2021届高三高考数学适应性测试八省联考考后仿真系列卷五（原卷+解析）.zip

2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷五五 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知复数，则共轭复数在复平面对应的点位于（ ） 5 2 i z i z A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳五行术数之源，其中河图的排 列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，其中白圆点表示阳数， 阳数皆为奇数，黑圆点表示阴数，阴数皆为偶数若从这 10 个数中任取 2 个数，则取出的 2 个数中至少 有 1 个偶数的概率为（ ） ABCD 1 2 2 9 4 9 7 9 3.在三角形 ABC 中， “”是“”的（ ） 6 A 1 sin 2 A A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.如图所示的曲线图是 2020 年 1 月 25 日至 2020 年 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲 线图，则下列判断错误的是（ ） A. 1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 1 3 B. 1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C. 2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例 D. 2 月 8 日到 2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增长率 5.如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（ ） f x f x A. B. 2 ( )lnf xxx = lnf xxx C. D. ln ( ) x f x x ( ) x e f x x 6.已知函数，若函数的对称中心为，且， 2 ( )2 3sincos2cos1f xxxx( )f x 0,0 x 0 ,2x 则满足条件的所有的和为（ ） 0 x A. B. C. D. 432 7.已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边 222 ( 0)xyrr 2 2yx,A B,C D 形是矩形，则等于 ( ) ABCDr A. B. C. D. 2 22 5 2 5 8.已知，直线：，：，且，则的最 0a 0b 1 l410 xay 2 l220bxy 12 ll 11 12ab 小值为（ ） A. 2B. 4C. D. 2 3 4 5 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.由选项（ ）可以得到 AB ABCD ABA BCA UABA ACB U 10.若，则下列结论中正确的是（ ） 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx A. B. 0 1a 12345 2aaaaa C. D. 5 012345 3aaaaaa 012345 1aaaaaa-+-+-= - 11.等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（ ） n a 75 3aa nn S A. B. 0d 1 0a C. 当时最小D. 时的最小值为 5n n S0 n S n8 12.已知函数，其中正确结论的是（ ） ln x f xeax A. 当时，有最大值； 1a f x B. 对于任意的，函数是上的增函数； 0a f x0, C. 对于任意的，函数一定存在最小值； 0a f x D. 对于任意的，都有. 0a 0f x 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知随机变量 服从正态分布 N（4，2） ，若 P（2）0.3，则 P（26）_____ 14.已知向量，满足：，则向量的夹角为______. , a b (1, 3)a |2b ()abb , a b 15.四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形， PABCDOPA ABCDABCD ，则球的体积是__________；设、分别是、中点，则平面被 2PAAB4ADOEFPBBCAEF 球所截得的截面面积为__________. O 16.如图，已知为双曲线的右焦点，过点的直线交两渐近线于，两点. F 22 22 10,0 xy ab ab FAB 若，内切圆的半径，则双曲线的离心率为________. 120AOBOABA 3 5 ab r 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.若数列的前项和满足（，） n a nn S2 nn Sa 0*nN （1）证明：数列为等比数列，并求； n a n a 18.在中，角，的对边分别为，.若，且. ABCAABCabc2 cosacbC2bc （1）求； cosC （2）若，求的面积. 2a ABCA 19.在四棱锥中，底面是菱形，且， PABCDABCD60BAD6PA 2AB PBPD . PABC （1）证明：平面. PA ABCD （2）求二面角的余弦值. DPBC 20.2020 年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利， 为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支 持下，西部某县新建了甲乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各 100 件玩具，在抽取中的 200 件玩具中，根据检测结果将它们分成“A”“B”“C”三个等级，AB 等级都是合格 品，C 等级是次品，统计结果如下表所示： 等级ABC 频数2012060 (表一) 厂家合格品次品合计 甲75 乙35 合计 (表二) 在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销. （1）请根据所提供的数据，完成上面的 22 列联表(表二)，并判断是否有 95%的把握认为产品的合格率与 厂家有关？ （2）每件玩具的生产成本为 30 元，AB 等级产品的出厂单价分别为 60 元40 元.另外已知每件次品的销 毁费用为 4 元.若甲厂抽检的玩具中有 10 件为 A 等级，用样本的频率估计概率，试判断甲乙两厂能否都能 盈利，并说明理由. 附：，其中. 2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd nabcd 2 0 Px0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 x0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 21.已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于，两点当直线与轴 F 2 :2(0)C ypx p FCABx 垂直时， | 4AB （1）求抛物线的方程； C （2）设直线的斜率为 1 且与抛物线的准线 相交于点，抛物线上存在点使得直线， ABlMCPPA ，的斜率成等差数列，求点的坐标 PMPBP 22.已知函数. ( )lnf xxx （1）若函数，试研究函数的极值情况； 2 ( )( )(2) (0)g xfxaxax a( )g x （2）记函数在区间内的零点为，记，若 ( )( ) x x F xf x e (1,2) 0 x ( )min( ), x x m xf x e 在区间内有两个不等实根，证明：. ( )()m xn nR(1,) 1212 ,()x xxx 120 2xxx2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷五五 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知复数，则共轭复数在复平面对应的点位于（ ） 5 2 i z i z A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】,; 5 25 12 222 iii zi iii 1 2zi 对应的点的坐标为，在第三象限,故选：C 1, 2 【点睛】本题考查了复数运算、复数概念以及复数几何意义，属于基础题. 2.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳五行术数之源，其中河图的排 列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，其中白圆点表示阳数， 阳数皆为奇数，黑圆点表示阴数，阴数皆为偶数若从这 10 个数中任取 2 个数，则取出的 2 个数中至少 有 1 个偶数的概率为（ ） ABCD 1 2 2 9 4 9 7 9 【答案】D 【解析】由题可知，这 10 个数中 5 个奇数 5 个偶数，所以取出的 2 个数中至少有 1 个是偶数的概率 ,故选：D 112 555 2 10 7 9 C CC P C 【点睛】本题考查了利用古典概型的概率公式求解，其中排列组合问题常用的方法有：一般问题直接法、 相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题 分类法等，这里运用了至少问题间接法，属于基础题. 3.在三角形 ABC 中， “”是“”的（ ） 6 A 1 sin 2 A A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意得，当，可得，而在三角形中，当时，或 1 sin 2 A ABC 1 sin 2 A ，所以“”是“”的充分不必要条件,故选：A 5 6 A 1 sin 2 A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判定,属于基础题. 4.如图所示的曲线图是 2020 年 1 月 25 日至 2020 年 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲 线图，则下列判断错误的是（ ） A. 1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 1 3 B. 1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C. 2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例 D. 2 月 8 日到 2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增长率 【答案】D 【解析】由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得： 对于选项 A 中，1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有 87 例，其中西安 32 例，所以西安所占比例 为，故 A 正确； 321 873 对于选项 B 中，由曲线图可知，1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋 势，故 B 正确； 对于选项 C 中，2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故 C 正 213 11697 确； 对于选项 D 中，2 月 8 日到 2 月 10 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了， 98885 8844 2 月 6 日到 2 月 8 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了， 88747 7437 显然，故 D 错误. 故选：D. 75 3744 【点睛】本题考查了图表的信息处理能力，其中解答中根据曲线图，提取出所用的信息是解答的关键，着 重考查信息提取能力,属于基础题. 5.如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（ ） f x f x A. B. 2 ( )lnf xxx = lnf xxx C. D. ln ( ) x f x x ( ) x e f x x 【答案】C 【解析】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于 0，与图 ( )f x AB (0,)x | | ( ) x e f x x 象不符，排除 D，故选 C. 【点睛】本题考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于基础题. 6.已知函数，若函数的对称中心为，且， 2 ( )2 3sincos2cos1f xxxx( )f x 0,0 x 0 ,2x 则满足条件的所有的和为（ ） 0 x A. B. C. D. 432 【答案】A 【解析】由题意得：， 2 ( )2 3sincos2cos13sin2cos22sin(2) 6 f xxxxxxx 令，解得，即，且， 2, 6 xkkZ , 212 k xkZ 0 , 212 k kxZ 0 ,2x 所以可取， 0 x 75111723 , 1212 12121212 所以满足条件的所有的和为，故选：A 0 x 75111723 ()()4 121212121212 【点睛】本题考查了利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简为，根据正弦型函数 ( )2sin(2) 6 f xx 的对称中心，可求得的表达式，根据的范围，求得各个满足条件的值，即可得答案，属于基础题. 0 x 0 x 0 x 7.已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边 222 ( 0)xyrr 2 2yx,A B,C D 形是矩形，则等于 ( ) ABCDr A. B. C. D. 2 22 5 2 5 【答案】C 【解析】由题意可得，抛物线的准线方程为画出图形如图所示 1 2 x 在中，当时，则有 222( 0)xyrr 1 2 x 22 1 4 yr 由得，代入消去整理得 2 2yx 2 2 y x 222 xyr x 422 440yyr 结合题意可得点的纵坐标相等，故中的相等， ,A Dy 由两式消去得， 2 y 2222 11 4()0)4 44 rrr 整理得， 42 815016rr 解得或（舍去） ， 2 5 4 r 2 3 4 r 5 2 r 故选 C 【点睛】本题考查了利用画出的图形判断出与 x 轴平行，进而得到两点的纵坐标相等,将几何问题转 AD 化代数问题求解也是解答本题的一个关键考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中 档题 8.已知，直线：，：，且，则的最 0a 0b 1 l410 xay 2 l220bxy 12 ll 11 12ab 小值为（ ） A. 2B. 4C. D. 2 3 4 5 【答案】D 【解析】因为，所以，即， 12 ll 240ba125ab 因为，所以， 0,0ab10,20ab 所以， 11 12ab 11 12ab 1 12 5 ab 121 2 512 ba ab 1214 22 5125 ba ab 当且仅当时，等号成立.故选：D 35 , 24 ab 【点睛】本题考查了两直线垂直关系以及基本不等式求最值,其中利用基本不等式求最值时，必须满足 “一正二定三相等”,这里涉及常值代换,属于中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.由选项（ ）可以得到 AB ABCD ABA BCA UABA ACB U 【答案】AB 【解析】由集合关系中“交小并大”原则知：，故 A 是，而 C ABAABABABA 不是；，如图示： BCA U 即；，如图示： AB ACB U 即；故选：AB AB 【点睛】本题考查了集合的性质以及借助韦恩图求解,属于基础题. 10.若，则下列结论中正确的是（ ） 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx A. B. 0 1a 12345 2aaaaa C. D. 5 012345 3aaaaaa 012345 1aaaaaa-+-+-= - 【答案】ACD 【解析】因为， 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx 令，则，故 A 正确； 0 x 5 0 11a 令代入， 1x 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx 得，所以，故 B 错； 012345 1aaaaaa 123450 12aaaaaa 令代入， 1x 2345 5 012345 12aa xa xa xa xa xx 得，故 C 正确； 012 5 345 3aaaaaa 因为二项式的展开式的第项为， 5 1 2x 1r 15( 2) rrr r TCx 所以当为奇数时，为负数；即（其中 为奇数） ， r 5( 2) rr C0 i a i 所以；故 D 正确. 012345012345 1aaaaaaaaaaaa 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理，灵活运用赋值法求解即可，属于基础题. 11.等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（ ） n a 75 3aa nn S A. B. 0d 1 0a C. 当时最小D. 时的最小值为 5n n S0 n S n8 【答案】ABD 【解析】由题意，设等差数列的公差为， n a d 因为，可得，解得， 75 3aa 11 634adad 1 3ad 又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确； n a 0d 1 0a ,A B 因为， 22 1 7 2222 n dddd Snannn 由可知，当或时最小，故错误， 7 7 2 2 d n n d 3n 4n S C 令，解得或，即时 的最小值为 ，故正确.故选：ABD 2 7 0 22 n dd Snn 0n 7n 0 n S n8D 【点睛】本题考查了等差数列通项公式是关于的一次函数；前项和是关于 n aknb nn 2 n SAnBn 的二次函数,属于中档题. n 12.已知函数，其中正确结论的是（ ） ln x f xeax A. 当时，有最大值； 1a f x B. 对于任意的，函数是上的增函数； 0a f x0, C. 对于任意的，函数一定存在最小值； 0a f x D. 对于任意的，都有. 0a 0f x 【答案】BC 【解析】， x a fxe x 对于选项 A,当时，函数，都是单调递增函数， 1a ln x f xex x yelnyx 易知函数在上单调递增，无最大值，故 A 错误； f x0, 对于选项 B,对于任意的，函数，都是单调递增函数， 0a x yelnyax 则函数是上的增函数，故 B 正确； f x0, 对于选项 C,对于任意的，易知在单调递增， 0a x a fxe x fx0, 当时，当时， x f x 0 x f x 存在，当时，函数单调递减， 0 0fx 0 0 xx 0fx ，函数单调递增，故 C 正确， 0 xx 0fx 0 min f xf x 对于选项 D,当时，故，D 错误； 0 x 1 x e ln x f x 故选：BC 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识， 属于中档题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.已知随机变量 服从正态分布 N（4，2） ，若 P（2）0.3，则 P（26）_____ 【答案】0.4 【解析】随机变量服从正态分布，其对称轴方程为， 2 (4,)N 4x 又， (2)0.3P(6)(2)0.3PP 则 (26)120.30.4P 故答案为：0.4 【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用， 考查曲线的对称性，属于基础题 14.已知向量，满足：，则向量的夹角为______. , a b (1, 3)a |2b ()abb , a b 【答案】4 【解析】因为，所以， (1, 3)a 2 1+3=2a 又因为，所以， ()abb 2 ()=0abb a bb 解得，所以， =2a b 22 cos, 222 a b a b ab 因为，所以，故答案为： ,0,a b a,b 4 4 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算以及向量夹角的求法，考查了运算能力，属于基础题. 15.四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形， PABCDOPA ABCDABCD ，则球的体积是__________；设、分别是、中点，则平面被 2PAAB4ADOEFPBBCAEF 球所截得的截面面积为__________. O 【答案】 (1). (2). 8 6 14 3 【解析】如图 由题设知球心为中点， OPC , 2,2 2,6AEAFEF 则， 222 AEEFAF 球直径， O 222 22242 66RR ， 8 6V 球 设球心到平面得距离为，截面圆半径为， OAEFdr 由题设球心到平面的距离等于点到平面的距离， OAEF BAEF 由等体积法得， O AEFE ABF VV ，求得， 1111 262 2 1 3232 d 2 3 3 d ， 222 414 6 33 rRd 故截面面积为. 故答案为：，. 14 3 8 6 14 3 【点睛】本题考查了球的表面积和体积公式，属于基础题. 16.如图，已知为双曲线的右焦点，过点的直线交两渐近线于，两点. F 22 22 10,0 xy ab ab FAB 若，内切圆的半径，则双曲线的离心率为________. 120AOBOABA 3 5 ab r 【答案】 19 4 【解析】由焦点到渐近线的距离为，知， Fb120OAB 2 3 3 AFb 在中，由余弦定理得， OAF 222 2cos120OFOAAFOA AF 即， 2 22 2 32 3 2cos120 33 cOAbOAb 解之得. 3 3 OAab 设内心为，作于， OABAMMNOAN 显然， 60MAO 3 5 ab MNr 则，则， 333 315 ab ANMN 333124 3 31515 abab ONOAANab ，即，. 3 3 5 tan 4124 3 15 ab MN MON ONab 3 4 b a 2 2 319 11 44 b e a 故答案为： 19 4 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法,常见求双曲线的离心率的方法有：公式法（求出代入离 , a c 心率的公式即得解） ；方程法（找到关于离心率的方程求解）.要根据已知灵活选择合适的方法求解,属 于基础题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.若数列的前项和满足（，） n a nn S2 nn Sa 0*nN （1）证明：数列为等比数列，并求； n a n a （2）若，（） ，求数列的前项和 42 , log, n n n a n b a n 是奇 是偶 *nN n b n n T 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】 （1）由题意可知，即； 11 2Sa 1 a 当时，即； 2n 111 2222 nnnnnnn aSSaaaa 1 2 nn aa 所以数列是首项为，公比为 2 的等比数列， n a 所以 1 2n n a （2）由（1）可知当时，从而 4 1 2n n a 1 2, 1, n n n b nn 是奇， 是偶 为偶数时，； n 2 4 1 4 31 2 1 42 n n n n T 为奇数时， n11nnn TTb 1 21 4 1 4 31 1 2 2 1 42 n n n n 1 4 21 15 2 34 n nn n ， 1 4 21 13 34 n nn 综上， 1 4 21 4 , 34 4 21 13 , 34 n n n nn n T nn n 是偶， 是奇 【点睛】本题考查了数列的递推关系,对于形式我们常采用公式 11 (,)0 nnnn f aa SS ，统一成或统一成做对于奇偶分类数列求和时，我们常先求项数为偶数时 1 1 ,2 ,1 nn n SSn a S n n a n S 数列的和，因为这个时候奇数项与偶数的项数各是，再求项数为奇数的数列求和，因为这时 n-1 是偶数， 2 n 所以，可以就用前面所求的结论,属于基础题. 1nnn TTa 1n T 18.在中，角，的对边分别为，.若，且. ABCAABCabc2 cosacbC2bc （1）求； cosC （2）若，求的面积. 2a ABCA 【答案】 （1）；（2）2 2 2 【解析】 （1），利用余弦定理得：， 2 cosacbCQ 222 2 2 abc acb ab 整理得：，又，即 22 bacc2bc 22 ( 2 )cacc ac 222222 ( 2 )2 cos 2222 abcccc C abcc （2）由（1）知，又， 2 cos 2 C (0, )C 4 C ， 的面积. 2a 2 2b ABCA 112 sin2 2 22 222 SabC 【点睛】本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，由已知条件结合余弦定理转化为，从而 22 bacc 求出，之间的关系，考查转化能力与运算能力，属于基础题. abc 19.在四棱锥中，底面是菱形，且， PABCDABCD60BAD6PA 2AB PBPD . PABC （1）证明：平面. PA ABCD （2）求二面角的余弦值. DPBC 【答案】 （1）详见解析（2） 2 3 【解析】 （1）证明：连接，设，连接. ACACBDEPE 因为底面是菱形，所以，. ABCDBDACBEDE 因为，所以. PBPDBEDEPEBD 因为，所以平面. PEACEBD PAC 因为平面，所以. PAPACBDPA 因为，所以平面. PABCBDBCBPA ABCD （2）解：取的中点. PCF 因为平面，所以平面. PA ABCDEF ABCD 故以为原点，分别为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， E ,EB EC EF , ,x y zExyz 则，. 1,0,0B 0, 3,0C 1,0,0D 0,3, 6P 故，. 1, 3,0BC 2,0,0BD 1,3, 6BP 设平面的法向量为. PBC 111 ,mx y z 则，不妨取，则. 11 111 30 360 m BCxy m BPxyz 1 3x 3,1,2m 设平面的法向量为， PBD 222 ,nxyz 则，不妨取，则. 2 222 20 360 n BDx n BPxyz 2 2y 0,2,1n 记二面角的平面角为，易知为锐角， DPBC 则. 2 22 363 m n m n 故二面角的余弦值为. DPBC 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理以及运用空间向量的方法求二面角的余弦值,属于基础题. 20.2020 年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利， 为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支 持下，西部某县新建了甲乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各 100 件玩具，在抽取中的 200 件玩具中，根据检测结果将它们分成“A”“B”“C”三个等级，AB 等级都是合格 品，C 等级是次品，统计结果如下表所示： 等级ABC 频数2012060 (表一) 厂家合格品次品合计 甲75 乙35 合计 (表二) 在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销. （1）请根据所提供的数据，完成上面的 22 列联表(表二)，并判断是否有 95%的把握认为产品的合格率与 厂家有关？ （2）每件玩具的生产成本为 30 元，AB 等级产品的出厂单价分别为 60 元40 元.另外已知每件次品的销 毁费用为 4 元.若甲厂抽检的玩具中有 10 件为 A 等级，用样本的频率估计概率，试判断甲乙两厂能否都能 盈利，并说明理由. 附：，其中. 2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd nabcd 2 0 Px0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 x0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】 （1）列联表答案见解析，没有 95%的把握认为产品的合格率与厂家有关；（2）甲厂能盈利，乙 不能盈利，理由见解析. 【解析】 （1）22 列联表如下 厂家合格品次品合计 甲7525100 乙6535100 合计14060200 ， 2 2 20075 3525 65 2.383.841 100 100 140 60 K 没有 95%的把握认为产品的合格率与厂家有关. （2）甲厂 10 件 A 等级，65 件 B 等级，25 件次品，对于甲厂，单件产品利润 X 的可能取值为 30，10， . 34 X 的分布列如下： X3010 34 P 1 10 13 20 1 4 ， 1131 ()30103410 10204 E X 甲厂能盈利， 对于乙厂有 10 件 A 等级，55 件 B 等级，35 件次品，对于乙厂，单位产品利润 Y 的可能取值为 30，10， ， 34 Y 分布列如下： Y3010 34 P 1 10 11 20 7 20 ，乙不能盈利. 111717 ( )3010340 1020205 E Y 【点睛】本题考查了根据 A，B，C 等级的统计和表中的数据，完成 22 列联表.再由 求值，与临界值表对照下结论;根据甲厂、乙厂的数据分布列，再利用 2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd 期望公式求解判断；在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识，属于基础题. 21.已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于，两点当直线与轴 F 2 :2(0)C ypx p FCABx 垂直时， | 4AB （1）求抛物线的方程； C （2）设直线的斜率为 1 且与抛物线的准线 相交于点，抛物线上存在点使得直线， ABlMCPPA ，的斜率成等差数列，求点的坐标 PMPBP 【答案】 （1）；（2） 2 4yx 1, 2P 【解析】 （1）因为，在抛物线方程中，令，可得 (,0) 2 p F 2 2ypx 2 p x yp 于是当直线与轴垂直时，解得 x | 24ABp2p 所以抛物线的方程为 2 4yx （2）因为抛物线的准线方程为，所以 2 4yx 1x ( 1, 2)M 设直线的方程为， AB 1yx 联立消去，得 2 4 1 yx yx x 2 440yy 设，则， 1 (A x 1) y 2 (B x 2) y 12 4yy 12 4y y 若点，满足条件，则， 0 (P x 0) y2 PMPAPB kkk 即， 00102 00102 2 2 1 yyyyy xxxxx A 因为点，均在抛物线上，所以 PAB 222 012 012 , 444 yyy xxx 代入化简可得， 0012 22 0012012 2(2)2 4() yyyy yyyyyy y 将，代入，解得 12 4yy 12 4y y 0 2y 将代入抛物线方程，可得于是点为满足题意的点 0 2y 0 1x (1, 2)P 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，属于中档 题 22.已知函数. ( )lnf xxx （1）若函数，试研究函数的极值情况； 2 ( )( )(2) (0)g xfxaxax a( )g x （2）记函数在区间内的零点为，记，若 ( )( ) x x F xf x e (1,2) 0 x ( )min( ), x x m xf x e 在区间内有两个不等实根，证明：. ( )()m xn nR(1,) 1212 ,()x xxx 120 2xxx 【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析. 【解析】 （1）由题意，得， ln1fxx 故， 2 2ln1g xaxaxx 故， 2111 22 xax gxaxa xx . 0,0 xa 令，得 0gx 12 11 , 2 xx a 当时， 02a 11 2a 或； 1 00 2 gxx 1 x a , 11 0 2 gxx a 所以在处取极大值， g x 1 2 x 1 ln2 24 a g 在处取极小值. 1 x a 11 lnga aa 当时，恒成立，所以不存在极值； 2a 11 2a 0gx 当时，或； 2a 11 2a 1 00gxx a 1 2 x , 11 0 2 gxx a 所以在处取极大值， g x 1 x a 11 lnga aa 在处取极小值. 1 2 x 1 ln2 24 a g 综上，当时，在处取极大值，在处取极小值；当时， 02a g x 1 2 x ln2 4 a 1 x a 1 lna a 2a 不存在极值；时，在处取极大值，在处取极小值. 2a g x 1 x a 1 lna a 1 2 x ln2 4 a （2），定义域为， ln x x F xx x e 0,x ，而， 1 1ln x x Fxx e 1,2x 故，即在区间内单调递增 0Fx F x1,2 又， 1 10F e 2 2 22ln20F e 且在区间内的图象连续不断， F x1,2 故根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点. F x1,2 所以存在，使得， 0 1,2x 0 0 00 0 x x F xf x e 且当时，； 0 1xx x x f x e 当时， 0 xx x x f x e 所以 0 0 ,1 , x xlnxxx m x x xx e 当时， 0 1xx lnm xx x 由得单调递增； 1 ln0mxx m x 当当时， 0 xx x x m x e 由得单调递减； 1 0 x x mx e m x 若在区间内有两个不等实根（） m xn1, 12 ,x x 12 xx 则. 1020 1,xxxx 要证，即证 120 2xxx 201 2xxx 又，而在区间内单调递减