2020-2021学年湖北省华大新高考联盟高三（上）质量测评数学试卷（理科）（1月份）.docx

1、第 1 页（共 24 页） 2020-2021 学年湖北省华大新高考联盟高三（上）质量测评数学学年湖北省华大新高考联盟高三（上）质量测评数学 试卷（理科） （试卷（理科） （1 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若集合 |(23)(4)0Axxx， |0Bx x，则()( R AB ) A | 40 xx B |4x x或0 x C |4x x D 3 | 2 x x 2 （5 分）若在复平面

2、内，复数 32i、12i、2+i 所对应的点分别为 A，B，C，则ABC 的面积为（ ） A6 B4 C3 D2 3 （5 分）世界著名的数学杂志美国数学月刊于 1989 年曾刊登过一个红极一时的棋盘 问题题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如 图） ，如棋盘内随机投掷 3 点，则至少 2 点落在灰色区域内的概率为（ ） A B C D 4 （5 分）已知母线长为 2 的圆柱 O1O2的体积为 2，点 M，N 分别是圆 O1，O2上的点， 且 O1MO2N，则直线 MN 与圆柱底面所成角的正弦值为（ ） A B C D 5 （5 分）函数的图象大致为（ ） 第

3、 2 页（共 24 页） A B C 第 3 页（共 24 页） D 6 （5 分）已知正六边形 ABCDEF 中，点 G 是线段 DE 的中点，则（ ） A B C D 7 （5 分）已知矩形 ABCD 中，AB8，取 AB，CD 的中点 E，F，沿直线 EF 进行翻折，使 得二面角 AEFB 的大小为 120，若翻折以后点 A，B，C，D，E，F 均在球 O 的表 面上，且球 O 的表面积为 80，则 BC（ ） A6 B2 C4 D3 8 （5 分） “提丢斯数列” ，是由 18 世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12， 24，48，96，192，容易发现，从第 3 项开始

4、，每一项是前一项的 2 倍；将每一项加 上 4 得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，；再将每一项除以 10 后得到： “提丢斯数列” ： 0.4， 0.7， 1.0， 1.6， 2.8， 5.2， 10.0， ， 则下列说法中， 正确的是 （ ） A “提丢斯数列”是等比数列 B “提丢斯数列”的第 99 项为 C “提丢斯数列”前 31 项和为 D “提丢斯数列”中，不超过 20 的有 9 项 9 （5 分）已知函数，函数 F（x）x（2x1） ，若 yFf （x）的图象与直线 ym 有 3 个交点，则实数 m 的值可能为（ ） A6 B9 C12 D12 第 4

5、页（共 24 页） 10 （5 分）已知直线 l：2xy+40 与 y 轴交于点 M，抛物线 C：x22py（p（0，3） ）的 准线为 l， 点 A 在抛物线 C 上， 点 B 在 l上， 且 ABl， ABMAMB， MAB120， 则 p（ ） A B C D 11 （5 分）已知函数在上单调递增，现有如 下三个结论： 的最小值为； 当 取得最大值时，将函数 f（x）的图象向左平移个单位后，再把曲线上各点的 横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 g（x）的图象，则； 函数 f（x）在0，2上有 6 个零点 则上述结论正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 12 （5 分）已知双曲线（

6、a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M， N 分别在双曲线 C 的左、 右两支上， 点 A 在 x 轴上， 且 M， N， F1三点共线， 若， F1NF2ANF2，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C3 D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）若实数x，y满足 34 0, 1 0, 2 0, xy xy y 则35zxy的最大值为 14 （5 分）已知 26231112 01231112 (21)xaa xa xa xa xa x，则 678 aaa 15 （5 分） 已知，0， 3 cosc

7、os 5 ， 1 coscos 5 ， 则s i n s i n 16 （5 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 2 1a ，数列 n a的奇数项单调递增，偶数项单调 递减，若 1 | 1 21 nn aa n ，在数列 n a的通项公式为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 第 5 页（共 24

8、页） 共共 60 分。分。 17 已知平面四边形ABCD如图所示， 其中ABBC， 1 2 ACBDAC，60ADC （1）若30，3BC ，点E为线段AD的中点，求BE的值； （2）若3 DC AB ，求cos2的值 18 如图所示， 直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD为菱形， 线段AC与BD交于点O， E为线段 1 CC的中点 （1）若点F在线段 1 AC上，且 1 90FOA，求证： 1 OFAB； （2）若 1 34ABAA，120ABC，求直线EO与平面 1 ACD所成角的正弦值 19教育部官方数据显示，2020 届大学毕业生达到 844 万，根据相关调查，位于

9、大城市的 应届毕业生毕业后， 有30%会留在该城市进行就业， 于是租房便成为这些毕业生的首选 为 了了解应届毕业生房租支出的费用， 研究人员对部分毕业生进行相关调查， 所得数据如图所 示 （1）求m的值以及房租支出的平均值x； （2） 为了了解应届生选择租房时考虑的主要因素， 研究人员作出调查， 所得数据如表所示， 判断是否有99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性 第 6 页（共 24 页） 以距离上班地点的远近作为主要考虑因 素 以房租的高低作为主要考虑因素 男生 500 300 女生 300 400 （3）由频率分布直方图，可近似地认为A城市应届毕业生房租支出服从正态

10、分布(N， 2 3.2 )，若 2020 年该市区的应急毕业生共有 100 万人，试根据本题信息估计毕业后留在该市 且房租支出介于 8.6 百元到 21.4 百元之间的毕业生人数 附：参考公式： 2 2 () ()()()() adbc K ab cdac bd 参考数据： 2 ()P K 卥 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 ()0.6827PX，(22 )0.9544PX， (33 )0.9973PX 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点A在椭圆上运动， 12

11、AFF面积的最大值为3，且当 112 AFFF时， 1 3 | 2 AF （1）求椭圆C的方程； （2）延长直线 1 AF与椭圆C交于点B，若 11 | |F AFBAB，求的值 21已知函数 2 ( )f xalnxxx 第 7 页（共 24 页） （1）讨论函数( )f x的单调性； （ 2 ） 若1a ， 函 数()()1Fxfxx， 且m，(0,)n，mn， |( )( )|mF nnF mmn mn，求实数的取值范围 选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题 计分。计

12、分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos4，以极点为原点，极轴所在 直 线 为x轴 的 非 负 半 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系xOy， 曲 线C的 参 数 方 程 为 2cos2 , ( 24sincos , x y 为参数） （1）求直线l的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程； （2）过原点且倾斜角为(0, ) 的直线 l 与直线l交于点M，与曲线C交于O，N两 点，若|ONOM，求实数的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 3 ( ) |1| 2 f xxx （1）求不等式(

13、 ) 3f xx的解集； （2）若存在 1 x， 2 xR，使得 122 () |2|21| 0f xxmx，求实数m的取值范围 第 8 页（共 24 页） 2020-2021 学年湖北省华大新高考联盟高三（上）质量测评数学学年湖北省华大新高考联盟高三（上）质量测评数学 试卷（理科） （试卷（理科） （1 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若集合 |(23

14、)(4)0Axxx， |0Bx x，则()( R AB ) A | 40 xx B |4x x或0 x C |4x x D 3 | 2 x x 【解答】解： 3 | 4, |0 2 AxxBx x ， |0 RB x x， 3 () | 2 R ABx x 故选：D 2 （5 分）若在复平面内，复数 32i、12i、2+i 所对应的点分别为 A，B，C，则ABC 的面积为（ ） A6 B4 C3 D2 【解答】解：依题意，A（3，2） ，B（1，2） ，C（2，1） ， 在复平面内作出ABC 的图形如图所示， 所以ABC 的面积为 故选：C 3 （5 分）世界著名的数学杂志美国数学月刊于 19

15、89 年曾刊登过一个红极一时的棋盘 问题题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如 图） ，如棋盘内随机投掷 3 点，则至少 2 点落在灰色区域内的概率为（ ） 第 9 页（共 24 页） A B C D 【解答】解：正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满， 一共 48 个菱形，黑白灰各 16 个， 故向棋盘内随机投掷 1 个点，落在灰色区域内的概率为； 则至少 2 点落在灰色区域内的概率， 故选：B 4 （5 分）已知母线长为 2 的圆柱 O1O2的体积为 2，点 M，N 分别是圆 O1，O2上的点， 且 O1MO2N，则直线 MN 与圆

16、柱底面所成角的正弦值为（ ） A B C D 【解答】解：作出图形如图所示，则 r2l2，解得 r1； 过点 M 作 MM垂直于下底面，垂足为 M，则 MM2， 故直线 MN 与圆柱底面的成角的正弦值， 故选：C 5 （5 分）函数的图象大致为（ ） 第 10 页（共 24 页） A B C 第 11 页（共 24 页） D 【解答】解：依题意，x（，0）（0，+） ， 故函数 f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 C； ，排除 D； 当 x 的值从 x 轴的正方向接近 0 时，f（x）接近+，排除 B； 故选：A 6 （5 分）已知正六边形 ABCDEF 中，点 G 是线段 DE 的中点

17、，则（ ） A B C D 【解答】解：作出图形如图所示， 则， 故选：B 7 （5 分）已知矩形 ABCD 中，AB8，取 AB，CD 的中点 E，F，沿直线 EF 进行翻折，使 得二面角 AEFB 的大小为 120，若翻折以后点 A，B，C，D，E，F 均在球 O 的表 面上，且球 O 的表面积为 80，则 BC（ ） 第 12 页（共 24 页） A6 B2 C4 D3 【解答】 解： 作出图形如图所示， 记CDF 的外接圆圆心为 O1， 则， 故， 而球 O 的表面积， 故 OO12，则 BC4， 故选：C 8 （5 分） “提丢斯数列” ，是由 18 世纪德国数学家提丢斯给出，具体如

18、下：0，3，6，12， 24，48，96，192，容易发现，从第 3 项开始，每一项是前一项的 2 倍；将每一项加 上 4 得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，；再将每一项除以 10 后得到： “提丢斯数列” ： 0.4， 0.7， 1.0， 1.6， 2.8， 5.2， 10.0， ， 则下列说法中， 正确的是 （ ） A “提丢斯数列”是等比数列 B “提丢斯数列”的第 99 项为 C “提丢斯数列”前 31 项和为 D “提丢斯数列”中，不超过 20 的有 9 项 【解答】解：记“提丢斯数列”为数列an， 则当 n3 时，解得， 当 n2 时，a20.7，符合该

19、式，当 n1 时，a10.550.4， an， 对于 A， “提丢斯数列”不是等比数列，故 A 错误； 第 13 页（共 24 页） 对于 B， “提丢斯数列”的第 99 项为 a99，故 B 错误； 对于 C， “提丢斯数列”前 31 项和为： S310.4+30+（20+2+22+229） 12.55+，故 C 正确； 对于 D，由 an20，得 a10.55，成立； n2 时，an20，即 2n， 解得 n8，a819.6，a938.8， “提丢斯数列”中，不超过 20 的有 8 项，故 D 错误 故选：C 9 （5 分）已知函数，函数 F（x）x（2x1） ，若 yFf （x）的图象与

20、直线 ym 有 3 个交点，则实数 m 的值可能为（ ） A6 B9 C12 D12 【解答】解：令 f（x）a，则 F（a）m， 要使得 yFf（x）的图象与直线 ym 有 3 个交点， 则 F（a）m 存在两个实数根 a1，a2，且 1a13，a23 或 1a13，2a21， 结合函数 F（x）的图象可知，1m10， 故选：B 第 14 页（共 24 页） 10 （5 分）已知直线 l：2xy+40 与 y 轴交于点 M，抛物线 C：x22py（p（0，3） ）的 准线为 l， 点 A 在抛物线 C 上， 点 B 在 l上， 且 ABl， ABMAMB， MAB120， 则 p（ ） A

21、B C D 【解答】解：依题意，M（0，4） ，不妨设点 A 在第一象限，|MA|m，ABMAMB， |AM|AB|AF|，MAB120，OMA60， 所以MAF 为等边三角形，故， 代入 C：x22py 中， 故，解得 m2p；而|MO|4，则， 解得， 故选：D 11 （5 分）已知函数在上单调递增，现有如 下三个结论： 的最小值为； 当 取得最大值时，将函数 f（x）的图象向左平移个单位后，再把曲线上各点的 横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 g（x）的图象，则； 函数 f（x）在0，2上有 6 个零点 则上述结论正确的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 第 15 页（共 24 页）

22、 【解答】解：对于：依题意，故， 则，故，解得，故错误； 对于：当 取得最大值时， 将函数 f（x）的图象向左平移个单位后，得到， 再将横坐标伸长为原来的 2 倍， 得到， 则， 故正确； 对于：在同一直角坐标系中分别作出以及的图象如 下所示， 观察可知，它们在0，2上有个 6 个零点，故正确； 故选：C 12 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M， N 分别在双曲线 C 的左、 右两支上， 点 A 在 x 轴上， 且 M， N， F1三点共线， 若， F1NF2ANF2，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C3 D 【解答】解：依题意，得 F2MAN，

23、F1NF2ANF2MF2N，故|MN| |MF2|， 又，故， 不妨设|MN|2m，由双曲线的定义可得，|MF2|m+2a，|NF2|3m2a， 故 2mm+2a，故 m2a，则|MN|MF2|NF2|4a， 故MNF2为等边三角形， 故在NF1F2中，F1NF260，即|NF1|3m6a，|NF2|4a，|F1F2|2c， 第 16 页（共 24 页） 由余弦定理，4c2（6a）2+（4a）226a4acos6028a2， 则， 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）若实数x，y满足 34 0, 1 0

24、, 2 0, xy xy y 则35zxy的最大值为 12 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示： 观察可知，当直线35zxy过点C时，z有最大值； 联立 340 20 xy y ，解得 2 3 2 x y ，故 2 ( , 2) 3 C， 故35zxy的最大值为 12 故答案为：12 14（5 分） 已知 26231112 01231112 (21)xaa xa xa xa xa x， 则 678 aaa 80 【解答】解： 26231112 01231112 (21)xaa xa xa xa xa x， 7 0a ， 333 66 2( 1)160aC ， 242 86

25、 2( 1)240aC ，故 678 80aaa， 故答案为：80 15（5 分） 已知，0， 3 coscos 5 ， 1 coscos 5 ， 则s i n s i n 7 5 【解答】解：依题意， 2222222 7 (sinsin)sinsin(1cos)(1cos)(1coscos)(coscos) 25 ， 则 7 sinsin 5 故答案是： 7 5 第 17 页（共 24 页） 16 （5 分）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 2 1a ，数列 n a的奇数项单调递增，偶数项单调 递减，若 1 | 1 21 nn aa n ，在数列 n a的通项公式为 ,21( ) ,

26、2 n n n aN n n k k k 【解答】解：根据题意，数列 n a的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 则 21 n a 单调递增，故 135 aaa；同理数列 2 n a单调递减，故 246 aaa， 所以 531246 aaaaaa； 又由 1 | 1 21 nn aa n ，即 1 | 21 nn aan ， 则有 212 41 nn aan ， 221 41 nn aan ， 两式相加可得： 2121 2 nn aa ； 又 1 1a ，所以 21 12(1)21 n ann ， 又由 221 41 nn aan ，则 221 (42)(21)(41)2 nn aannnn ，

27、则 2 2 n an ， 综合：所以数列 n a的通项公式为 ,21( ) ,2 n n n aN n n k k k 故答案为： ,21( ) ,2 n n n aN n n k k k 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分。分。 17 已知平面四边形ABCD如图所示， 其中ABBC， 1 2

28、 ACBDAC，60ADC （1）若30，3BC ，点E为线段AD的中点，求BE的值； （2）若3 DC AB ，求cos2的值 第 18 页（共 24 页） 【解答】解： （1）依题意，30ACB，60DAC， 故ADC为等边三角形， 则3AB ，2 3AC ， 22 21BDBCCD， 因为coscos0BEABED， 由余弦定理， 222222 0 22 BEAEABBEDEBD BE AEBE DE ，解得3BE ； （2）设ABx，则3DCx，在Rt ABC中， sin x AC ， 在ACD中，2DAC， 由正弦定理， sinsin DCAC DACADC ，即 3 sin sin

29、2sin60 x x ， 解得 3 cos 4 ， 则 2 1 cos22cos1 8 18 如图所示， 直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD为菱形， 线段AC与BD交于点O， E为线段 1 CC的中点 （1）若点F在线段 1 AC上，且 1 90FOA，求证： 1 OFAB； 第 19 页（共 24 页） （2）若 1 34ABAA，120ABC，求直线EO与平面 1 ACD所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：因为ABCD为菱形，所以BDAC 因为 1 A A 底面ABCD，所以 1 A ABD又 1 ACA AA，AC 平面 1 A AC， 1 A A平面 1 A A

30、C， 所以BD 平面 1 A AC 因为OF 平面 1 A AC，故BDOF； 又 1 90FOA，即 1 OFOA，而 1 BDOAO，故OF 平面 1 A BD； 而 1 A B 平面 1 A BD，故 1 OFAB； （2）解：以O为坐标原点，OC、OB所在直线分别为x、y轴， 过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 设4AB ， 1 3AA ， 则 1( 2 3,0,3) A ，(2 3,0,0)C，(0D，2，0)， 3 (2 3,0, ) 2 E， 则 1 (4 3,0, 3)AC ，(2 3,2,0)DC ， 3 (2 3,0, ) 2 OE ， 设

31、平面 1 ACD的法向量为( , , )mx y z，则 1 4 330 2 320 m ACxz m DCxy ， 令3x ，得( 3, 3,4)m 为平面 1 ACD的一个法向量； 记直线EO与平面 1 ACD所成角为，故 |4 399 sin 133| | OE m OEm 第 20 页（共 24 页） 19教育部官方数据显示，2020 届大学毕业生达到 844 万，根据相关调查，位于大城市的 应届毕业生毕业后， 有30%会留在该城市进行就业， 于是租房便成为这些毕业生的首选 为 了了解应届毕业生房租支出的费用， 研究人员对部分毕业生进行相关调查， 所得数据如图所 示 （1）求m的值以及

32、房租支出的平均值x； （2） 为了了解应届生选择租房时考虑的主要因素， 研究人员作出调查， 所得数据如表所示， 判断是否有99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性 以距离上班地点的远近作为主要考虑因 素 以房租的高低作为主要考虑因素 男生 500 300 女生 300 400 （3）由频率分布直方图，可近似地认为A城市应届毕业生房租支出服从正态分布(N， 2 3.2 )，若 2020 年该市区的应急毕业生共有 100 万人，试根据本题信息估计毕业后留在该市 且房租支出介于 8.6 百元到 21.4 百元之间的毕业生人数 附：参考公式： 2 2 () ()()()() adb

33、c K ab cdac bd 参考数据： 2 ()P K 卥 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 ()0.6827PX，(22 )0.9544PX， (33 )0.9973PX 第 21 页（共 24 页） 【解答】解： （1）依题意，(0.01250.050.03750.0125)41m，解得0.1375m ； 故(0.0125 40.05 80.1375 120.0375 160.0125 20)411.8x ； （2）在本次实验中， 2 K的观测值 2 0 1500 (500 400300 300) 57.87610.82

34、8 800 800 700 700 k， 故有99.9%的把握认为性别与选择租房时考虑的主要因素具有相关性； （3）依题意，毕业后留在该市的应届毕业生人数为10000000.3300000人， 0.68270.9973 (8602140)(3 )0.84 2 PxPx ， 故所求人数为3000000.84252000 20已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点A在椭圆上运动， 12 AFF面积的最大值为3，且当 112 AFFF时， 1 3 | 2 AF （1）求椭圆C的方程； （2）延长直线 1 AF与椭圆C交于点B，若 11 | |F

35、 AFBAB，求的值 【解答】 解： （1） 依题意，3bc ， 2 3 2 b a ； 由可得， 22 3b c ， 即 222 () 3b ab ； 由可得， 2 3 2 ba， 将 代 入 中 ， 整 理 可 得 ， 32 2340aa， 即 322 2440aaa， 即 2 (2 ) ( 22 )0aaa； 因为 2 220aa，故2a ，则 2 3b ，故椭圆C的方程为 22 1 43 xy ； （2）由（1）得 1( 1,0) F ，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 若直线AB的斜率为零，易知， 11 | |3 |4 F AFB AB ； 第 22 页（共

36、 24 页） 若直线AB的斜率不为零，可设AB的方程为1xmy， 联 立 得 方 程 组 22 1 1 43 xmy xy ， 消 去x并 整 理 得 22 (34)690mymy， 222 3 63 6 ( 34 )1 4 4 (1 )0mmm， 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 222 22222 121212111212121212 222 144(1)12(1)9(1) |1|1()41.(1)(1)(1) 343434 mmm ABmyymyyy ymF A FBxxy ymymyy ymy y mmm 11 93 |124 F A FB AB

37、 ，则 11 | |3 |4 F AFB AB ，综上所述， 3 4 21已知函数 2 ( )f xalnxxx （1）讨论函数( )f x的单调性； （ 2 ） 若1a ， 函 数()()1Fxfxx， 且m，(0,)n，mn， |( )( )|mF nnF mmn mn，求实数的取值范围 【解答】解： （1）依题意，(0,)x， 2 2 ( )21 axxa fxx xx ，则18a ， 若1 80a ，即 1 8 a时，( ) 0fx，若180a ，即 1 8 a 时， 令( )0fx，即 2 20 xxa，故 118118 ( 44 aa xx 舍去） ， 当 118 0 4 a 时，

38、即 1 0 8 a 时，( ) 0fx，( )f x在(0,)单调递减， 当 118 0 4 a 时，即0a 时， 当 118 (0,) 4 a x 时，( )0fx，当 118 ( 4 a x ，)时，( )0fx， 故函数( )f x在 118 (0,) 4 a 上单调递增，在 118 ( 4 a ，)上单调递减； 综上所述，当0a时，( )f x在(0,)上单调递减， 当0a 时，( )f x在 118 (0,) 4 a 上单调递增，在 118 ( 4 a ，)上单调递减； （2）依题意， 2 ( )1F xlnxx 不妨设0mn，则|( )( )|mF nnF mmn mn等价于 (

39、)( ) | F nF m mn nm ， 考察函数 ( ) ( ) F x g x x ，得 2 2 2 ( ) lnxx g x x ，令 2 2 2 ( ) lnxx h x x ， 3 52 ( ) lnx h x x ， 第 23 页（共 24 页） 则 5 2 (0,)xe时，( )0h x， 5 2 (,)xe时，( )0h x， 所以( )h x在区间 5 2 (0,)e上是单调递增函数，在区间 5 2 (,)e上是单调递减函数， 故 5 2 5 1 ( )()10 2 g xg e e ，所以( )g x在(0,)上单调递减， 从而( )( )g mg n，即 ( )( )F

40、 nF m nm ，故 ( )( ) () F mF n nm mn ， 所以 ( )( )F mF n mn mn ，即( )( )g mmg nn恒成立， 设( )( )xg xx，则( )x在(0,)上恒为单调递减函数， 从而( )( )0 xg x 恒成立，故 5 1 ( )( )10 2 xg x e 剟， 故 5 1 1 2e ，即实数的取值范围为 5 1 (,1) 2e 选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题 计分。计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标

41、系与参数方程 22 （10 分）已知极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos4，以极点为原点，极轴所在 直 线 为x轴 的 非 负 半 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系xOy， 曲 线C的 参 数 方 程 为 2cos2 , ( 24sincos , x y 为参数） （1）求直线l的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程； （2）过原点且倾斜角为(0, ) 的直线 l 与直线l交于点M，与曲线C交于O，N两 点，若|ONOM，求实数的最大值 【解答】解： （1）依题意，直线l的直角坐标方程为4x ， 因为曲线 2cos2 , : 22sin2 , x C y 故 22 (2)4xy， 故曲线

42、C的普通方程为 22 40 xyy， 则曲线C的极坐标方程为4sin； （2）依题意，直线 l 的极坐标方程为()R 联立 , cos4, 故 4 | | |cos| M OM ， 由 , 4sin , 故| | 4|sin| N ON， 第 24 页（共 24 页） 故 |cos|1 4|sin|sin2| |42 ON OM ， 所以当 4 或 3 4 时，有最大值 1 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 3 ( ) |1| 2 f xxx （1）求不等式( ) 3f xx的解集； （2）若存在 1 x， 2 xR，使得 122 () |2|21| 0f xxmx，

43、求实数m的取值范围 【解答】解： （1）依题意， 3 |1|3 2 xxx， 当1x 时， 3 13 2 xxx ，解得 5 6 x，故1x ； 当 3 1 2 x 剟时， 3 13 2 xxx ，解得 1 2 x，故 1 1 2 x剟； 当 3 2 x 时， 3 13 2 xxx ，解得 5 6 x，故无解； 综上所述，不等式( ) 3f xx的解集为 1 | 2 x x （2）依题意， 335 |1|1| 222 xxxx ， 故 535 |1| 222 xx剟； 而|2|21|221| |1|xmxxmxm， 故 5 |1| 2 m， 即 5 |1| 2 m，则 73 22 m剟，故实数m的取值范围为 7 3 , 2 2