大题专项训练12：数列（证明不等式）-2021届高三数学二轮复习含答案详解.doc

1、二轮大题专练二轮大题专练 12数列（证明不等式）数列（证明不等式） 1 已知数列 已知数列 n a 的各项均为正数， 记数列的各项均为正数， 记数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S， 数列 ， 数列 2 n a的前的前n项和为项和为 n T， ， 且且 2 32 nnn TSS，*nN （）求（）求 1 a的值及数列 的值及数列 n a 的通项公式；的通项公式； （）若有（）若有 1 1 1 n n b a ，求证：，求证： 23 13 21 n bbb 解：（）由题意，当1n 时， 2 111 32TSS，即 22 111 32aaa， 化简整理，得 2 11 0aa，解得 1 0a

2、 （舍去），或 1 1a ， 当2n时，由 2 32 nnn TSS，可得 2 111 32 nnn TSS ， 两式相减，可得 222 11 322 nnnnn aSSSS ， 化简整理，得 1 32 nnn aSS ， 将2n 代入 1 32 nnn aSS ，可得 2211212 3224aSSaaaa ， 解得 2 2a ， 当3n时，由 1 32 nnn aSS ，可得 112 32 nnn aSS ， 两式相减，可得 11 33 nnnn aaaa ， 化简整理，得 1 2 nn aa ， 21 2aa 也满足上式， 数列 n a 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 11 1

3、 22 nn n a ，*nN； （）证明： 1 111 1212 n nn n b a ， 所以 21 23 23 11 (1) 11111113 22 1 22222221 1 2 n n nn bbb ， 故 23 13 21 n bbb 2已知正项数列已知正项数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S， ， (1) 2 nn n a a S （1）计算）计算 1 a， ， 2 a， ， 3 a，猜想数列 ，猜想数列 n a 的通项公式；的通项公式； （2）用）用数学归纳法证明数列数学归纳法证明数列 n a 的通项公式；的通项公式； （3）证明不等式）证明不等式 2222 123 11

4、117 4 n aaaa 对任意对任意 * nN恒成立恒成立 解：（1）正项数列 n a 的前n项和为 n S， (1) 2 nn n a a S ， 当1n 时， 11 1 (1) 2 a a a ，解得 1 1a ， 当2n 时， 22 12 (1) 2 a a aa ，解得 2 2a ， 当3n 时， 33 123 (1) 2 a a aaa ，解得 3 3a ， 于是可猜想 n an ； 证明：（2）当1n 时，显然成立， 假设当nk时成立，即 k ak ， (1) 2 k k k S 那么1nk时， 11 1 (1) 2 kk k aa S ， 2 111 2() kkkk Saaa

5、 ， 2 11 (1)0 kk aak k ， 即 11 (1)()0 kk akak ， 1 1 k ak ， 当1nk时也成立， 由可得 n an ； 证明：（3） 2 2 11111 (1)1 n ann nnn ，2n， 222222 12 11111111111717 1()() 12423144 n aaannnn ， 问题得以证明 3已知数列已知数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S，满足 ，满足 1 2a ， 2* 1 2() nn SSnnN （）求（）求 n a 的通项公式；的通项公式； （）设（）设 n T为数列 为数列 2 1 n a 的前的前n项和，求证：对任意

6、项和，求证：对任意 * nN，都有，都有 3 n T 解：（）数列 n a 的前n项和为 n S，满足 1 2a ， 2 1 2 nn SSn ， 当2n时， 2 1 (1)2 nn SSn ， 得： 1 21 nn aan ， 当2n时， 21 23 nn aan ， 所以 2 2 nn aa （常数）， 所以数列 21 n a 和数列 2 n a 都为等差数列； 所以 1 3 n nn a nn 为奇数 为偶数 证明：（）由于数列满足 2，1，4，1，6，3，8，5， 当n为偶数时， 所以 222222 111111 ()() 24(1)( 1)1(3) n T nn ， 由于 2 111

7、 11 () (1)(2)22nn nnn ， 则 2222 11111 1111111111 ()() 24(1)22 355724222nnnn ， 同理 222 11111 2(1) ( 1)1(3)23nn ， 故 1111111 233 4421323 n T nnnn 当n为奇数时，则1n 为偶数，11 2 1 1 3 nnn n TTT a 4已知数列已知数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S，满足 ，满足 1 2a ， 2* 1 2() nn SSnnN （）求（）求 n a 的通项公式；的通项公式； （）设（）设 n T为数列 为数列 2 1 n a 的前的前n项和，求

8、证：对任意项和，求证：对任意 * nN，都有，都有 3 n T 解：（）数列 n a 的前n项和为 n S，满足 1 2a ， 2 1 2 nn SSn ， 当2n时， 2 1 (1)2 nn SSn ， 得： 1 21 nn aan ， 当2n时， 21 23 nn aan ， 所以 2 2 nn aa （常数）， 所以数列 21 n a 和数列 2 n a 都为等差数列； 所以 1 3 n nn a nn 为奇数 为偶数 证明：（）由于数列满足 2，1，4，1，6，3，8，5， 当n为偶数时， 所以 222222 111111 ()() 24(1)( 1)1(3) n T nn ， 由于

9、2 111 11 () (1)(2)22nn nnn ， 则 2222 11111 1111111111 ()() 24(1)22 355724222nnnn ， 同理 222 11111 2(1) ( 1)1(3)23nn ， 故 1111111 233 4421323 n T nnnn 当n为奇数时，则1n 为偶数，11 2 1 1 3 nnn n TTT a 5已知数列已知数列 n a 满足满足 12 1 nn a aaa （1）求证数列）求证数列 1 1 n a 是等差数列，并求数列是等差数列，并求数列 n a 的通项公式；的通项公式； （2）设）设 12nn Ta aa ， 22 n

10、nn ba T，证明：，证明： 12 2 5 n bbb 证明：（1） 12 1 nn a aaa ， 1211 1 nn a aaa ， 由 得： 1 1 1 1 n n n a a a ，即1 1 2 n n a a ，1 11 11 22 n n nn a a aa ， 1 211 1 111 n nnn a aaa ， 1 11 1 11 nn aa ， 又当1n 时，有 11 1aa ，解得： 1 1 2 a ， 1 1 2 1a ， 数列 1 1 n a 是以2为首项，1为公差的等差数列， 1 2(1)1 1 n nn a ， 1 n n a n ； （2）由（1）可得： 12 1

11、21 2311 nn n Ta aa nn ， 22 22 4222 2 111111 ()() 13535 11(1)(21)(2) (2)()() 2222 n nnn b nnnnnn nnnnn n ， 12 111111212 5779355 55 2222222 n bbb nnn 6已知正项数列已知正项数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S，且 ，且 2 3 2 4 nnn Saa ，*nN （1）求数列）求数列 n a 的通项公式；的通项公式； （2）记）记 1 (21) n nn b aS ，数列，数列 n b 的前的前n项和为项和为 n T， ，*nN，求证：，求证：

12、 2 2 1 n T n （1）解：由 2 3 2 4 nnn Saa ，*nN，可得： 2 111 3 2 4 nnn Saa ，2n， 两式相减得： 22 11 2 nnnnn aaaaa ，即 111 ()() nnnnnn aaaaaa ，2n， 0 n a ， 1 1 nn aa ，2n， 又当1n 时，有 2 111 3 2 4 Saa，解得： 1 3 2 a ， 数列 n a 是首项为 3 2 ，公差为 1 的等差数列， 31 1 22 n ann ； （2）证明：由（1）可得： 31 () (2) 22 22 n nn n n S ， 111 (21)(2)(1)(2) (22

13、) 2 n nn b aSn nn nn n ， 又 1222(1)11 2() (1)(2)(1) (22)(1) (1)(1)1 n nn b n nnn nnnn nnnn nnn ， 111111 2(1)()()2(1) 22311 n T nnn ， 2 2 1 n T n 7已知数列已知数列 (0) nn aa 满足满足 2 32 1 2()(*) 23 nnn aaaaa anN nnn （1）求数列）求数列 n a 的通项公式；的通项公式； （2）求证：）求证： 231 1115 2 4 n aaa 解：（1）数列 (0) nn aa 满足 2 32 1 2() 23 nnn

14、 aaaaa a nnn ， 当2n时， 2 31112 1 2() 12311 nnn aaaaa a nnn ， ，得 22 22111 ()() 111 nnnnnn aaaaaa nnnnnn ， 化简，得 1 1 1 nn aa nn （常数）， 当1n 时，解得 1 1a ， 所以数列 n a n 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 所以 n an n （2）由（1）得 1 112211 2() (1)12(1)11(1)1 n annnnn nnnnn ， 所以 231 1111111111 2() 2 223341 n aaann 21125 2 2()2 44421n 8

15、已知正项数已知正项数列列 n a 的首项的首项 1 1a ，其前 ，其前n项和为项和为 n S，且 ，且 n a与 与 1n a 等比中项是 等比中项是2 n S，数列，数列 n b 满足：满足：12 2 2 n n n a bbb a （）求（）求 2 a， ， 3 a，并求数列 ，并求数列 n a 的通项公式；的通项公式； （）记（）记 n n n b c a ，*nN，证明：，证明：1 2 1 2(1) 1 n ccc n 解：（）由 n a与 1n a 等比中项是 2 n S，得 1 2 nnn Sa a ， 分别取1n ，2，得 112 2aa a ， 1223 2()aaa a ，

16、解得 2 2a ， 3 3a 于是有 112 2 nnn Saa ， 联立可得 2 2 nn aa 又 1 1a ， 2 2a ， n an ； 证明：（）依题意，12 2 11 22(2)22 n n n an bbb ann ， 当2n时， 121 11 21 n bbb n ， 两式相减即得 111 12(1)(2) n b nnnn 令外， 1 1 3 1 26 a b a 也符合上式， 1 (1)(2) n b nn ， 则 12 (1)(2)(1)(22) n n n b c an nnn nnn 22(1)11 2() (1)(1)(1)1 nn n nnnn nnn 12 11

17、1111 2(1)()()2(1) 22311 n ccc nnn 9已知数列已知数列 n a 的前的前n项和为项和为 n S，且 ，且 2 2 n nn S 公比大于公比大于 0 的等比数列的等比数列 n b 的首项为的首项为 1 1b ，且 ，且 23 20bb （）求（）求 n a 和和 n b 的通项公式；的通项公式； （）若（）若 2 () n n n a c b ，求证：，求证： 123 7 2 n cccc ， * ()nN 解：（）由题意，当1n 时， 2 11 11 1 2 aS ， 当2n时， 22 1 (1)(1) 22 nnn nnnn aSSn ， 当1n 时， 1

18、1a 也满足上式， n an ，*nN 设等比数列 n b 的公比为 (0)q q ，则 21 bbqq ， 22 31 bbqq， 故 2 23 20bbqq， 整理，得 2 200qq， 解得 5q （舍去），或 4q ， 11 1 44 nn n b ，*nN （）证明：由（）知， 22 1 () 4 n n n n an c b ， 当2n时， 2 2 2 1 22 1 1(1) (1) (1)9 4 4416 4 n n n n n cn n ncn ， 即 1 9 16 nn cc ， 12 1cc， 3 9 16 c ， 当2n时， 2 9 () 16 n n c ， 123n

19、cccc 22 999 1 1()() 161616 n ， 1 9 1() 16 1 9 1 16 n 1 169 11() 716 n 16237 1 772 123 7 2 n cccc， * ()nN 10正项数列正项数列 n a 中，前中，前n项和为项和为 n S，且 ，且 1 2a ，且，且 1 2 22(2) nn aSn （1）求数列）求数列 n a 的通项公式；的通项公式； （2）设）设 1 8 2 n n n a b ， 12nn Tbbb ，证明，证明 5 7 2 n T 解：（1）由 1 2 22(2) nn aSn ，得 11 2 22(2) nnn SSSn ， 2

20、 111 2 22(2) nnnn SSSS ， 1 2 nn SS ， n S是首项为 2公差为2的等差数列， 2 n Sn， 2 2 n Sn， 2 2 4(1)242(2) n annn，对1n 也成立， 42 n an ； （2）证明： 23 2 n n n b ， 123 57923 2222 n n n T ， 2341 15792123 222222 n nn nn T ， 两式相减，得 2311 152222727 22222222 n nnn n T ， 所以 27 7 2 n n n T ， 27 07 2 n n n nNT ， 下面证明 5 2 n T ， 1 11 272925 0 222 nn nnn nnn TT ， 1nn TT ， n T 单调递增， 1 5 2 n TT ， 5 7 2 n T