(2021版 九年级数学培优讲义)专题09特殊与一般.doc
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1、专题专题 09 特殊与一般特殊与一般 二次函数与二次方程 阅读与思考阅读与思考 二次函数的一般形式是0 2 acbxaxy,从这个式子中可以看出,二次函数的解析式实际上 是关于x的二次三项式,若令 y=0,则得0 2 cbxax 这是一个关于x的一元二次方程,因此,二次函数与一元二次方程有着密切的联系,表现为: 1.当0时,方程有两个不相等实数根,抛物线与x轴有两个不同的交点,设为 A( 1 x,0),B( 2 x,0),其中 1 x, 2 x是方程两相异实根, a acb AB 4 2 ; 2.当0时,方程有两个相等实数根,抛物线与x轴只有一个交点; 3.当0时,方程没有实数根,抛物线与x轴
2、没有交点 由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系,所以,善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转 化,是解相关问题的常用技巧 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 (1)抛物线cbxaxy 2 与x轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,若ABC是直角三角 形,则ac= . (全国初中数学联赛试题) (2)为使方程bxx 3 1 132 2 有四个不同的实数根,则实数b的取值范围为 . 解题思路:解题思路:对于(1) ,A B C为直角三角形,则 A,B 两点在原点的两旁,运用根与系数关系及射影 定理解题,对于(2) ,作出函数图象,借助图象解题 【例【例 2】设一元二次方程062 2
3、kkxx的根分别满足下列条件:两根均大于 1;一根大于 1,另一根小于 1;两根均大于 1 且小于 4试求实数 k 的取值范围 解题思路:解题思路:因为根的表达式复杂,故应把原问题转化为二次函数问题来解决,作出函数图象,借助图 象找制约条件 【例【例 3】如果抛物线112 2 mxmxy与x轴交于 A,B 两点,且 A 点在 x 轴的正半轴上, B 点在 x 轴的负半轴上,OA 的长是 a,OB 的长是 b, (1)求m的取值范围; (2)若1:3:ba,求m的值,并写出此时抛物线的解析式; (3)设(2)的抛物线与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点是 M,问:抛物线是否存在一点 P,使得PAB
4、 面积等于BCM的面积的 8 倍?若存在,求出 P 点坐标,若不存在,请说明理由 (南京市中考试题) 解题思路:解题思路:由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征,两实根的关系,这是解本例的突破口 【例【例 4】 设 p 是实数, 二次函数ppxxy2 2 的图像与x轴有 2 个不同的交点 A0 , 1 x, B0 , 2 x (1)求证:032 2 21 pxpx; (2)若 A,B 两点之间距离不超过32 p,求 p 的最大值 (全国初中数学联赛试题) 解题思路:解题思路:根据题意,方程02 2 ppxx有两个不同的实数根 1 x, 2 x,于是0,综合运用判 别式、根与系数关系、根的方程
5、、不等式来解 【例【例 5】是否存在这样的实数k,使得二次方程02312 2 kxkx有两个实数根,且两根都 在 2 与 4 之间?如果有,试确定k的取值范围;如果没有,试述理由 ( “祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路:解题思路:由于根的表示形式复杂,因此,应把原问题转化为二次函数问题来讨论,即讨论相应二次 函数交点在 2 与 4 之间,k应满足的条件,借助函数图象解题 【例【例 6】设m,n为正整数,且2m.如果对一切实数t,二次函数mtxmtxy33 2 的图象 与x轴的两个交点间的距离不小于nt 2,求m,n的值 (全国初中数学联赛试题) 解题思路:解题思路:由033 2 mtxmtx,
6、得mtxx 21 , 3,由条件得ntmt23,因此不等 式对任意实数t都成立,故将问题转化为判别式结合正整数求解 能力训练能力训练 A 级级 1已知二次函数 22 42mmxxy的图象与x轴有两个交点 A,B,顶点为 C,若ABC 的面积为 24,则m= . 2把抛物线 2 13xy向上平移k个单位,所得抛物线与x轴相交于点 A( 1 x,0)和 B( 2 x,0),已 知 9 26 2 2 2 1 xx,那么平移后的抛物线的解析式为 . (杭州市中考试题) 3抛物线0 2 acbxaxy的图象如图所示 (1)判断abc及acb4 2 的符号: abc 0 ,acb4 2 0; . (2)当
7、OBOA 时,cba,满足的关系式为_ . y x y x 第第4 4题图题图 第第3 3题图题图 - -1 1 - -1 1 A C B O O y x 第第6 6题图题图 BAO 4已知二次函数cbxaxy 2 的图象过(-1,0)和(0,-1)两点,则a的取值范围为 . (黑龙江省中考试题) 5若关于x的方程032 2 mxx的一个根大于-2,且小于-1,另一个根大于 2 且小于 3,则m的 取值范围是( ) A. 8 9 m B. 8 9 14m C. 59m D. 214m (天津市竞赛试题) 6设函数541 2 mxmxy的图象如图所示,它与x轴交于 A,B 两点,且线段 OA 与
8、 OB 的长的比为 1:4,则m的值为( ) A. 8 B.-4 C. 11 D. -4 或 11 7已知二次函数cbxaxy 2 与x轴相交于两点 A( 1 x,0),B( 2 x,0),其顶点坐标为 P 4 4 , 2 2 bcb ,AB= 21 xx ,若1 APB S,则b与c的关系是( ) A. 014 2 cb B. 014 2 cb C. 044 2 cb D. 044 2 cb (福州市中考试题) 8设关于 x 的方程092 2 axaax有两个不等的实数根 1 x, 2 x,且 1 x1 2 x,那么 a 的取 值范围是( ) A. 5 2 7 2 a B. 5 2 a C.
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