(2021版 九年级数学培优讲义)专题24 平面几何的定值问题.doc
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1、1 专题专题 24 24 平面几何的定值问题平面几何的定值问题 【阅读与思考】【阅读与思考】 所谓定值问题,是指按照一定条件构成的几何图形,当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内 变化时,与它有关的元素的量保持不变(或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变). 几何定值问题的基本特点是:题设条件中都包含着变动元素和固定元素,变动元素是指可变化运 动的元素,固定元素也就是“不变量” ,有的是明显的,有的是隐含的,在运动变化中始终没有发生变化 的元素,也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是: 1.探求定值; 2.给出证明. 【例题与求解【例题与求解】 【例例 1 1】 如图,已知 P
2、 为正方形 ABCD 的外接圆的劣弧AD 上任意一点.求证:PA PC PB 为定值. 解题思路:解题思路:线段的和差倍分考虑截长补短,利用圆的基本性质,证明三角形全等. P A BC D 【例【例 2 2】 如图,AB 为O 的一固定直径,它把O 分成上、下两个半圆,自上半圆上一点 C 作弦 CD AB,OCD 的平分线交O 于点 P,当点 C 在上半圆(不包括 A,B 两点)上移动时,点 P( ) A.到 CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分DB D.随 C 点的移动而移动 (济南市中考试题) 解题思路:解题思路:添出圆中相关辅助线,运用圆的基本性质,用排除法得出结论. AB C
3、D P O 2 【例【例 3 3】 如图,定长的弦 ST 在一个以 AB 为直径的半圆上滑动,M 是 ST 的中点,P 是 S 对 AB 作垂 线的垂足.求证:不管 ST 滑到什么位置,SPM 是一定角. (加拿大数学奥林匹克试题) 解题思路:解题思路:不管 ST 滑到什么位置,SOT 的度数是定值.从探寻SPM 与SOT 的关系入手. M PO B A S T 【例【例 4 4】 如图,扇形 OAB 的半径 OA=3,圆心角AOB=90.点 C 是AB 上异于 A,B 的动点,过点 C 作 CDOA 于点 D,作 CEOB 于点 E.连接 DE,点 G,H 在线段 DE 上,且 DG=GH=
4、HE. (1)求证:四边形 OGCH 是平行四边形; (2)当点 C 在AB 上运动时,在 CD,CG,DG 中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线 段的长度; (3)求证:CD2+3CH2是定值. (广州市中考试题) 解题思路:解题思路:延长 OG 交 CD 于 N,利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质,实现把 线段 ON 转化成线段 CH 的倍分关系,再以 RtOND 为基础,通过勾股定理,使问题得以解决. B O A C E H G D 3 【例【例 5 5】 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 在 x 轴的正半轴上,M 交 x 轴于 A,B 两点, 交
5、 y 轴于 C,D 两点,且 C 为弧 AE 的中点,AE 交 y 轴于 G 点.若点 A 的坐标为(-2,0) ,AE=8. (1)求点 C 的坐标; (2)连接 MG,BC,求证:MGBC; (3)如图 2,过点 D 作M 的切线,交 x 轴于点 P.动点 F 在M 的圆周上运动时, PF OF 的比值是否 发 生变化?若不变,求出比值;若变化,说明变化规律. (深圳市中考试题) 解题思路:解题思路:对于(3)从动点 F 达到的特殊位置时入手探求定值. AB M G C E N Ox y x y A B D P O G E F M C (图 1) (图 2) 【例【例 6 6】 如图, 已
6、知等边ABC 内接于半径为 1 的圆 O, P 是O 上的任意一点.求证: PA2+PB2+PC2 为定值. 解题思路:解题思路:当点 P 与 C 点重合时,PA2+PB2+PC2=2BC2为定值,就一般情形证明. A B C P O 4 【能力训练】【能力训练】 A A 级级 1 1.如图,点 A,B 是双曲线 x y 3 上的两点,分别经过 A,B 两点向 x 轴,y 轴作垂线段.若 S阴影=1, 则 21 SS _. (牡丹江市中考试题) A B Ox y S1 S2 O A B P E A B C D E F (第 1 题图) (第 3 题图) (第 4 题图) 2.2.从等边三角形内
7、一点向三边作垂线段,已知这三条垂线段的长分别为 1,3,5,则这个等边三角形 的面积是_. (全国初中数学联赛试题) 3.3.如图,OA,OB 是O 任意两条半径,过 B 作 BEOA 于 E,又作 OPAB 于 P,则定值 OP2+EP2 为_. 4.4.如图,在菱形 ABCD 中,ABC=120,F 是 DC 的中点,AF 的延长线交 BC 的延长线于点 E,则 直线 BF 与直线 DE 所夹的锐角的度数为( ) A.30 B.40 C.50 D.60 (武汉市竞赛试题) 5.5.如图, 在O 中, P 是直径 AB 上一动点, 在 AB 同侧作A A AB,ABBB, 且A A =AP,
8、B B =BP. 连接BA,当点 P 从点 A 移动到点 B 时,BA的中点的位置( ) A在平分 AB 的某直线上移动 B.在垂直 AB 的某直线上移动 C.在弧 AMB 上移动 D.保持固定不移动 (荆门市中考试题) OP A A B B M B E F A C D Ox y (第 5 题图) (第 6 题图) 6.6.如图,A,B 是函数 x k y 图象上的两点,点 C,D,E,F 分别在坐标轴上,且分别与点 A,B,O 5 构成正方形和长方形.若正方形 OCAD 的面积为 6,则长方形 OEBF 的面积是( ) A.3 B.6 C.9 D.12 (海南省竞赛试题) ) 7.7.(1)
9、经过O 内或O 外一点 P 作两条直线交O 于 A,B 和 C,D 四点,得到如图所表示 的六种不同情况.在六种不同情况下,PA,PB,PC,PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一 个式子表示出来.请你首先写出这个式子,然后只就如图所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证 明. O C A(B) (D) P P D (B) A C O O C A B D P P D B C O O C A B D P (P) D B AC O (2)已知O 的半径为一定值 r,若点 P 是不在O 上的一个定点,请你过点 P 任作一直线交O 于 不重合的两点 E,F. PEPF 的值是否为定值?为什么
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