高中数学图表信息类问题.doc

1、专题讲义：高中数学图表信息类问题 所谓图表信息类问题，就是根据实际问题中所呈现出来的图象、图表信息，要求考生依 据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题，主要考查同学们识图看表 的能力以及处理信息的能力解答这类试题的关键是对图表信息认真分析、合理利用，按照 题意要求，准确地输出信息 一、一、图表信息与推理图表信息与推理 合情推理是归纳推理与类比推理的统称，具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作 用其实质是“发现”，它是发展我们创新意识的重要途径，随着课程改革的推进，近几年 的高考题对利用图表信息进行合情推理的考查有所加强 例 1 把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去第

2、偶数行中的奇数和第奇数 行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列， 得到一个数列an，若 an2 015，则 n_ 解析 图乙中第 k 行有 k 个数，第 k 行最后一个数为 k2，前 k 行共有k（k1） 2 个数， 由 44441 936，45452 025 知 an2 015 出现在第 45 行，第 45 行第一个数为 1 937， 第2 0151 937 2 140(个)数为 2 015.所以 n44（441） 2 401 030. 答案 1 030 规律方法 本题考查归纳推理归纳推理是通过对特例的分析来引出普遍结论的一种 推理形式，像本题这样通过

3、观察、试验、思考，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性 的结论，乃是科学发现的最基本的方法之一 二、二、图表信息与统计图表信息与统计 统计这一章出现了许多图与表，如频率分布直方图、折线图、茎叶图、随机数表、频率 分布表等 例 2 某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户 调查，每个用户在使用了团购产品后可以对产品进行打分，最高分是 10 分上个月该网站 共卖出了 100 份团购产品， 所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值， 将这些产品按照 得分分成以下几组：第一组0，2)，第二组2，4)，第三组4，6)，第四组6，8)，第五组8， 10，得到的频率分布直方图如

4、图所示： (1)分别求第三、四、五组的频率； (2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取 6 个产品 已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率； 某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买，设第 4 组中有 X 个产品被购买，求 X 的分布列和数学期望 解 (1)第三组的频率是 0.15020.3；第四组的频率是 0.10020.2；第五组的频 率是 0.05020.1. (2)由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到 60.53 个，而第三组共有 1000.330 个，所以甲、乙两产品同时被选中的概率为 PC 1 28 C330 1 145. 在分层抽样

5、的过程中，第四组应抽到 2 个第四组共有 X 个产品被购买，所以 X 的 取值为 0，1，2. P(X0)C 1 3C 2 3 C26 6 15 2 5；P(X1) C13C12C12 C26 8 15；P(X2) C22 C26 1 15. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 X 的数学期望 E(X) 8 15 1 152 2 3. 规律方法 频率分布直方图反映样本的频率分布；作频率分布直方图的一般步骤为： (1)计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；(2)决定组距与组数；(3)将数据分组； (4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图 三、三、图表信息

6、与方程、不等式图表信息与方程、不等式 根据图表信息列方程或不等式解决的问题， 大都通过图象、 表格或几何图形的形状特征、 位置特征、变化趋势以及数据、数量特征等方面来呈现信息；要求根据图表信息得到方程或 不等式，由此解决问题，其根本在于得到数量之间的关系 例 3 根据表格中的数据，可以判定方程 exx20 的一个根所在的区间为(k，k 1)(kN)，则 k 的值为_. x 1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x2 1 2 3 4 5 解析 设 f(x)exx2， 由已知表格可得 f(1)0.3710， f(0)120， f(1)2.72 30，f(3)20.

7、0950，故 f(1) f(2)0，所以函数 f(x)exx2 的一个 零点即方程 exx20 的一个根所在的区间为(1，2)，即 k 的值为 1. 答案 1 规律方法 函数零点所在区间的判定，可从两方面求解：一是根据函数零点存在性定 理求解；二是根据函数图象求解 四、四、图表信息与函数图表信息与函数 图表信息与函数、三角函数结合是高考的热点，求解的关键是抓住图形的一些信息，利 用其信息所给数量求解问题 例 4 某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具 体方法：每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元；超过 4 吨而不超过 6 吨的，超出 4 吨的部 分每吨 4

8、 元；超过 6 吨的，超出 6 吨的部分每吨 6 元 (1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系式； (2)该地一家庭记录了去年 12 个月的月用水量(xN*)如下表： 月用水量 x(吨) 3 4 5 6 7 频数 1 3 3 3 2 请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元)； (3)今年干旱形势仍然严峻， 该地政府号召市民节约用水， 如果每个月消费不超过 12 元， 该家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地 100 户的月用水量作出如下统计表： 月用水 量 x(吨) 1 2 3 4 5 6 7 频数 10 20 16 16 15 13 10 据此估计该

9、地“节约用水家庭”的比例 解 (1)y 关于 x 的函数关系式为 y 2x，0 x4， 4x8，46. (2)由(1)知：当 x3 时，y6； 当 x4 时，y8；当 x5 时，y12； 当 x6 时，y16；当 x7 时，y22. 所以该家庭去 年支付水费的月平均 费用为 1 12 (61 83 123 163 222)13(元) (3)由(1)和题意知：当 y12 时，x5，所以“节约用水家庭”的频率为 77 10077%，据 此估计该地“节约用水家庭”的比例为 77%. 规律方法 (1)一些实际问题，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建 分段函数模型，如本例 (2)解答函数应

10、用题框图表示如下： 巩固练习 1如图是一个几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，侧视图为一直角三角形， 俯视图为一直角梯形，则此几何体的体积是( ) A.1 2 B. 2 C. 2 2 D1 解析：选 A.由三视图可知该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，上、下底长分别为 1、 2，高为 1，顶点在底面的射影是底面直角梯形较长的底边的中点，四棱锥的高为 1，因此该 几何体的体积为1 3 1 2(12)11 1 2. 2把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设 aij(i，jN*)是位于这个三 角形数表中从上往下数第 i 行、 从左往右数第 j个数， 如 a6318， 若 aij2 01

11、6， 则 ij( ) 1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 A77 B78 C79 D80 解析：选 D.观察此三角形数表可得到以下信息：(1)奇数行中都是奇数，偶数行中都是 偶数；(2)第一行有 1 个数，第二行有 2 个数，第三行有 3 个数，依次类推，第 2n 行有 2n 个数；(3)单看偶数行，第 2 行、第 4 行共有 6 个数，而第 4 行最后一个数为 1262， 第 2 行、第 4 行、第 6 行共有 12 个数，而第 6 行最后一个数为 24122，依次类推， 前 2n(nN*)行(包括第 2n 行)共有 2

12、462n（22n）n 2 n2n(个)偶数， 第 2n 行 的最后一个数为 2n22n， 当 n32时， 2n22n2 112， 故 2 016 应在第 64行 又2 1122 016 2 48，所以 2 016 应在第 64 行从左往右数第 644816(个)数，所以 ij641680. 3在直角坐标系 xOy 中，一个质点从 A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过点 B(a3，a4)， C(a5，a6)，D(a7，a8)，按此规律一直运动下去，则 a2 013a2 014a2 015_ 解析：数列an的奇数项满足 a11，a31，a52，a72，可得 a4k3k， a4k1k；偶数项满足

13、a21，a42，a63，a84，可得 a2kk.所以 a2 013a2 014 a2 015a45043a21 007a450415041 0075041 007. 答案：1 007 4已知函数 f(x)的定义域为2，)，部分对应值如下表，f(x)为 f(x)的导函数，y f(x)的图象如图所示，若两正数 a，b 满足 f(2ab)1，则b3 a3的取值范围是_. x 2 0 4 f(x) 1 1 1 解析：由 yf(x)的图象知，f(x)在(2，0)上递减，在(0， )上递增 由于 f(2)1，f(4)1， 22ab4. a，b 满足 02ab0， b0， 作出点(a，b)的可行域(如图中

14、阴影部分) b3 a3可以看作动点(a，b)与点 C(3，3)连线的斜率故 b3 a3 3 5， 7 3 . 答案： 3 5， 7 3 5某学生对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示 30 人的饮食指 数说明：图中饮食指数低于 70 的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于 70 的人，饮食以肉 类为主 (1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其 30 位亲属的饮食习惯； (2)根据以上数据完成如下 22 列联表： 主食蔬菜 主食肉类 总计 50 岁以下 50 岁以上 总计 (3)能否有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析 附：K2 n（adbc）2 （ab）（

15、cd）（ac）（bd）(其中 nabcd 为样本容量) P(K2k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：(1)30 位亲属中 50 岁以上的人多以食蔬菜为主，50 岁以下的人多以食肉为主 (2)22 列联表如下： 主食蔬菜 主食肉类 总计 50 岁以下 4 8 12 50 岁以上 16 2 18 总计 20 10 30 (3)K230（8128） 2 12182010 106.635， 所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关

16、 6行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才停止，这 段距离称为“刹车距离”为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过 140 km/h)，对这 种汽车进行测试，测得数据如下表： 刹车时车速(km/h) 0 10 20 30 40 50 60 刹车距离(m) 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8 (1)以车速为 x 轴，刹车距离为 y 轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑 的曲线连接这些点，得到函数的大致图象； (2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式； (3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为 46.5 m，请推测刹 车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ 解：(1) (2)依据图象，设函数解析式为 yax2bxc，将表中的前三组数值代入，得 c0， 100a10bc0.3， 400a20bc1.0， 解得 a0.002， b0.01， c0， 函数的解析式为 y0.002x20.01x(0 x140) 经检验，表中的其他各组值也符合此解析式 (3)当 y46.5 时，即 0.002x20.01x46.5， x25x23 2500， 解得 x1150，x2155(舍去)， 推测刹车时的速度为 150 km/h. 150140，发生事故时，汽车超速行驶