（2021版 九年级数学培优讲义）专题25平面几何的最值问题.doc

1、专题专题25 平面几何的最值问题平面几何的最值问题 阅读与思考 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大 小、图形面积）等的最大值或最小值 求几何最值问题的基本方法有： 1特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情 形下的推证 2几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理 3数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等 例题与求解 【例【例 1】在 Rt ABC 中，CB=3，CA=4，M 为斜边 AB 上一动点过点 M 作 MDAC 于点 D，过 M 作 MECB 于点 E，则

2、线段 DE 的最小值为 （四川省竞赛试题） 解题思路：解题思路：四边形 CDME 为矩形，连结 CM，则 DE= CM，将问题转化为求 CM 的最小值 【例【例 2】 如图， 在矩形 ABCD 中， AB=20cm， BC=10cm 若在 AC， AB 上各取一点 M， N， 使 BM+MN 的值最小，求这个最小值 （北京市竞赛试题） AB DC M N 解解题题思路：思路：作点 B 关于 AC 的对称点 B，连结 BM，BA，则 BM= BM，从而 BM+MN= BM+MN要 使 BM+MN 的值最小，只需使 BM 十 MN 的值最小，当 B，M，N 三点共线且 BNAB 时，BM+MN 的

3、值 最小 【例【例 3】如图，已知ABCD，AB=a，BC=b(ba)，P 为 AB 边上的一动点，直线 DP 交 CB 的延长 线于 Q求 AP+BQ 的最小值 （永州市竞赛试题） P D C A B Q 解解题题思路：思路：设 AP=x，把 AP，BQ 分别用x的代数式表示，运用不等式以abba2 22 或 a+b2ab（当且仅当 a=b 时取等号）来求最小值 【例【例 4】阅读下列材料： 问题 如图 1，一圆柱的底面半径为 5dm，高 AB 为 5dm，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从 A 点出 发沿圆柱表面爬行到 C 点的最短路线 小明设计了两条路线： 图图2 2 图图1 1 摊平摊平

4、沿沿AB剪开剪开 A C BB A C 路线 1：侧面展开图中的线段 AC如图 2 所示 设路线 l 的长度为 l1，则 l12 =AC2=AB2 +BC2 =25+(5) 2=25+252 路线 2：高线 AB 十底面直径 BC如图 1 所示 设路线 l 的长度为 l2，则 l22 = (BC+AB)2=(5+10)2 =225 l12 l22 = 25+252225=252200=25(28)，l12 l22 ， l1l2 所以，应选择路线 2 (1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为 1 分米，高 AB 为 5 分米”继续 按前面的路线进行计算请你帮小明完成下面

5、的计算： 路线 1：l12=AC2= ； 路线 2：l22=（AB+BC）2= l12 l22，l1 l2 （ 填“”或“”），所以应 选择路线 （填“1”或“2”）较短 (2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为 r，高为 h 时，应如何选择上面的两条 路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到 C 点的路线最短 （衢州市中考试题） 解解题题思路：思路：本题考查平面展开一最短路径问题比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较 简便比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减 【例【例 5】如图，已知边长为 4 的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中 AF=2，BF=1为了合理利用这

6、块 钢板，将在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP，使点 P 在 AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大 利用率 （中学生数学智能通讯赛试题） N M EF DC A BP 解题思路：解题思路：设 DN=x，PN=y，则 S=xy建立矩形 MDNP 的面积 S 与 x 的函数关系式，利用二次函数 性质求 S 的最大值，进而求钢板的最大利用率 【例【例 6】如图，在四边形 ABCD 中，AD=DC=1，DAB=DCB=90 ，BC，AD 的延长线交于 P，求 AB S PAB的最小值 （中学生数学智能通讯赛试题） 1 1 1 1 C P A B D 解题思路：解题思路：设 PD=x(x

7、1)，根据勾股定理求出 PC，证 Rt PCDRt PAB，得到 PC PA CD AB ，求出 AB，根据三角形的面积公式求出 y=AB S PAB，整理后得到 y4，即可求出答案 能力训练 A 级 1如图，将两张长为 8、宽为 2 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形容易知道当两张纸条垂直 时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 （烟台市中考试题） 2D 是半径为 5cm 的O 内一点，且 OD=3cm，则过点 O 的所有弦中，最短的弦 AB= cm （广州市中考试题） 3如图，有一个长方体，它的长 BC=4，宽 AB=3，高 BB1=5一只小虫由 A 处出发，沿长方体表面 爬行到

8、 C1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 （“希望杯”邀请赛试题） A F E A A1 D B D1 B1 C1 C A B C O 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 4如图，在 ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CB，CA 分别 相交于点 E，F，则线段 EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题） A42 B4.75 C5 D4.8 5如图，圆锥的母线长 OA=6，底面圆的半径为 2一小虫在圆锥底面的点 A 处绕圆锥侧面一周 又回到点 A，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A12 B4 C62 D63

9、 6如图，已知MON= 40 ，P 是MON 内的一定点，点 A，B 分别在射线 OM，ON 上移动， 当 PAB 周长最小时，APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A80 B100 C120 D140 7 如图， AD是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周， P 为 AD 上任意一点 若 AC=5， 则四边形 ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A15 B20 C15+52 D15+55 N M N M A O P B D C BC AD B A P E 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 8如图，在正方形 ABCD 中，AB=2，E 是 AD 边

10、上一点（点 E 与点 A，D 不重合） ，BE 的垂直 平分线交 AB 于 M，交 DC 与 N (1) 设 AE=x，四边形 ADNM 的面积为 S，写出 S 关于 x 的函数关系式 (2) 当 AE 为何值时，四边形 ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题） 9如图，六边形 ABCDEF 内接于半径为 r 的O，其中 AD 为直径，且 AB=CD=DE=FA (1) 当BAD=75 时，求 BC的长； (2) 求证：BCADFE； (3) 设 AB=x，求六边形 ABCDEF 的周长 l 关于 x 的函数关系式，并指出 x 为何值时，l 取得最大 值 10如图，已知矩形 A

11、BCD 的边长 AB=2，BC=3，点 P 是 AD 边上的一动点（P 异于 A、D） Q 是 BC 边上任意一点连结 AQ，DQ，过 P 作 PEDQ 交于 AQ 于 E，作 PF/AQ 交 DQ 于 F (1) 求证： APEADQ； (2) 设 AP 的长为 x，试求 PEF 的面积 S PEF关于 x 的函数关系式，并求当 P 在何处时，S PEF 取得最大值？最大值为多少？ (3) 当 Q 在何处时， ADQ 的周长最小？（须给出确定 Q 在何处的过程或方法，不必证明） （无锡市中考试 题） F E A B D C Q P 11在等腰 ABC 中，AB=AC=5，BC=6动点 M，N

12、 分别在两腰 AB，AC 上(M 不与 A，B 重合， N 不与 A，C 重合)，且 MNBC将 AMN 沿 MN 所在的直线折叠，使点 A 的对应点为 P (1)当 MN 为何值时，点 P 恰好落在 BC 上？ (2)设 MN=x， MNP 与等腰 ABC 重叠部分的面积为 y，试写出 y 与 x 的函数关系式，当 x 为何 值时，y 的值最大，最大值是多少？ （宁夏省中考试题） N BC A M B B 级级 1已知凸四边形 ABCD 中，AB+AC+CD= 16，且 S四边彤ABCD=32，那么当 AC= ，BD= 时，四边形 ABCD 面积最大，最大值是 （“华杯赛”试题） 2如图，已

13、知 ABC 的内切圆半径为 r，A=60 ，BC=23，则 r 的取值范围是 （江苏 省竞赛试题） y x r C O FE E D F O BC A O B C A A B P D G A B 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 3如图O 的半径为 2，O 内的一点 P 到圆心的距离为 1，过点 P 的弦与劣弧 AB组成一个弓 形，则此弓形面积的最小值为 4 如图， ABC 的面积为 1， 点 D， G， E 和 F 分别在边 AB， AC， BC 上， BDDA， DGBC， DEAC， GFAB，则梯形 DEFG 面积的最大可能值为 （上海市竞赛试题） 5已知边长为

14、a 的正三角形 ABC， 两顶点 A， B 分别在平面直角坐标系的 x 轴， y 轴的正半轴上滑动， 点 C 在第一象限，连结 OC，则 OC 的最大值是 （潍坊市中考试题） 6已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上移动，则当 PA+ PD 取最小值时， APD 中边 AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题） A17 17 2 B17 17 4 C17 17 8 D3 Q A D B C A B D C PP 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 7如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，点 P 是 BC 边上不与点 B，C 重合的

15、任意一点，连结 AP，过 点 P 作 PQAP 交 DC 于点 Q设 BP 的长为 xcm，CQ 的长为 ycm (1) 求点 P 在 BC 上运动的过程中 y 的最大值； (2) 当 y= 4 1 cm 时，求 x 的值 （河南省中考试题） 8如图，y 轴正半轴上有两点 A(0，a)，B(0，b)，其中 ab0在 x 轴上取一点 C，使ACB 最 大，求 C 点坐标 （河北省竞赛试题） 9如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 M，N 分别在 BC，CD 上，使得 CMN 的周长为 2求： (1) MAN 的大小； (2) MAN 的面积的最小值 （“宇振杯”上海市竞赛试题） 10，如图，

16、四边形 ABCD 中，AD= CD，DAB=ACB=90 ，过点 D 作 DEAC 于 F，DE 与 AB 相交于点 E (1) 求证：AB AF=CB CD； (2)已知 AB=15cm，BC=9cm，P 是射线 DE 上的动点，设 DP=xcm(x0)，四边形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y 关于 x 的函数关系式； 当 x 为何值时， PBC 的周长最小？求出此时 y 的值 （南通市中考试题） M DC AB N F E D A B C P y x l OA B x y H E A C B G F 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 11如图，已知直线l：kkxy42(k为实数) (1) 求证：不论 k 为任何实数，直线 l 都过定点 M，并求点 M 的坐标； (2) 若直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A，B 两点，求 AOB 面积的最小值 （太原市竞赛试题） 12如图，在 Rt ABC 中，C=90 ，BC=2，AC=x，点 F 在边 AB 上，点 G，H 在边 BC 上，四 边形 EFGH 是一个边长为 y 的正方形，且 AE=AC (1) 求 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x 为何值时，y 取得最大值？求出 y 的最大值 （上海市竞赛试题）