2022届高三文科数学一轮复习（老高考）第3章 第2节 利用导数解决函数的单调性问题课件（共83张PPT）.ppt

1、第三章 导数及其应用 第二节第二节 利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题 考试要求 1.了解函数的单调性和导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项 式函数一般不会超过三次) 0101 走进教材夯实基础 梳理必备知识 激活必备技能 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 f(x)0 f(x)在(a，b)内_ f(x)0 f(x)在(a，b)内_ 函数 yf(x)在 区间(a，b)上可导 f(x)0 f(x)在(a，b)内是_ 单调递增 单调递减 常数函数 提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等 式，求解时，要坚持“定义域优先”原

2、则 常用结论 1在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减) 函数的充分不必要条件 2可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x (a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都 不恒为零 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)在(a，b)内f(x)0，且f(x)0的根有有限个，则f(x)在(a， b)内是减函数( ) (2)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上一 定单调递减( ) (3)已知函数f(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)0恒成 立( ) 答案 (1) (2)

3、(3) 1 1 2 2 3 3 4 4 二、教材习题衍生 1.如图是函数yf(x)的导函数yf(x) 的图象，则下面判断正确的是( ) A在区间(3,1)上f(x)是增函数 B在区间(1,3)上f(x)是减函数 C在区间(4,5)上f(x)是增函数 D在区间(3,5)上f(x)是增函数 C 由图象可知，当x(4,5)时，f(x)0，故f(x)在(4,5)上是增函 数 1 1 2 2 3 3 4 4 2函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是( ) A先增后减 B先减后增 C增函数 D减函数 D 因为f(x)sin x10在(0，)上恒成立， 所以f(x)在(0，)上是减函数，故选D. 1

4、 1 2 2 3 3 4 4 3函数f(x)xln x的单调递减区间为_ (0,1 函数f(x)的定义域为x|x0，由f(x)1 1 x 0，得0 x1， 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1 1 1 2 2 3 3 4 4 4已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则实数a的最大值是 _ 3 f(x)3x2a0，即a3x2， 又因为x1， )，所以a3，即a的最大值是3. 0202 细研考点突破题型 考点一 不含参数的函数的单调性 考点二 含参数的函数的单调性 考点三 已知函数的单调性求参数的取值范围 考点四 函数单调性的应用 考点一 不含参数的函数的单调性 求函数单调区间的步骤 (1)

5、确定函数f(x)的定义域 (2)求f(x) (3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间 (4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间 1已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的导函数，则函数 f(x)的图象大致是( ) A B C D A 设g(x)f(x)2x2sin x，则g(x)22cos x0. 所以函数f(x)在R上单调递增，故选A. 2(2020 河北九校联考)函数yx3 x2ln x的单调递减区间是 ( ) A(3,1) B(0,1) C(1,3) D(0,3) B y1 3 x2 2 x x22x3 x2 (x0)， 令y0得 x22x30 x0

6、，解得0 x1，故选B. 3(2019 天津高考改编)函数f(x)excos x的单调递增区间为_ 2k3 4，2k 4 (kZ) f(x)excos xexsin xex(cos xsin x)， 令f(x)0得cos xsin x， 2k3 4x2k 4，kZ， 即函数f(x)的单调递增区间为 2k3 4，2k 4 (kZ) 点评：(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降， 函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来 研究导函数图象的上升与下降 (2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易 出错 考点二 含参数的函数的单调性 解决含参数的函数的

7、单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响 进行分类讨论 (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导 数为0的点和函数的间断点 典例1 已知函数f(x)ex(exa)a2x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)0，求a的取值范围 解 (1)函数f(x)的定义域为(，)， f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa) 若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增 若a0，则由f(x)0得xln a. 当x(，ln a)时，f(x)0； 当x(ln a，)时，f(x)0. 故f(x)在(，ln a)上单调递减， 在(ln a，

8、)上单调递增 若a0，则由f(x)0得xln a 2 . 当x ，ln a 2 时，f(x)0； 当x ln a 2 ， 时，f(x)0. 故f(x)在 ，ln a 2 上单调递减， 在 ln a 2 ， 上单调递增 (2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0. 若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值 为f(ln a)a2ln a， 从而当且仅当a2ln a0，即0a1时，f(x)0. 若a0，则由(1)得，当xln a 2 时，f(x)取得最小值， 最小值为f ln a 2 a2 3 4ln a 2 ，从而当且仅当a2 3 4ln a 2 0， 即2e a0时，

9、f(x)0. 综上，a的取值范围是2e ，1 点评：要使f(x)0，只需f(x)min0；要使f(x)0，只需f(x)max0. 跟进训练 已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.若a0，试讨论函数f(x)的单调 性 解 因为f(x)ln xax2(2a1)x， 所以f(x)2ax 22a1x1 x 2ax1x1 x ， 由题意知函数f(x)的定义域为(0，)， 令f(x)0得x1或x 1 2a， (1)若 1 2a1，即a 1 2， 由f(x)0得x1或0 x 1 2a， 由f(x)0得 1 2ax1，即函数f(x)在 0， 1 2a ，(1，)上单调 递增，在 1 2a，1 上单调递减

10、； (2)若 1 2a1，即0a 1 2，由f(x)0得x 1 2a或0 x1， 由f(x)0得1x 1 2a，即函数f(x)在(0,1)， 1 2a， 上单调递增，在 1， 1 2a 上单调递减； (3)若 1 2a1，即a 1 2，则在(0，)上恒有f(x)0， 即函数f(x)在(0，)上单调递增 综上可得：当0a1 2时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在 1， 1 2a 上单调递减，在 1 2a， 上单调递增； 当a1 2时，函数f(x)在(0，)上单调递增； 当a1 2时，函数f(x)在 0， 1 2a 上单调递增，在 1 2a，1 上单调递 减，在(1，)上单调递增 考点三 已

11、知函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f(x)0 (或f(x)0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注 意“”是否可以取到 (2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或 f(x)0)在该区间上存在解集，即f(x)max0(或f(x)min0)在该 区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围 (3)若已知f(x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先 求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的子集，从而求出参数的取 值范围 典例2 已知函数f(x)ln x，g(x)1

12、2ax 22x(a0) (1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围 解 (1)h(x)ln x1 2ax 22x，x(0，)， 所以h(x)1 xax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区 间， 所以当x(0，)时，1 xax20有解， 即a 1 x2 2 x有解 设G(x) 1 x2 2 x， 所以只要aG(x)min即可 而G(x) 1 x1 21， 所以G(x)min1. 所以a1且a0，即a的取值范围是(1,0)(0，) (2)由h(x)在1,4上单调递减得， 当x1,4时，h(x)

13、1 xax20恒成立， 即a 1 x2 2 x恒成立 所以aG(x)max，而G(x) 1 x1 21， 因为x1,4，所以1 x 1 4，1 ， 所以G(x)max 7 16(此时x4)， 所以a 7 16且a0，即a的取值范围是 7 16，0 (0，) 母题变迁 1本例条件不变，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上存在单调递减 区间，求a的取值范围 解 h(x)在1,4上存在单调递减区间， 则h(x)0在1,4上有解， 所以当x1,4时，a 1 x2 2 x有解， 又当x1,4时， 1 x2 2 x min1， 所以a1且a0，即a的取值范围是(1,0)(0，) 2本例条件不变，若函数

14、h(x)f(x)g(x)在1,4上不单调，求a 的取值范围 解 因为h(x)在1,4上不单调， 所以h(x)0在(1,4)上有解， 即a 1 x2 2 x有解，令m(x) 1 x2 2 x，x(1,4)， 则1m(x) 7 16， 所以实数a的取值范围为 1， 7 16 . 点评：注意区分在区间a，b上单调递增(减)和在区间a，b上存 在单调递增(减)区间这两种说法，一个转化为不等式恒成立，一个转 化为不等式有解 跟进训练 已知函数f(x)ln x，g(x)1 2axb. (1)若f(x)与g(x)的图象在x1处相切，求g(x)； (2)若(x)mx1 x1 f(x)在1，)上是减函数，求实数

15、m的取 值范围 解 (1)由已知得f(x)1 x， 所以f(1)11 2a，所以a2. 又因为g(1)1 2abf(1)0，所以b1.所以g(x)x1. (2)因为(x) mx1 x1 f(x) mx1 x1 ln x在1，)上是减函 数 所以(x)x 22m2x1 xx12 0在1，)上恒成立， 即x2(2m2)x10在1，)上恒成立， 则2m2x1 x，x1，)， 因为x1 x2，当且仅当x1时取等号， 所以2m22，即m2. 故实数m的取值范围是(，2 考点四 函数单调性的应用 构造函数解不等式或比较大小 一般地，在不等式中若同时含有f(x)与f(x)，常需要通过构造 含f(x)与另一函

16、数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函 数的性质，进而求出结果 常见构造的辅助函数形式有： (1)f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)； (2)xf(x)f(x)xf(x)； (3)xf(x)f(x) fx x ； (4)f(x)f(x)e xf(x)； (5)f(x)f(x) fx ex . 比较大小 典例31 (1)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为y f(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，若afe e ，bfln 2 ln 2 ， cf3 3 ，则a，b，c的大小关系正确的是( ) Aabc Bbca Cacb Dcab (2)已知函数yf(x)对于任意的x 0，

17、 2 满足f(x) cos xf(x)sin x 1ln x，其中f(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是 ( ) A. 2f 3 f 4 B. 2f 3 f 4 C. 2f 6 3f 4 D. 2f 3 f 6 (1)D (2)B (1)设g(x)fx x ，则g(x)xfxfx x2 ， 当x0时，xf(x)f(x)0，则g(x)xfxfx x2 0， 即函数g(x)在x(0，)时为减函数 由函数yf(x)为奇函数知f(3)f(3)，则cf3 3 f3 3 . afe e g(e)，bfln 2 ln 2 g(ln 2)，cf3 3 g(3) 且3eln 2， g(3)g(e)

18、g(ln 2)， 即cab，故选D. (2)设g(x) fx cos x，则g(x) fxcos xfxsin x cos2x 1ln x cos2x ， x 0， 2 . 令g(x)0得x1 e，当x 0，1 e 时g(x)0，函数g(x)单调递 减， 当x 1 e， 2 时，g(x)0，函数g(x)单调递增 1 e 6 4 3 2， g 6 g 4 g 3 ， 即 f 3 1 2 f 4 2 2 f 6 3 2 ， 化简得 2f 3 f 4 ， 3f 3 f 6 ， 3f 4 2f 6 ，故选B. 解不等式 典例32 (1)已知函数f(x)的定义域为R，f(1)2，且对任意 xR，f(x)

19、2，则f(x)2x4的解集为( ) A(1,1) B(1，) C(，1) D(，) (2)已知函数f(x)x32xex 1 ex，其中e是自然对数的底数若 f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_ (1)B (2) 1，1 2 (1)由f(x)2x4，得f(x)2x40.设F(x) f(x)2x4，则F(x)f(x)2.因为f(x)2，所以F(x)0在 R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增又F(1)f(1)2(1) 42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以 x1，故选B. (2)因为f(x)x32x 1 exe xf(x)，所以函数f(x)是奇函 数因为f(x

20、)3x22exe x3x222 ex ex0，所以函数f(x) 在R上单调递增 又f(a1)f(2a2)0，所以f(2a2)f(1a)，所以2a21a，即 2a2a10，解得1a1 2， 故实数a的取值范围为 1，1 2 . 点评：构造函数F(x)，把所求不等式转化为F(a)F(b)或F(a) F(b)的形式，然后根据F(x)的单调性得到ab或ab. 跟进训练 1已知f(x)是定义在区间(0，)内的函数，其导函数为 f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则( ) A4f(1)f(2) B4f(1)f(2) Cf(1)4f(2) Df(1)4f(2) B 令g(x)fx x2 (x0)，

21、则g(x)xfx2fx x3 ， 由不等式xf(x)2f(x)恒成立知g(x)0，即g(x)在(0，)是 减函数， g(1)g(2)，即f1 1 f2 4 ，即4f(1)f(2)，故选B. 2设f(x)和g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)， g(x)分别为其导数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3) 0，则不等式f(x)g(x)0的解集是( ) A(3,0)(3，) B(3,0)(0,3) C(，3)(3，) D(，3)(0,3) D 令h(x)f(x)g(x)，当x0时，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0， 则h(x)在(，0)上单调递增，又f(x

22、)，g(x)分别是定义在R上的奇函数 和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0，)上单调递增又由 g(3)0，可得h(3)h(3)0，所以当x3或0 x3时，h(x) 0，故选D. 备考技法2 导数中的函数构造问题 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的 两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现. 利用f(x)与xn构造函数 1若F(x)xnf(x)， 则F(x)nxn 1f(x)xnf(x)xn1nf(x)xf(x)； 2若F(x)fx xn ， 则F(x)fxx nnxn1fx x2n xfxnfx xn 1； 由此得到结论： (1)出现nf(x

23、)xf(x)形式，构造函数F(x)xnf(x)； (2)出现xf(x)nf(x)形式，构造函数F(x)fx xn . 技法展示1 (1)已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足 f(1)0，当x0时，2f(x)xf(x)，则使得f(x)0成立的x的取值 范围是_ (2)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0，且 f(4)0，则不等式xf(x)0的解集为_ (1)(1,0)(0,1) (2)(，4)(0,4) (1)构造F(x)fx x2 ， 则F(x)fx x2fx x3 ， 当x0时，xf(x)2f(x)0，可以推出当x0 时，F(x)0，F(x)在(0，

24、)上单调递减f(x) 为偶函数，x2为偶函数，F(x)为偶函数，F(x)在 (，0)上单调递增根据f(1)0可得F(1)0，根据函数的单 调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知f(x)0的解集为 (1,0)(0,1) (2)构造 F(x)xf(x)，则 F(x)f(x)xf(x)，当 x 0 时，f(x)xf(x)0，可以推出当 x0 时，F(x) 0， F(x)在(，0)上单调递减f(x)为偶函数，x 为奇函数， F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上也单调递减根据 f(4)0 可 得 F(4)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根 据图象可知 xf(x)0 的解集为(

25、，4)(0,4) 评析 构造函数后可根据条件判断构造函数的单调性、奇偶性， 画出相应函数的图象，再根据图象写出解集 技法应用 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(1)0，当 x0 时，有 xf(x) f(x)0 恒成立，则不等式 f(x)0 的解集为_ (， 1)(1， ) 构造 F(x)fx x ， 则 F(x)fx xfx x2 ， 当 x0 时，xf(x)f(x)0，可以推出当 x0 时，F(x)0，F(x) 在(，0)上单调递增f(x)为偶函数，x 为奇函数，F(x)为奇函 数， F(x)在(0，)上也单调递增根据 f(1)0 可得 F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函

26、数 图象，根据图象可知 f(x)0 的解集为(，1) (1，) 利用 f(x)与 ex构造函数 1若 F(x)enxf(x)， 则 F(x)n enxf(x)enxf(x)enxf(x)nf(x)； 2若 F(x)fx enx ， 则 F(x)fxe nxnenxfx e2nx fxnfx enx ； 由此得到结论： (1)出现 f(x)nf(x)形式，构造函数 F(x)enxf(x)； (2)出现 f(x)nf(x)形式，构造函数 F(x)fx enx . 技法展示2 已知函数 f(x)在 R 上可导， 其导函数为 f(x)， 若 f(x) 满足：(x1)f(x)f(x)0，f(2x)f(x

27、) e2 2x，则下列判断一定正确 的是( ) Af(1)f(0) Bf(2)e2f(0) Cf(3)e3f(0) Df(4)e4f(0) C 构造 F(x)fx ex ， 则 F(x)e xfxexfx e2x fxfx ex ， 导函数 f(x)满足(x1)f(x)f(x)0， 则 x1 时 F(x)0， F(x)在1， )上单调递增 当 x1 时 F(x) 0，F(x)在(，1上单调递减又由 f(2x)f(x)e2 2xF(2x) F(x)F(x)关于 x1 对称，从而 F(3)F(0)即f3 e3 f0 e0 ，f(3)e3f(0)， 故选 C. 评析 构造函数时，要注意 F(x)fx

28、 xn 与 F(x)fx enx ，F(x)xnf(x) 与 F(x)enxf(x)的构造条件 技法应用 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)2f(x)0，f(0)1，则不等 式 f(x)e2x的解集为_ (0，) 构造 F(x)fx e2x ， 则 F(x)e 2xfx2e2xfx e4x fx2fx e2x ， 函数 f(x)满足 f(x)2f(x)0， 则 F(x)0，F(x)在 R 上单调递增 又f(0)1，则 F(0)1，f(x)e2xfx e2x 1F(x)F(0)，根据单 调性得 x0. 利用 f(x)与 sin x，cos x 构造函数 sin x，cos x 因为导

29、函数存在一定的特殊性，所以也是重点考查的 范畴，下面是常考的几种形式 F(x)f(x)sin x，F(x)f(x)sin xf(x)cos x； F(x) fx sin x，F(x) fxsin xfxcos x sin2x ； F(x)f(x)cos x，F(x)f(x)cos xf(x)sin x； F(x) fx cos x，F(x) fxcos xfxsin x cos2x . 技法展示3 已知函数 yf(x)对于任意的 x 2， 2 满足 f(x)cos xf(x)sin x0(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数)， 则下列不等 式不成立的是( ) A. 2f 3 f 4 B.

30、2f 3 f 4 Cf(0) 2f 4 Df(0)2f 3 A 构造 F(x) fx cos x形式， 则 F(x)fxcos xfxsin x cos2x ，导函数 f(x)满足 f(x)cos x f(x)sin x0， 则 F(x)0，F(x)在 2， 2 上单调递增 F 4 F 3 ，即 f 4 cos 4 f 3 cos 3 ， 2f 3 f 4 ，故选 A. 评析 准确记忆函数 F(x)f(x)sin x， F(x)f(x)cos x， F(x) fx sin x， F(x) fx cos x的导数，是构造函数的前提 技法应用 定义在 0， 2 上的函数 f(x)，函数 f(x)是

31、它的导函数，且恒有 f(x) f(x)tan x 成立，则( ) A. 3f 4 2f 3 Bf(1)2f 2 sin 1 C. 2f 6 f 4 D. 3f 6 f 3 D f(x)f(x)tan xf(x)sin xf(x)cos x0， 令F(x) fx sin x，则F(x) fxsin xfxcos x sin2x 0， 即函数F(x)在 0， 2 上是增函数， F 6 F 3 ，即 f 6 sin 6 f 3 sin 3 ， 3f 6 f 3 ，故选D. 构造具体函数关系式 这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系 式去解决不等式及求值问题 技法展示4 已知， 2，

32、 2 ，且sin sin 0，则下列 结论正确的是( ) A B22 C D0 B 构造函数f(x)xsin x， 则f(x)sin xxcos x. 当x 0， 2 时，f(x)0，f(x)是增函数， 当x 2，0 时，f(x)0，f(x)是减函数， 又f(x)为偶函数， sin sin 0sin sin f()f()f(|)f(|)| |22，故选B. 评析 认真分析题目所给条件，寻找(或变形后寻找)结构相同的 式子，结合所求构造函数 技法应用 定义在R上的函数f(x)满足f(1)1，且对xR，f(x)1 2，则不 等式f(log2x)log 2x1 2 的解集为_ (0,2) 构造函数F(x)f(x)1 2x，则F(x)f(x) 1 20， 函数F(x)在R上是减函数 由f(1)1，得F(1)f(1)1 21 1 2 1 2， f(log2x)log 2x1 2 f(log2x)1 2log2x 1 2 F(log2x)F(1)log2x10 x2.