（2021版 九年级数学培优讲义）专题14　平行线分线段成比例.doc

1、专题 14 平行线分线段成比例 阅读与思考阅读与思考 平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重 要的理论 运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线若无平行线，需作平行线，而作平行 线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得此外，还要熟悉并善于从复杂的 图形中分解出如下的基本图形： 例题与求解例题与求解 【例 1】如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ADa，BCb，E，F 分别是 AD，BC 的中点，且 AF 交 BE 于 P，CE 交 DF 于 Q，则 PQ 的长为 （上海市竞赛试题） 解题思路解题思路：建立含

2、 PQ 的比例式，为此，应首先判断 PQ 与 AD（或 BC）的位置关系，关键是从复杂 的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系 【例 2】如图，在ABC 中，D，E 是 BC 的三等分点，M 是 AC 的中点，BM 交 AD，AE 于 G，H， 则 BGGH：HM 等于（ ） A321 B421 C543 D532 （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：因题设条件没有平行线，故须过 M 作 BC 的平行线，构造基本图形 Q A BC DE F P A B C DE GH M 【例 3】如图，ABCD 中，P 为对角线 BD 上一点，过点 P 作一直线分别交 BA，BC

3、 的延长线于 Q， R，交 CD，AD 于 S，T 求证：PQPTPRPS （吉林省中考试题） 解题思路解题思路：要证 PQ PTPR PS，需证 PQ PS PR PT ，由于 PQ，PT，PR，PS 在同一直线上，故不能 直接应用定理，需观察分解图形 【例 4】梯形 ABCD 中，AD/BC，ABDC （1）如图 1，如果 P，E，F 分别是 BC，AC，BD 的中点，求证：ABPEPF； （2）如图 2，如果 P 是 BC 上的任意一点（中点除外） ，PEAB，PFDC，那么 ABPEPF 这个 结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由 （上海市闵行区中考试题） 解题思路解题

4、思路： （1）不难证明；对于（2） ，先假设结论成立，从平行线出发证明 ABPEPF，即要证明 PE AB PF AB 1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明 Q A RB C D S P A BC D E F P 图 2 A BC D EF P 图 1 【例 5】如图，已知 ABCD，ADCE，F，G 分别是 AC 和 FD 的中点，过 G 的直线依次交 AB，AD， CD，CE 于点 M，N，P，Q 求证：MNPQ2PN 解题思路解题思路：考虑延长 BA，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式 （浙江省竞赛试题） 【例 6】已知：ABC 是任意三角形 （1

5、）如图 1，点 M，P，N 分别是边 AB，BC，CA 的中点，求证：MPNA； （2）如图 2，点 M，N 分别在边 AB，AC 上，且 AM AB 1 3 ， AN AC 1 3 ，点 P1，P2是 边 BC 的三等分点，你认为MP1NMP2NA 是否正确？请说明你的理由； （3）如图 3，点 M，N 分别在边 AB，AC 上，且 P1，P2，P2009是边 BC 的 2010 等分点，则MP1N MP2NMP2009N （济南市中考试题） 解题思路解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质 A BC M N P 图 1 A BC MN 1 P 2

6、 P 图 2 A M N BC 1 P 2 P 2009 P 图 3 Q AB CD E F G M N P 能力训练能力训练 A 级级 1设 K abc c abc b abc a ，则 K （镇江市中考试题） 2如图，ADEFBC，AD15，BC21，2AEEB，则 EF 3如图，在ABC 中，AM 与 BN 相交于 D，BM3MC，ADDM，则 BDDN （杭州市中考试题） 4如图，ABCD 是正方形，E，F 是 AB，BC 的中点，连结 EC 交 DB，交 DF 于 G，H，则 EGGH HC （重庆市中考试题） 5如图，在正ABC 的边 BC，CA 上分别有点 E，F，且满足 BEC

7、Fa，ECFAb（ab） ， 当 BF 平分 AE 时，则 a b 的值为（ ） A 51 2 B 52 2 C 51 2 D 52 2 6如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 上的一点，且 AFFD15，连结 CF 并延长 交 AB 于 E，则 AEEB 等于（ ） A110 B19 C18 D17 7如图，PQAB，PQ6，BP4，AB8，则 PC 等于（ ） A B C D EF 第 2 题 A BC D M N 第 3 题 A B C D E F G H 第 4 题 A BC E F G 第 5 题 A B C D E F 第 6 题 Q A BC P 第 7 题

8、 A BC D E F 第 8 题 A4 B8 C12 D16 8如图，EFBC，FDAB，BD 3 5 BC，则 BEEA 等于（ ） A35 B25 C23 D32 9 （1）阅读下列材料，补全证明过程 已知，如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，OEBC 于 E，连结 DE 交 OC 于点 F，作 FGBC 于 G求证：点 G 是线段 BC 的一个三等分点 （2）请你依照上面的画法，在原图上画出 BC 的一个四等分点 （要求：保留画图痕迹，不写画法及 证明过程） （山西中考试题） 10如图，已知在ABCD 中，E 为 AB 边的中点，AF 1 2 FD，FE 与 AC 相交

9、于 G 求证：AG 1 5 AC 11如图，梯形 ABCD 中，ADBC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EFAD （1）求证：OEOF； （2）求 OE AD OE BC 的值； （3）求证： 1 AD 1 BC 2 EF （宿迁市中考试题） A BC D E F G O 第 9 题 AB C D E G 第 10 题 A B C D EF O 第 11 题 12 如图， 四边形 ABCD 是梯形， 点 E 是上底边 AD 上的一点， CE 的延长线与 BC 的延长线交于点 F， 过点 E 作 BA 的平行线交 CD 的延长线于点 M，MB 与 AD 交于点 N 求证：AFNDME （全

10、国初中数学联赛试题） B 级 1如图，工地上竖立着两根电线杆 AB，CD，它们相距 15cm，分别自两杆上高出地面 4m，6m 的 A，C 处，向两侧地面上的 E，D 和 B，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳 AD 与 BC 的交点 P 离地面的高度为m （全国初中数学联赛试题） 2如图，ABCD 的对角线交于 O 点，过 O 任作一直线与 CD，BC 的延长线分别交于 F，E 点设 BCa，CDb，CFc，则 CE （黑龙江省中考试题） Q A BC D E F M N P A B C D E F O 第 2 题 A B C D E F 第 3 题 Q A B C DEF 第

11、 1 题 3如图，D，F 分别是ABC 边 AB，AC 上的点，且 ADDBCFFA23，连结 DF 交 BC 边 的延长线于点 E，那么 EFFD （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 4如图，设 AF10，FB12，BD14，DC6，CE9，EA7，且 KLDF，LMFE，MN ED，则 EFFD （江苏省竞赛试题） 5如图，ABEFCD，已知 AB20，CD80，那么 EF 的值是（ ） A10 B12 C16 D18 （全国初中数学联赛试题） 6如图，CE，CF 分别平分ACB，ACD，AECF，AFCE，直线 EF 分别交 AB，AC 于点 M， N若 BCa，ACb，ABc，且cab，则

12、EM 的长为（ ） A 2 ca B 2 ab C 2 cb D 2 abc （山东省竞赛试题） 7如图，在ABCD 的边 AD 延长线上取一点 F，BF 分别交 AC 与 CD 于 E，G若 EF32，GF 24，则 BE 等于（ ） A4 B8 C10 D12 E16 （美国初中数学联赛试题） 8如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB3CD，E 是对角线 AC 的中点，直线 BE 交 AD 于点 F， 则 AFFD 的值是（ ） A2 B 5 3 C 3 2 D1 （黄冈市竞赛试题） 9如图，P 是梯形 ABCD 的中位线 MN 所在直线上的任意一点，直线 AP， BP 分别交直线 C

13、D 于 E， AB C D E F G 第 7 题 AB CD E F 第 8 题 A B C D E F M N P 第 9 题 A B C D E F 第 5 题 A B C D EF L K M N 第 4 题 A B C D E F M 第 6 题 F 求证： MN NP 1 () 2 AEBF EPFP （宁波市竞赛试题） 10如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O，直线l平行于 BD 且与 AB，DC，BC，AD 及 AC 的延长线分别交于点 M，N，R，S 和 P 求证：PMPNPRPS （山东省竞赛试题） 11 如图， ABBC， CDBC， B， D 是垂足

14、， AD 和 BC 交于 E， EFBD 于 F 我们可以证明： 11 ABCD 1 EF 成立（不要求证出） 以下请回答：若将图中垂直改为 ABCDEF，那么， （1） 11 ABCD 1 EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 （2）请找出 SABD，SBED和 SBDC的关系式，并给出证明 （黄冈市竞赛试题） A B C D E F 第 11 题 S A R B C D M N O P l 第 10 题 12在 RtABC 中，BAC90 ，AD 平分BAC，过 D 点的直线 PQ 交边 AC 于点 P，交边 AB 的延长线于点 Q （1）如图 1，当 PQAC 时，求证： 11 AQAP 2 AD ； （2）如图 2，当 PQ 不与 AD 垂直时， （1）的结论还成立吗？证明你的结论； （3）如图 3，若BAC60 ，其它条件不变，且 11 AQAP n AD ，则n（直接写出结 果） A Q B C D P 图 1 A Q B C D P 图 2 A Q B C D P 图 3