安徽省皖江名校联盟2021届高三下学期2月开年考理科数学试题.docx
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1、姓名_ 座位号_ (在此卷上答题无效)(在此卷上答题无效) 数学(理科)数学(理科) 本试卷共 4 页,23 题(含选考题) 。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项:考生注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位 置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在
2、答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答 题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交 一、一、选择题:本题共选择题:本题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分。在每小题给出的四个选项中分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求 的。的。 1.若集合 3 0 x Mx x , 2 lg81Nxxx,则MN A.0,1 B.1,3 C.0,2 D.2,1 2.若复数z满足2iiza (aR,i是虚数单位),且4z ,则a A.3 B.3 C.3 7 D.7 3 3.函
3、数 ln, 10 e ,01 ax xx f x x 剟 剟 (aR,e是自然对数的底数)且 12f,则 4 1 log 3 e ff A.13 B.13 C.13 D.13 4.若数列 n a各项均为正数,满足 2 * 1 1 ,2 n n n a ann a N,且 2020 2 15 a, 2022 2 5 a,则 2021 a A. 2 5 B. 6 5 C. 2 3 15 D. 2 3 5 5.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得 了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照0,0.5,0.5,1,4,4.
4、5分成 9 组,制成了 如图所示的频率分布直方图。则估计全市居民月均用水量的中位数是 A.2.25 吨 B.2.24 吨 C.2.06 吨 D.2.04 吨 6.执行如图所示的程序框图,则输出s的值为 A.4 B.8 C. 20 3 D. 112 15 7.已知圆锥的顶点为A,过母线AB、AC的截面面积是2 3。若AB、AC的夹角是60,且AC与圆锥底 面所成的角是30,则该圆锥的表面积是 A.2 2 B. 2 36 C. 4 26 D. 4 36 8.设0,将函数 sin4 3 f xx 的图象向左平移 3 个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到 函数 yg x的图象。若 g x在区间,
5、12 3 上单调递增,在区间 5 , 3 12 上单调递减,则 A. 3 6 2 k ,kN B. 3 6 2 k ,kN C. 3 2 D.3 9.有 8 位学生春游,其中小学生 2 名、初中生 3 名、高中生 3 名。现将他们排成一列,要求 2 名小学生相邻、3 名初中生相邻,3 名高中生中任意两名都不相邻,则不同的排法种数有 A.288 种 B.144 种 C.72 种 D.36 种 10.若关于x的不等式 41 4 2 x ax 对任意2x恒成立,则正实数a的最大值是 A.1 B.2 C.3 D.4 11.设aR,e为自然对数的底数,函数 esin x f xax在0,内有且仅有一个零
6、点,则a A.e B.1 C. 4 e D. 4 2e 12.已知抛物线 2 :2C ypx的焦点F与双曲线 22 1621xy的右焦点重合,斜率为k的直线l与C的两个 交点为A,B。若4AFBF,则k的取值范围是 A. 1515 , 55 B. 1515 ,00, 55 C. 1515 , 33 D. 1515 ,00, 33 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分。分。 13.命题“x R, 2 22xx ”的否定是_。 14.设点O是ABC外接圆的圆心,3AB,且4AO BC。则 sin sin B C 的值是_。 15.如图 1,在一
7、个正方形 1234 S S S S内,有一个小正方形和四个全等的等边三角形。将四个等边三角形折起来, 使 1 S, 2 S, 3 S, 4 S重合于点S,且折叠后的四棱锥SABCD的外接球的表面积是16(如图 2),则四棱锥 SABCD的体积是 16.已知 n S是各项均不为零的等差数列 n a的前n项和,且 2* 21nn San N,使不等式 123 1 a a a 2 23434512 11111 42 nnn nn a a aa a aa aa 成立,则实数的最大值是_。 三三.解答题:共解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或
8、演算步骤。第 17-21 题为必考题题为必考题,每个试题考生都每个试题考生都 必须作答。第必须作答。第 22,23 题为选考题题为选考题,考生根据要求作答。考生根据要求作答。 (一)必考题:共(一)必考题:共 60 分。分。 17.(12 分) 在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量2,sinmbcC,向量sin,2nBcb,且满足 2 sinm naA。 (1)求角A的大小; (2)若ABC外接圆的半径是 1,求当函数 cos24cossinf BBAB取最大值时ABC的周长。 18.(12 分) 如图 3,在ABV中,1ACBCCV,ACVB于C。现将ABV沿AC折叠,使VA
9、CB为直二 面角(如图 4),D是棱AB的中点,连接CD、VB、VD。 (1)证明:平面VAB平面VCD; (2)若棱AB上有一点E满足 1 4 BEBA,求二面角C VEA的余弦值。 19.(12 分) 已知椭圆 22 2 :10 12 xy Cb b 中,以2,1Q 为中点的弦AB所在直线的方程是240 xy。 (1)求椭圆C的方程; (2)设点,0P m为椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为 2 3 b 的直线l交椭圆C于S,T两点,证明: 22 PSPT为定值。 20.(12 分) 已知函数 2 lnf xxaxx,其中0a。 (1)讨论 f x的单调性; (2)若函数 2 e1ln
10、 x g xf xa xx,证明:当0 x时, 3 1 1 2 g xx。 21.(12 分)分) 新冠肺炎,全民防控。冠状肺炎的感染主要是人与人之间进行传播,可以通过飞沫、粪便、接触等进行传染。 冠状肺炎感染人群年龄大多是 40 岁以上的人群。该病毒进入人体后有潜伏期(潜伏期是指病原体侵入人体 至最早出现临床症状的这段时期) ,潜伏期越长,感染到他人的可能性越高。 现对 200 个病例的潜伏期 (单位: 天)进行调查,统计发现潜伏期的中位数为 5,平均数为 7.1,方差为 506。一般认为超过 8 天的潜伏期属于“长 潜伏期”,按照年龄统计样本,得到下面的2 2列联表: 长潜伏期 非长潜伏期
11、 40 岁以上 30 110 40 岁以上及 40 岁以下 20 40 (1)能否有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关? (2)假设潜伏期服从正态分布 2 ,N ,其中近似为样本平均数, 2 近似为样本方差。 (i)很多省份对 入境人员一律要求隔离 14 天,请用概率和统计的知识解释其合理性; ()将样本频率近似当作概率,设另随 机抽取的 25 个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是X, *,0 25Xk kkN剟的概率记作 *,0 25P XkkkN剟,试求X的数学期望以及当P Xk取最大值时k的值。 附: 2 2 n adbc K abcdacbd 。 2 P Kk 0.100 0.05
12、0 0.010 k 2.706 3.841 6.635 若随机变量Z服从正态分布 2 ,N ,则0.6826PZ,22PZ 0.9544,330.9974PZ,5.062.25。 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。 22.(10 分)选修分)选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 2cos 3sin k k xt yt (t为参数)以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极 轴建立极坐标系,且在两坐标
13、系下长度单位相同。曲线 2 C的极坐标方程为2 cos8 sin50。 (1)当1k 时, 1 C是什么曲线? (2)当4k 时,求 1 C与 2 C的公共点的直角坐标。 23.(10 分)选修分)选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 设aR, 3f xxxa。 (1)当2a时,解不等式 1f x ; (2)若对于任意实数x,不等式 2f xa恒成立,求a的取值范围。 理科数学参考答案理科数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A C D C D C B D D A 1.【解析解析】因为03Mxx, 2 2021Nx xxx xx 或, 所以13
14、1,3MNxx。 2.【解析解析】因为 1 2222 aiiaia zi i ,所以 2 11 4 44 za,3 7a 。 3.【解析解析】由 12f,ln2a 。 ln2 ln, 10, ,01, x xx f x ex 即 ln, 10, 2 ,01, x xx f x x 于是 4 l o g3 4 11 log 3ln213ff ee 。 4.【解析解析】由条件 2 1 1 n n n a a a 知,数列 n a是等比数列,则其公比满足 2 2022 2020 3 a q a ,3q 。因此 20212020 2 3 15 aaq。 5.【解析解析】由频率分布直方图可知,月用水量在
15、0,0.5的频率为0.08 0.50.04。 同理,在0.5,1,1.5,2,2,2.5,3,3.5,3.5,4,4,4.5等组的频率分布为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04, 0.02。由10.040.080.21 0.250.060.040.022 0.5 a ,解得a0.30,设中位数为x吨。 因 为 前 5 组 的 频 率 之 和 为0.04 0.08 0.15 0.21 0.250.730.5, 前 4 组 的 频 率 之 和 为 0.040.080.150.210.480.5,所以22.5x 。由0.5020.5 0.48x,解得2.04x。 6.【解析解析】0k 时
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