2020-2021学年河南省南阳地区高二（上）期末数学试卷（文科）.docx

1、第 1 页（共 13 页） 2020-2021 学年河南省南阳地区高二 （上） 期末数学试卷 （文科）学年河南省南阳地区高二 （上） 期末数学试卷 （文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （3 分）命题:pxR ， 2 sin0 xx的否定是( ) AxR ， 2 sin0 xx BxR ， 2 sin0 xx CxR ， 2 sin0 xx DxR ， 2 sin0 xx 2 （3 分）双曲线 22 1mxy的渐近线方程为2yx ，则(m ) A4 B2 C 1 2 D 1 4 3 （3 分）

2、在等差数列 n a中，若 2 4a ， 5 13a ，则 12345 (aaaaa ) A27 B35 C38 D42 4 （3 分）已知函数( )2f xlnx f （2）3x ，则f（1）( ) A 1 2 B 3 2 C 5 2 D 9 2 5 （3 分）已知实数x，y满足 1 1 1 xy x y ，则2zxy的最大值为( ) A1 B0 C1 D2 6 （3 分）已知0a ，0b ，42ab，则 49 ab 的最小值为( ) A32 B16 C8 D4 7 （3 分）已知向量(1,2)AB ，( 2,)CDm ，则“1m ”是“,AB CD为钝角”的( ) A充分不必要条件 B必要不

3、充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （3 分）若函数 3 ( )6f xxxa在 2，1上的最大值是 4，则(a ) A0 B44 2 C9 D4 21 9 （3 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，A，B是双曲线C的一条 渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF，且| 4ABb，则双曲线C的离心率为( ) 第 2 页（共 13 页） A 2 3 3 B2 C3 D2 10 （ 3分 ） 已 知 数 列 n a满 足 123 23 1111 2 2222 n n aaaan， 则 2334112 23 ( 2222 nn n a aa a

4、a aa a ) A 5 248 n B 4 216 n C 1 432 3 n D 2 2 460 3 n 11 （ 3分 ）a，b，c分 别 为ABC内 角A，B，C的 对 边 已 知 3 sinsinsinsin 2 bBcCaAcB，且 32 2cos 3 bcA，当a取得最小值时，(c ) A 9 4 B 5 2 C 11 4 D3 12 （3 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，其导函数为( )fx，且对任意实数x都有 ( )( )1f xfx，则不等式( )1 xx e f xe的解集为( ) A(,0) B(0,) C(,1) D(1,) 二、填空题：二、填空题： 1

5、3 （3 分）函数 2 ( ) x f xxxe的图象在点(0，(0)f处的切线方程为 14 （3 分）已知 22 :24p xaxa， 2 :log (1)3qx 若p是q的充分不必要条件，则实 数a的取值范围是 15 （3 分）给出下列命题： 函数 2 2 1 ( ) 2 f xx x 的最小值是 0； “若 2 4x ，则2x ”的否命题； 若 2 bac，则a，b，c成等比数列； 在ABC中，若sinsinAB，则BCAC 其中所有真命题的序号是 16 （3 分）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两 点点D为OA的中点，B，D在y轴上的投影分别为

6、P，Q，则|PQ的最小值是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知: 215px 2 :450q xx （1）若q是真命题，求x的取值范围； 第 3 页（共 13 页） （2）若pq是真命题，pq是假命题，求x的取值范围 18设数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且 1 3 ,2 2 n n a aS成等差数列 （1）证明：数列 n a是等比数列； （2）求数列 1 nn a a 的前n项和 n T 19 已知抛物线 2 :4C xy的焦点为F， 过点F的直线l与抛物线C交于 1 (A x， 1) y， 2 (

7、B x， 2) y两点 （1）若 22 12 12xx，求弦长|AB； （2）若直线l的斜率为 2，O为坐标原点，求AOB的面积 20 a，b，c分 别 为ABC内 角A，B，C的 对 边 ， 已 知 222222222 (2 )()()2 ()ab abca bcab acb （1）若4a ，2b ，求ABC的面积； （2）证明： sin2sin tan cos2cos AB C AB 21已知函数 32 ( )f xxxalnx （1）当0a 时，求( )f x的单调区间； （2）若( )f x在定义域内单调递增，求a的取值范围 22已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的

8、离心率为 2 2 ，且经过点 2 (1,) 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知(0M，)(1)m m ，经过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，若原点到直线l 的距离为 1，且MAAB，求直线l的方程 第 4 页（共 13 页） 2020-2021 学年河南省南阳地区高二 （上） 期末数学试卷 （文科）学年河南省南阳地区高二 （上） 期末数学试卷 （文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （3 分）命题:pxR ， 2 sin0 xx的否定是( ) A

9、xR ， 2 sin0 xx BxR ， 2 sin0 xx CxR ， 2 sin0 xx DxR ， 2 sin0 xx 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为xR ， 2 sin0 xx 故选：B 2 （3 分）双曲线 22 1mxy的渐近线方程为2yx ，则(m ) A4 B2 C 1 2 D 1 4 【解答】解：由题意双曲线 22 1mxy， 可得 2 1 a m ， 2 1b ， 双曲线的渐近线方程为2yx ， 则 2 2 4 b m a 故选：A 3 （3 分）在等差数列 n a中，若 2 4a ， 5 13a ，则 12345 (aaaaa ) A27 B35 C38 D4

10、2 【解答】解：数列 n a为等差数列，设首项为 1 a，公差为d， 2 4a ， 5 13a ， 134 3 52 d ， 1 1a ， 12345 (1 13)5 35 2 aaaaa ， 故选：B 4 （3 分）已知函数( )2f xlnx f （2）3x ，则f（1）( ) A 1 2 B 3 2 C 5 2 D 9 2 【解答】解：由题意可得 2 ( )(2)fxf x ， 第 5 页（共 13 页） 则 2 (2)(2) 2 ff，解得 1 (2) 2 f ， 所以 1 ( )23 2 f xlnxx， 所以 15 (1)03 22 f 故选：C 5 （3 分）已知实数x，y满足

11、1 1 1 xy x y ，则2zxy的最大值为( ) A1 B0 C1 D2 【解答】解：由约束条件画出可行域如图， 化目标函数2zxy为2yxz，由图可知当直线2yxz过点(1,0)时， 直线在y轴上的截距最小，z取得最大值 2， 故选：D 6 （3 分）已知0a ，0b ，42ab，则 49 ab 的最小值为( ) A32 B16 C8 D4 【解答】解： 491491169 (4 )()(40) 22 ba ab ababab ， 169169 224 baba abab ， 49 32 ab ，当且仅当 3 43 2 ba时取等号 49 ab 的最小值为 32 故选：A 7 （3 分

12、）已知向量(1,2)AB ，( 2,)CDm ，则“1m ”是“,AB CD为钝角”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 第 6 页（共 13 页） C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若,AB CD为钝角，则0AB CD，且,AB CD不反向共线， 所以220m ，所以1m 当,AB CD共线时，可得 2 12 m ，所以4m ， 即,AB CD为钝角时，1m 且4m ， 所以“1m ”是“,AB CD为钝角”的必要不充分条件 故选：B 8 （3 分）若函数 3 ( )6f xxxa在 2，1上的最大值是 4，则(a ) A0 B44 2 C9 D4 21 【解答】解：函

13、数 3 ( )6f xxxa，可得 2 ( )36fxx 当 2,2)x 时，( )0fx；当(2,1x 时，( )0fx 所以( )f x在 2，1上的最大值是(2)4 24fa， 解得44 2a 故选：B 9 （3 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，A，B是双曲线C的一条 渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF，且| 4ABb，则双曲线C的离心率为( ) A 2 3 3 B2 C3 D2 【解答】解：由双曲线 22 22 :1 xy C ab ，则其渐近线方程为 b yx a ， 因为A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF B

14、F， 所以| | |AOBOFOc，所以24cb， 所以 22 22cbca，所以 22 34ca， 所以 2 3 3 c e a ， 故选：A 第 7 页（共 13 页） 10 （ 3分 ） 已 知 数 列 n a满 足 123 23 1111 2 2222 n n aaaan， 则 2334112 23 ( 2222 nn n a aa aa aa a ) A 5 248 n B 4 216 n C 1 432 3 n D 2 2 460 3 n 【解答】解：依题意，由 123 23 1111 2 2222 n n aaaan，可得 1231 231 11111 2(1) 22222 nn

15、 nn aaaaan ， 两式相减，可得 1 1 1 2 2 n n a ， 12 1 2 22 nn n a ，*nN， 1 2n n a ，2n， 又 1 1 2 2 a ， 1 4a， 1 2n n a ，*nN， 12 31 22 2 22 nn nnn nn a a ， 2334112 23 2222 nn n a aa aa aa a 4563 2222n 4 2 (12 ) 12 n 4 216 n 故选：B 11 （ 3分 ）a，b，c分 别 为ABC内 角A，B，C的 对 边 已 知 3 sinsinsinsin 2 bBcCaAcB，且 32 2cos 3 bcA，当a取得

16、最小值时，(c ) A 9 4 B 5 2 C 11 4 D3 【解答】解：因为 3 sinsinsinsin 2 bBcCaAcB， 所以 222 3 2 bcabc， 所以 222 3 cos 24 bca A bc ，则28bc， 所以 222222 33 (82 )(82 )84464 22 abcbcccc ccc， 第 8 页（共 13 页） 当 4411 2 84 c 时 2 a取得最小值，即a取得最小值 故选：C 12 （3 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，其导函数为( )fx，且对任意实数x都有 ( )( )1f xfx，则不等式( )1 xx e f xe的解

17、集为( ) A(,0) B(0,) C(,1) D(1,) 【解答】解：设( ) ( ) 1 x g xef x，则( )( )( ) xxx g xe f xe f xe 因为( )( )1f xf x，所以( )( ) xxx e f xe fxe， 即( )( )0 xxx e f xe fxe，故( )g x在R上单调递增 因为( )f x是定义在R上的奇函数，所以(0)0f， 所以(0)1g ，不等式( )1 xx e f xe， 即( )(0)g xg，则0 x 故选：B 二、填空题：二、填空题： 13 （3 分）函数 2 ( ) x f xxxe的图象在点(0，(0)f处的切线方

18、程为 0 xy 【解答】解：由题意可得( )2(1) x fxxxe，则(0)1 f 因为(0)0f，所以所求切线方程为x，即0 xy 故答案为：0 xy 14 （3 分）已知 22 :24p xaxa， 2 :log (1)3qx 若p是q的充分不必要条件，则实 数a的取值范围是 1，5 【解答】解：由 22 24xaxa，得 22 240 xaxa， 所以:22p axa， 由 2 log (1)3x ，得018x ，所以: 17qx ， 因为p是q的充分不必要条件， 所以(2a，2)( 1a，7)， 所以 2 7 21 a a ，即 5 1 a a ，即15a剟 第 9 页（共 13 页

19、） 故答案为：1，5 15 （3 分）给出下列命题： 函数 2 2 1 ( ) 2 f xx x 的最小值是 0； “若 2 4x ，则2x ”的否命题； 若 2 bac，则a，b，c成等比数列； 在ABC中，若sinsinAB，则BCAC 其中所有真命题的序号是 【解答】解：对于，设 2 2 2tx ，则 1 2yt t 在2，)上单调递增， 从而 11 22 22 min y，即( )f x的最小值为 1 2 ，故是假命题； 对于， 由 2 4x ， 得2x ， 则 “若 2 4x ， 则2x ” 的否命题是真命题， 故是真命题； 对于，当0ab时， 2 0bac，此时，a，b，c不能构成

20、等比数列，故是假命题； 对于，因为A，B是ABC的内角，所以0AB， 又因为sinsinAB，所以AB，则BCAC，故是真命题 故答案为： 16 （3 分）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两 点 点D为OA的中点，B，D在y轴上的投影分别为P，Q， 则|PQ的最小值是 4 2 【解答】解：如图，设直线l的方程为2xmy， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 联立 2 2 8 xmy yx ，整理得 2 8160ymy， 则 12 8yym， 12 16y y 因为D为OA的中点，所以 11 (,) 22 xy D，则 1 (0,) 2

21、 y Q， 2 (0,)Py， 从而 112 2 | | | |24 2 22 yy y PQOPOQy， 当且仅当 1 2 | | 2 y y ， 即 1 4 2y ， 2 2 2y 或 1 4 2y ， 2 2 2y 时，等号成立 第 10 页（共 13 页） 故答案为：4 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知: 215px 2 :450q xx （1）若q是真命题，求x的取值范围； （2）若pq是真命题，pq是假命题，求x的取值范围 【解答】解： （1）由 2 :450q xx，可得:5q x 或1x ，则 :

22、 51qx 剟，因为q是真命题， 所以x的取值范围为 5，1 （2）因为pq是真命题，pq是假命题， 所以p和q一个是真命题，一个是假命题 当p为真命题，且q为假命题时，则 2 215 45 0 x xx ，解得31x ； 当q为真命题，且p为假命题时，则 2 121 5 450 xx xx 或剠 ，解得5x 或4x 综上，x的取值范围为(，5)( 3，14，) 18设数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且 1 3 ,2 2 n n a aS成等差数列 （1）证明：数列 n a是等比数列； （2）求数列 1 nn a a 的前n项和 n T 【解答】证明： （1） 1 3 ,2 2

23、 n n a aS成等差数列， 1 32 nn aSa， 第 11 页（共 13 页） 当2n时， 111 32 nn aSa ， 则 1 332 nnn aaa ，即 1 3 nn aa ，即 1 3 n n a a 1 1a ，数列 n a是以 1 为首项，3 为公比的等比数列； 解： （2）由（1）可得 11 1 3 nn n aaq ， 则 121 1 333 nnn nn a a ， 则 3521 3333 n n T ， 故 221 2 3 1 (3 ) 33 1 38 nn n T 19 已知抛物线 2 :4C xy的焦点为F， 过点F的直线l与抛物线C交于 1 (A x， 1)

24、 y， 2 (B x， 2) y两点 （1）若 22 12 12xx，求弦长|AB； （2）若直线l的斜率为 2，O为坐标原点，求AOB的面积 【解答】解： （1）由抛物线的性质可得 2 1 1 |11 4 x AFy ， 2 2 2 |11 4 x BFy ， 则 22 12 | |2 4 xx ABAFBF 因为 22 12 12xx，所以 22 12 12 |225 44 xx AB （2）由题意可得(0,1)F 因为直线l过点F，且斜率为 2，所以直线l的方程为21yx 联立 2 21 4 yx xy ，整理得 2 840 xx， 则 12 8xx， 12 4x x ， 从而 222

25、12121 2 ()264872xxxxx x ， 故 72 |220 4 AB 点O到直线l的距离 15 541 d ， 则AOB的面积为 115 |202 5 225 AB d 20a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，已知 222222222 (2 )()()2 ()ab abca bcab acb 第 12 页（共 13 页） （1）若4a ，2b ，求ABC的面积； （2）证明： sin2sin tan cos2cos AB C AB 【解答】解： （1）因为4a ，2b ， 所以 222 8(20)4(12)4(12)ccc，解得 2 10c ， 则 222 5 cos 28

26、 abc C ab ，所以 39 sin 8 C ， 故ABC的面积 139 sin 22 SabC （2）证明：因为 222222222 (2 )()()2 ()ab abca bcab acb， 所以 222222222 2(2 )24 222 abcbcaacb ab ababcabc abbcac ， 即(2 )cos(cos2cos )abCcAB， 由正弦定理得(sin2sin )cossin(cos2cos )ABCCAB， 故 sinsin2sin tan coscos2cos CAB C CAB ，得证 21已知函数 32 ( )f xxxalnx （1）当0a 时，求( )

27、f x的单调区间； （2）若( )f x在定义域内单调递增，求a的取值范围 【解答】解： （1）因为0a ，所以 32 ( )(0)f xxx x， 则 2 ( )32(32)(0)fxxxxxx， 由( )0fx，得 2 3 x ，则( )f x的单调递增区间为 2 ( ,) 3 ， 由( )0fx，得 2 0 3 x，则( )f x的单调递减区间为 2 (0, ) 3 ； （2）由题意可得 32 2 32 ( )32 axxa fxxx xx 因为( )f x在定义域内单调递增，所以( ) 0fx对(0,)x 恒成立， 设 32 ( )32(0)g xxxa x，则 2 ( )94 (0)

28、g xxx x， 由( )0g x，得 4 9 x ，由( )0g x，得 4 0 9 x， ( )g x在 4 (0, ) 9 上单调递减，在 4 ( ,) 9 上单调递增， 从而 432 ( )( ) 9243 g xga ； 第 13 页（共 13 页） 因为( ) 0fx对(0,)x 恒成立， 所以( ) 0g x 对(0,)x 恒成立， 所以 32 0 243 a ，解得 32 243 a， 故a的取值范围为 32 (, 243 22已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且经过点 2 (1,) 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知(0M，)

29、(1)m m ，经过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，若原点到直线l 的距离为 1，且MAAB，求直线l的方程 【解答】解： （1）设椭圆C的焦距为2c，则 22 222 2 2 11 1 2 c a ab abc ， 解得 2 2a ， 22 1bc， 椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y （2）由题可知直线l的斜率存在， 设斜率为k，则直线方程为yxmk，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 原点到直线l的距离为 1， 2 1 1 m k ，即 22 1m k 联立直线与椭圆方程可得 222 (12)4220 xmxmkk， 则 2222 164(1 2)(22)0mmkk， 则0k， 12 2 4 12 m xx k k ， 22 12 22 222 1212 m x x k kk MAAB， 21 2xx， 1 2 4 3(12) m x k k ， 2 2 1 2 12 x k k ，则 2 2 16 1 9(12) m k ， 联立，解得 2 7 2 k，即 14 2 k， 3 2 2 m ， 所求直线方程为 143 2 22 yx