2015年高考理科数学湖南卷（配答案解析，word标准版）.docx

1、 数学试卷 第 1页（共 9页） 数学试卷 第 2页（共 9页） 数学试卷 第 3页（共 9页） 绝密 启用 前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 湖南 卷 ） 数学 （理科） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 .满分 150 分 ,考试时间 120分钟 . 第 卷 （选择题 共 50分） 一、选择题 :本 大 题共 10小题 ,每小题 5分 ,共 50分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 . 1.已知 2(1 i) 1iz? ? ( i 为 虚数单位 ) ,则复数 z? ( ) A.1i? B.1i? C. 1i? D. 1i? 2.设 A

2、 ,B 是 两个集合 ,则 “ A B A? ” 是 “ AB? ” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图所示的程序框图 .如果输入 3n? ,则 输出的 S? ( ) A.67 B.37 C.89 D.49 4.若变量 x ,y 满足约束条件 1,2 1,1,xyxy? -y则 3z x y?的最小值 为 ( ) A. 7? B. 1? C.1 D.2 5.设函数 ( ) ln (1 ) ln (1 )f x x x? ? ? ?,则 ()fx是 ( ) A.奇函数 ,且在 (0,1) 上是增函数 B.奇函数 ,且在 (0,

3、1) 上是减函数 C.偶 函数 ,且在 (0,1) 上是增函数 D.偶 函数 ,且在 (0,1) 上是减函数 6.已知 5()axx?的 展开式中含 32x 的 项的系数为 30,则 a? ( ) A. 3 B. 3? C.6 D. 6? 7.在 如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个 点 ,则落入阴影部分（ 曲线 C 为 正态分布 (0,1)N 的 密度曲线） 的 点的个数的估计值为 ( ) A.2 386 B.2 718 C.3 413 D.4 772 附 :若 2 ( , )XN? ,则 ( ) =0 .6 8 2 6PX? ? ? ? , ( 2 2 ) =0 .9 5 4 4P

4、X? ? ? ? . 8.已知点 A , B , C 在圆 221xy?上运动 ,且 AB BC? .若点 P 的坐标为 (2,0) ,则|PA PB PC?的最大值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 9.将 函数 ( ) sin2f x x? 的 图象向右平移 (0 )2? 个 单位后得到函数 ()gx的图象 .若 对满足 12| ( ) ( ) | 2f x g x?的 1x ,2x ,有1 2 min |3xx?,则 ? ( ) A.512 B.3 C.4 D.6 10.某工件的三视图如图所示 ,现将该工件通过切削 ,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件 ,并使新工件的一个面落在

5、原工件的一个面内 ,则原工件材料的利用率为=?新 工 件 的 体 积材 料 利 用 率 原 工 件 的 体 积 ( ) A.89 B.169 C. 34( 2 1)? D. 312( 2 1)? 第 卷 （非选择题 共 100分） 二、填空题 :本 大 题共 5小题 ,每小题 5分 ,共 25分 .把 答案填写在题中的横线上 . 11. 20 ( 1)x dx?. 12.在一次马拉松比赛中 ,35 名运动员的成绩（单位 :分钟）的 茎叶图 如图所示 . 若将运动员按成绩由好到差编为 1 35号 ,再用系统抽样方法从中抽取 7人 ,则其中成绩在 139,151上的运动员人数为 . 13.设 F

6、是 双曲线 C : 221xyab?的 一个 焦点 .若 C 上 存在 点 P ,使线段 PF 的 中点恰为其虚轴的一个端点 ,则 C 的 离心率为 . 14.设 nS 为 等比数列 na 的 前 n 项 和 .若 1 1a? ,且 13S , 22S , 3S 成 等差数列 ,则na? . 15.已知 函数 32,() ,x x afx x x a? 若存在 实数 b ,使函数 ( ) ( )g x f x b?有 两个零点 ,则 a 的 取值范围是 . 三、解答题 :本大题共 6小题 ,共 75分 .解答 应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分 12 分） 本小题

7、设有 , ,三个 选做题 ,请考生任 选 两题作答 ,如果多做 ,则按所做的前两题记分 . .（本小题 满分 6 分）选修 4 1:几何 证明选讲 如图 ,在 O 中 ,相交于点 E 的 两 弦 AB ,CD 的 中点分别是 M ,N ,直线 MO 与 直线CD 相交 于点 F .证明 : （ ） 180M EN NOM? ? ? ?; （ ） FE FN FM FO? . -在-此-卷-上-答-题-无-效-姓名_ 准考证号_ 提示：配详细答案解析，请到 搜索并免费下载！ .（本小题 满分 6 分）选修 4 4:坐标系与 参数方程 已知直线 l :35,213,2xtyt? ? ?（ t 为

8、 参数 ） .以 坐标 原点为极点 ,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C 的 极坐标方程为 2cos? . （ ） 将 曲线 C 的 极坐标方程 化为 直角坐标方程 ; （ ） 设 点 M 的 直角坐标为 (5, 3) ,直线 l 与 曲线 C 的交点 为 A ,B ,求 | | | |MA MB 的值 . .（本小题 满分 6 分）选修 4 5:不等式选讲 设 0a? , 0b? ,且 11abab? ? ? .证明 : （ ） 2ab? ; （ ） 2 2aa? 与 2 2bb? 不可能 同时 成立 . 17.（本小题满分 12 分） 设 ABC 的 内角 A ,B ,C 的

9、对边 分别为 a ,b ,c , tana b A? ,且 B 为钝角 . （ ） 证明 : 2BA? ; （ ） 求 sin sinAC? 的取值范围 . 18.（本小题满分 12 分） 某商场举行有奖促销活动 ,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖 .每次抽奖都是从装有4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中 ,各随机摸出 1 个球 .在摸出的 2 个球中 ,若 都是红球 ,则获一等奖 ;若 只有 1 个红球 ,则获二等奖 ;若没有红球 ,则不获奖 . （ ） 求顾客抽奖 1 次 能获奖的概率 ; （ ） 若某顾客 有 3 次 抽奖机会 ,记 该 顾客在 3 次抽

10、奖 中 获一等奖 的次数为 X ,求 X 的分布列 的数学期望 . 19.（本小题满分 13 分） 如图 ,已知 四棱台 1 1 1 1ABCD A BC D? 的 上 、 下底面分别是边长 为 3和 6的 正方形 , 1 6AA? ,且 1AA? 底面 ABCD .点 P ,Q 分别 在棱 1DD ,BC 上 . （ ） 若 P 是 1DD 的 中点 ,证明 : 1AB PQ? ; （ ） 若 PQ 平面 11ABBA ,二面角 P QD A?的 余弦值 为 37 ,求四面体 ADPQ 的 体积 . 20.（本小题满分 13 分） 已知抛物线 1C : 2 4xy? 的焦点 F 也是椭圆 2

11、C : 22 1( 0)yx abab? ? ? ?的一个 焦点 , 1C与 2C 的 公共弦的长为 26. （ ） 求 2C 的 方程 ; （ ） 过点 F 的 直线 l 与 1C 相交于 A ,B 两点 ,与 2C 相交于 C ,D 两点 ,且 AC 与 BD 同向 . （ ） 若 | | | |AC BD? ,求直线 l 的 斜率 ; （ ） 设 1C 在 点 A 处 的切线与 x 轴 的交点 为 M ,证明 :直线 l 绕 点 F 旋转时 , MFD 总是钝角三角形 . 21.（本小题满分 13 分） 已知 0a? ,函数 ( ) s in ( 0 , ) )axf x e x x?

12、? ?.记 nx 为 ()fx的 从小到大的第 *()nn?个 极值点 .证明 : （ ） 数列 ( )nfx 是 等比数列 ; （ ） 若21 1a e ?,则 对 一切 *n? , | ( )|nnx f x? 恒成立 . 数学试卷 第 7页（共 9页） 数学试卷 第 8页（共 9页） 数学试卷 第 9页（共 9页） 本套试题配有详细的答案解析： 下载方式： 请到本站 ，搜索【 套题名称 +答案 】就可以获得结果并免费下载答案。 例如： 我要下载【 2012 年安徽省中考数学试卷】的答案解析，那么请在本站搜索【 2012 年安徽省中考数学试卷】即可。 输 入 套 题 名 称 - 搜索 - 免费 下载