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1、医用高等数学 医用高等数学全册医用高等数学全册 完整教学课件完整教学课件 医用高等数学 第一章 函数函数 极限极限 研究的主要对象 研究的基础和方法 函数与极限 函数是变量之间相互联系、相互制约关系的抽象表 示，是事物运动、变化及相互影响的复杂关系在数量方 面的反映；极限刻画了变量的变化趋势，是研究函数的 重要方法本章内容主要包括函数、极限和函数的连续 性等基本概念，以及它们的主要性质 医用高等数学 二、二、初等函数初等函数 三、分段函数三、分段函数 一、函数的概念一、函数的概念 第一节 函数 四、函数的几个简单性质四、函数的几个简单性质 医用高等数学 一、函数的概念一、函数的概念 变量：变量

2、：在过程中可取不同数值的量。在过程中可取不同数值的量。 常量：常量：在某过程中始终保持同一数值的量。在某过程中始终保持同一数值的量。 常用字母常用字母 表示。表示。 .,zyx 常用字母常用字母 表示。表示。 , , .a b c 例如：例如：人的身高，在研究少儿发育成长的过程中是人的身高，在研究少儿发育成长的过程中是 变量，而在研究成人的健康状况时通常认为是常量变量，而在研究成人的健康状况时通常认为是常量 注意：注意：一个量究竟是常量还是变量，不是绝对的，一个量究竟是常量还是变量，不是绝对的， 要根据具体过程和具体条件来确定要根据具体过程和具体条件来确定 医用高等数学 函数概念的历史函数概念

3、的历史 最早提出函数 ()function 概念的是17世纪德国数学家 莱布尼茨莱布尼茨:函数”一词表示幂，如 23 xxx、 、 1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家伯努利伯努利把函数定义 为“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。” 伯努利所强调的是函数要用公式 医用高等数学 函数概念的历史函数概念的历史 1755年瑞士数学家欧拉欧拉把函数定义为“如果某些变量， 以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化 时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后 面变量的函数。”。在欧拉的定义中，就不强调函数需要 用公式表示了。他认为“函数是随意画出的一条曲线”。 医用高等数学 1

4、821年，法国数学家柯西柯西给出了类似现在中学课本的函数 定义：“在某些变数间存在者一定的关系，当一经给定某 一变数的值，其他变数的值可随这而确定时，则将最初的 表示叫自变量，其他各表示叫做函数。” 函数概念的历史函数概念的历史 医用高等数学 1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基罗巴契夫斯基进一步提出函数的 的定义：“ x的函数是这样的一个数，它对于每一个 x 都有确定的值，并且随着 x一起变化。函数可以由解析式 给出，也可以由几个条件给出，这个条件提供了一种寻求 全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍 然是未知的。”，这个定义指出了对应关系（条件）的必这个定义指出了对应关系（条件）

5、的必 要性要性，利用这个关系，可以来求出每一个 x的对应值。 医用高等数学 1837年，德国数学家狄里克雷狄里克雷认为怎样去建立 x与 y 之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果 对于 x的每一个值， y 总有一个完全确定的值与之对应， 则 y是 x的函数。”，这个定义抓住了概念的本质属性，这个定义抓住了概念的本质属性， 因此，这个定义曾被比较长期的使用着。 医用高等数学 自从德国数学家康托尔康托尔的集合论被大家接受后，用集 合对应关系来定义函数概念竞赛现在课本里用的了。 医用高等数学 按照一定的规律 定义域 Dxxfy, )( 自变量 因变量 x 则称 是 的函数, yx 记为

6、DxxfyyW),( 因变量与自变量之间的对应规律称为函数关系; 所有函数值的集合称为函数的值域。 与自变量的值相对应的因变量的值称为函数值; 定义定义1-1 设 xy、 是同一变化过程中的两个变量， 如果对 于变量 的每一个允许的取值， 变量 y 总有一个确定的值与之对应， 医用高等数学 在实际问题中的定义域是由实际问题的实际意义决 定的。 (2) 定义域：定义域： (3)对应规律对应规律的表示方法: 公式法 、图像法 、列表法。 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. (1) 函数的两个要素：函数的两个要素： 定义域和对应规律. 注意：注意： 例例11 在出生后16个月期间内，正常婴儿的体

7、 重近似满足以下关系式： 30.61,6yxx公式法式法 医用高等数学 例例1 12 2 监护仪自动记录了某患者一段时间内体温 T 的变化曲线，如下图（图像法）所示 例例13 某地区统计了某年112月中当地流行性 出血热的发病率，见表1-1（表格法） t T o 37 0 t 0 ()T t t（月份） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Y（） 16.6 8.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0 医用高等数学 二、函数的几种简单特性二、函数的几种简单特性 1有界性有界性 设函数 ( )f x 在区间 ( , )a b内有定

8、义，如果存在一个正数 M，使对所有的 ( , )xa b ，恒有 ( )f xM ，则称函数 ( )f x 在 ( , )a b内是有界的如果不存在这样的正数 M，则称 ( )f x 在 ( , )a b 内是无界的 有界有界 M -M y x o y=f(x) b a y 无界无界 M -M x o 0 x b a 医用高等数学 例如：例如： sin x在 （一，+）内是有界的； 1 y x 在 （1，+）内是有界的，但在（o，1）内是无界的 2单调性单调性 设 12 xx、 是函数 ( )f x的定义区间 ( , )a b 内的任意两点， 且 12 xx若 12 ( )()f xf x ，

9、则称 ( )f x在 ( , )a b内是单调 递增的；若 12 ( )()f xf x，则称 ( )f x在 ( , )a b内是单调递 减的 ( )yf x 1 ()f x 2 ()f x x y o a b ( )yf x 1 ( )f x 2 ()f x x y o b a 增函数增函数 减函数减函数 医用高等数学 例如例如： 2 x 在（一，）内是单调递增的； 2 x在 （，）内是单调递减的，而在（0，）内是单 调递增的 3奇偶性奇偶性 如果对于函数 ( )f x 定义域内的任意点 x，恒有 ()( )fxf x ，则称 ( )f x是偶函数；如果对于函数 ( )f x 定义域内的任

10、意点 x ，恒有 ( )( )fxf x ，则称 ( )f x为 奇函数偶函数的图像是关于 y轴对称的，而奇函数的图 像是关于坐标原点对称的 医用高等数学 y x ()fx ( )yf x o x -x ( )f x ()fx y x ( )f x o x -x ( )yf x 偶函数偶函数 奇函数奇函数 例如：例如： 24 322cos xx xxx 、 都是偶函数；而 3 222sin xx xxx 、 都是奇函数 医用高等数学 4 4周期性周期性 对于函数 ( )f x，如果存在正的常数 T，使得 ( )()f xf xT恒成立，则称 ( )f x为周期函数，满足这 个等式的最小正数 T

11、，称为函数的周期 例如例如： sincosxx、都是周期函数，周期为 2 ; tancotxx、 也都是周期函数，周期为 . x O 2 y 2 周期为 周期为 医用高等数学 (5). 反函数反函数（ inverse function ） Dxxfy, )( 的反函数记成 )(,)( 1 Dfxxfy , 其反函数 (减) (减) . 1) yf (x) 单调递增 且也单调递增 性质: 2) 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 医用高等数学 2) 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 , ),(,exy x 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线 对称

12、. 指数函数 x y O )(xfy xy ),(abQ 医用高等数学 反三角函数讲解 医用高等数学 三、初等函数三、初等函数 1基本初等函数基本初等函数 （1）常数函数 yC（ C为任意实数）， （2）幂函数 a yx（ a为任意实数）， （3）指数函数 x ya(0,1),aa （4）对数函数 log(0,1), a yxaa （5）三角函数 sincostanyxyxyx、 cotseccscyxyxyx、， （6）反三角函数 arcsinarccosyxyx、 arctancotyxyarcx、等。 医用高等数学 三角函数中常用公式三角函数中常用公式 和差化积公式： sinsin2si

13、ncos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 医用高等数学 积化和差公式 1 sincossin()sin() 2 1 cossinsin()sin() 2 1 coscoscos()cos() 2 1 sinsincos()cos() 2 注：在后面的极限及微积分计算中可能会用到。 医用高等数学 2 2、复合函数、复合函数 定义定义1-2 设变量 y是变量 u的函数，变量 u又是变量 x的函数，即 ( ),( )yf u ux 如果变量 x的某些值通过变量 u 可以确定变量 y 的值，则称 y 是 x的复合函数 复合函数

14、 ，记为 ( )yfx 变量 u 称为中间变量。复合函数的概念可以推广到 由多个函数，通过多个中间变量传递而构成的情形。 例例14 试通过 lg ,arctan ,1yu uv vx，求 y 医用高等数学 关于 x的复合函数 解：解：自变量、中间变量依次代入得 lgarctan(1)( 1,)yxx ， 例例1 15 5 设 2 ( ),f xx ( ), 1 x g x x 试求： ( ) ( )f g xf f x、 ( ) ( )g f xg x、。 解：解： 2 ( )() 1 x f g x x 224 ( )()f g xxx， 2 2 ( ) 1 x g f x x 1 ( )

15、1 2 1 1 x x x g g x x x x ，。 医用高等数学 如果由两个函数复合而成的函数的定义域为空集， 则此复合函数无意义（或称它们不能复合）例如例如，由 2 arcsin ,2yu ux ，复合而成的函数 2 arcsin(2)yx 因 2 21x，其定义域为空集，即函数 2 arcsin(2)yx 无意义 在后面的很多计算问题中，往往需要把复合函数的 中间变量找出来，把它“分解”为若干个基本初等函数 或由它们通过四则运算而得到的简单函数简单函数形式，以便于 利用公式进行计算 医用高等数学 例例16 将下列复合函数“分解”为简单函数： (1)sin();yabxc (2); 1

16、2kx a y 2 (3)lg(11 cos).yx 解解: (1) sin(),sin ,.yabxcyauubxc (2),12 ,. 12 v kx aa yyuvkx u 2 (3)lg(11 cos),lg ,1,yxyuuv 2 1,cos .vwwx 医用高等数学 练习练习将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数 2 2 1 (1)sin 1 y x 2 2sin (2)ln(tane) xx y 医用高等数学 解解 (1) 最外层是二次方，即 2 2 1 (1)sin 1 y x 2 yu sinuv 次外层是正弦，即 从外向里第三层是幂函数 1 2 vw 2 1wx 最里层

17、是多项式，即 所以，分解得 1 22 2 ,sin ,1yuuv vwwx 医用高等数学 2 2sin (2)ln(tane) xx y 最外层是对数，即 ln ,yu 次外层是正切，即 tanuv 从外向里第三层是指数函数，即 e w v 最里层是简单函数，即 2 2sinwxx 所以，分解得 2 ln ,tan ,e ,2sin w yu uv vwxx 医用高等数学 3 3初等函数初等函数 定义定义1-2 由基本初等函数经过有限次四则运算以 及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为 初等函数初等函数 . 初等函数？ 2 lg 1 x y x tansin(1) x yxxe 医用

18、高等数学 四、分段函数四、分段函数 对于其定义域内自变量 不同的值， 要用两个或两个以 上解析式表示的函数称为分段函数分段函数。 医用高等数学 例例18 2 2 2 ,1 ,10 ( )max, ,01 ,1 xx xx f xx x xx xx 设 求： ( 2)( 0.5)(0)(1.2).ffff、 解：解： 2 ( 2)( 2)4;f ( 0.5)( 0.5)0.5;f (0.5)0.5;f 2 (1.2)1.21.44.f 医用高等数学 10 sgn00 10 x yxx x 称为符号函数符号函数. 它的定义域为 , (,)D 值域 . 1 , 0 , 1W x xxsgn 例例1

19、1- -9 9 函数 绝对值函数绝对值函数 1 -1 x y O 函数图像 医用高等数学 主要内容主要内容 .常量常量 变量变量 函数的概念函数的概念 .基本初等函数基本初等函数 复合函数复合函数 分段函数分段函数 初等函数初等函数 .函数的性质：有界性函数的性质：有界性 单调性单调性 奇偶性奇偶性 周期性周期性 作业：作业： 思考与练习思考与练习 1（1,3） 3. 4. 医用高等数学 反三角函数反三角函数 医用高等数学 (1)什么样的函数有反函数什么样的函数有反函数? 一一对应函数有反函数一一对应函数有反函数 没有没有,因为他不是一一对应函数因为他不是一一对应函数 (2)互为反函数图象之间

20、有什么关系互为反函数图象之间有什么关系 关于直线关于直线y=x对称对称 (4)正弦函数y=sinx在 上有反函数吗？ (3)正弦函数正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗在定义域上有反函数吗? 余弦函数y=cosx在0， 上有反函数吗？ 正切函数y=tanx在 上有反函数吗？ , 2 2 (,) 2 2 医用高等数学 x y o -2 - 2 3 4 1 -1 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ )(sinRxxy 2 2 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许

21、多角。 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ )(sinRxxy sin (,) 2 2 yx x 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数， 同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。 医用高等数学 一、反正弦函数一、反正弦函数 1、定义：、定义：正弦函数正弦函数 的反函数的反函数 sin (,) 2 2 yx x 叫反正弦函数，记作叫反正弦函数，记作 (本义反函数本义反函数) arcsinxy arcsinyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数) 1,1, 2 2 xy 这里的“这里的“sinarca”是一

22、个角的符号”是一个角的符号. . 1,1,arcsin ,xaya 若有 医用高等数学 理解和掌握 符号 arcsin (1)a a （1）、）、 表示一个角表示一个角 （2）、这个角的范围是）、这个角的范围是 , 2 2 （3）、这个角的正弦值是）、这个角的正弦值是 即即 , a arcsina arcsin,. 2 2 a 即 sin(arcsin )( 1,1)aa a (4)arcsin(sin ),. 2 2 aa a 医用高等数学 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -3 -2 -1 1 2 3 2 2 1 -1 sin , 1,1 2 2 yx xy arcs

23、in , 1,1, 2 2 yx xy 2、反正弦函数、反正弦函数y=arcsinx,x-1，1 的图象与性质：的图象与性质： y x yx 2 2 (1)定义域定义域:-1，1。 (2)值域值域: , 2 2 (3)奇偶性奇偶性: 是奇函数， 是奇函数， 其图象关于坐标原点对称，其图象关于坐标原点对称， arcsin()arcsin 1,1. xx x (4)单调性单调性: 是增函数是增函数。 o 医用高等数学 例例1、求下列各式的值：、求下列各式的值： 34 (1)tan arcsin(2)cos arcsin 25 3 (1)tan arcsin 2 tan3 3 ,cos0, 2 2

24、2 3 cos1 sin, 5 43 cos arcsin 55 解：解： 4 (2)arcsin 5 设设 4 sin 5 则则 医用高等数学 x y o -2 - 2 3 4 1 -1 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ cos ()yx xR cos (0, )yx x 余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数， 同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。 医用高等数学 二、反余弦函数二、反

25、余弦函数 1、定义：、定义：余弦函数余弦函数 的反函数的反函数 cos (0, )yx x 叫反余弦函数，记作叫反余弦函数，记作 (本义反函数本义反函数) arccosxy arccosyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数) 1,1,0, xy 这里的“这里的“arccosa”是一个角的符号”是一个角的符号. . 1,1,arccos ,xaya 若有 医用高等数学 理解和掌握 符号 arccos(1)a （1）、）、 表示一个角表示一个角 （2）、这个角的范围是）、这个角的范围是 0, （3）、这个角的余弦值是）、这个角的余弦值是 即即 , a arccosa arccos0,.即

26、 cos(arccos )( 1,1)aa a (4)arccos(cos ),0, .aa a 医用高等数学 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y=cosx,x0 ， y-1，1 y=arccosx,x-1，1 y0， -1 1 2、反余弦函数、反余弦函数y=arccosx,x-1，1的图的图 象与性质象与性质 o x y yx (1)定义域：定义域： -1， ，1。 (2)值域值域: 0，。 (3)奇偶性奇偶性: 非奇非偶函数非奇非偶函数 (4)单调性单调性: 是减函数。是减函数。 arccos()arcco

27、s 1,1. xx x 医用高等数学 arccos()arccos ( 1,1).xx x 证明：证明： 11,x 11,x cos(arccos )cos(arccos ),xxx arccos0, ,arccos0, ,xx arccos()arccos ( 1,1).xx x 证明：证明： 医用高等数学 (1)arccos1_(2)arccos( 1)_ 1 (3)arccos0_(4)arcsin_ 2 12 (5)arccos()_(6)arccos_ 22 23 (7)arcsin()_(8)arcsin_ 22 3 (9)arccos()_ 2 找错题找错题 2 0 3 4 2

28、3 3 4 6 5 6 医用高等数学 tan (,) 2 yx xkkz 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ tan ,(,) 2 2 yx x 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数， 同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。 2 2 医用高等数学 三、反正切函数三、反正切函数 1、定义：、定义：正切函数正切函数 的反函数的反函数 tan (,) 2 2 yx x 叫反正切函数，记作叫反正切

29、函数，记作 (本义反函数本义反函数) arctanxy arctanyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数) ,(,) 2 2 xR y 这里的“这里的“arctana”是一个角的符号”是一个角的符号. . ,arctan ,xaRya若有 医用高等数学 理解和掌握 符号 arctan ()a aR （1）、）、 表示一个角表示一个角 （2）、这个角的范围是）、这个角的范围是 (,) 2 2 （3）、这个角的正切值是）、这个角的正切值是 即即 , a arctana arctan(,). 2 2 a 即 tan(arctan )()aa aR (4)arctan(tan ),(,).

30、2 2 aa a 医用高等数学 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 2、反正切函数、反正切函数y=arctanx,xR 的图象与性质的图象与性质 2 2 Ry x xy ) 2 , 2 (,tan 2 2 ) 2 , 2 (,arctan yRxxy (1)定义域定义域R (2)值域值域: (,) 2 2 (3)奇偶性奇偶性: 是奇函数是奇函数 arctan(-x)=-arctanx(xR) 其图象关于坐标原点对称。 (4)单调性单调性: 是增函数是增函数 yx 医用高等数学 第一章 一、极限的概念一、极限

31、的概念 第二节第二节 极限的概念极限的概念 医用高等数学 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限 第二节 自变量变化过程的六种形式: 二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容本节内容 : 函数的极限 医用高等数学 定义定义14 当自变量 x的绝对值无限增大时，如果 函数 ( )f x 无限趋近于一个常数 A，就称当 x趋于无穷大时， 函数 ( )f x以 A为极限(或收敛收敛于A)，记为 lim( ) x f xA 或 ( )()f xA x 注意：注意： sinyx 和 2 yx ，当 x 若 时，函数 ( )f x 不趋于

32、某一个常数， 此时我们就称 x 时，函数 ( )f x 的极限不存在（或 称为发散发散）例如函数 x 时，它们的极限不存在（或 发散）。 医用高等数学 解:(右图) 所以 0 1 y 1 1x x 当时，1+； 1 1x x 当时，1+； 1 lim 11. x x 1 1,( )1xf x x 例当时 讨论的极限 x x 医用高等数学 单侧极限单侧极限 当自变量 x 的变化沿 x 轴正方向无限增大（或沿 x 轴负方向绝对值无限增大）时，函数 ( )f x 无限趋近于一 个常数 A，则称 A为函数 ( )f x 的单侧极限单侧极限，记为 lim( ) x f xA 或 lim( ) x f x

33、A 例例1-10 求求 当当 时的单侧极限时的单侧极限. ( )arctan,f xx x 解： 2 2 x y lim arctan 2 x x lim arctan 2 x x 医用高等数学 练习、当 时，讨论函数 的极限 解：(右图) 当 时， 当 时， 所以 练习、当 时，讨论函数 的极限。 解:(右图) 当 时， 当 时， 所以 x 2 1 1 )( x xf -7.5-5-2.52.557.5 X 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y x x ; 0)(xf ; 0)(xf . 0 1 1 lim 2 x x x ( )cotf xarcx x x )(xf ; 0)(xf 不存

34、在。xarc x cotlim 2 x 0 y y lim( )lim( )lim( ) xxx f xAf xf xA 医用高等数学 前面的极限定义是用描述性语言,比较粗糙; 精确的定义是利用语言,我们这里不讲; 医用高等数学 ()考察函数考察函数y=xy=x2 2，当，当x x无限趋近于无限趋近于2 2时，函数的变化趋势时，函数的变化趋势 (1)图象图象 x y o 1 1.5 1 2.25 4 2 y=x2 当当xxxx0 0时时, ,函数函数f(x)f(x)的极限的极限 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限 医用高等数学 (2)列表列表 4y x 2.5 2

35、.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 y=x2 6.25 4.41 4.04 4.004 4.0004 4.00004 2.25 0.41 0.04 0.004 0.0004 0.00004 x 1.5 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 y=x2 2.25 3.61 3.96 3.996 3.9996 3.99996 1.75 0.39 0.04 0.004 0.0004 0.00004 4y 医用高等数学 从任何一方面看，当从任何一方面看，当 x2时，函数时，函数y yx x2 2的的 极限是极限是4 4记记 作：作： 2 2 lim4 x x

36、强调：强调：x2x2，包括分别从左、右两侧趋近于，包括分别从左、右两侧趋近于2 2 ( )1,1f xxx 1 lim12 x x ( )21 21f xxx 0 医用高等数学 2 2 lim4 x x 1 lim12 x x 2 1 1 lim 1 x x x 11;, 1 xx x x 因此求函数极限 我 强调自变量 无限接近于1,但是 可以们考虑函数在处没有定义 1 (1)(1) lim 1 x xx x 1 lim12 x x 医用高等数学 邻域邻域 在极限定义的过程中，邻域是常用的一个概念设 0 x 是某一定点， 是大于零的某实数，开区间（ 0 ,x 0 x ）称为点 0 x 的 邻

37、域邻域，点 0 x称为邻域的中心， 称为邻域的半径 定义定义15 设函数 ( )f x在点 0 x的某邻域内有定义（点 0 x 可以除外），当自变量 x 以任意方式无限趋近于定点 0 x 时，若函数 ( )f x无限趋近于一个常数 A，就称当 x趋 近于 0 x 时，函数 ( ) f x以 A为极限(或收敛收敛于A)，记为 0 0 lim( )( )() xx f xAf xA xx 或 医用高等数学 0 lim( ) xx f xA 或 0 ( )()f xA xx 如果当 0 xx时， ( )f x 不趋近一个常数，则称当 0 xx 时， ( ) f x 的极限不存在（或称为发散发散）例如

38、 0 1 lim x x 医用高等数学 0 lim( ) xx f xA 0 ( )xxf x二、当，函数的极限 0 0 1:lim( )( ); ( )( )0 xx f xAf xxx f xAf xA 极限刻画了函数在 趋向 的动态过程 注: 0 00 0 (, 2,() ) :Axf x xx xx趋 函数极限值 与 有无定义无关 与 向肯定不等于 无关; 0 lim( )0 xx f xA 3:A函数极限值 是唯一的 医用高等数学 1 21 4:( ) 11 lim( ) x xx f x x f x 例 求 1 :lim( )2 x f x 解 ( )222210(1)f xxxx

39、 0 00 3: lim( )lim( )lim( ) xx xxxx f xAf xf xA 极限存在的充要条件:左右极限存在且相等,即 2 1 0 x y 2(1)f 2 2 1 0 x y 2 医用高等数学 000 ( )xxxxxf x如果 从 的左侧（）无限趋于 时，函数 单侧极限 0 ( )f xx无限趋于常数A，则称A为函数在点 处的左极限 0 0 lim( )() xx f xAf xA （left limit）,记为或 0 000 0 0 ( ) ( ) (lim ),lim( )() xx xxxxxf x f xx rightitf xAf xA 如果 从 的右侧（）无限

40、趋于 时，函数 无限趋于常数A，则称A为函数在点 处的右极限 记为， x 0 0 x 0 xx 0 xx 医用高等数学 0 lim( ) xx f xA 00 lim( )lim( ) xxxx f xf xA 推论:左右极限不存在或左右极限存在不相等 极限不存在 医用高等数学 练习练习 给定函数 1,0 ( )0,0 1,0 xx f xx xx 讨论 0 x 时 )(xf 的极限是否存在 . 解解: 利用定理 . 因为 )(lim 0 xf x 0 lim(1) x x 1 )(lim 0 xf x 0 lim(1) x x 1 显然 (0 )(0 ),ff 所以 )(lim 0 xf x

41、 存在 . x y O1yx 1 1yx 医用高等数学 3 limsin x x 4 limcos x x sin3 cos4 医用高等数学 3 3数列的极限数列的极限 数列数列是按自然数顺序依次排列的一串数： 123 , n a aaa 数列中每一个数称为数列的项，其中 n a称为第n项， 也称为数列的通项通项数列可简记为 n a以下给出几个 数列的例子： 医用高等数学 1 2 3 4 (2):, 12 3 4 5 n n (3)2:2, 4,6,8,n 1 ( 1) (4):0,1,0,1, 2 n ( 1)11 1 (1): 1, 23 4 n n 医用高等数学 1 2 3 4 (2):

42、, 12 3 4 5 n n (3)2:2, 4,6,8,n 1 ( 1) (4):0,1,0,1, 2 n 数列实际上就是定义在正整数集上的函数： ( ) . n f na 因此，考察当 n 无限增大时数列的变化趋势，即数列的极 限时，可限时，可类比函数类比函数 ( )f x 当自变量当自变量 x 时的情形由时的情形由 此 当 n无限增大时，若 n a 无限趋近于一个常数 A，则称当 ( 1)11 1 (1): 1, 23 4 n n 1 ( ) 2 x f x x ( ) 1 x f x x 医用高等数学 n趋于无穷大时， n a以 A为极限(或收敛收敛于A)，记为 lim n n aA

43、或 () n aA n 当 n 无限增大时，若不存在上述常数 A，则称当 n 趋于无穷大时，数列 n a 极限不存在(或发散发散)。 例如，对于上面4个数列，（1）、（2）的极限存在， ( 1) lim0 n n n 和 lim1 1 n n n 而（3）、（4）的极限不存在对于（3）可记为 lim2 n n 医用高等数学 4 4判别极限存在的法则判别极限存在的法则 法则法则1（夹逼法则） 若在同一极限过程中，三个函数 1( ) ( )f xf x、 及 2( ) fx之间有如下关系： 12 ( )( )( )f xf xfx 且 12 lim( )lim( )f xfxA 则 lim( )f

44、 xA 医用高等数学 222 12 1lim 11 n n nnnn 例 ：求极限 医用高等数学 1 lim 3 +9 nn n n 练习：求极限 医用高等数学 M x 1 x 2 x 3 x n x 1n x a 定理的几何解释定理的几何解释：若数列 n x单调增加且有上界，即 1 nn xx且Mxn) , 2 , 1(n，则在数轴上 n x点随着 的增大 n不断向右方移动，因为有上界，所以这些点必 无限地趋向于某一定a 点，即 n x收敛于a数。 法则法则2 2：（单调有界原理）：（单调有界原理）： 单调增加单调增加（减少减少）有上有上（下下）界的数列必定有极限界的数列必定有极限。 医用高

45、等数学 第一章 一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 第二节 极限运算法则 医用高等数学 一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 ,)(lim,)(limBxgAxf 分别为A和 B,即 定理定理 1.1 . 若 注意注意 : 0 ( ), ( ) , f x g x xx x 的趋向必须是一致的，要同时趋向 ( ), ( )f x g x 的函数必须都要有极限 ( )( )f xg x和 在自变量的同一变化过程中极限 (1)lim( )( )f xg x (2)lim ( ) ( )f x g x ( ) (3)lim

46、 ( ) f x g x 医用高等数学 一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 ,)(lim,)(limBxgAxf 分别为A和 B,即 定理定理 1.1 . 若 说明说明: 可推广到有限个函数相乘,相加的情形 . 特别地特别地 lim( )kf x ( k 为常数 ) 推论推论 1 . lim ( )nf x ( n 为正整数 ) ( )( )f xg x和 在自变量的同一变化过程中极限 lim( )kf x lim( ) n f x n A 医用高等数学 例例1 1 . 53 1 lim 2 3 2 xx x x 求求 解解 )53(lim 2 2 xx x 5lim3limlim

47、 22 2 2 xxx xx 5limlim3)lim( 22 2 2 xxx xx 5232 2 , 03 53 1 lim 2 3 2 xx x x )53(lim 1limlim 2 2 2 3 2 xx x x xx . 3 7 3 12 3 2、求极限方法举例、求极限方法举例 医用高等数学 小结小结: : 1 01 1.( ), nn n f xa xa xa 设则有 000 1 01 lim( )(lim )(lim ) nn n xxxxxx f xaxaxa 1 0010 nn n a xa xa 0 ().f x 0 ( ) 2.( ),()0, ( ) P x f xQ x

48、 Q x 设且则有 0 0 0 lim( ) lim( ) lim( ) xx xx xx P x f x Q x 0 0 () () P x Q x 0 ().f x 0 ()0,.Q x若则商的法则不能应用 医用高等数学 解解 例例2 2 . 32 1 lim 2 2 1 xx x x 求求 .,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x .1后再求极限后再求极限先约去趋向于零的因子先约去趋向于零的因子 x )1)(3( )1)(1( lim 32 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 3 1 lim 1 x x x . 2 1 ) 0 0 (型型 (消去零因子法消

49、去零因子法) 医用高等数学 例例3 求求 ) 1 1 1 3 (lim 3 1 xx x 解解: 原式原式 1 1 )2( lim )1( )1)(2( lim 2 1 3 1 xx x x xx xx )1( )1(3 lim 3 2 1 x xx x )(型型 医用高等数学 解：原式解：原式 3 2 37 22 2 2 lim 2 x x x x x 又例又例 : 求求 22 37 lim 2 x x x 37 22 )22)(22( )37)(37( lim 2 x x xx xx x ) 0 0 (型型 医用高等数学 例例4 4 . 147 532 lim 23 23 xx xx x 求求 解解 .,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x )(型型 ., 3 再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x 3 3 23 23 14 7 53 2 lim 147 532 lim xx xx xx xx xx . 7 2 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法) 医用高等数学 2 5 lim 29 x x x 练习 2 2 51 9 lim 2 x x x x 2 2 51 9 lim() 0 0 lim(2)2 x x x x x 医用高