2月大数据精选模拟卷05（江苏专用）（解析版）.docx

1、2 月大数据精选模拟卷 05（江苏专用） 数 学 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的 1已知全集U R，集合 lg21Axx，集合 2 230Bx xx ，则 U AB （ ） A2,12 B1,3 C1,12 D2,3 【答案】C 【详解】 由题得lg21lg2lg10(2,12)Axxxx， 2 230 |3Bx xxx x 或1x ， 所以( 1,3) UB , 所以 U AB 1,12. 2若复数z满足11 2zi i ，其中i为虚数单位，则z对应的点,

2、x y满足方程（ ） A 22 115xy B 22 115xy C 22 115xy D 22 115xy 【答案】B 【详解】 设( ,)zxyi x yR，代入11 2zii 得： 22 115xy. 3某校学生到学校农场参加劳动实践，在剥黄豆、翻土、喷农药、捉鱼、喂马 5 个劳动项目中自主选择 3 个参加.已知某班 41 名学生中选择“剥黄豆、捉鱼、喂马”项目组合的人数最多，那么选该项目组合的人数至 少是（ ） A4 B5 C9 D10 【答案】B 【详解】 由题可得一共有 3 5 10C 中组合方式，假设这 10 种组合，每种都有 4 名同学选择，而最后一名同学选择“剥 黄豆、捉鱼、

3、喂马”项目组合，则可得选该项目组合的人数至少是 5 人. 故选：B. 4已知 5 2 2 2311 a xx x 的展开式中各项系数之和为 0，则该展开式的常数项是（ ） A10 B7 C10 D9 【答案】D 【详解】 5 2 2 2311 a xx x 的展开式中各项系数之和为 0. 令1x 得 5 610a，解得1a . 55 22 22 1 23112311 a xxxx xx 。 则 5 2 1 1 x 展开式的通项公式为： 5 210 155 2 1 11 r rr rrr r TCC x x 则 55 22 22 1 23112311 a xxxx xx 展开式的常数满足 则4r

4、 或=5r 则该展开式的常数项是 45 45 55 21+1=9CC 5 对 * nN， 设 n x是关于x的方程 3 20nxxn的实数根， (1)(2,3,.) nn anxn， 其中符号 x 表示不超过x的最大整数，则 232020 2019 aaa （ ） A1011 B1012 C2019 D2020 【答案】A 【详解】 设函数 3 2f xnxxn，则 2 32fxnx， 当n时正整数时，可得 0fx ，则 f x为增函数， 因为当2n时， 32 3 ()()2 ()(1)0 111 1 nnnn fnnnn nnn n ， 且 120f， 所以当2n时，方程 3 20nxxn有

5、唯一的实数根 n x且(,1) 1 n n x n ， 所以(1)1,(1) nnn nnxnanxn， 因此 232020 1 (2342020)1011 20192019 aaa . 6某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，024t ）的变化近似满足关系 式 5 3sin 63 S tt ，则下列说法正确的有（ ） A S t在 0,2上的平均变化率为 3 3 m/h 4 B相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h C当6t 时，潮水的高度会达到一天中最低 D4 时潮水起落的速度为 m/h 6 【答案】A 【详解】 对 A， S t在0,2上的平均变化率为 5 3si

6、n23sin 203 3 3 m/h 2024 SS ，故 A 正确； 对 B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为 1 个周期 2 12h 6 T ，故 B 错误； 对 C， 53 3 63sin6 632 S ，没有达到最低，故 C 错误； 对 D， 5 3cos 663 S tt ，则 5 43cos4 6634 S ，故 D 错误. 7已知 M 是ABC内的一点，且4 3AB AC， 30BAC，若,MBCMCA和 MAB 的面积 分别为1 x y， ，则 19 xy 的最小值是（ ） A12 B14 C16 D18 【答案】C 【详解】 由4 3AB AC，30BAC， 可得8ABAC，

7、故 1 sin2 2 ABC SABACBAC， 即12xy ，1xy，且0,0 xy， 故 191999 () ()1021016 yxyx xy xyxyxyxy ， 当且仅当 9yx xy ，即 3yx 时取等， 8已知 f x是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数1 x， 2 x，都有 2112 21 0 x f xx f x xx ， 记 3 3 0.2 0.2 f a ， sin1 sin1 f b ， 1 ln 3 ln3 f c ，则a，b，c的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 【答案】D 【详解】 设 12 0,xx，则 21 0 xx， 则由

8、2112 21 0 x f xx f x xx 得 2112 0 x f xx f x，化简得 12 12 f xf x xx ， 令函数 f x g x x ，即得 12 g xg x，则得函数 f x g x x 在0,上为单调减函数， 因为 f x是定义在R上的奇函数， 所以 1 ln ( ln3)(ln3)3 ln3ln3ln3 f ff c 因为 3 3 11 sin1 1 5 00 2 .2 ,1lnln3e，即得 3 0.2sin1ln3， 所以 3 0.2sin1ln3ggg ，即cba. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多

9、项符合题目要求， 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 92020 年 1 月 18 日，国家统计局公布了 2020 年度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图，已知 2020 年度和 2019 年度居民在“其他用品及服务”中人均消费支出大约分别为 462 元和 524 元，现结合 2019 年度 居民人均消费支出情况，下列结论中正确的是（ ） A2020 年度居民在“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率比 2019 年度的高 B2019 年度居民人均消费支出约为 21833 元 C2019 年度和 2020 年度居民在“生活用品及服务”项目上的人均消费支出相等

10、 D2020 年度居民人均消费支出比 2019 年度居民人均消费支出有所降低 【答案】ABD 【详解】 2020 年度居民在“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率为30.2%， 2019 年度居民在“食品烟酒” 项目的人均消费支出所占总额的百分率为28.2%30.2%，即 A 选项正确； 2019 年度居民人均消费支出约为 524 21833 2.4% 元，即 B 选项正确； 2019 年度居民在“生活用品及服务”项目上的消费约为 524 5.9%1288 2.4% 元，2020 年度居民在“生活用品 及服务”项目上的消费约为 462 5.9%=12391288 2.2% 元，即 C

11、选项错误； 2020 年度居民人均消费支出为 462 21000 2.2% 元，2019 年度居民人均消费支出为 524 21833 2.4% 元， 2100021833，即 D 选项正确； 故选：ABD. 10在棱长为 2 的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，DA的中点，则（ ） A/AC平面EFG B过点E，F，G的截面的面积为 1 2 CAD与BC的公垂线段的长为2 DCD与平面GBC所成角的大小小于 二面角GBCD的大小 【答案】ACD 【详解】 对 A， 点F，G为棱CD，DA的中点，/FGAC，FG 平面EFG，AC 平面EFG，/AC 平面EFG，故 A 正确；

12、 对B， 取AB中点H， 则可得四边形EFGH为截面， 由A选项可得/FGAC， 1 2 FGAC,同理可得/HEAC， 1 2 HEAC,则/HEHG且HEFG，故四边形 EFGH 为平行四边形，取 BD 中点 M，则可得 ,BDAM BDCM ，AMCMM，则BD 平面 AMC，BDAC，则EFFG，故平行 四边形 EFGH 为正方形，且边长为 1，故截面面积为 1，故 B 错误； 对 C，连接 AE，ED，因为正四面体中，可得AEED，EGAD，同理可得EGBC，故 EG 即 为AD与BC的公垂线段，由 B 选项可得 2EG ，故 C 正确； 对 D，如图，易得,GEBC DEBC，GE

13、D即为二面角GBCD的平面角，因为四面体的棱 长为 2，则3GC ， 22 2GEGCCE ，3,1DEGD，则 22 2 231 6 cos 3223 GED ，又,DAGB DAGC，DA平面 GBC，则DCG即为 CD与平面GBC所成角， 易得30DCG， 63 coscos30 32 GED， 故G E DD C G， 故 D 正确. 11嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020 年 12 月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回. 某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”， 如图， 飞行器在环月椭圆轨道近月点制动 （俗称“踩刹车”） 后，以km/sv的速度进入距离月球表面

14、kmn的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点） ，环绕周期 为s t，已知远月点到月球表面的最近距离为kmm，则（ ） A圆形轨道的周长为2kmvt B月球半径为 km 2 vt n C近月点与远月点的距离为km t mn D椭圆轨道的离心率为 mn mn 【答案】BD 【详解】 由题，以km/sv的速度进入距离月球表面kmn的环月圆形轨道，环绕周期为s t，则可得环绕的圆形轨道 周长为vtkm，半径为 2 vt km，故 A 错误； 则月球半径为km 2 vt n ，故 B 正确； 则近月点与远月点的距离为km 2 t m ，故 C 错误； 设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ，则

15、 ,mac nac ， 2 2 mnacaccc mnacacaa ，故离心率为 mn mn ，故 D 正确. 12设函数 yf x定义域为D，若存在 , x yD ，且x y ，使得 2 2 xy ff xfy ，则称 函数 yf x是D上的“S函数”，下列函数是“S函数”的是（ ） A( )2 x f x B( )sin1f xxx C ( )lnf xx D 1 ,0 ( ) 1,0 x f xx x 【答案】BD 【详解】 对于 A，当x y 时，所以2 2 xy ， 所以( )( )22 xy f xf y 2 2 222 22 () 2 x y xy xy f ，故函数( )2xf

16、 x 不是“S函数”故 A 不正 确； 对于 B，当 2 3 x ，0y 时，( )( )f xf y 2223 sin1 0sin0 12 3332 ， 23 2 ()2 ()2sin12 233332 xy ff ，满足 2 2 xy ff xfy ，故函数 ( )sin1f xxx是“S函数”，故 B 正确； 对于 C， 当正数x y 时， 所以( )( )lnlnf xf yxyln xy 2 ln 2 xy 2ln2 22 xyxy f ， 故函数 ( )lnf xx 不是“S函数”，故 C 不正确； 对于 D，当1x，1y 时，( )( )( 1)(1)f xf yff1 12 ，

17、2 ()2 (0)2 2 xy ff ，满足 2 2 xy ff xfy ，故函数 1 ,0 ( ) 1,0 x f xx x 是“S函数”，故 D 正确. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在四边形ABCD中，8AB.若 31 44 DACACB，则AB CD _. 【答案】16 【详解】 因为 3111 4444 DACACBCACBCDCACA，AB CB CA ， 所以AB CD 2 21111 16 4444 CBCACACBCBCAAB ， 故答案为：-16 14某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这 6 项运动

18、中选 出 3 项进行测试，假设他们对这 6 项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为_. 【答案】 1 2 【详解】 由题意，两人在 6 项运动任选 3 项的选法： 33 66 400C C 种， 小明与小华选出 3 项中有 2 项相同的选法： 211 643 180C C C 种， 小明与小华选出 3 项中有 3 项相同的选法： 3 6 20C 种， 他们选择的结果至少有 2 项相同的概率为 2113 6436 33 66 1 2 C C CC P C C ， 故答案为： 1 2 . 15已知抛物线C： 2 20ypx p的焦点为F，点P是抛物线C上一点，以F为圆心，半径为

19、p的 圆与PF交于点Q，过点P作圆F的切线，切点为A，若3PAp，且OPQ的面积为 3 2 ，则p _ 【答案】2 【详解】 因为3PAp，FAp，PAFA 所以2PFp，因为FQp，所以Q是线段PF的中点,因 为OPQ的面积为 3 2 ，所以OPF的面积为3.又由2 = 2 P p PFp x可得 3 2 P p x ，所以 3 P yp,所以 1 33 22 OPF p p S，解得2p . 16设函数 ( )f x在定义域(0,)上是单调函数，对(0,)x ， ( )ee x ff xx若不等式 ( )1f xax 对(0,)x恒成立，则实数a的取值范围是_ 【答案】(,1e 【详解】

20、因为 ( )f x在定义域(0,)上是单调函数，故 ( )exf xxt且t为常数. 所以( )exf xxt，又( )etf ttte ，故ete即1t ， 所以( )e1 x f xx， 又( )1f xax 等价于e1 1 x xax ， 故01exxa对任意的(0,)x恒成立， 令 1 x g xeax，则 1 x g xea， 若1 1a 即0a 时， 0g x 恒成立，故 g x在(0,)上为增函数， 故 01g xg，故0a 符合. 若1 1a 即0a，令 0g x 得ln1xa， 当0,ln1xa时， 0g x ，当ln1 ,xa时， 0g x， 故 g x在0,ln1a上为减

21、函数，在ln1 ,a上为增函数， 故 min ln111 ln1g xgaaaa ， 由题设可得11 ln10aaa ，故ln11a， 所以01ae 综上1ae. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 173cos22sincos 22 BB B ， 3cosbsinCcB ， 2 3babacac三个条件中 任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答. 问题：已知ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若4a，3cb_，求ABC 的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】 解：选：由3cos22sincos 22 BB

22、 B 得sin 3cos2BB ， 即sin1 3 B ，因为0,B，所以 6 B 选：由正弦定理得得3sinsinsincosBCCB，因为sin0C ， 所以3sincosBB 因为cos0B ，所以 3 tan 3 B 因为 0,B，所以 6 B 选：由题意得 222 3cabac ，得 222 33 cos 222 acbac B acac 因为0,B，所以 6 B 又因为 sin 3 sin Cc Bb ，所以 13 sin3sin3 22 CB 由0,C，所以 3 C 或 2 3 C 当 3 C 时， 2 A ，又因为4a，所以2b， 2 3c 则面积 1 2 2 32 3 2 S

23、 当 2 3 C 时， 6 A ，所以AB又因为4a，所以4b 则面积 13 4 44 3 22 S 综上所述，ABC的面积为2 3或4 3 18已知数列 n a的前n项和为 n S，首项 1 1a ， 1 21 nn SS . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 nn bna，记数列 n b的前n项和为 n T，是否存在正整数n，使得2021 n T ?若存在，求出n的 值；若不存在，说明理由. 【详解】 （1）由 1 21 nn SS ,知2n时， 1 21 nn SS , 得 1 22 nn aan ， 在式中令 1212 1212naaaa ， 2 1 2 a a ， 对任意

24、* nN，均有 1 2 n n a a ， n a为等比数列， 11 1 22 nn n a ， （2）由（1）得 1 2n n bn ， 所以 01221 1 22 23 21 22 nn n Tnn ， 所以 1221 21 22 2221 22 nnn n Tnnn ， 所以 121 1 1 2 122222212 1 2 n nnnnn n Tnnn ， 所以(1) 21 n n Tn， 令1 2120211 22020 nn nn ， 当1n 和2n时，等式显然不成立；当3n时，方程化为 2 1 2505 n n ，左边为偶数，右边等于 505 为奇数，等式也不成立，故不存在正整数n

25、，使得2021 n T 成立. 19如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，对角线AC与BD交于点F，侧面SBC是 边长为 2 的等边三角形，点E在棱BS上 （1）若/SD平面AEC，求 SE EB 的值; （2）若平面SBC 平面ABCD，求二面角BASC的余弦值 【详解】 （1）连结EF， /SD平面AEC，SD平面BSD，平面BSD平面AECEF， /SD EF 底面ABCD是正方形，F为AC中点， EF是SD的中位线，则1 SE EB （2）取BC的中点为O，AD的中点为M，连结MO，则MOBC， 因为平面SBC 平面ABCD，平面SBCI平面ABCDBC，OM 平面AB

26、CD， 所以OM 平面SBC 又OSBC，所以O为坐标原点 以,OS OC OM为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz 则0, 1,2A，010B,，0,1,0C，3,0,0S， 31 ,0 22 E ， 从而3,1,0SC ，0,2, 2AC ，0,0, 2AB ，3,1, 2AS 设平面ASC的法向量为, ,mx y z， 则 0, 0. m SC m AC ，即 30, 0. xy yz 取1x ，则3y ，3z ， 所以平面ASC的一个法向量为1, 3, 3m 设平面ASB的法向量为, ,nx y z， 则 0, 0. n AB n AS ，即 20, 320. z xyz 取3y ，则

27、1x，0z 所以平面ASB的一个法向量为1, 3,0n 7 cos, 7 m n m n m n 二面角BASC的平面角为锐角， 二面角BASC的余弦值为 7 7 20 习近平总书记在党的十九大工作报告中提出， 永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召下， 全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词.某地一研究团队统计了该地区 1000位居民的日行步数，得到如下表格： 日行步数（单位：千步） 0,2 2,4 4,6 6,8 8,10 10,12 12,14 人数 20 60 170 200 300 200 50 （1） 为研究日行步数与居民年龄的关系， 以日

28、行步数是否超过8千步为标准进行分层抽样， 从上述1000位 居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为日 行步数与居民年龄超过40岁有关； 日行步数8千步 日行步数8千步 总计 40岁以上 100 40岁以下（含40岁） 50 总计 200 （2）以这1000位居民日行步数超过8千步的频率，代替该地区1位居民日行步数超过8千的概率，每位居 民日行步数是否超过8千相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20位居民，其中日行步数超过8 千的最有可能（即概率最大）是多少位居民? 附： 2 0 P Kk 0.05 0.025 0.010 0 k

29、3.841 5.024 6.635 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd . 【详解】 （1）1000人中，步数不超过8千步的有20 60 170 200450人，超过8千步有550人， 按分层抽样，抽取的人数中不超过8千步的有90人，超过8千步的有110人，列联表如下： 日行步数8千步 日行步数8千步 总计 40岁以上 40 60 100 40岁以下（含40岁） 50 50 100 总计 90 110 200 2 2 20040 5050 60 2.023.841 100 100 90 110 K 故没有 95%的把握认为日行步数与居民年龄超过 40 岁有关. （

30、2）每位居民步数超过8千的概率为 55011 100020 ， 设步数超过8千的最有可能是x位居民， 20121 1 2020 20119 1 2020 119119231 2020202020 119119211 2020202020 xxxx xx xxxx xx CCx CCx ， 211231 2020 x，xZ，11x ， 即最有可能是11位居民. 21已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点2,1A，椭圆C在点A处的切线方程为 3yx . （1）求椭圆C的方程； （2）设过点3,0B且与x轴不重合的直线 l 与椭圆C交于不同的两点 M，N，直线 AM，AN 分别与直

31、线 3x分别交于 P，Q，记点 P,Q 的纵坐标分别为 p，q，求p q 的值. 【详解】 （1）由题意知椭圆C在2,1A处的切线方程为 22 2 1 xy ab 也为3yx ， 22 6 211 3 3 a ab b 椭圆C的方程为 22 1 63 xy . （2） 直线l的方程为3yk x， 11 ,M x y， 22 ,N x y 222 22 3 26960 26 yk x xkxx xy 2222 12121860kxk xk 直线AM方程为： 1 1 1 21 2 y yx x ，令 1 1 51 31 2 y xp x 直线AN方程为 2 2 1 21 2 y yx x ，令 2

32、 2 51 31 2 y xq x 12 12 1212 313111 5252 2222 k xk xyy pq xxxx 12 12 1212 21214 5210512 2222 k xkk xkxx kk xxxx 2 2 22 22 2 2 12 4 12 10512 18624 4 1212 44 10512 22 1051 22 12 k k kk kk kk k kk k kk . 即12pq. 22已知函数 sin 2cos x fx x ， 1 x g xa e（a为常数） （1）求函数 f x在 2 x 处的切线方程; （2）设 1 n F xf xg xn Z （）若n

33、为偶数，当0a 时，函数 F x在区间0, 2 上有极值点，求实数a的取值范围; （）若n为奇数，不等式 0F x 在0,上恒成立，求实数a的最小值 【详解】解： （1） 22 cos2cossinsin2cos1 2cos2cos xxxxx fx xx ， 1 24 f ，当 2 x 时， 1 22 f f x在 2 x 处的切线方程为 11 242 yx ，即 14 48 yx （2） （）n为偶数时， sin 1 2cos x x F xf xg xa e x ， 2 2cos1 2cos x x Fxa e x ，令 h xFx ， 则 3 2sincos1 2cos x xx h

34、xa e x 0, 2 x 且0a ， 0h x 在0, 2 恒成立 h x在0, 2 单调递减，其中 1 0 3 ha， 2 1 24 ha e F x在0, 2 有极值点， 00h且0 2 h ，即 2 11 3 4 a e 当 2 11 3 4 a e 时， 0 0, 2 x ，使 0 0h x 令 0Fx ，即 0h x ， F x在 0 0,x单调递增； 令 0Fx ，即 0h x ， F x在 0, 2 x 单调递减 F x在0, 2 有极值点因此实数a的取值范围 2 11 , 3 4e （）n为奇数时， 0F xf xg x在0,恒成立 当0 x时， 00F 当0 x时，因为 s

35、in 10 2cos x x F xa e x 恒成立， 而 2 2cos1 2cos x x Fxa e x ， 令2 costx ，1,3t 22 221231 1, 3 t m t ttt 0 1 x ee， 当 1 3 a 时， 1 3 x a e ， 0Fx恒成立 F x在0,单调递减， 00F xF 1 3 a 符合题意 当0a 时，则 0Fx在0, 2 恒成立 0, 2 x 时， F x单调递增， 00F xF，与题意不符，舍去 当 1 0 3 a时， 1 00 3 Fa， 1e0Fa ， 00FF ， Fx 在0,上存在零点 设 1 x为( )F x 在0,上最小零点，则 1 0,xx时 0Fx， 因此 F x在 1 0,x单调递增， 00F xF，不合题意舍去 综上，a的最小值为 1 3