2020-2021学年湖北省部分重点中学高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 22 页） 2020-2021 学年湖北省部分重点中学高三（上）期末数学试卷学年湖北省部分重点中学高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合|1AxR yx， 2 |1By yx，xR，则(AB ) A0，1 B(0,0)，(1,2) C D1，) 2 （5 分）若 m、nR 且（其中 i 为虚数单位） ，则 mn（ ） A B1 C1 D0 3 （5 分）抛

2、物线 y2x2的焦点坐标是（ ） A （，0） B （，0） C （0，） D （0，） 4 （5 分）已知 a，b 都是实数，那么 a2”是“方程 x2+y22xa0 表示圆”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5（5 分） 已知 、 （0， ） ， tan 与 tan 是方程的两个根， 则 + （ ） A B C D或 6 （5 分）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗现准备在大门的两侧各挂四盏一样的 红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼 的不同方法数为（ ） A8! B1680 C140 D70 7 （

3、5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，首项 a11，且 2S2+S43S3，已知 m，nN*， 若存在正整数 i，j（1ij） ，使得 mai，mn，naj成等差数列，则 mn 的最小值为（ ） A16 B12 C8 D6 8 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）ax（a1） 若对任意 的 x0，b+1，均有 f（x+b）f2（x） ，则实数 b 的最大值是（ ） A B C0 D1 二、多项选择题：本大题共包括二、多项选择题：本大题共包括 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，至在每小题给出的选项中，至

4、少有两个选项符合题意，全对得少有两个选项符合题意，全对得 5 分，漏选得分，漏选得 2 分，选错不得分分，选错不得分. 第 2 页（共 22 页） 9 （5 分）关于双曲线 22 :1 45 xy C，下列说法正确的是( ) A该双曲线与双曲线 22 1 54 yx 有相同的渐近线 B过点(3,0)F作直线l与双曲线C交于A、B，若| 5AB ，则满足条件的直线只有一 条 C若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率 55 (,) 22 k D过点(1,2)P能作 4 条直线与双曲线C仅有一个交点 10 （5 分）如图所示，在长方体 1111 ABCDABC D中，3AB ，4AD

5、， 1 6AA ，P是 1 AA 中点，点M在侧面 11 AA B B（含边界）上运动，则( ) A直线CP与 1 BB所成角余弦值为 3 34 34 B存在点M（异于点)P，使得P、M、C、 1 D四点共面 C存在点M使得MCBD D若点M到平面ABCD距离与到点 1 A的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分 11 （5 分）对于给定的ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是( ) A 21 2 AO ABAB BOA OBOA OCOB OC C过点G的直线l交AB、AC于E、F，若AEAB，AFAC，则 11 3 DAH与 |cos|cos ABAC ABBACC 共

6、线 第 3 页（共 22 页） 12 （5 分）当 5 2 0, 2 x时，函数sin()yx与cos()(0,|) 2 yx 的图象恰 有三个交点，且PMN是直角三角形，则( ) APMN的面积1S B 2 2 C两函数的图象必在 13 4 x 处有交点 D, 4 4 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 在二项式 3 ()nx x 的展开式中， 各项系数之和为A， 各项二项式系数之和为B， 且72AB，则展开式中常数项的值为 14 （5 分）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为2，圆台上

7、、 下底面圆的半径分别为 1 r， 212 ()r rr，则 22 21 rr 15 （5 分）ABC的顶点坐标分别为(3,4)A，(6,0)B，( 5, 2)C ，则角A的平分线所在的 直线方程为 16 （5 分）若0 x ，不等式2(0) a lnxb a x 恒成立，则 b a 的最大值为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数 2 ( )sin()coscos () 4 f xxxx （1）求( )f x的单调递增区间； （2）若对, 24

8、24 24 ABC x ，恒有 1 ( )0 2 f x 成立，且_，求ABC面积的 最大值在下列四个条件中，任选 2 个补充到上面问题中，并完成求解其中a，b，c为 ABC的三个内角A，B，C所对的边 ABC的外接圆直径为 4；a是直线230 xy截圆 22 :4O xy所得的弦长； sinsinsinaAbBcC；3sincos3AA 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 3a ，且 1 21 nn aan （1）证明：数列 n an为等比数列； 第 4 页（共 22 页） （2）记 1 21 n n nn b aa ， n S是数列 n b前n项的和，求证： 1 3 n S 19

9、（12 分）如图，在直角梯形ABCD中，/ /ADBC，90BAD，且 1 2 ABBCAD， E是AD的中点，将ABE沿BE折起到SBE的位置，使平面SBE 平面BCDE （1）求二面角BSCD的正弦值； （2）在直线SB上是否存在点P，使PD 平面SBC？若存在，请求出点P所在的位置； 若不存在，请说明理由 20 （12 分）有治疗某种疾病的A、B两种药物，为了分析药物的康复效果进行了如下随机 抽样调查：A、B两种药物各有 100 位病人服用，他们服用药物后的康复时间（单位：天 数）及人数记录如表： 服用A药物： 康复时间 10 11 12 13 14 15 16 人数 9 14 16 1

10、5 16 18 12 服用B药物： 康复时间 12 13 14 15 16 17 a 人数 11 15 14 16 18 16 10 假设所有病人的康复时间相互独立，所有病人服用药物后均康复 （1） 若康复时间低于 15 天 （不含 15 天） ， 记该种药物对某病人为 “速效药物” 当17a 时， 请完成下列22列联表，并判断是否有99%的把握认为病人服用药物A比服用药物B更速 效？ 速效人数 非速效人数 合计 服用A药物 服用B药物 合计 第 5 页（共 22 页） （2）分别从服用A、B药物康复时间不同的人中，每种康复时间中各取一人，记服用A药 物的 7 人为组，服用B药物的 7 人为组

11、现从、两组中随机各选一人，分别记为 甲、乙 a为何值时，、两组人康复时间的方差相等（不用说明理由） ； 在成立且12a 的条件下，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 参考公式： 2 ()2 ()()()() n adbc K ab cb ac bd ，其中nabcd 21 （12 分）已知在平面直角坐标系中，圆 22 :2 7570A xyx的圆心为A，过点 ( 7,0)B任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与A

12、D平行的直线交AC于点E （1）求动点E的轨迹方程； （2） 设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为 1 k， 2 k的两直线交动点E的 轨迹于M、N两点（异于点)P，若 12 6kk，证明：直线MN过定点 22（12 分） 已知函数 3 ( )3f xxx， 若关于x的方程( )f xa有两个正实数根 1 x，2x且 12 xx （1）求实数a的取值范围； （2）求证： 21 2 2 a xx 第 6 页（共 22 页） 2020-2021 学年湖北省部分重点中学高三（上）期末数学试卷学年湖北省部分重点中学高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择

13、题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合|1AxR yx， 2 |1By yx，xR，则(AB ) A0，1 B(0,0)，(1,2) C D1，) 【解答】解：集合|1AxR yx， 2 |1By yx，xR， (ABx， 2 1 )|(0,0) 1 yx y yx ，(1,2) 故选：B 2 （5 分）若 m、nR 且（其中 i 为虚数单位） ，则 mn（ ） A B1 C1 D0 【解答】解：因为， 且

14、i， 所以 m0，n1，mn1 故选：B 3 （5 分）抛物线 y2x2的焦点坐标是（ ） A （，0） B （，0） C （0，） D （0，） 【解答】解：抛物线 y2x2，化为 x2， 它的焦点坐标为： （0，） 故选：C 4 （5 分）已知 a，b 都是实数，那么 a2”是“方程 x2+y22xa0 表示圆”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为 x2+y22xa（x1）2+y21+a0， 所以 1+a0 即 a1， 第 7 页（共 22 页） 由 a2 能推出 a1，反之不成立， 故“a2”是“方程 x2+y22xa0 表示

15、圆”的充分不必要条件 故选：A 5（5 分） 已知 、 （0， ） ， tan 与 tan 是方程的两个根， 则 + （ ） A B C D或 【解答】解：由根与系数的关系得：tan+tan3，tantan4， tan0，tan0， 、（0，） ， 、（，） ， tan（+） + 故选：C 6 （5 分）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗现准备在大门的两侧各挂四盏一样的 红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼 的不同方法数为（ ） A8! B1680 C140 D70 【解答】解：根据题意，原问题等价于在 8 个相同的位置中，选出 4 个位置用于挂左侧

16、灯笼，剩下 4 个位置挂右侧灯笼， 则有 C8470 种不同的方法， 故选：D 7 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，首项 a11，且 2S2+S43S3，已知 m，nN*， 若存在正整数 i，j（1ij） ，使得 mai，mn，naj成等差数列，则 mn 的最小值为（ ） A16 B12 C8 D6 【解答】解：数列an是等比数列，且首项 a11，2S2+S43S3， 则， 化简得：q32q2， q0，q2 第 8 页（共 22 页） 则 又mai，mn，naj成等差数列，2mnmai+najm2i 1+n2j1， 上式两边同时除以，得， 整理可得 mn， 又 1ij，i2，j

17、3 满足条件，使得 mn 故选：C 8 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）ax（a1） 若对任意 的 x0，b+1，均有 f（x+b）f2（x） ，则实数 b 的最大值是（ ） A B C0 D1 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）ax（a1） f（x）a|x|（a1） ，当 x0 时为增函数， f2（x）（a|x|）2a|2x|f（2x） ， 则 f（x+b）f2（x） ，等价为 f（x+b）f（2x） ， 即|x+b|2x|，即 3x22bxb20 对任意的 x0，b+1，恒成立， 设 g（x）3x22bxb2， 则

18、满足，即 3（b+1）22b（b+1）b20， 得 3b2+6b+32b22bb20， 得 4b3，即 b， 又 b+10，即1b， 即 b 的最大值为， 故选：B 二、多项选择题：本大题共包括二、多项选择题：本大题共包括 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，至在每小题给出的选项中，至 少有两个选项符合题意，全对得少有两个选项符合题意，全对得 5 分，漏选得分，漏选得 2 分，选错不得分分，选错不得分. 9 （5 分）关于双曲线 22 :1 45 xy C，下列说法正确的是( ) A该双曲线与双曲线 22 1 54 yx 有相同的渐近线 第 9 页

19、（共 22 页） B过点(3,0)F作直线l与双曲线C交于A、B，若| 5AB ，则满足条件的直线只有一 条 C若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率 55 (,) 22 k D过点(1,2)P能作 4 条直线与双曲线C仅有一个交点 【解答】解：选项A，双曲线 22 :1 45 xy C与双曲线 22 1 54 yx 的渐近线均为 5 2 yx ， 即选项A正确； 选项B，当直线l与双曲线的右支交于A，B时，通径最短，为 2 22 5 5 2 b a ； 当直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B时，|AB的最小值为24a ， 所以若| 5AB ， 则满足条件的直线有 3 条，即选

20、项B错误； 选项C，双曲线C的渐近线为 5 2 yx ，若直线l与双曲线C的两支各有一个交点， 则直线l的斜率 55 (,) 22 k，即选项C正确； 选项D，过点(1,2)P可作两条与渐近线平行的直线和两条切线，均与双曲线只有 1 个交点， 故满足条件的直线有 4 条，即选项D正确 故选：ACD 10 （5 分）如图所示，在长方体 1111 ABCDABC D中，3AB ，4AD ， 1 6AA ，P是 1 AA 中点，点M在侧面 11 AA B B（含边界）上运动，则( ) A直线CP与 1 BB所成角余弦值为 3 34 34 B存在点M（异于点)P，使得P、M、C、 1 D四点共面 C存

21、在点M使得MCBD D若点M到平面ABCD距离与到点 1 A的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分 【解答】解：以点A为坐标原点，分别以AB，AD， 1 AA所在直线为x轴，y轴，z轴建立 第 10 页（共 22 页） 空间直角坐标系如图所示， 因为3AB ，4AD ， 1 6AA ，P是 1 AA中点，点M在侧面 11 AA B B（含边界）上运动， 则(0A，0，0)，(3B，0，0)，(3C，4，0)，(0D，4，0)， 1(0 A，0，6)，(0P，0，3)， 1(3 B，0，6)， 1(0 D，4，6)， 对于选项A，因为 1 ( 3, 4,3),(0,0,6)CPBB ， 则 1

22、 1 1 |183 34 |cos,| 34|91696 CP BB CP BB CP BB ， 所以直线CP与 1 BB所成角余弦值为 3 34 34 ，故选项A正确； 对于选项B，取AB的中点Q，则 3 ( ,0,0) 2 Q，则 3 ( ,0, 3) 2 PQ ， 又 1 ( 3,0,6)CD ，所以 1 1 2 PQCD ，所以 1 / /PQCD， 因此当点M在线段PQ上（除点P外） ，都能使得 1 / /PQCD， 即P，M，C， 1 D四点共面，故选项B正确； 对于选项C，由题意设(M x，0，)(03zx剟，06)z剟， 则(3,4,)MCxz，又( 3,4,0)BD ， 若M

23、CBD，则93160MC BDx ，解得 7 3 x 不在03x剟范围内， 所以不存在点M使得MCBD，故选项C错误； 对于选项D，同选项C，设(M x，0，)(03zx剟，06)z剟， 则点M到平面ABCD的距离为z，点M到点 1 A的距离为 22 1 |(6)AMxz， 因为点M到平面ABCD距离与到点 1 A的距离相等， 所以 22 1 |(6)zAMxz，整理可得 2 1236xz，其中03x剟，06z剟， 所以点M的轨迹方程为 2 1236(03,06)xzxz剟剟，是抛物线的一部分，故选项D正确 故选：BD 第 11 页（共 22 页） 11 （5 分）对于给定的ABC，其外心为O

24、，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是( ) A 21 2 AO ABAB BOA OBOA OCOB OC C过点G的直线l交AB、AC于E、F，若AEAB，AFAC，则 11 3 DAH与 |cos|cos ABAC ABBACC 共线 【解答】解：如图，设AB中点为M，则OMAB， 所以|cos|AOOAMAM， 所以|cos|(|cos|)AO ABAOABOABABAOOAB 2 |1 | 22 AB ABAB，故选项A正确； 因为OA OBOA OC，所以()0OA OBOC， 则0OA CB，故OABC， 对于一般三角形而言，O是外心，OA不一定与BC垂直， 比如直角三角形AB

25、C中，若B为直角顶点， 则O为斜边AC的中点，OA与BC不垂直，故选项B错误； 设BC的中点为D， 则 211 1111 ()() 33333 AGADABACAEAFAEAF ， 因为E，F，G三点共线， 第 12 页（共 22 页） 所以 11 1 33 ，则 11 3 ，故选项C正确； 因为() |cos|cos ABAC BC ABBACC |cos|cos AB BCAC BC ABBACC |cos()|cos |cos|cos AB BCBACBCC ABBACC | 0BCBC ， 所以 |cos|cos ABAC ABBACC 与BC垂直， 又因为AHBC， 所以 |cos|

26、cos ABAC ABBACC 与AH共线，故选项D正确 故选：ACD 12 （5 分）当 5 2 0, 2 x时，函数sin()yx与cos()(0,|) 2 yx 的图象恰 有三个交点，且PMN是直角三角形，则( ) APMN的面积1S 第 13 页（共 22 页） B 2 2 C两函数的图象必在 13 4 x 处有交点 D, 4 4 【解答】解：因为图象恰有三个交点P，M，N，且三角形PMN为直角三角形， 则三角形PMN的高为2，且是等腰直角三角形， 所以斜边长为2 2，即周期2 2T ，所以 2 2 2 ，解得 2 2 ，故B正确； 三角形PMN的面积为 1 22 22 2 S ，故A

27、错误； 当 5 2 0, 2 x时，x， 5 2 ，由正弦，余弦函数的图象可得： 3 44 且 9513 424 ，又| 2 ，所以, 4 4 ，故D正确； 13 4 x ，故C错误； 故选：BD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 在二项式 3 ()nx x 的展开式中， 各项系数之和为A， 各项二项式系数之和为B， 且72AB，则展开式中常数项的值为 9 【解答】解：由二项展开式的性质可得4nA，2nB 4272 nn AB 3n 3 3 ()x x 展开式的通项为 3 3 3 2 133 3 ( )3

28、r r rrrr r TCxC x x 令 33 0 2 r 可得1r 常数项为 1 23 39TC 故答案为：9 14 （5 分）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为2，圆台上、 下底面圆的半径分别为 1 r， 212 ()r rr，则 22 21 rr 4 【解答】解：因为扇环的面积为2， 第 14 页（共 22 页） 则有 22 21 11 2 22 rr， 所以 22 21 4rr 故答案为：4 15 （5 分）ABC的顶点坐标分别为(3,4)A，(6,0)B，( 5, 2)C ，则角A的平分线所在的 直线方程为 7170 xy 【解答】解：由(3,4)A，(6,0

29、)B，( 5, 2)C ， 所以 22 |(63)(04)5AB ， 22 |( 53)( 24)10AC ， 设角A的平分线AT交BC于点T， 则点T分BC所成的比为 |1 |2 AB AC ， 由定比分点坐标公式，得 1 6( 5) 7 2 1 3 1 2 T x ， 1 0( 2) 2 2 1 3 1 2 T y ； 所以点 7 ( 3 T， 2) 3 ， 所以AT所在的直线方程为 43 27 43 33 yx ， 即7170 xy 16 （5 分）若0 x ，不等式2(0) a lnxb a x 恒成立，则 b a 的最大值为 2 e 【解答】解：设( )2 a f xlnx x ，则

30、 22 1 ( ) axa fx xxx ， 0a ， 函数( )f x在(0, )a上单调递减，在( ,)a 上为增函数， 即当xa时，函数( )f x取得最小值f（a）3lna， 由3lna b得 3blna aa ， 设g（a） 3lna a ， 第 15 页（共 22 页） 则g（a） 2 2lna a ， 由g（a）0，得 2 1 0a e 由g（a）0，得 2 1 a e 即当 2 1 a e 时，g（a）取得最大值，最大值为 2 2 1 ()ge e ， 故 b a 的最大值为 2 e， 故答案为： 2 e 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分

31、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知函数 2 ( )sin()coscos () 4 f xxxx （1）求( )f x的单调递增区间； （2）若对, 24 24 24 ABC x ，恒有 1 ( )0 2 f x 成立，且_，求ABC面积的 最大值在下列四个条件中，任选 2 个补充到上面问题中，并完成求解其中a，b，c为 ABC的三个内角A，B，C所对的边 ABC的外接圆直径为 4；a是直线230 xy截圆 22 :4O xy所得的弦长； sinsinsinaAbBcC；3sincos3AA 【解答】解： （1） 1co

32、s(2) 111 2 ( )sin cossin2(1sin2 )sin2 2222 x f xxxxxx ， 由222 22 x k剟k，Zk，得 44 x k剟k，Zk， 故函数( )f x的单调递增区间为 4 k， 4 k，()Zk （2）当 24 A x 时，由 1 ( )0 2 f x 得sin()cos0 2 AA ， 又(0, )A，则A为锐角同理可得B，C均为锐角，即ABC为锐角三角形 由可得， 222 abc，此时ABC为直角三角形，不符号题意； 若选： 由可得圆O的圆心到直线的距离为 33 3 123 ，故2 432a ， 又ABC的外接圆直径2 sin a R A ，可得

33、 2 4 sin A ，得 1 sin 2 A ，即 6 A 由正弦定理得：4sinbB，4sincC， ABC的面积 第 16 页（共 22 页） 2 15 sin4sinsin4sinsin()2sincos2 3sinsin23cos32sin(2)3 263 SbcABCBBBBBBBB ， 又ABC为锐角三角形，( 3 B ，) 2 ， 当2 32 B ，即 5 12 B 时，ABC的面积S有最大值为23； 若选： 由可得2sin()3 6 A ，则 3 sin() 62 A ， 又A为锐角，得 6 A ，后面解法同上； 若选： 由可得圆O的圆心到直线的距离为 33 3 123 ，故

34、2 432a ， 由可得2sin()3 6 A ，则 3 sin() 62 A ， 又A为锐角，得 6 A ， 由正弦定理得 22 24 1 sin sin 62 a R A ，后面解法同上 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 3a ，且 1 21 nn aan （1）证明：数列 n an为等比数列； （2）记 1 21 n n nn b aa ， n S是数列 n b前n项的和，求证： 1 3 n S 【解答】证明： （1）依题意，由 1 21 nn aan ， 两边同时减去1n ，可得 1 (1)21(1)2() nnn anannan ， 1 13 12a ， 数列 n an是以

35、 2 为首项，2 为公比的等比数列 （2）由（1）知， 1 2 22 nn n an ， 2n n an， 第 17 页（共 22 页） 11 1 212111 (2)(21)221 nn n nnnn nn b aannnn ， 则 12nn Sbbb 12231 111111 21222223221 nn nn 11 11 2121 n n 1 111 3213 n n ， 不等式 1 3 n S 成立 19 （12 分）如图，在直角梯形ABCD中，/ /ADBC，90BAD，且 1 2 ABBCAD， E是AD的中点，将ABE沿BE折起到SBE的位置，使平面SBE 平面BCDE （1）求

36、二面角BSCD的正弦值； （2）在直线SB上是否存在点P，使PD 平面SBC？若存在，请求出点P所在的位置； 若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）在图 1 中，设2ABBC，4AD ， / /ADBC，90BAD，E是AD的中点，则四边形AECB为正方形， BEAC， 在图 2 中，设BE中点为O，BEOS，平面SBE 平面BCDE，SO平面BCDE， 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系， 则( 2B，0，0)，(0S，0，2)，(2E ，0，0)，(0C，2，0)，( 2 2D ，2，0)， 则有( 2SB ，0，2)，(0SC ，2，2)，( 2 2S

37、D ，2，2)， 设平面SBC的法向量(n x，y，) z， 则 220 220 n SBxz n SCyz ，取(1n ，1，1)， 第 18 页（共 22 页） 设平面SCD的法向量(ma，b，) c， 则 220 2 2220 m SCbc m SDabc ，取(0m，1，1)， 26 cos, 332 m n ， 则二面角BSCD的正弦值为 3 3 （2）假设在直线SB上是存在点P，使PD 平面SBC，且BPBS， 则(3 2DPDBBP，2，0)(2，0，2)(3 22，2，2 )， 平面SBC的法向量(1n ，1，1)， / /DPn，3 2222 ，方程无解， 假设不成立， 在直

38、线SB上不存在点P，使PD 平面SBC 20 （12 分）有治疗某种疾病的A、B两种药物，为了分析药物的康复效果进行了如下随机 抽样调查：A、B两种药物各有 100 位病人服用，他们服用药物后的康复时间（单位：天 数）及人数记录如表： 服用A药物： 康复时间 10 11 12 13 14 15 16 人数 9 14 16 15 16 18 12 服用B药物： 康复时间 12 13 14 15 16 17 a 人数 11 15 14 16 18 16 10 假设所有病人的康复时间相互独立，所有病人服用药物后均康复 第 19 页（共 22 页） （1） 若康复时间低于 15 天 （不含 15 天）

39、 ， 记该种药物对某病人为 “速效药物” 当17a 时， 请完成下列22列联表，并判断是否有99%的把握认为病人服用药物A比服用药物B更速 效？ 速效人数 非速效人数 合计 服用A药物 服用B药物 合计 （2）分别从服用A、B药物康复时间不同的人中，每种康复时间中各取一人，记服用A药 物的 7 人为组，服用B药物的 7 人为组现从、两组中随机各选一人，分别记为 甲、乙 a为何值时，、两组人康复时间的方差相等（不用说明理由） ； 在成立且12a 的条件下，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0

40、 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 参考公式： 2 ()2 ()()()() n adbc K ab cb ac bd ，其中nabcd 【解答】解： （1）由题意得： 速效人数 非速效人数 合计 服用A药物 70 30 100 服用B药物 40 60 100 合计 110 90 200 22 2 ()200(70603040)200 18.26.635 ()()()()100 100 1109011 n adbc K ab cb ac bd 所以有99%的把握认为病人服用药物A比服用药物B更速效； （2）方差反应的是数据的离散程度，要使I、II两组人

41、康复时间的方差相等，对比两组 数据，可知：11a 或 18； 在成立且12a 的条件下，所以18a 用(t甲，)t乙表示所选取人的康复时间，由题意得基本事件总数为7749个， 第 20 页（共 22 页） 符合题意的基本事件有 (13,12)，(14,12)，(14,13)，(15,12)，(15,13)，(15,14)，(16,12)，(16,13)，(16,14)，(16,15)， 共计 10 个， 所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率为 10 49 21 （12 分）已知在平面直角坐标系中，圆 22 :2 7570A xyx的圆心为A，过点 ( 7,0)B任作直线l交圆A于点C、D，过

42、点B作与AD平行的直线交AC于点E （1）求动点E的轨迹方程； （2） 设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为 1 k， 2 k的两直线交动点E的 轨迹于M、N两点（异于点)P，若 12 6kk，证明：直线MN过定点 【解答】解： （1）圆 22 :2 7570A xyx 的圆心为(7A ，0)，半径为 8， 由B在圆A内，/ /BEAD， 可得CBECDA ， 又因为CDAC ， 即CBEC ，所以CEBE， 即82 7BEAEACAB， 即E的轨迹为以A，B为焦点， 长轴长为 8、焦距为2 7的椭圆， 其方程为 22 1 169 xy ； （2）证明：(0,3)P， 可得MN不

43、垂直于y轴， 设:MN xmyt， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y， 由 22 916144xy xmyt 可得 222 (916)1891440mymtyt， 第 21 页（共 22 页） 12 2 18 916 mt yy m ， 2 12 2 9144 916 t y y m ， 所以 12121212 12 22 12121212 33332(3 )()6 6 () yyyymy ytm yyt xxmytmytm y ymt yyt kk， 代入，化简可得30mt 或31tm ， 即:3MN xmym，或31xmym， 由(3)xm y，可得MN恒过(0,3)与

44、P重合，舍去； 由(3)1xm y，可得MN恒过定点( 1, 3) 22（12 分） 已知函数 3 ( )3f xxx， 若关于x的方程( )f xa有两个正实数根 1 x，2x且 12 xx （1）求实数a的取值范围； （2）求证： 21 2 2 a xx 【解答】解： （1）由 3 ( )3f xxx，得 2 ( )3 33(1)(1)fxxxx ， 令( )0fx，则1x 或1x ， 当1x 或1x 时，( )0fx；当11x 时，( )0fx， ( )f x在(, 1) 和(1,) 上单调递减，在( 1,1)上单调递增， (0)0f且( )f xa有两个正根，(0)faf（1） ， 0

45、2a ，a的取值范围为(0,2) 第 22 页（共 22 页） （2）关于x的方程( )f xa有两个正实数根 1 x， 2 x且 12 xx 由（1）知 12 013xx ， 设( )( )(2)(0F xf xfx x，1)， 则 222 ( )( ) (2)3 33 3(2)6(1)0F xf xfxxxx ， ( )F x在(0,1)上单调递减， 111 ()()(2)F xf xfxF（1）0， 211 ()()(2)f xf xfx，又( )f x 在(1,) 上单调递减， 21 2xx， 12 2xx，要证 21 2 2 a xx， 只需证 1212 2112 () 2 xx x x xxxx ，即证 122 ()4xx x， 12 2xx 且 2 3x ， 21 2 2 a xx 成立