2020-2021学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、第 1 页（共 17 页） 2020-2021 学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （3 分）命题“若3x ，则| 3x ”的否命题是( ) A若3x ，则| 3x B若3x ，则| 3x C若3x ，则 | 3x D若| 3x ，则3x 2 （3 分）已知抛物线 2 2ypx的焦点为(1,0)F，则(p ) A4 B2 C1 D

2、1 2 3 （3 分）已知空间两点(0A，1，1)，(1B，2，1)，则线段AB的中点坐标是( ) A 11 ( ,1) 22 B 1 3 1 ( , ) 2 2 2 C 1 3 (,0) 2 2 D 11 ( ,0) 22 4 （3 分）设aR，则“1a ”是“ 2 1a ”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 5 （3 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 1 3 yx，则该双曲线的离心率 为( ) A10 B2 C 2 3 3 D 10 3 6 （3 分）已知平面的一个法向量为(1, 1,2)n ，A，且(

3、 4,0,2)AB ，则下列结论 正确的是( ) A/ /AB BAB，垂足为A CABA，但不垂直 DAB 7 （3 分）已知命题:pxR ， 2 230axx的否定是真命题，那么实数a的取值范围是 ( ) A 1 3 a B 1 0 3 a C 1 3 a D 1 3 a 8 （3 分）已知 （1t，1，0） ， （2，t，t） ，则| |的最小值是（ ） 第 2 页（共 17 页） A1 B C D 9 （3 分）从椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点P向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点 1 F， 点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点若/ /(OPAB O为坐标原点） ，则

4、该椭圆的离心率为 ( ) A 5 5 B 1 2 C 2 2 D 2 5 5 10 （3 分）设正方体 ABCDABCD的棱长为 a，AC与 BD相交于点 O，则（ ） A B C D 11 （3 分）已知曲线 22 :cos1(0, )E xy，则下列描述正确的是( ) 当 2 时，曲线E表示双曲线，焦点在x轴上； 当 2 时，曲线E表示以原点为圆心，半径为 1 的圆； 当0 2 时，曲线E围成图形的面积的最小值为 A B C D 12 （3 分）已知(2A，0，1)，(2B，2，1)，(0C，0，2)(2M，2)，(0)，那么 点M到平面ABC的距离为( ) A 2 5 5 B2 C 2

5、2 3 D2 3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，把答案写在题中横线上）分，把答案写在题中横线上） 13 （4 分）命题“存在实数 0 x，使得 0 2x大于 0 3x”用符号语言可表示为 14 （4 分）已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的 标准方程为 15（4 分） 已知F是抛物线 2 :4C yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N， 若M为FN的中点，则|FN 16 （4 分）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACB为等腰直角三角形， 2PAACBC，点D在PC上，且:1:2CD

6、DP，则PB与平面ABD所成角的正弦值 为 第 3 页（共 17 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （8 分）已知命题:|21| 1px；:12 (0)q axa a剟 （1）若1a ，写出命题“若p，则q”的逆否命题，并判断真假； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围 18 （10 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，A1ABA1AC60，点 M 为ABC 的重心，AM 的延长线交 BC 于点 N，连接 A1M设， ， （1

7、）用 ， ， 表； （2）证明：A1MAB 19 （10 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p，斜率为 1 的直线经过抛物线C的焦点，与抛物 线C交于A、B两点，且| 8AB （1）求抛物线C的方程； （2）若点(1P，)(0)y y 在抛物线C上，证明点P关于直线7yx的对称点Q也在抛物 线C上 （本小题（本小题 10 分）说明：请考生在分）说明：请考生在 20，21 两个小题中任选一题作答两个小题中任选一题作答 20 （10 分） 如图， 在四棱锥SABCD中， 底面ABCD为直角梯形，/ /ADBC，ADAB， SA平面ABCD，2SAABBC，1AD （1）设点M为SC的中点，

8、求异面直线AM，CD所成角的余弦值； （2）求二面角DSCB的大小 第 4 页（共 17 页） 21如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ /ADBC，ADAB，SA 平面ABCD，2SAABBC，设点M为SC的中点 （1）若四棱锥SABCD的体积为 2，求异面直线AM，CD所成角的余弦值； （2）若二面角ADMC的余弦值为 3 3 ，求AD的长 （本小题（本小题 10 分）说明：请考生在分）说明：请考生在 22，23 两个小题中任选一题作答两个小题中任选一题作答 22 （10 分）已知圆 22 :4O xy，点P为圆O上的动点，DPx轴，垂足为D，若 3 2 DMDP，设点M

9、的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2）设直线:2l yx与曲线E交于A，B两点，点N为曲线上不同于A，B的一点，求 NAB面积的最大值 23已知圆 22 :4O xy，点P为圆O上的动点，DPx轴，垂足为D，若 3 2 DMDP， 设点M的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2）直线 1 :5 2 l yx与曲线E交于A，B两点，N为曲线E上任意一点，且 ( ,)ONOAOBR ，证明： 22 为定值 第 5 页（共 17 页） 2020-2021 学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科）学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一

10、、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，分，36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （3 分）命题“若3x ，则| 3x ”的否命题是( ) A若3x ，则| 3x B若3x ，则| 3x C若3x ，则 | 3x D若| 3x ，则3x 【解答】解：同时否定条件和结论得到命题的否命题为： 若3x ，则| 3x ， 故选：C 2 （3 分）已知抛物线 2 2ypx的焦点为(1,0)F，则(p ) A4 B2 C1 D 1 2 【解答】解：抛物线 2 2ypx的焦点为(1,0

11、)F， 可得1 2 p 解得2p ， 故选：B 3 （3 分）已知空间两点(0A，1，1)，(1B，2，1)，则线段AB的中点坐标是( ) A 11 ( ,1) 22 B 1 3 1 ( , ) 2 2 2 C 1 3 (,0) 2 2 D 11 ( ,0) 22 【解答】解：空间直角坐标系中，点(0A，1，1)，(1B ，2，1)； 所以线段AB的中点坐标是 01 ( 2 ， 12 2 ， 11) 2 ，即 1 ( 2 ， 1 2 ，1) 故选：A 4 （3 分）设aR，则“1a ”是“ 2 1a ”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解

12、：由 2 1a 得1a 或1a ， 即“1a ”是“ 2 1a ”的充分不必要条件， 故选：A 第 6 页（共 17 页） 5 （3 分）双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 1 3 yx，则该双曲线的离心率 为( ) A10 B2 C 2 3 3 D 10 3 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线方程为 1 3 yx， 可得 1 3 b a ，所以 22 2 1 9 ca a ， 解得 10 3 c e a 故选：D 6 （3 分）已知平面的一个法向量为(1, 1,2)n ，A，且( 4,0,2)AB ，则下列结论 正

13、确的是( ) A/ /AB BAB，垂足为A CABA，但不垂直 DAB 【解答】解：因为(1, 1,2)n ，( 4,0,2)AB ， 所以4040n AB ， 所以nAB； 又A，所以B， 所以AB 故选：D 7 （3 分）已知命题:pxR ， 2 230axx的否定是真命题，那么实数a的取值范围是 ( ) A 1 3 a B 1 0 3 a C 1 3 a D 1 3 a 【解答】解：若命题:pxR ， 2 230axx为真命题， 当0a 时，则有230 x ，不符合题意； 当0a 时，开口向下，不符合题意； 当0a 时， 2 2430a ，解得 1 3 a 第 7 页（共 17 页）

14、综上可得， 1 3 a ， 故命题:pxR ， 2 230axx的否定是真命题，实数a的取值范围是 1 3 a 故选：C 8 （3 分）已知 （1t，1，0） ， （2，t，t） ，则| |的最小值是（ ） A1 B C D 【解答】解： （1t，1，0） ， （2，t，t） ， （1+t，t1，t） ， | ， 当 t0 时，| |取最小值 故选：B 9 （3 分）从椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点P向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点 1 F， 点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点若/ /(OPAB O为坐标原点） ，则该椭圆的离心率为 ( ) A 5 5 B 1 2 C

15、2 2 D 2 5 5 【解答】解：由已知可设点P的坐标为(, )c y，代入椭圆方程可得 2 b y a ， 不妨设点P在x轴上方，则点P的坐标为 2 (,) b c a ， 又由已知可得( ,0)A a，(0, )Bb， 因为/ /ABOP，所以 ABOP kk，即 2 b b a ac ，解得bc， 所以2ac，则椭圆的离心率为 2 2 c e a ， 故选：C 10 （3 分）设正方体 ABCDABCD的棱长为 a，AC与 BD相交于点 O，则（ ） A B 第 8 页（共 17 页） C D 【解答】解：正方体 ABCDABCD中，棱长为 a，AC与 BD相交于点 O， 对于 A，

16、（+）+a2，所以 A 错误； 对于 B， （+）+a2+0a2，所以 B 错误； 对于 C， （）a2，所以 C 正确； 对于 D， （）a2，所以 D 错误 故选：C 11 （3 分）已知曲线 22 :cos1(0, )E xy，则下列描述正确的是( ) 当 2 时，曲线E表示双曲线，焦点在x轴上； 当 2 时，曲线E表示以原点为圆心，半径为 1 的圆； 当0 2 时，曲线E围成图形的面积的最小值为 A B C D 【解答】解：曲线 22 :cos1(0, )E xy， 当 2 时， 曲线E化为： 22 |cos| 1xy表示双曲线， 焦点在x轴上； 所以正确； 当 2 时，曲线E化为 2

17、 1x 表示两条平行直线，不是以原点为圆心，半径为 1 的圆； 所以不正确； 当0 2 时，曲线E化为 22 |cos| 1xy，围成图形的面积为： 1 1 cos ，它的最 小值为所以正确 故选：B 12 （3 分）已知(2A，0，1)，(2B，2，1)，(0C，0，2)(2M，2)，(0)，那么 第 9 页（共 17 页） 点M到平面ABC的距离为( ) A 2 5 5 B2 C 2 2 3 D2 3 【解答】解：因为(2A，0，1)，(2B，2，1)，(0C，0，2)(2M，2)(0)， 所以(0,2,0),( 2,0,1),(0, ,1)ABACAM ， 设平面ABC的法向量为( ,

18、, )nx y z， 则有 0 0 n AB n AC ，即 20 20 y xz ， 令1x ，则0y ，2z ， 所以(1,0,2)n ， 所以点M到平面ABC的距离为 |22 5 | |cos,| |55 AM n dAMAM n n 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，把答案写在题中横线上）分，把答案写在题中横线上） 13（4 分） 命题 “存在实数 0 x， 使得 0 2x大于 0 3x” 用符号语言可表示为 0 xR， 00 23 xx 【解答】解：命题“存在实数 0 x，使得 0 2x大于 0 3x” ，

19、用符号语言可表示为： 0 xR， 00 23 xx 故答案为： 0 xR， 00 23 xx 14 （4 分）已知双曲线的离心率为，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的 标准方程为 【解答】解：椭圆的焦点为（2，0）和（2，0） ， 可设双曲线的方程为1（a，b0） ， 由题意可得 c2，即 a2+b24， 又 e， 第 10 页（共 17 页） 解得 a，b， 则双曲线的标准方程为 故答案是： 15（4 分） 已知F是抛物线 2 :4C yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N， 若M为FN的中点，则|FN 3 【解答】解：抛物线 2 :4C yx的焦点(1,0)F，M是C上一点，F

20、M的延长线交y轴于点 N若M为FN的中点， 可知M的横坐标为： 1 2 ， 则 11 |11 22 FM ， 1 | 2| 2 13 2 FNFM 故答案为：3 16 （4 分）如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACB为等腰直角三角形， 2PAACBC，点D在PC上，且:1:2CD DP ，则PB与平面ABD所成角的正弦值为 2 3 【解答】解：如图建立空间直角坐标系，则(0C，0，0)，(2P，0，2)，(2A，0，0)，(0B， 2，0)， :1:2CD DP ， 12 ( 33 DCPC ，0， 2) 3 ， 设面ABD的法向量为( , , )mx y z， ( 2ADACCD

21、，0， 2 0)(3，0， 24 )( 33 ，0， 2) 3 ， ( 2,2,0)AB ，( 2,2, 2)PB ， 第 11 页（共 17 页） 由 220 42 0 33 m ABxy m ADxz 可得(1m ，1，2)， cosm， 42 32 36 PB ， 则PB与平面ABD所成角的正弦值为 2 3 ， 故答案为： 2 3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （8 分）已知命题:|21| 1px；:12 (0)q axa a剟 （1）若1a ，写出命题

22、“若p，则q”的逆否命题，并判断真假； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时，:02qx剟， 逆否命题为：若0 x 或2x ，则|21| 1x 它是一个真命题 （2）命题:|21| 1px，即01x剟， 因为p是q的充分不必要条件， 所以集合 |01xx剟是集合 |12 x axa 剟的真子集， 所以 1 0 21 a a ，且等号不能同时取到， 解得 1 1 2 a剟， 所以实数a的取值范围为 1 ,1 2 18 （10 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，A1ABA1AC60，点 第 12 页（共 17 页） M 为ABC 的

23、重心，AM 的延长线交 BC 于点 N，连接 A1M设， ， （1）用 ， ， 表； （2）证明：A1MAB 【解答】 解： （1） 因为ABC 为正三角形， 点 H 为ABC 的重心， 所以 N 为 BC 的中点， 所以， 所以 （2）设三棱柱的棱长为 m， 则， 所以 A1MAB 19 （10 分）已知抛物线 2 :2(0)C ypx p，斜率为 1 的直线经过抛物线C的焦点，与抛物 线C交于A、B两点，且| 8AB （1）求抛物线C的方程； （2）若点(1P，)(0)y y 在抛物线C上，证明点P关于直线7yx的对称点Q也在抛物 线C上 【解答】解： （1）由已知，设直线l为： 2 p

24、yx， 代入 2 2ypx，得 2 2 30 4 p xpx 显然0，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 3xxp， 则由抛物线的定义，得 11 |48ABxxpp，解得2p ， 则有抛物线C的方程为 2 4yx； 第 13 页（共 17 页） 证明： （2）(1P，)(0)y y 在抛物线C上，(1,2)P 设点P关于直线7yx的对称点的坐标为 1 (Q x， 1) y 则 1 1 11 2 1 1 21 7 22 y x yx ，解得 1 1 9 6 x y ， 2 ( 6)4 9 ，点Q在抛物线C上 （本小题（本小题 10 分）说明：请考生在分）说明：请考

25、生在 20，21 两个小题中任选一题作答两个小题中任选一题作答 20 （10 分） 如图， 在四棱锥SABCD中， 底面ABCD为直角梯形，/ /ADBC，ADAB， SA平面ABCD，2SAABBC，1AD （1）设点M为SC的中点，求异面直线AM，CD所成角的余弦值； （2）求二面角DSCB的大小 【解答】解： （1）由已知ASAB，ASAD，ABAD， 如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz 则(0B，2，0)，(2C，2，0)，(1D，0，0)，(0S，0，2)，(1M，1，1)， 则(1,1,1)AM ，(1,2,0)DC ， 则 15 cos, 5| AM DC AM CD A

26、MDC ， 所以异面直线AM，CD所成角的余弦值为 15 5 第 14 页（共 17 页） （2）设平面DCS的一个法向量为( , , )mx y z，由(1,2,0)DC ，( 1,0,2)DS ， 得 20 20 m DCxy m DSxz ，可取(2, 1,1)m； 设平面BCS的一个法向量为( , , )nx y z，由(2,0,0)BC ，(0, 2,2)BS ， 得 20 220 n BCx n BSyz ，可取(0,1,1)n ， 则cos( , )0 | m n m n m n ， 所以二面角DSCB的大小为90 21如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ /A

27、DBC，ADAB，SA 平面ABCD，2SAABBC，设点M为SC的中点 （1）若四棱锥SABCD的体积为 2，求异面直线AM，CD所成角的余弦值； （2）若二面角ADMC的余弦值为 3 3 ，求AD的长 【解答】解： （1）由已知ASAB，ASAD，ABAD， 如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz 则(0B，2，0)，(2C，2，0)，(0S，0，2)，(1M，1，1)， 又 11 (2)222 32 VAD ，得1AD ，则(1D，0，0)， 则(1,1,1)AM ，(1,2,0)DC ， 则 15 cos(,) 5| AM DC AM CD AMDC ， 所以异面直线AM，CD所成

28、角的余弦值为 15 5 第 15 页（共 17 页） （2） 设(D a， 0，0)， 平面ADM的一个法向量为( , , )mx y z， 由( 1 , 1 , 1 )AM ，( ,0,0)ADa， 得 0 0 m AMxyz m ADax ，可取(0,1, 1)m； 设平面CDM即平面DSC一个法向量为( , , )nx y z，由(2,2,0)DCa，(2,2, 2)SC 得 (2)20 2220 n DCa xy n SCxyz ，可取(2,2, )naa 则有 22 23 cos( , ) |3 2 4(2) m n m n m n aa ，解得1a 所以1AD （本小题（本小题 1

29、0 分）说明：请考生在分）说明：请考生在 22，23 两个小题中任选一题作答两个小题中任选一题作答 22 （10 分）已知圆 22 :4O xy，点P为圆O上的动点，DPx轴，垂足为D，若 3 2 DMDP，设点M的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2）设直线:2l yx与曲线E交于A，B两点，点N为曲线上不同于A，B的一点，求 NAB面积的最大值 【解答】解： （1）设点M的坐标为( , )x y，点P的坐标为 0 (x， 0) y，则 0 xx， 0 3 2 yy 所以有 0 xx， 0 2 3 yy，因为点P在圆上，所以 22 00 4xy 则有 22 4 4 9 xy，即 22

30、1 94 yx ， 所以曲线E的方程为 22 1 94 yx 第 16 页（共 17 页） （2）由 2 2 1 94 yx yx ，有 2 1316200 xx， 显然0，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 16 13 xx ， 12 20 13 x x ， 则有 2 1212 36 2 |2 ()4 13 ABxxx x， 设与直线l平行的直线 1: lyxm与曲线E相切， 则由 22 1 94 yxm yx ，有 22 1384360 xmxm， 由0解得13(13mm 舍去） 则直线l， 1 l之间的距离 213 2 d ， 所以NAB面积的最大值为

31、121318 |(213) 2132 AB 23已知圆 22 :4O xy，点P为圆O上的动点，DPx轴，垂足为D，若 3 2 DMDP， 设点M的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2）直线 1 :5 2 l yx与曲线E交于A，B两点，N为曲线E上任意一点，且 ( ,)ONOAOBR ，证明： 22 为定值 【解答】解： （1）设点M的坐标为( , )x y，点P的坐标为 0 (x， 0) y，则有 0 xx， 0 3 2 yy， 所以有 0 xx， 0 2 3 yy因为点P在圆上，所以 22 00 4xy 则有 22 4 4 9 xy，即 22 1 94 yx ， 所以曲线E的方程为

32、 22 1 94 yx （2）由 1 5 2 1 94 yx yx ，有 2 52 580 xx， 显然0，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 第 17 页（共 17 页） 则 12 2 5 5 xx ， 12 8 5 x x ， 设( , )N x y，则 12 12 xxx yyy ， 又点N在曲线E上， 则 222222 1122121 2 (49)(49)2(49)36yxyxy yx x， 又 12121212 11 494(5)(5)9 22 y yx xxxx x 1212 102 5()20 x xxx 82 5 10()2 5()200 55 ， 22 11 4936yx， 22 22 4936yx 则 22 363636， 所以 22 1为定值