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类型2020-2021学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(理科).docx

  • 上传人(卖家):小豆芽
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    2020 2021 学年 山西省 太原市 期末 数学试卷 理科 下载 _考试试卷_数学_高中
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    1、第 1 页(共 17 页) 2020-2021 学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(理科)学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 12 小题,每小题小题,每小题 3 分,分,36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)是符合题目要求的) 1 (3 分)命题“若3x ,则| 3x ”的否命题是( ) A若3x ,则| 3x B若3x ,则| 3x C若3x ,则 | 3x D若| 3x ,则3x 2 (3 分)已知抛物线 2 2ypx的焦点为(1,0)F,则(p ) A4 B2 C1 D

    2、1 2 3 (3 分)已知空间两点(0A,1,1),(1B,2,1),则线段AB的中点坐标是( ) A 11 ( ,1) 22 B 1 3 1 ( , ) 2 2 2 C 1 3 (,0) 2 2 D 11 ( ,0) 22 4 (3 分)设aR,则“1a ”是“ 2 1a ”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 5 (3 分)双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 1 3 yx,则该双曲线的离心率 为( ) A10 B2 C 2 3 3 D 10 3 6 (3 分)已知平面的一个法向量为(1, 1,2)n ,A,且(

    3、 4,0,2)AB ,则下列结论 正确的是( ) A/ /AB BAB,垂足为A CABA,但不垂直 DAB 7 (3 分)已知命题:pxR , 2 230axx的否定是真命题,那么实数a的取值范围是 ( ) A 1 3 a B 1 0 3 a C 1 3 a D 1 3 a 8 (3 分)已知 (1t,1,0) , (2,t,t) ,则| |的最小值是( ) 第 2 页(共 17 页) A1 B C D 9 (3 分)从椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点P向x轴作垂线,垂足恰为椭圆的左焦点 1 F, 点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点若/ /(OPAB O为坐标原点) ,则

    4、该椭圆的离心率为 ( ) A 5 5 B 1 2 C 2 2 D 2 5 5 10 (3 分)设正方体 ABCDABCD的棱长为 a,AC与 BD相交于点 O,则( ) A B C D 11 (3 分)已知曲线 22 :cos1(0, )E xy,则下列描述正确的是( ) 当 2 时,曲线E表示双曲线,焦点在x轴上; 当 2 时,曲线E表示以原点为圆心,半径为 1 的圆; 当0 2 时,曲线E围成图形的面积的最小值为 A B C D 12 (3 分)已知(2A,0,1),(2B,2,1),(0C,0,2)(2M,2),(0),那么 点M到平面ABC的距离为( ) A 2 5 5 B2 C 2

    5、2 3 D2 3 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 16 分,把答案写在题中横线上)分,把答案写在题中横线上) 13 (4 分)命题“存在实数 0 x,使得 0 2x大于 0 3x”用符号语言可表示为 14 (4 分)已知双曲线的离心率为,且与椭圆有相同的焦点,则该双曲线的 标准方程为 15(4 分) 已知F是抛物线 2 :4C yx的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N, 若M为FN的中点,则|FN 16 (4 分)如图,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,ACB为等腰直角三角形, 2PAACBC,点D在PC上,且:1:2CD

    6、DP,则PB与平面ABD所成角的正弦值 为 第 3 页(共 17 页) 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 3 小题,共小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 (8 分)已知命题:|21| 1px;:12 (0)q axa a剟 (1)若1a ,写出命题“若p,则q”的逆否命题,并判断真假; (2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围 18 (10 分)如图,三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等,A1ABA1AC60,点 M 为ABC 的重心,AM 的延长线交 BC 于点 N,连接 A1M设, , (1

    7、)用 , , 表; (2)证明:A1MAB 19 (10 分)已知抛物线 2 :2(0)C ypx p,斜率为 1 的直线经过抛物线C的焦点,与抛物 线C交于A、B两点,且| 8AB (1)求抛物线C的方程; (2)若点(1P,)(0)y y 在抛物线C上,证明点P关于直线7yx的对称点Q也在抛物 线C上 (本小题(本小题 10 分)说明:请考生在分)说明:请考生在 20,21 两个小题中任选一题作答两个小题中任选一题作答 20 (10 分) 如图, 在四棱锥SABCD中, 底面ABCD为直角梯形,/ /ADBC,ADAB, SA平面ABCD,2SAABBC,1AD (1)设点M为SC的中点,

    8、求异面直线AM,CD所成角的余弦值; (2)求二面角DSCB的大小 第 4 页(共 17 页) 21如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为直角梯形,/ /ADBC,ADAB,SA 平面ABCD,2SAABBC,设点M为SC的中点 (1)若四棱锥SABCD的体积为 2,求异面直线AM,CD所成角的余弦值; (2)若二面角ADMC的余弦值为 3 3 ,求AD的长 (本小题(本小题 10 分)说明:请考生在分)说明:请考生在 22,23 两个小题中任选一题作答两个小题中任选一题作答 22 (10 分)已知圆 22 :4O xy,点P为圆O上的动点,DPx轴,垂足为D,若 3 2 DMDP,设点M

    9、的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程; (2)设直线:2l yx与曲线E交于A,B两点,点N为曲线上不同于A,B的一点,求 NAB面积的最大值 23已知圆 22 :4O xy,点P为圆O上的动点,DPx轴,垂足为D,若 3 2 DMDP, 设点M的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程; (2)直线 1 :5 2 l yx与曲线E交于A,B两点,N为曲线E上任意一点,且 ( ,)ONOAOBR ,证明: 22 为定值 第 5 页(共 17 页) 2020-2021 学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(理科)学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一

    10、、选择题(本题共一、选择题(本题共 12 小题,每小题小题,每小题 3 分,分,36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)是符合题目要求的) 1 (3 分)命题“若3x ,则| 3x ”的否命题是( ) A若3x ,则| 3x B若3x ,则| 3x C若3x ,则 | 3x D若| 3x ,则3x 【解答】解:同时否定条件和结论得到命题的否命题为: 若3x ,则| 3x , 故选:C 2 (3 分)已知抛物线 2 2ypx的焦点为(1,0)F,则(p ) A4 B2 C1 D 1 2 【解答】解:抛物线 2 2ypx的焦点为(1,0

    11、)F, 可得1 2 p 解得2p , 故选:B 3 (3 分)已知空间两点(0A,1,1),(1B,2,1),则线段AB的中点坐标是( ) A 11 ( ,1) 22 B 1 3 1 ( , ) 2 2 2 C 1 3 (,0) 2 2 D 11 ( ,0) 22 【解答】解:空间直角坐标系中,点(0A,1,1),(1B ,2,1); 所以线段AB的中点坐标是 01 ( 2 , 12 2 , 11) 2 ,即 1 ( 2 , 1 2 ,1) 故选:A 4 (3 分)设aR,则“1a ”是“ 2 1a ”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解

    12、:由 2 1a 得1a 或1a , 即“1a ”是“ 2 1a ”的充分不必要条件, 故选:A 第 6 页(共 17 页) 5 (3 分)双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 1 3 yx,则该双曲线的离心率 为( ) A10 B2 C 2 3 3 D 10 3 【解答】解:双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 1 3 yx, 可得 1 3 b a ,所以 22 2 1 9 ca a , 解得 10 3 c e a 故选:D 6 (3 分)已知平面的一个法向量为(1, 1,2)n ,A,且( 4,0,2)AB ,则下列结论 正

    13、确的是( ) A/ /AB BAB,垂足为A CABA,但不垂直 DAB 【解答】解:因为(1, 1,2)n ,( 4,0,2)AB , 所以4040n AB , 所以nAB; 又A,所以B, 所以AB 故选:D 7 (3 分)已知命题:pxR , 2 230axx的否定是真命题,那么实数a的取值范围是 ( ) A 1 3 a B 1 0 3 a C 1 3 a D 1 3 a 【解答】解:若命题:pxR , 2 230axx为真命题, 当0a 时,则有230 x ,不符合题意; 当0a 时,开口向下,不符合题意; 当0a 时, 2 2430a ,解得 1 3 a 第 7 页(共 17 页)

    14、综上可得, 1 3 a , 故命题:pxR , 2 230axx的否定是真命题,实数a的取值范围是 1 3 a 故选:C 8 (3 分)已知 (1t,1,0) , (2,t,t) ,则| |的最小值是( ) A1 B C D 【解答】解: (1t,1,0) , (2,t,t) , (1+t,t1,t) , | , 当 t0 时,| |取最小值 故选:B 9 (3 分)从椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点P向x轴作垂线,垂足恰为椭圆的左焦点 1 F, 点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点若/ /(OPAB O为坐标原点) ,则该椭圆的离心率为 ( ) A 5 5 B 1 2 C

    15、2 2 D 2 5 5 【解答】解:由已知可设点P的坐标为(, )c y,代入椭圆方程可得 2 b y a , 不妨设点P在x轴上方,则点P的坐标为 2 (,) b c a , 又由已知可得( ,0)A a,(0, )Bb, 因为/ /ABOP,所以 ABOP kk,即 2 b b a ac ,解得bc, 所以2ac,则椭圆的离心率为 2 2 c e a , 故选:C 10 (3 分)设正方体 ABCDABCD的棱长为 a,AC与 BD相交于点 O,则( ) A B 第 8 页(共 17 页) C D 【解答】解:正方体 ABCDABCD中,棱长为 a,AC与 BD相交于点 O, 对于 A,

    16、(+)+a2,所以 A 错误; 对于 B, (+)+a2+0a2,所以 B 错误; 对于 C, ()a2,所以 C 正确; 对于 D, ()a2,所以 D 错误 故选:C 11 (3 分)已知曲线 22 :cos1(0, )E xy,则下列描述正确的是( ) 当 2 时,曲线E表示双曲线,焦点在x轴上; 当 2 时,曲线E表示以原点为圆心,半径为 1 的圆; 当0 2 时,曲线E围成图形的面积的最小值为 A B C D 【解答】解:曲线 22 :cos1(0, )E xy, 当 2 时, 曲线E化为: 22 |cos| 1xy表示双曲线, 焦点在x轴上; 所以正确; 当 2 时,曲线E化为 2

    17、 1x 表示两条平行直线,不是以原点为圆心,半径为 1 的圆; 所以不正确; 当0 2 时,曲线E化为 22 |cos| 1xy,围成图形的面积为: 1 1 cos ,它的最 小值为所以正确 故选:B 12 (3 分)已知(2A,0,1),(2B,2,1),(0C,0,2)(2M,2),(0),那么 第 9 页(共 17 页) 点M到平面ABC的距离为( ) A 2 5 5 B2 C 2 2 3 D2 3 【解答】解:因为(2A,0,1),(2B,2,1),(0C,0,2)(2M,2)(0), 所以(0,2,0),( 2,0,1),(0, ,1)ABACAM , 设平面ABC的法向量为( ,

    18、, )nx y z, 则有 0 0 n AB n AC ,即 20 20 y xz , 令1x ,则0y ,2z , 所以(1,0,2)n , 所以点M到平面ABC的距离为 |22 5 | |cos,| |55 AM n dAMAM n n 故选:A 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 16 分,把答案写在题中横线上)分,把答案写在题中横线上) 13(4 分) 命题 “存在实数 0 x, 使得 0 2x大于 0 3x” 用符号语言可表示为 0 xR, 00 23 xx 【解答】解:命题“存在实数 0 x,使得 0 2x大于 0 3x” ,

    19、用符号语言可表示为: 0 xR, 00 23 xx 故答案为: 0 xR, 00 23 xx 14 (4 分)已知双曲线的离心率为,且与椭圆有相同的焦点,则该双曲线的 标准方程为 【解答】解:椭圆的焦点为(2,0)和(2,0) , 可设双曲线的方程为1(a,b0) , 由题意可得 c2,即 a2+b24, 又 e, 第 10 页(共 17 页) 解得 a,b, 则双曲线的标准方程为 故答案是: 15(4 分) 已知F是抛物线 2 :4C yx的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N, 若M为FN的中点,则|FN 3 【解答】解:抛物线 2 :4C yx的焦点(1,0)F,M是C上一点,F

    20、M的延长线交y轴于点 N若M为FN的中点, 可知M的横坐标为: 1 2 , 则 11 |11 22 FM , 1 | 2| 2 13 2 FNFM 故答案为:3 16 (4 分)如图,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,ACB为等腰直角三角形, 2PAACBC,点D在PC上,且:1:2CD DP ,则PB与平面ABD所成角的正弦值为 2 3 【解答】解:如图建立空间直角坐标系,则(0C,0,0),(2P,0,2),(2A,0,0),(0B, 2,0), :1:2CD DP , 12 ( 33 DCPC ,0, 2) 3 , 设面ABD的法向量为( , , )mx y z, ( 2ADACCD

    21、,0, 2 0)(3,0, 24 )( 33 ,0, 2) 3 , ( 2,2,0)AB ,( 2,2, 2)PB , 第 11 页(共 17 页) 由 220 42 0 33 m ABxy m ADxz 可得(1m ,1,2), cosm, 42 32 36 PB , 则PB与平面ABD所成角的正弦值为 2 3 , 故答案为: 2 3 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 3 小题,共小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 (8 分)已知命题:|21| 1px;:12 (0)q axa a剟 (1)若1a ,写出命题

    22、“若p,则q”的逆否命题,并判断真假; (2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围 【解答】解: (1)当1a 时,:02qx剟, 逆否命题为:若0 x 或2x ,则|21| 1x 它是一个真命题 (2)命题:|21| 1px,即01x剟, 因为p是q的充分不必要条件, 所以集合 |01xx剟是集合 |12 x axa 剟的真子集, 所以 1 0 21 a a ,且等号不能同时取到, 解得 1 1 2 a剟, 所以实数a的取值范围为 1 ,1 2 18 (10 分)如图,三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等,A1ABA1AC60,点 第 12 页(共 17 页) M 为ABC 的

    23、重心,AM 的延长线交 BC 于点 N,连接 A1M设, , (1)用 , , 表; (2)证明:A1MAB 【解答】 解: (1) 因为ABC 为正三角形, 点 H 为ABC 的重心, 所以 N 为 BC 的中点, 所以, 所以 (2)设三棱柱的棱长为 m, 则, 所以 A1MAB 19 (10 分)已知抛物线 2 :2(0)C ypx p,斜率为 1 的直线经过抛物线C的焦点,与抛物 线C交于A、B两点,且| 8AB (1)求抛物线C的方程; (2)若点(1P,)(0)y y 在抛物线C上,证明点P关于直线7yx的对称点Q也在抛物 线C上 【解答】解: (1)由已知,设直线l为: 2 p

    24、yx, 代入 2 2ypx,得 2 2 30 4 p xpx 显然0,设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y,则 12 3xxp, 则由抛物线的定义,得 11 |48ABxxpp,解得2p , 则有抛物线C的方程为 2 4yx; 第 13 页(共 17 页) 证明: (2)(1P,)(0)y y 在抛物线C上,(1,2)P 设点P关于直线7yx的对称点的坐标为 1 (Q x, 1) y 则 1 1 11 2 1 1 21 7 22 y x yx ,解得 1 1 9 6 x y , 2 ( 6)4 9 ,点Q在抛物线C上 (本小题(本小题 10 分)说明:请考生在分)说明:请考

    25、生在 20,21 两个小题中任选一题作答两个小题中任选一题作答 20 (10 分) 如图, 在四棱锥SABCD中, 底面ABCD为直角梯形,/ /ADBC,ADAB, SA平面ABCD,2SAABBC,1AD (1)设点M为SC的中点,求异面直线AM,CD所成角的余弦值; (2)求二面角DSCB的大小 【解答】解: (1)由已知ASAB,ASAD,ABAD, 如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz 则(0B,2,0),(2C,2,0),(1D,0,0),(0S,0,2),(1M,1,1), 则(1,1,1)AM ,(1,2,0)DC , 则 15 cos, 5| AM DC AM CD A

    26、MDC , 所以异面直线AM,CD所成角的余弦值为 15 5 第 14 页(共 17 页) (2)设平面DCS的一个法向量为( , , )mx y z,由(1,2,0)DC ,( 1,0,2)DS , 得 20 20 m DCxy m DSxz ,可取(2, 1,1)m; 设平面BCS的一个法向量为( , , )nx y z,由(2,0,0)BC ,(0, 2,2)BS , 得 20 220 n BCx n BSyz ,可取(0,1,1)n , 则cos( , )0 | m n m n m n , 所以二面角DSCB的大小为90 21如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为直角梯形,/ /A

    27、DBC,ADAB,SA 平面ABCD,2SAABBC,设点M为SC的中点 (1)若四棱锥SABCD的体积为 2,求异面直线AM,CD所成角的余弦值; (2)若二面角ADMC的余弦值为 3 3 ,求AD的长 【解答】解: (1)由已知ASAB,ASAD,ABAD, 如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz 则(0B,2,0),(2C,2,0),(0S,0,2),(1M,1,1), 又 11 (2)222 32 VAD ,得1AD ,则(1D,0,0), 则(1,1,1)AM ,(1,2,0)DC , 则 15 cos(,) 5| AM DC AM CD AMDC , 所以异面直线AM,CD所成

    28、角的余弦值为 15 5 第 15 页(共 17 页) (2) 设(D a, 0,0), 平面ADM的一个法向量为( , , )mx y z, 由( 1 , 1 , 1 )AM ,( ,0,0)ADa, 得 0 0 m AMxyz m ADax ,可取(0,1, 1)m; 设平面CDM即平面DSC一个法向量为( , , )nx y z,由(2,2,0)DCa,(2,2, 2)SC 得 (2)20 2220 n DCa xy n SCxyz ,可取(2,2, )naa 则有 22 23 cos( , ) |3 2 4(2) m n m n m n aa ,解得1a 所以1AD (本小题(本小题 1

    29、0 分)说明:请考生在分)说明:请考生在 22,23 两个小题中任选一题作答两个小题中任选一题作答 22 (10 分)已知圆 22 :4O xy,点P为圆O上的动点,DPx轴,垂足为D,若 3 2 DMDP,设点M的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程; (2)设直线:2l yx与曲线E交于A,B两点,点N为曲线上不同于A,B的一点,求 NAB面积的最大值 【解答】解: (1)设点M的坐标为( , )x y,点P的坐标为 0 (x, 0) y,则 0 xx, 0 3 2 yy 所以有 0 xx, 0 2 3 yy,因为点P在圆上,所以 22 00 4xy 则有 22 4 4 9 xy,即 22

    30、1 94 yx , 所以曲线E的方程为 22 1 94 yx 第 16 页(共 17 页) (2)由 2 2 1 94 yx yx ,有 2 1316200 xx, 显然0,设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 则 12 16 13 xx , 12 20 13 x x , 则有 2 1212 36 2 |2 ()4 13 ABxxx x, 设与直线l平行的直线 1: lyxm与曲线E相切, 则由 22 1 94 yxm yx ,有 22 1384360 xmxm, 由0解得13(13mm 舍去) 则直线l, 1 l之间的距离 213 2 d , 所以NAB面积的最大值为

    31、121318 |(213) 2132 AB 23已知圆 22 :4O xy,点P为圆O上的动点,DPx轴,垂足为D,若 3 2 DMDP, 设点M的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程; (2)直线 1 :5 2 l yx与曲线E交于A,B两点,N为曲线E上任意一点,且 ( ,)ONOAOBR ,证明: 22 为定值 【解答】解: (1)设点M的坐标为( , )x y,点P的坐标为 0 (x, 0) y,则有 0 xx, 0 3 2 yy, 所以有 0 xx, 0 2 3 yy因为点P在圆上,所以 22 00 4xy 则有 22 4 4 9 xy,即 22 1 94 yx , 所以曲线E的方程为

    32、 22 1 94 yx (2)由 1 5 2 1 94 yx yx ,有 2 52 580 xx, 显然0,设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 第 17 页(共 17 页) 则 12 2 5 5 xx , 12 8 5 x x , 设( , )N x y,则 12 12 xxx yyy , 又点N在曲线E上, 则 222222 1122121 2 (49)(49)2(49)36yxyxy yx x, 又 12121212 11 494(5)(5)9 22 y yx xxxx x 1212 102 5()20 x xxx 82 5 10()2 5()200 55 , 22 11 4936yx, 22 22 4936yx 则 22 363636, 所以 22 1为定值

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