,0)B在抛物线 2 2yaxbx上， 20 16420 ab ab ，解得 1 2 3 2 a b ， 抛物线的解析式为 2 13 2 22 yxx； （2）将ABC以O为旋转中心，逆时针旋转90，得到A B C ， ( 4,0)A ，(1,0)B，(0, 2)C， (0, 4)A ，(0,1)B，(2,0)C， 如图 1，设直线B C 的解析式为yxbk， 将点(0,1)

41、B，(2,0)C代入得 1 20 b b k ，解得 1 2 1b k ， 直线B C 的解析式为 1 1 2 yx ， 第 28 页（共 29 页） 解方程组 2 1 1 2 13 2 22 yx yxx 得 1 1 210 410 2 x y 或 2 2 210 410 2 x y （舍去） ， B C 与抛物线的交点坐标为( 210 ， ; 410 ) 2 AB 与与抛物线的交点坐标(0, 2)， AC 与抛物线没有交点， E点坐标为( 210 ， 410 ) 2 或(0, 2)， （3）存在 抛物线的对称轴为直线 3 2 x ，( 4,0)A ，(0, 2)C， 当AC为边时， 如图

42、2，若A点向右平移 5 2 个单位可得M点，则C点向右平移 5 2 个单位可得N点，即N点 的横坐标为 5 2 ，当 5 2 x 时， 2 1339 2 228 yxx，此时N点坐标为 5 ( 2 ， 39) 8 ； 如图 3，若C点向左平移 3 2 个单位可得M点，则A点向左平移 3 2 个单位可得N点，即N点 的横坐标为 11 2 ，当 11 2 x 时， 2 1339 2 228 yxx，此时N点坐标为 11 ( 2 ， 39) 8 ； 当AC为对角线时， 如图 4，若，M点向右平移 3 2 个单位可得C点，则A点向右平移 3 2 个单位可得N点，即N 点的横坐标为 5 2 ，当 5 2 x 时， 2 1321 2 228 yxx ，此时N点坐标为 5 ( 2 ， 21) 8 综上所述，N点坐标为 5 ( 2 ， 39) 8 或 11 ( 2 ， 39) 8 或 5 ( 2 ， 21) 8 第 29 页（共 29 页）