2022届高三理科数学一轮复习(老高考)第3章 第2节利用导数解决函数的单调性问题课件(共95张PPT).ppt
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1、第二节第二节 利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题 第三章 导数及其应用 考试要求 1.了解函数的单调性和导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多 项式函数一般不会超过三次) 0101 走进教材夯实基础 梳理必备知识 激活必备技能 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 f (x)0 f (x)在(a,b)内_ f (x)0 f (x)在(a,b)内_ 函数 yf (x)在区间 (a,b)上可 导 f (x)0 f (x)在(a,b)内是_ 常数函数 单调递增 单调递减 提醒:讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等 式,求解时,要坚持
2、“定义域优先”原则 常用结论 1在某区间内 f (x)0(f (x)0)是函数 f (x)在此区间上为增(减) 函数的充分不必要条件 2 可导函数 f (x)在(a, b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a, b),都有 f (x)0(f (x)0)且 f (x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒 为零 一、易错易误辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)在(a,b)内 f (x)0,且 f (x)0 的根有有限个,则 f (x)在(a, b)内是减函数 ( ) (2)若函数 f (x)在定义域上都有 f (x)0,则函数 f (x)在定义域上 一定单调递减 ( ) (3)已知函数 f (
3、x)在区间a,b上单调递增,则 f (x)0 恒成 立 ( ) 答案 (1) (2) (3) 1 1 2 2 3 3 4 4 二、教材习题衍生 1.如图是函数 yf (x)的导函数 yf (x)的图象,则下面判断正确 的是( ) A在区间(3,1)上 f (x)是增函数 B在区间(1,3)上 f (x)是减函数 C在区间(4,5)上 f (x)是增函数 D在区间(3,5)上 f (x)是增函数 1 1 2 2 3 3 4 4 C 由图象可知,当 x(4,5)时,f (x)0,故 f (x)在(4,5)上是增 函数 1 1 2 2 3 3 4 4 2函数 f (x)cos xx 在(0,)上的单
4、调性是( ) A先增后减 B先减后增 C增函数 D减函数 D 因为 f (x)sin x10 在(0,)上恒成立, 所以 f (x)在(0,)上是减函数,故选 D 1 1 2 2 3 3 4 4 3函数 f (x)xln x 的单调递减区间为_ (0,1 函数f (x)的定义域为x|x0,由f (x)1 1 x 0,得0 x1, 所以函数f (x)的单调递减区间为(0,1 1 1 2 2 3 3 4 4 4已知f (x)x3ax在1,)上是增函数,则实数a的最大 值是_ 3 f (x)3x2a0,即a3x2, 又因为 x1, ),所以 a3,即 a 的最大值是 3. 0202 细研考点突破题型
5、 考点一 不含参数的函数的单调性 考点二 含参数的函数的单调性 考点三 已知函数的单调性求参数的取值范围 考点四 函数单调性的应用 考点一 不含参数的函数的单调性 求函数单调区间的步骤 (1)确定函数 f (x)的定义域 (2)求 f (x) (3)在定义域内解不等式 f (x)0,得单调递增区间 (4)在定义域内解不等式 f (x)0,得单调递减区间 1已知函数 f (x)x22cos x,若 f (x)是 f (x)的导函数,则函数 f (x)的图象大致是( ) A B C D A 设 g(x)f (x)2x2sin x,则 g(x)22cos x0. 所以函数f (x)在R上单调递增,故
6、选A 2(2020 河北九校联考)函数yx 3 x 2ln x的单调递减区间是 ( ) A(3,1) B(0,1) C(1,3) D(0,3) B y1 3 x2 2 x x22x3 x2 (x0), 令 y0 得 x22x30 x0 ,解得 0 x1,故选 B 3(2019 天津高考改编)函数 f (x)excos x 的单调递增区间为 _ 2k3 4,2k 4 (kZ) f (x)excos xexsin xex(cos x sin x), 令 f (x)0 得 cos xsin x, 2k3 4x2k 4,kZ, 即函数 f (x)的单调递增区间为 2k3 4,2k 4 (kZ) 点评:
7、(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降, 函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度, 也可用来 研究导函数图象的上升与下降 (2)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极 易出错 考点二 含参数的函数的单调性 解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影 响进行分类讨论 (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定 导数为 0 的点和函数的间断点 典例 1 已知函数 f (x)ex(exa)a2x. (1)讨论 f (x)的单调性; (2)若 f (x)0,求 a 的取值范围 解 (1)函数
8、 f (x)的定义域为(,), f (x)2e2xaexa2(2exa)(exa) 若 a0,则 f (x)e2x在(,)上单调递增 若 a0,则由 f (x)0 得 xln a. 当 x(,ln a)时,f (x)0; 当 x(ln a,)时,f (x)0. 故 f (x)在(,ln a)上单调递减, 在(ln a,)上单调递增 若 a0,则由 f (x)0 得 xln a 2 . 当 x ,ln a 2 时,f (x)0; 当 x ln a 2 , 时,f (x)0. 故 f (x)在 ,ln a 2 上单调递减, 在 ln a 2 , 上单调递增 (2)若 a0,则 f (x)e2x,所
9、以 f (x)0. 若 a0,则由(1)得,当 xln a 时,f (x)取得最小值,最小值 为 f (ln a)a2ln a, 从而当且仅当a2ln a0,即 0a1 时,f (x)0. 若 a0,则由(1)得,当 xln a 2 时,f (x)取得最小值, 最小值为 f ln a 2 a2 3 4ln a 2 ,从而当且仅当 a2 3 4ln a 2 0, 即2e 3 4a0时,f (x)0. 综上,a的取值范围是2e 3 4,1 点评: 要使 f (x)0, 只需 f (x)min0; 要使 f (x)0, 只需 f (x)max0. 跟进训练 已知函数 f (x)ln xax2(2a1
10、)x.若 a0,试讨论函数 f (x) 的单调性 解 因为 f (x)ln xax2(2a1)x, 所以 f (x)2ax 22a1x1 x 2ax1x1 x , 由题意知函数 f (x)的定义域为(0,), 令 f (x)0 得 x1 或 x 1 2a, (1)若 1 2a1,即 a 1 2, 由 f (x)0 得 x1 或 0 x 1 2a, 由 f (x)0 得 1 2ax1,即函数 f (x)在 0, 1 2a ,(1,)上单 调递增,在 1 2a,1 上单调递减; (2)若 1 2a1,即 0a 1 2,由 f (x)0 得 x 1 2a或 0 x1, 由 f (x)0 得 1x 1
11、 2a,即函数 f (x)在(0,1), 1 2a, 上单调递增,在 1, 1 2a 上单调递减; (3)若 1 2a1,即 a 1 2,则在(0,)上恒有 f (x)0, 即函数 f (x)在(0,)上单调递增 综上可得:当 0a1 2时,函数 f (x)在(0,1)上单调递增,在 1, 1 2a 上单调递 减,在 1 2a, 上单调递增; 当 a1 2时,函数 f (x)在(0,)上单调递增; 当 a1 2时,函数 f (x)在 0, 1 2a 上单调递增,在 1 2a,1 上单调递减,在(1, )上单调递增 考点三 已知函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
12、(1)可导函数在区间D上单调, 实际上就是在该区间上f (x)0(或 f (x)0)恒成立,从而构建不等式,求出参数的取值范围,要注意 “”是否可以取到 (2)可导函数在区间 D 上存在单调区间,实际上就是 f (x)0(或 f (x)0)在该区间上存在解集,即 f (x)max0(或 f (x)min0)在该区间 上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围 (3)若已知 f (x)在区间 D 上的单调性,区间端点含有参数时,可 先求出 f (x)的单调区间,令 D 是其单调区间的子集,从而求出参数 的取值范围 典例 2 已知函数 f (x)ln x,g(x)1 2ax 22x(a0)
13、(1)若函数 h(x)f (x)g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (2)若函数 h(x)f (x)g(x)在1,4上单调递减, 求 a 的取值范围 解 (1)h(x)ln x1 2ax 22x,x(0,), 所以 h(x)1 xax2,由于 h(x)在(0,)上存在单调递减区间, 所以当 x(0,)时,1 xax20 有解, 即 a 1 x2 2 x有解 设 G(x) 1 x2 2 x, 所以只要 aG(x)min即可 而 G(x) 1 x1 2 1, 所以 G(x)min1. 所以 a1 且 a0,即 a 的取值范围是(1,0)(0,) (2)由 h(x)在1,4上单调递减得,
14、 当 x1,4时,h(x)1 xax20 恒成立, 即 a 1 x2 2 x恒成立 所以 aG(x)max,而 G(x) 1 x1 2 1, 因为 x1,4,所以1 x 1 4,1 , 所以 G(x)max 7 16(此时 x4), 所以 a 7 16且 a0,即 a 的取值范围是 7 16,0 (0,) 母题变迁 1本例条件不变,若函数 h(x)f (x)g(x)在1,4上存在单调递 减区间,求 a 的取值范围 解 h(x)在1,4上存在单调递减区间, 则 h(x)0 在1,4上有解, 所以当 x1,4时,a 1 x2 2 x有解, 又当 x1,4时, 1 x2 2 x min1, 所以 a
15、1 且 a0,即 a 的取值范围是(1,0)(0,) 2本例条件不变,若函数 h(x)f (x)g(x)在1,4上不单调,求 a 的取值范围 解 因为 h(x)在1,4上不单调, 所以 h(x)0 在(1,4)上有解, 即 a 1 x2 2 x有解, 令 m(x) 1 x2 2 x,x(1,4), 则1m(x) 7 16, 所以实数 a 的取值范围为 1, 7 16 . 点评:注意区分在区间a,b上单调递增(减)和在区间a,b上存 在单调递增(减)区间这两种说法,一个转化为不等式恒成立,一个转 化为不等式有解 跟进训练 已知函数 f (x)ln x,g(x)1 2axb. (1)若 f (x)
16、与 g(x)的图象在 x1 处相切,求 g(x); (2)若 (x)mx1 x1 f (x)在1,)上是减函数,求实数 m 的 取值范围 解 (1)由已知得 f (x)1 x, 所以 f (1)11 2a,所以 a2. 又因为 g(1)1 2abf (1)0,所以 b1.所以 g(x)x1. (2)因为 (x)mx1 x1 f (x)mx1 x1 ln x 在1,)上是减 函数 所以 (x)x 22m2x1 xx12 0 在1,)上恒成立, 即 x2(2m2)x10 在1,)上恒成立, 则 2m2x1 x,x1,), 因为 x1 x2,当且仅当 x1 时取等号, 所以 2m22,即 m2. 故
17、实数 m 的取值范围是(,2 考点四 函数单调性的应用 构造函数解不等式或比较大小 一般地,在不等式中若同时含有 f (x)与 f (x),常需要通过构造 含 f (x)与另一函数的和、差、积、商的新函数,再借助导数探索新函 数的性质,进而求出结果 常见构造的辅助函数形式有: (1)f (x)g(x)F(x)f (x)g(x); (2)xf (x)f (x)xf (x); (3)xf (x)f (x) f x x ; (4)f (x)f (x)exf (x); (5)f (x)f (x) f x ex . 比较大小 典例 31 (1)已知定义域为 R 的奇函数 yf (x)的导函数为 y f
18、(x),当 x0 时,xf (x)f (x)0,若 af e e ,bf ln 2 ln 2 ,c f 3 3 ,则 a,b,c 的大小关系正确的是( ) Aabc Bbca Cacb Dcab (2)已知函数yf (x)对于任意的x 0, 2 满足f (x) cos xf (x)sin x1ln x,其中 f (x)是函数 f (x)的导函数,则下列不等式成立的是 ( ) A 2f 3 f 4 B 2f 3 f 4 C 2f 6 3f 4 D 2f 3 f 6 (1)D (2)B (1)设 g(x)f x x ,则 g(x)xf xf x x2 , 当 x0 时,xf (x)f (x)0,则
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