2020-2021学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （4 分）已知集合|02AxRx，| 1BxR x，则(AB ) A(1,2) B(0,2) C(0,1) D( 1,2) 2 （4 分）设aR，若复数(12 )()zi ai的实部与虚部相等(i是虚数单位） ，则(a ) A3 B2 C2 D3 3 （4

2、 分）若x、y满足约束条件 1 0 2 0 22 0 x y xy ，则zxy的最大值是( ) A5 B1 C2 D4 4 （4 分）设，是两个不同的平面，m是直线且m， “/ /m “是“/ /”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （4 分）已知函数 1 ( ) 1 f x xlnx ，则( )yf x的图象大致为( ) A B C D 6 （4 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则 该三棱锥中最长棱的长度为( ) 第 2 页（共 18 页） A2 B5 C2 2 D3 7 （4 分）数学家华罗

3、庚曾说： “数缺形时少直观，形少数时难入微 ”事实上，很多代数问 题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 22 ()()xayb相关的代数问题，可以转化 为 点( ,)A x y与 点( ,)B a b之 间 的 距 离 的 几 何 问 题 结 合 上 述 观 点 ， 可 得 方 程 22 45452xxxx的解是( ) A 3 6 B 3 3 C 2 3 3 D 4 3 3 8 （4 分）设等比数列 n a的前n项和为 n S，且 43 3 1 SS S 若 1 1a ，则( ) A 13 aa， 24 aa B 13 aa， 24 aa C 13 aa， 24 aa D 13 aa， 24

4、 aa 9 （4 分）已知四面体ABCD中，二面角ABCD的大小为60，且2AB ，4CD ， 120CBD，则四面体ABCD体积的最大值是( ) A 4 3 9 B 2 3 9 C 8 3 D 4 3 10 （4 分）已知函数 22 ( )(1)(1)(0 2 a f xa lnxxaaxb x，aR，)bR若函 数( )f x有三个零点，则( ) A1a ，0b B01a，0b C0a ，0b D01a，0b 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分） 11 （6 分）椭圆 22 1 16

5、9 xy 的焦距是 ，离心率是 12（6 分） 设 52345 012345 (1 2 ) xaa xa xa xa xa x， 则 3 a ，1 25 aaa 13 （6 分）若 1 tan() 46 ，则tan ，cos2 14 （6 分）设点F是抛物线 2 4yx的焦点，过点F作倾斜角为45直线交抛物线于A，B 两点， 则以线段AB为直径的圆的半径是 ， 若该圆上恰有三个点到直线(0)yxb b的 距离为 2，则b 第 3 页（共 18 页） 15 （4 分）一个口袋中有 7 个大小相同的球，其中红球 3 个，黄球 2 个，绿球 2 个现从 该口袋中任取 3 个球，设取出红球的个数为，则

6、( )E 16 （4 分）设函数 3 ( )33()f xxxxR已知0a ，且( )f xf（a） 2 ()()xb xa， bR，则ab 17 （4 分）已知x，yR，且3xy，则 22 124xy 的最小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18 （ 14 分 ） 在ABC中 ， 角A，B，C所 对 的 边 分 别 是a，b，c 已 知 3( coscos )cossinaBbACcC （）求角C的大小； （）求 22 coscosAB的取值范围 19 （15

7、分）如图，三棱柱 111 ABCABC所有的棱长均为 1，且四边形 11 C BBC为正方形，又 1 ABBC （）求证： 111 ABAC； （）求直线AB和平面 11 A ACC所成角的正弦值 20 （15 分）设等差数列 n a的首项 1 a为(0)a a ，其前n项和为 n S （）若 1 S， 2 S， 4 S成等比数列，求数列 n a的通项公式； （）在（）条件下，若对任意的 * nN，恒有0 n S ，问是否存在 * (2,)Nk k卥，使 得lnSk、 1 lnS k 、 2 lnS k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说 明理由 第 4 页（共 18

8、页） 21 （15 分）如图，已知点A，B，C是抛物线 2 xy上的三个不同的点，且ABC是以点 B为直角顶点的等腰直角三角形 （）若直线BC的斜率为 1，求顶点B的坐标； （）求三角形ABC的面积的最小值 22 （15 分）已知函数 3 ( )sin( ,) x f xmxxxne m nR，e为自然对数的底数 （）当0m 且1n 时，证明：( )0f x ； （）当0n 时，函数( )f x在区间0，)上单调递增，求实数m的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷学年浙江省湖州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题

9、解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （4 分）已知集合|02AxRx，| 1BxR x，则(AB ) A(1,2) B(0,2) C(0,1) D( 1,2) 【解答】解： |02Axx， | 11Bxx ， (0,1)AB 故选：C 2 （4 分）设aR，若复数(12 )()zi ai的实部与虚部相等(i是虚数单位） ，则(a ) A3 B2 C2 D3 【解答】解：设aR，复数(12 )()(2)(12

10、)zi aiaa i， 由复数的实部与虚部相等(i是虚数单位） ， 则212aa ， 解得3a ， 故选：A 3 （4 分）若x、y满足约束条件 1 0 2 0 22 0 x y xy ，则zxy的最大值是( ) A5 B1 C2 D4 【解答】解：画出约束条件 1 0 2 0 22 0 x y xy 表示的平面区域，如图所示； 第 6 页（共 18 页） 由zxy得yxz ， 平移直线yxz ， 由图象可知当直线yxz 经过点A时，直线yxz 的截距最大， 此时z最大； 由 20 220 y xy ， 解得 2 2 x y ，即(2,2)A， 代入目标函数zxy得224z 即目标函数zxy的

11、最大值为 4 故选：D 4 （4 分）设，是两个不同的平面，m是直线且m， “/ /m “是“/ /”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：m，/ /m得不到/ /，因为，可能相交，只要m和，的交 线平行即可得到/ /m； / /，m，m和没有公共点，/ /m，即/ /能得到/ /m； “/ /m”是“/ /”的必要不充分条件 故选：B 5 （4 分）已知函数 1 ( ) 1 f x xlnx ，则( )yf x的图象大致为( ) 第 7 页（共 18 页） A B C D 【解答】解：令( )1g xxlnx，则 11 ( )1

12、 x g x xx ， 由( )0g x，得1x ，即函数( )g x在(1,)上单调递增， 由( )0g x得01x，即函数( )g x在(0,1)上单调递减， 所以当1x 时，函数( )g x有最小值，( )(0)0 min g xg， 于是对任意的(0 x，1)(1，)，有( ) 0g x ，故排除B、D， 因函数( )g x在(0,1)上单调递减，则函数( )f x在(0,1)上递增，故排除C， 故选：A 6 （4 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则 该三棱锥中最长棱的长度为( ) A2 B5 C2 2 D3 【解答】解：可在正方体中画出该三棱

13、锥的直观图，如图： 该三棱锥中最长棱为：PA， 最长棱长为： 22222 2123PAABPB 故选：D 第 8 页（共 18 页） 7 （4 分）数学家华罗庚曾说： “数缺形时少直观，形少数时难入微 ”事实上，很多代数问 题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 22 ()()xayb相关的代数问题，可以转化 为 点( ,)A x y与 点( ,)B a b之 间 的 距 离 的 几 何 问 题 结 合 上 述 观 点 ， 可 得 方 程 22 45452xxxx的解是( ) A 3 6 B 3 3 C 2 3 3 D 4 3 3 【解答】解：由方程 22 45452xxxx可得： 2222

14、(2)(1 0)(2)(1 0)2xx， 其几何意义为平面内一点( ,1)M x到定点( 2,0)的距离比到定点(2,0)的距离大 2， 由双曲线的定义可得点M的轨迹是以( 2,0)，(2,0)为焦点的双曲线的右支， 则2c ，22a ，所以1a ，3b ， 则M的轨迹方程为： 2 2 1(0) 3 y xx， 令1y ，解得 2 32 3 33 x 或（舍去） ， 所以方程 22 45452xxxx的解是 2 3 3 ， 故选：C 8 （4 分）设等比数列 n a的前n项和为 n S，且 43 3 1 SS S 若 1 1a ，则( ) A 13 aa， 24 aa B 13 aa， 24

15、aa C 13 aa， 24 aa D 13 aa， 24 aa 【解答】解：数列 n a为等比数列，且 43 3 1 SS S ， 4 3 1 a S ， 3 32321 4311 (1) (1)1 1 aq a Sa qa qqq q ， 1 1a ，10q ， 第 9 页（共 18 页） 2 311( 1)0aaa q， 2 421 (1)0aaaq q， 13 aa， 24 aa 故选：B 9 （4 分）已知四面体ABCD中，二面角ABCD的大小为60，且2AB ，4CD ， 120CBD，则四面体ABCD体积的最大值是( ) A 4 3 9 B 2 3 9 C 8 3 D 4 3 【

16、解答】解：在BCD中，由余弦定理可得 222 2cos120CDBCBDBC BD， 即 222 423BCBDBC BDBC BDBC BDBC BD， 所以 16 3 BC BD，当且仅当BCBD时取等号， 所以 111634 3 sin120 22323 BCD SBC BD ， 又因为二面角ABCD的大小为60， 所以点A到平面BCD的距离的最大值为2sin603h ， 故四面体ABCD体积的最大值为 14 34 3 333 故选：D 10 （4 分）已知函数 22 ( )(1)(1)(0 2 a f xa lnxxaaxb x，aR，)bR若函 数( )f x有三个零点，则( ) A

17、1a ，0b B01a，0b C0a ，0b D01a，0b 【解答】解：函数 22 ( )(1)(1)(0 2 a f xa lnxxaaxb x，aR，)bR， 则 2 1(1)(1) ( )1 aaxxa fxaxaa xx ， 令( )0fx，解得 1 1 x a ， 2 1xa ， 因为0 x ，所以 1 1 0 x a ， 2 10 xa ，故01a； 则 1 1 1x a ， 2 11xa ， 当(0,1)xa时，( )0fx，所以( )f x单调递增， 第 10 页（共 18 页） 当 1 (1,)xa a 时，( )0fx，所以( )f x单调递减， 又当0 x 时，( )f

18、 x ，当x时，( )f x ， 因为函数( )f x有三个零点， 则必有(1)0fa， 1 ( )0f a ， 即 22 (1) (1)(1)(1)(1)0 2 a a lnaaaaab， 111 1(1)(1)0 2 a lnab aaa ， 由式可得， 1 (1) (1)(2)(1)0 2 a lnaaab， 当01a时，10a，(1)0lna，(2)(1)0aa， 所以 1 (1) (1)(2)(1)0 2 a lnaaa， 故0b 故选：B 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分）

19、 11 （6 分）椭圆 22 1 169 xy 的焦距是 2 7 ，离心率是 【解答】解：椭圆 22 1 169 xy ，可知4a ，3b ，则7c ， 所以椭圆的焦距为：2 7， 椭圆的离心率为： 7 4 故答案为：2 7； 7 4 12 （ 6分 ） 设 52345 012345 ( 12)xaa xa xa xa xa x， 则 3 a 80 ， 125 aaa 【解答】解：由二项式定理可得 33 35( 2) 80aC， 令0 x ，可得 0 1a ， 令1x ，可得 5 0125 ( 1)1aaaa ， 所以 125 1 12aaa 故答案为：80；2 第 11 页（共 18 页）

20、13 （6 分）若 1 tan() 46 ，则tan 7 5 ，cos2 【解答】解： 1 1tan()1 167 64 tantan() 1 446 15 1tan()1 46 ， 222 22 222 49 1 125492412 25 cos2cossin 49 125497437 1 25 cossintan cossintan 故答案为： 7 5 ， 12 37 14 （6 分）设点F是抛物线 2 4yx的焦点，过点F作倾斜角为45直线交抛物线于A，B 两点，则以线段AB为直径的圆的半径是 4 ，若该圆上恰有三个点到直线(0)yxb b 的距离为 2，则b 【解答】解：由抛物线的方程

21、可得焦点(1,0)F，直线的斜率tan451 k， 则直线的方程为：1yx，代入抛物线方程可得： 2 610 xx ， 则6 AB xx，所以|628 AB ABxxp，且 (1)(1)(1)2624 ABABBAB yyxxxxx， 设AB的中点为M，则点M的坐标为(3,2)， 所以以AB为直径的圆的圆心为(3,2)M，半径为 | 4 2 AB r ， 若该圆上恰有三个点到直线(0)yxb b的距离为 2， 则圆心M到直线的距离2d ，即 |32| 2 1 1 b ，解得12 2b 或12 2 （舍去） ， 所以2 21b ， 故答案为：4，2 21 15 （4 分）一个口袋中有 7 个大小

22、相同的球，其中红球 3 个，黄球 2 个，绿球 2 个现从 该口袋中任取 3 个球，设取出红球的个数为，则( )E 9 7 【解答】解：由已知可得可取 0，1，2，3， 则 3 4 3 7 4 (0) 35 C P C ， 12 34 3 7 18 (1) 35 C C P C ， 第 12 页（共 18 页） 21 34 3 7 12 (2) 35 C C P C ， 3 3 3 7 1 (3) 35 C P C ， 所以 4181219 ( )0123 353535357 E ， 故答案为： 9 7 16 （4 分）设函数 3 ( )33()f xxxxR已知0a ，且( )f xf（a）

23、 2 ()()xb xa， bR，则ab 2 【解答】解：因为 3 ( )33()f xxxxR， 所以( )f xf（a） 23222 ()()(2)(2)xb xaxab xaab xa b， 又( )f xf（a） 3333 33(33)33xxaaxxaa ， 则有 2 23 20 23 3 ab aab a baa ，解得1a ，2b ， 所以2ab 故答案为：2 17 （4 分）已知x，yR，且3xy，则 22 124xy 的最小值是 3 5 【解答】解： 222 2121 ()()1 5555 xx，当且仅当2x 时等号成立， 222 2428 ()()4 5555 yy，当且仅

24、当1y 时等号成立， 又3xy， 22222222 2124 124()()1()()4 5555 xyxy 2969 ()3 5 5555 xy，当且仅当2x ，1y 时等号成立 故答案为：3 5 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18 （ 14 分 ） 在ABC中 ， 角A，B，C所 对 的 边 分 别 是a，b，c 已 知 3( coscos )cossinaBbACcC 第 13 页（共 18 页） （）求角C的大小； （）求 22 coscosAB的取值范围

25、【解答】解： （）因为3( coscos )cossinaBbACcC， 由正弦定理可得 2 3(sincossincos )cos3sin()cos3sincossinABBACABCCCC， 又因为(0, )C，sin0C ，可得cos3sinCC，即tan3C ， 所以 3 C （）由（）及ABC，可得 2 3 BA ， 所以 22222222 231533131 coscoscoscos()cos(sincos)cossinsin2cos2sin21cos(2)1 3224444423 ABAAAAAAAAAAA ， 因为 2 (0,) 3 A ，2( 33 A ， 5 ) 3 ，可得

26、cos(2) 1 3 A ， 1 2 ， 所以 22 11 coscoscos(2)1 232 ABA ， 5) 4 19 （15 分）如图，三棱柱 111 ABCABC所有的棱长均为 1，且四边形 11 C BBC为正方形，又 1 ABBC （）求证： 111 ABAC； （）求直线AB和平面 11 A ACC所成角的正弦值 【解答】 （）证明：以B为坐标原点， 1 BB为x轴，BC为y轴建立空间直角坐标系如图所 示， 第 14 页（共 18 页） 因为四边形 11 C BBC为正方形， 所以(0B，0，0)， 1(1 B，0，0)，(0C，1，0)， 1(1 C，1，0)， 则 11 (1

27、,0,0)AABB， 设 1 11 ( , ),(1, ) 22 A ab Aab， 则 111 11 ( , ),( , ),( 1,1,0) 22 B Aab BAab BC ， 则 2 22 1 1 4 ABab， 又 1 ABBC，则有 1 1 0 2 AB BCa ， 由可得 12 , 22 ab， 所以 1 1 123 12 ( ,),( ,) 2 222 22 AA， 故 111 1 12112 ( ,),(,) 2 22222 B AC A ， 因为 111 111 0 442 B A C A ， 所以 111 ABAC； （）解：由（）可知， 112 (,) 222 ABBA

28、 ， 1 12 (,) 2 22 AC ， 1 (1,0,0)CC ， 设平面 11 A ACC的法向量为( , , )nx y z， 所以 1 0 112 0 222 CCnx AC nxyz ， 取1y ，则 2 (0,1,) 2 n ， 则有 |16 |cos,| 3|3 1 2 AB n AB n AB n ， 所以直线AB和平面 11 A ACC所成角的正弦值为 6 3 第 15 页（共 18 页） 20 （15 分）设等差数列 n a的首项 1 a为(0)a a ，其前n项和为 n S （）若 1 S， 2 S， 4 S成等比数列，求数列 n a的通项公式； （）在（）条件下，若对

29、任意的 * nN，恒有0 n S ，问是否存在 * (2,)Nk k卥，使 得lnSk、 1 lnS k 、 2 lnS k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说 明理由 【解答】解： （）设等差数列 n a的公差为d， 若 1 S， 2 S， 4 S成等比数列，则 2 214 SS S， 又 1 aa，所以 2 (2)(46 )adaad， 解得0d 或2da， 所以数列 n a的通项公式 n aa或(21) n ana （）假设存在 * (2,)Nk k卥，使得lnSk、 1 lnS k 、 2 lnS k 成等比数列， 则有 2 12 ()lnSlnSlnS kkk

30、 ， 整理可得 22 (1)0aaddkk k， 当0d 时，0a ，则 12 SSS kkk ，不符合题意； 当0d 时，则有 22 (2)0dkk，无解， 综上所述，不存在 * (2,)Nk k卥，使得lnSk、 1 lnS k 、 2 lnS k 成等比数列 21 （15 分）如图，已知点A，B，C是抛物线 2 xy上的三个不同的点，且ABC是以点 B为直角顶点的等腰直角三角形 第 16 页（共 18 页） （）若直线BC的斜率为 1，求顶点B的坐标； （）求三角形ABC的面积的最小值 【解答】解： （1）直线BC的斜率为 1， 直线BC的倾斜角为45，即45CBx， 又ABC是以点B为

31、直角顶点的等腰直角三角形， 45ACBCBx ， 直线AC与x轴平行， 由抛物线的对称性知，点B为原点， (0,0)B （2） 由对称性知， 不妨设点B在y轴的右侧 （包括y轴） ， 且 1 (A x， 1) y， 2 (C x， 2) y， 2 ( ,)B t t， 则 12 0 xtx ， 设直线BC的斜率为(0)k k，则直线AB的斜率为 1 k ， 直线BC的方程为 2 ()ytxtk， 联立 2 2 ()ytxt xy k ，得 22 0 xxttkk， 2 xt k， 2 2 xttt k， 22 2 |1()1(2 )BCxttkkk， 同理可得， 2 2 1111 |1()|2

32、 |1(2 )ABtt kkkk ， | |ABBC， 2 2 11 1(2 )1(2 )ttkk kk ， 第 17 页（共 18 页） 化简可得， 3 1 2 (1) t k k k ， ABC的面积 22 11 | |(1) (2 ) 22 SABBCtkk 3 22 11 (1) 2 22 (1) k kk k k 2222 22 22 11(1)1 (1) 2(1)2(1) kkk k k kkk 2 2 22 (1) (2 ) 2 1 2(1) k k kk ， 当且仅当1k时，等号成立， 故三角形ABC的面积的最小值为 1 22 （15 分）已知函数 3 ( )sin( ,) x

33、 f xmxxxne m nR，e为自然对数的底数 （）当0m 且1n 时，证明：( )0f x ； （）当0n 时，函数( )f x在区间0，)上单调递增，求实数m的取值范围 【解答】解： （）证明：0m 且1n 时，( )sin x f xxxe， 设( )1 x g xex，则( )1 x g xe， 令( )0g x，解得：0 x ，令( )0g x，解得：0 x ， 故( )g x在(,0)递减，在(0,)递增， 故( )(0)0 min g xg， 故1 x ex ，当且仅当0 x 是“”成立， 且1 sin0 x，当且仅当sin2() 2 xZ kk时取“” ， 取“”的条件不同

34、，故sin0 x exx恒成立，即( )0f x ； （）0n 时， 3 ( )sinf xmxxx， 若函数( )f x在区间0，)上单调递增， 则( ) 0fx在0，)上恒成立， 2 ( )3cos1f xmxx，且(0)0f， 若( ) 0fx，则( )fx在0，)单调递增，( ) 0fx， ( )6sinfxmxx，设( )sinh xxx，0 x，)， 第 18 页（共 18 页） 则( )1cos0h xx ，则( )h x在0，)递增， ( )(0)0h xh，sinxx（当且仅当0 x 时“”成立） ， 故当61m时，6sin0mxx恒成立， 故( ) 0fx，( )fx在0，)上单调递增，( )(0)0fxf， 当61m 时，设( )fx的第一个零点为 0 x， 则0 x， 0) x时，( )6sin0fxmxx， 故( )fx在0， 0) x上单调递减， 故 0 ()(0)0fxf， 故( )f x在0， 0) x单调递减，不合题意，舍， 综上：61m，故m的取值范围是 1 6，)