（2021版 九年级数学培优讲义）专题18 圆的对称性.doc

1、专题专题 18 圆的对称性圆的对称性 阅读与思考阅读与思考 圆是一个对称图形 首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同时， 圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这是圆特 有的旋转不变性 由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、弦 心距、弧之间的关系定理及推论这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有广 泛的应有一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用 熟悉以下基本图形和以上基本结论 我国战国时期科学家墨翟

2、在墨经中写道： “圆，一中间长也 ”古代的美索不达米亚人最先开始制 造圆轮日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了深深 的烙印 例题与求解例题与求解 【例【例 1】在半径为 1 的O 中，弦 AB，AC 的长分别为3和2，则BAC 度数为_ （黑龙江省中考试题） 解题思路：解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注 AB 与 AC 有不同位置关系 由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问题 的解决 【例【例 2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB，DC，EF如果AB+DC=EF，那么 AB+CD 与 EF 的大

3、小关系是（ ） AAB+CD=EF BAB+CDEF CAB+CDAC， D 为BAC的中点， DEAB 于 E 求证： BD2-AD2=AB AC （天津市竞赛试题） 解题思路：解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明 圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法同样，圆也为解决直线 形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等或不 A A B C O D E D E C B O 图 1 图 2 A B C D E 等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧 【例【例 5】在ABC 中，M 是

4、AB 上一点，且 AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM3若 P 是线段 AC 上 的一个动点，O 是过 P，M，C 三点的圆，过 P 作 PDAB 交O 于点 D 求证：M 是 AB 的中点； 求 PD 的长 （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路：对于，运用配方法求出 AM，BM，CM 的长，由线段长确定直线位置关系；对于，促 成圆周角与弧、弦之间的转化 【例【例 6】已知 AD 是O 的直径，AB，AC 是弦，且 AB=AC 如图 1，求证：直径 AD 平分BAC； 如图 2，若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，F 是CD的中点，G 是FB的中点，O 的半径为 1，求 弦 F

5、G 的长； 如图 3，在中若弦 BC 经过半径 OA 的中点 E，P 为劣弧上一动点，连结 PA，PB，PD，PF，求 证： PAPF PBPD 的定值 （武汉市调考试题） 解题思路：解题思路：对于，先证明BPA=DPF=300，BPD=600，这是解题的基础，由此可导出下列解题 突破口的不同思路：由BPA=DPF=300，构建直角三角形；构造 PA+PF，PB+PD 相关线段；取 BD的中点 M，连结 PM，联想常规命题；等等 本例实质是借用了下列问题： 如图 1，PA+PB=3PH； 如图 2，PA+PB=PH； 进 一 步 ， 如 图3 ， 若 APB= ， PH平 分 APB ， 则P

6、A+PB=2PHcos 2 为 定 A P C D B M O A B C O 图 1 D D A O E G F C B B A C D O E P F 图 2 图 3 值 能力训练能力训练 A 级级 1圆的半径为 5cm，其内接梯形的两底分别为 6cm 和 8cm，则梯形的面积为_cm2 2如图，残破的轮片上，弓形的弦 AB 长是 40cm，高 CD 是 5cm，原轮片的直径是_cm 第第3题图题图 第第2题图题图 C A B CD D OB A 3如图，已知 CD 为半圆的直径，ABCD 于 B设AOB=，则 BA BD tan 2 =_ （黑龙江省中考试题） 4如图，在 RtABC 中

7、，C=900，AC=2，BC=1，若 BC=1，若以 C 为圆心，CB 的长为半径的 圆交 AB 于 P，则 AP=_. （江苏省宿迁市中考试题） 5如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OAABBO 的路径运动一周.设 OP 长为 s， 运动时间为 t，则下列图形能大致地刻画 s 与 t 之间的关系是（ ） （太原市中考试题） 6如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点，AB=10cm，CD=6cm， 那么 AC 的长为（ ） A0.5cm B1cm C1.5cm D2cm t s O A t s O B t s O C t s O

8、D A P B C （第 4题图） 图 1 A 600 300 300 P H B P A B H 600 图 2 P A B H 图 3 7如图，AB 为O 的直径，CD 是弦若 AB=10cm，CD=8cm，那么 A，B 两点到直线 CD 的距离之 和为（ ） A12cm B10cm C8cm D6cm 8如图，半径为 2 的O 中，弦 AB 与弦 CD 垂直相交于点 P，连结 OP若 OP=1，求 AB2+CD2的 值 （黑龙江省竞赛试题） 9如图，AM 是O 的直径，过O 上一点 B 作 BNAM 于 N，其延长线交O 于点 C，弦 CD 交 AM 于点 E 如果 CDAB，求证：EN

9、=NM； 如果弦 CD 交 AB 于点 F，且 CD=AB，求证：CE2=EFED； 如果弦 CD，AB 的延长线交于点 F，且 CD=AB，那么的结论是否仍成立？若成立，请证明；若 不成立，请说明理由 （重庆市中考试题） 10如图，O 的内接四边形 ABMC 中，ABAC，M 是BC的中点，MHAB 于点 H求证：BH= 1 2 （AB-AC） （河南省竞赛试题） A BC D O E F M （第 9题图） AB O CDA EC DF B A B C D F E P （第 6题图） （第 7题图） （第 8题图） 11如图 1，圆内接ABC 中，AB=BC=CA，OD，OE 为O 的半径

10、，ODBC 于点 F，OEAC 于点 G求证：阴影部分四边形 OFCG 的面积是ABC 面积的 1 3 如图 2，若DOE 保持 0 120角度不变，求证：当DOE 绕着 O 点旋转时，由两条半径和ABC 的 两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC 的面积的 1 3 图图2 图图1 E O A G F E D O A BCCB D 12如图，正方形 ABCD 的顶点 A，D 和正方形 JKLM 的顶点 K，L 在一个以 5 为半径的O 上，点 J， M 在线段 BC 上若正方形 ABCD 的边长为 6，求正方形 JKLM 的边长 （上海市竞赛试题） B 级级 1如图，AB 是O 的直

11、径，CD 是弦，过 A，B 两点作 CD 的垂线，垂足分别为 E，F若 AB=10， AE=3，BF=5，则 EC=_ A D C B N O J M K L （第 12 题图） A H B M C （第10题图） 2如图，把正三角形 ABC 的外接圆对折，使点 A 落在BC的中点 A上，若 BC=5，则折痕在ABC 内的部分 DE 长为_ （宁波市中考试题） 3如图，已知O 的半径为 R，C，D 是直径 AB 同侧圆周上的两点，AC的度数为 960，BD的度数 为 360动点 P 在 AB 上，则 CP+PD 的最小值为_ （陕西省竞赛试题） 4如图，用 3 个边长为 1 的正方形组成一个对

12、称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（ ） A2 B 5 2 C 5 4 D 5 17 16 5如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆圆周上一点，M 是AC的中点，MNAB 于 N，则有（ ） AMN= 1 2 AC BMN= 2 2 AC CMN= 3 5 AC DMN= 3 3 AC （武汉市选拔赛试题） 第第4题图题图第第5题图题图 N M AB C O 6已知，AB 为O 的直径，D 为AC的中点，DEAB 于点 E，且 DE=3求 AC 的长度 O A EC DF B A BC DE A AB C D PO （第 1题图） （第 2题图） （第 3题图） A D O B E

13、G F N A C B D O P （第 7题图） （第 6题图） C 7如图，已知四边形 ABCD 内接于直径为 3 的O；对角线 AC 是直径，对角线 AC 和 BD 的交点为 P，AB=BD，且 PC=0.6，求四边形 ABCD 的周长 （全国初中数学联赛试题） 8如图，已知点 A，B，C，D 顺次在O 上，ABBD，BMAC 于 M求证：AM=DC+CM （江苏省竞赛试题） 9如图，在直角坐体系中，点 B，C 在 x 轴的负半轴上，点 A 在 y 轴的负半轴上，以 AC 为直径的圆 与 AB 的延长线交于点 D，CDAO， 如果 AB=10， AOBO， 且 AO， BO 是 x 的二

14、次方程048 2 kxx 的两个根 求点 D 的坐标； 若点 P 在直径 AC 上，且 AP= 1 4 AC，判断点(2，10)是否在过 D，P 两点的直线上，并说明理 由 （河南省中考试题） A x y O D C B P （第 9题图） A B C D O M （第 8题图） 10 如图 1， 已知 PA， PB 为O 的弦， C 是劣弧AB的中点， 直线 CDPA 于点 E， 求证： AE=PE+PB 如图 2，已知 PA，PB 为O 的弦，C 是优弧AB的中点，直线 CDPA 于点 E，问：AE，PE 与 PB 之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论 11如图，已知弦 CD 垂直于O 的直径 AB 于 L，弦 AE 平分半径 OC 于 H求证：弦 DE 平分弦 BC 于 M (全俄奥林匹克竞赛试题) 12如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点，且 AD=DC+CB，过 D 作 AC 的垂线交ABC 的外接圆 于 M，过 M 作 AB 的垂线 MN，交圆于 N求证：MN 为ABC 外接圆的直径 A C O L E B D M H （第 11 题图） A 图 1 C P B D E O A 图 2 C P B D E O A C M N O D B （第 12 题图）