2021届高三高考数学适应性测试八省联考考后仿真系列卷七（原卷+解析）.zip

2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷七七 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合，集合，则（ ） 2 |230Ax xx1)3(log 2 xxBCBA A. B. 3,)(3,) C. D. (, 13,) (, 1)(3,) 2.镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的 大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ） A. B. C. D. 119 1077 160 359 958 1077 289 359 3.的展开式中二项式系数最大的项是（ ） 8 1 2 2 x A. B. C. D. 2 35x 2 20 x 4 70 x 4 35x 4.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦 C 2 4yx FC 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 12 4 3 xx 的长为（ ） AB A. B. 4C. D. 16 3 10 3 8 3 5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事 休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.函数在区 ( )(1)sin e1 2 x f xx 间上的图象的大致形状是（ ） (,) 2 2 AB CD 6.7 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金 分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰 之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角 36 为 108的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 中，.根据这些信息，可得（ ） ABC: 51 2 BC AC sin234 A. B. C. D. 12 5 4 35 8 51 4 45 8 7.双曲线:的左顶点为，右焦点为，过点作一条直线与双曲线的右支交于点， C 2 2 1 3 y x AFFC ,P Q 连接分别与直线 ：交于点，则（ ） ,PA QA l 1 2 x ,M N MFN A. B. C. D. 6 3 2 2 3 8.设是定义在上的偶函数，且时，当时，若 R (2)(2)f xfx 2,0 x 2 ()1 2 x f x 在区间内关于的方程且有且只有 4 个不同的根，则实数的 ()2,6 x ( )log (2)0(0 a f xxa1)a a 范围是（ ） A. B. C. D. (1,1 4 ) (1,4)(1,8)(8,) 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ） 32zaiiaR 1 A. 复数的虚部为B. 复数的共轭复数 z5z1 5 zi C. D. 在复平面内对应的点位于第三象限 26z z 10.下列命题中所有真命题的选项为（ ） A.两个随机变量线性相关性越强，相关系数越接近 1； r B.回归直线一定经过样本点的中心； ( , )x y C.线性回归方程，则当样本数据中时，必有相应的； 0.210 y x 10 x 12y D.回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小. 2 R 11.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， 60 ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥， 90 ,BF 60 ,45 ,ADBCDE FCAB 取中点与中点，则下列判断中正确的是（ ） BCOACM A. 直线面 BCOFM B. 与面所成的角为定值 ACOFM C. 设面面，则有 ABF MOFll AB D. 三棱锥体积为定值. FCOM 12.在单位圆 O：x2+y21 上任取一点 P（x，y） ，圆 O 与 x 轴正向的交点是 A，设将 OA 绕原点 O 旋转到 OP 所成的角为 ，记 x，y 关于 的表达式分别为，则下列说法正确的是（） )(fx )(gy A.是偶函数，是奇函数 )(fx )(gy B. 在为增函数，在为减函数 )(fx 2 2 ， )(gy 2 2 ， C.1 对于恒成立 )()(gf 0 2 ， D. 函数 t的最大值为 )2()(2gf 3 2 2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.设随机变量，且，则______. 2 ,N : 310.2PP 11P 14.如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈=10 尺） ，现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问 折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角（锐角）为，则________. tan 4 15.已知等比数列的公比为 q，且，则 q 的取值范围为______；能使不等式 n a 1 01a 2020 1a 成立的最大正整数______. 12 12 111 0 m m aaa aaa m 16.已知三棱锥的三条侧棱，两两互相垂直且，此三棱锥的外接球的表 SABCSASBSC13AC 面积为设，则的最大值是______ 14ABmBCnmn 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 如图，在梯形中，为上一点，. ABCD90AD o MAD22AMMD60BMC （1）若，求； 60AMB BC （2）设，若，求. DCM4MBMCtan 18.给出以下两个条件，4a3，3a4，2a5依次成等差数列；Snan1-1，请选择一个补充在下列题目条件 中，并完成解答特别说明：若选择多个条件分别解答，按照选择的第一个解答进行给分 已知数列an为递增的等比数列，a22，Sn为an的前 n 项和，bn为公差不为 0 的等差数列，b11， 2 21 5 bbb （1）求数列an，bn的通项公式； （2）记，求cn的前 n 项和 Tn 1 n n n b c a 19.如图，在四棱锥中，底面， PABCDPA ABCDBC/ / AD 2 3 BAD ，点是棱的中点. 2PAABBC4ADMPD （1）求证：平面； / /CMPAB （2）求二面角的大小. MACD 20.某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共 5000 人参加复试，复试 共三道题，第一题考生答对得 3 分，答错得 0 分，后两题考生每答对一道题得 5 分，答错得 0 分，答完三 道题后的得分之和为考生的复试成绩. （1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，试估计初试 X 2 ( ,)N 64 2 169 成绩不低于 90 分的人数； （2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题 3 4 2 3 回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望. YY 附：若随机变量服从正态分布，则， X 2 ( ,)N 0.6826PX ， 220.9544PX330.9974PX 21. 已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且. OC 1 1,0F C y A 1 3 AFO （1）求椭圆的标准方程； C （2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当 A 1 k 212 0kk k CAMN 时，直线过定点. 1 2 1 1 k k k MN 22.已知，当时恒成立 ( ) x f xe 0 x (2 )1fxax （1）求实数的取值范围； a （2）当时，求证： 0, 2 x 22 3sin x xxxe2021 年年 1 月普通高等学校招生全国月普通高等学校招生全国统统一考一考试试适适应应性性测试测试（八省（八省联联考）数考）数 学学试题试题考后考后仿真系列仿真系列卷卷七七 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在 本试卷上无效本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合，集合，则（ ） 2 |230Ax xx1)3(log 2 xxBCBA A. B. 3,)(3,) C. D. (, 13,) (, 1)(3,) 【答案】A 【解析】， 2 |230 | 13Ax xxxx 11)3(log 2 xxxxB ，故选 A C|33,) B Ax x 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 2.镜花缘是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的 大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ） A. B. C. D. 119 1077 160 359 958 1077 289 359 【答案】C 【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为，则，解得，若随机选取 , x y 360 241200 xy xy 120 240 x y 两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为.故选:C 2 120 2 360 958 1 1077 C C 【点睛】本题考查了以古文化为背景，涉及古典概型公式以及对立事件的概念，考查了逻辑推理能力与运 算能力，属于基础题 3.的展开式中二项式系数最大的项是（ ） 8 1 2 2 x A. B. C. D. 2 35x 2 20 x 4 70 x 4 35x 【答案】C 【解析】由二项式系数的性质，当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值， 所以二项式系数最大的项是,故选：C. 4 4 44 58 1 270 2 TCxx 【点睛】本题考查了二项式系数的性质，考查了二项展开式的通项公式，属于基础题. 4.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦 C 2 4yx FC 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 12 4 3 xx 的长为（ ） AB A. B. 4C. D. 16 3 10 3 8 3 【答案】C 【解析】抛物线的焦点弦公式为：， 12 xxp 由抛物线方程可得：，则弦的长为.故选：C. 2p AB 12 410 2 33 xxp 【点睛】本题考查了有关直线与抛物线的弦长问题，因为过抛物线的焦点，所以可直接使用公式 |AB|x1x2p，属于基础题 5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事 休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.函数在区 ( )(1)sin e1 2 x f xx 间上的图象的大致形状是（ ） (,) 2 2 AB CD 【答案】A 【解析】因为， esinesin ()(1 (1)2( )sin( ) e1e1e1 1) x x xxx xx fxxf x 所以在区间上是偶函数，故排除 B、D，又，故排除 C；故选 A。 ( )f x (-,) 2 2 (1)(1)sin10 e 1 2 f 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧，属于中档题. 6.7 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金 分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰 之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角 36 为 108的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 中，.根据这些信息，可得（ ） ABC: 51 2 BC AC sin234 A. B. C. D. 12 5 4 35 8 51 4 45 8 【答案】C 【解析】由题意可得：，且， 72ACB 1 51 2 cos 4 BC ACB AC 所以， 2 2 5151 cos1442cos 72121 44 所以，故选：C 51 sin234sin 14490cos144 4 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题. 7.双曲线:的左顶点为，右焦点为，过点作一条直线与双曲线的右支交于点， C 2 2 1 3 y x AFFC ,P Q 连接分别与直线 ：交于点，则（ ） ,PA QA l 1 2 x ,M N MFN A. B. C. D. 6 3 2 2 3 【答案】C 【解析】由双曲线的方程可知双曲线的焦点坐标为， 2,0F 设过焦点的直线方程为：，P,Q 点的坐标为， 2xmy 1122 ,P x yQ xy 联立直线方程与双曲线方程可得：， 22 311290mymy 则：， 1212 22 129 , 3131 m yyy y mm 由，可得直线的方程为：， 1,0A 11 ,P x y AP 1 1 1 1 y yx x 令可得：，即， 1 2 x 1 1 3 21 y y x 1 1 31 , 2 21 y M x 同理可得：， 2 2 31 , 2 21 y N x 结合点 F 的坐标可得：， 2,0F 1 1 33 , 221 y MF x 2 2 33 , 221 y NF x 则：，其中： 12 12 99 4411 y y MF NF xx 12 12 2 1212 22 22 2 11 33 39 936 9 3131 9 , 31 xx mymy m y ym yy mm mm m 据此可得：， 2 2 999319 0 44319 m MF NF m 故，故. 故选：C ,MFNF MFNF 2 MFN 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，通过向量研究夹角,属于中档题. 8.设是定义在上的偶函数，且时，当时，若 R (2)(2)f xfx 2,0 x 2 ()1 2 x f x 在区间内关于的方程且有且只有 4 个不同的根，则实数的 ()2,6 x ( )log (2)0(0 a f xxa1)a a 范围是（ ） A. B. C. D. (1,1 4 ) (1,4)(1,8)(8,) 【答案】D 【解析】是偶函数， ( )f x(2)(2)fxf x 对于任意的，都有， xR 22f xfx 所以，所以函数是一个周期函数，且， 42222f xfxfxf x f x 4T 又因为当时，且函数是定义在 R 上的偶函数， 2 0 x ， 2 ()1 2 x f x f x 若在区间内关于的方程恰有 4 个不同的实数解， 2,6 x log20 a f xx 则函数与在区间上有四个不同的交点，作函数和 yf xlog21 a yxa2,6 y ( )f x 的图象，只能如下图所示： log (2) a yx 又，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于 1， 2261ffflog2 a yx 6x 即，由此解得，所以的范围是， 故选：D. log 81 a 8a a 8 ， 【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的分布问题，通过把问题转化为函数图象的交点个数，利用数形 结合思想求解，属于中档题. 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ） 32zaiiaR 1 A. 复数的虚部为B. 复数的共轭复数 z5z1 5 zi C. D. 在复平面内对应的点位于第三象限 26z z 【答案】ACD 【解析】， 2 3232323223zaiiaaiiiaai 因为复数的实部是-1，所以，解得：，所以， 321a 1a 1 5zi 对于选项 A,复数 的虚部是-5，A 正确；对于选项 B,复数的共轭复数，B 错误； zz1 5zi 对于选项 C,，C 正确；对于选项 D,在复平面内对应的点是，位于 22 1526z z 1, 5 第三象限，D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了复数的运算以及复数几何意义,属于基础题. 10.下列命题中所有真命题的选项为（ ） A.两个随机变量线性相关性越强，相关系数越接近 1； r B.回归直线一定经过样本点的中心； ( , )x y C.线性回归方程，则当样本数据中时，必有相应的； 0.210 y x 10 x 12y D.回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小. 2 R 【答案】BD 【解析】对于选项 A,两个随机变量线性相关性越强，相关系数越接近 1，A 错误； r 对于选项 B,回归直线一定经过样本点的中心，B 正确； , x y 对于选项 C,线性回归方程，则当样本数据中时，可以预测，但是会存在误差， 0.210 y x 10 x 12y C 错误； 对于选项 D,回归分析中，相关指数的值越大说明残差平方和越小，D 正确. 故选:BD. 2 R 【点睛】本题考查了线性相关以及线性回归方程，属于基础题. 11.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， 60 ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥， 90 ,BF 60 ,45 ,ADBCDE FCAB 取中点与中点，则下列判断中正确的是（ ） BCOACM A. 直线面 BCOFM B. 与面所成的角为定值 ACOFM C. 设面面，则有 ABF MOFll AB D. 三棱锥体积为定值. FCOM 【答案】ABC 【解析】对于 A，由中点与中点，得, BCOACM/ /MOAB 得， 90 ,BF BCMO 由为等腰直角三角形得，由， BCFBCFOMOFOO 面， MOFO ，OFM 得直线面，故 A 正确； BCOFM 对于 B，由 A 得，与面所成的角为，为定值，故 B 正确； ACOFMC30 对于 C，由 A 得，故面，由面， / /MOAB/ /ABOFMABABF 面面，所以 ，故 C 正确； ABF MOFll AB 对于 D，的面积为定值， COMV 但三棱锥的高会随着点的位置移动而变化， FCOMF 故 D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了立体几何中关于线面垂直，线面角，线面平行的判定与性质，属于中档题. 12.在单位圆 O：x2+y21 上任取一点 P（x，y） ，圆 O 与 x 轴正向的交点是 A，设将 OA 绕原点 O 旋转到 OP 所成的角为 ，记 x，y 关于 的表达式分别为，则下列说法正确的是（） )(fx )(gy A.是偶函数，是奇函数 )(fx )(gy B. 在为增函数，在为减函数 )(fx 2 2 ， )(gy 2 2 ， C.1 对于恒成立 )()(gf 0 2 ， D. 函数 t的最大值为 )2()(2gf 3 2 2 【答案】AC 【解析】对于选项 A，即正确； ( )cosxf( )sinyg A 对于选项 B,在上为增函数，在上为减函数；在上 ( )cosxf ,0) 2 0, 2 ( )sinyg , 2 2 为增函数，即错误； B 对于选项 C,， ( )( )cossin2sin() 4 fg 0, 2 3 , 444 ，即正确； 2sin()1, 2 4 C 对于选项 D,函数，则 2 ( )(2 )2cossin2tfg0,2 ， 2 2sin2cos22sin2(12sin)2(2sin1)(sin1)t 令，则；令，则， 0t 1 1sin 2 0t 1 sin1 2 函数 在和上单调递增，在上单调递减，当即， t 0 6 , 5 ,2 6 5 , 66 6 1 sin 2 时，函数 取得极大值，为， 3 cos 2 t 3133 3 22 2222 t 又当即，时，所以函数 的最大值为，即错误 2sin0cos12 120 12t t 3 3 2D 故选： AC 【点睛】本题考查了正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性以及三角恒等变换，利用导数研究函数的单调 性与最值等，考查灵活运用知识的能力、推理论证能力和运算能力，属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.设随机变量，且，则______. 2 ,N : 310.2PP 11P 【答案】. 0.3 【解析】因为，且， 2 ,N : 310.2PP 所以，故答案为：. 1 110.50.20.3P 0.3 【点睛】本题考查了正态分布在指定区间上的概率，需充分利用正态密度曲线的对称性求解，考查了分析 问题和解决问题的能力，属于基础题. 14.如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈=10 尺） ，现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问 折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角（锐角）为，则________. tan 4 【答案】 151 31 【解析】由题意，设折断处离地面的高为尺 x 则由勾股定理得，化简得，解得. 222 3(10 x)x 2091x 4.55x ，. 4.5591 tan 360 tantan 151 4 tan 431 1tantan 4 故答案为： 151 31 【点睛】本题考查了以古文化为背景,考查了勾股定理、锐角三角函数的定义以及两角和的正切公式，属 于基础题. 15.已知等比数列的公比为 q，且，则 q 的取值范围为______；能使不等式 n a 1 01a 2020 1a 成立的最大正整数______. 12 12 111 0 m m aaa aaa m 【答案】 4039 (1,) 【解析】由已知， 2019 11 2019 1 1a qa q 结合知，解得， 1 01a 2019 1 01 q 1q 故 q 的取值范围为. (1,) 由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列. n a 1 n a 1 1 a 1 q 要使成立 12 12 111 0 m m aaa aaa 则 12 12 111 m m aaa aaa 即， 1 1 11 1 1 1 1 1 m m aq aq q q 将代入整理得： 故答案为：。 1 2019 1 a q 4039 4039 m qqm 4039m 【点睛】本题考查了等比数列通项公式以及前 n 项和公式，考查了不等式恒成立求参，属于中档题. 16.已知三棱锥的三条侧棱，两两互相垂直且，此三棱锥的外接球的表 SABCSASBSC13AC 面积为设，则的最大值是______ 14ABmBCnmn 【答案】 30 【解析】因为三棱锥的三条侧棱，两两互相垂直且， SABCSASBSC13AC 设， SAaSBbSCc 则在中，由勾股定理得，即； Rt SAB: 222 ABSASB 222 mab 在中，由勾股定理得，即， RtSAC 222 ACSASC 2 22 13ac 即； 22 13ac 在中，由勾股定理得，即； RtSBC 222 BCSBSC 222 nbc 由+，可得得， 22222222 13mnabacbc 即 22222 132mnabc 因为易知三棱锥的外接球即为以，过同一顶点三条棱的长方体的外接球，又因为 SABCSASBSC 此三棱锥的外接球的表面积为， 14 设外接球的半径为，则，所以且， R 2 2 222 414 2 R abcR 222 14abc 2 1b 代入中，得，即， 22 1328mn 22 15mn 由，得，即，所以， 2 22 22 mnmn 2 15 22 mn 2 30mn 30mn 当且仅当时等号成立，所以的最大值为 30 2 mn mn30 故答案为： 30 【点睛】本题考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的表面积公式的应用，考查空间想象能力，以及 计算能力,属于中档题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 如图，在梯形中，为上一点，. ABCD90AD o MAD22AMMD60BMC （1）若，求； 60AMB BC （2）设，若，求. DCM4MBMCtan 【答案】 （1）（2） 2 3BC 3 tan 2 【解析】 （1）由，得. 60BMC 60AMB 60CMD 在中，； Rt ABM:24MBAM 在中， Rt CDM:22MCMD 在中，由余弦定理得， MBC: ， 222 2cos12BCBMMCBM MCBMC 2 3BC （2）因为，所以， DCM60ABM 060 在中，； Rt MCD: 1 sin MC 在中， Rt MAB: 2 sin 60 MB 由得， 4MBMC 260sinsin 所以，即， 3cossinsin2sin3cos 整理可得 3 tan 2 【点睛】本题考查了解三角形的问题，考查了余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换，属于基础题. 18.给出以下两个条件，4a3，3a4，2a5依次成等差数列；Snan1-1，请选择一个补充在下列题目条件 中，并完成解答特别说明：若选择多个条件分别解答，按照选择的第一个解答进行给分 已知数列an为递增的等比数列，a22，Sn为an的前 n 项和，bn为公差不为 0 的等差数列，b11， 2 21 5 bbb （1）求数列an，bn的通项公式； （2）记，求cn的前 n 项和 Tn 1 n n n b c a 【答案】答案件解析 【解析】 （1）的公差为， n b d 22 21 5111 ()(4 )2bbbbdb bdd 设数列的公比为， 21 n bn， n aq 若选择条件，或（舍） ， 32 222 4262a qa qa qq1q 1 2n n a ； 若选择条件， 1 1 nn Sa 时，时，两式相减得，1n 21 12aS 2n 12 1 nn Sa 21 2 nn aa 1 2. n n a （2）法 1： 1 1 212123 222 n n nnn n bnnn c a ， 1 3557212323 3. 1224222 n nnn nnn T 法 2： 1 21 2 n n n n bn c a ， 1 132321 2422 n nn nn T ， 21 132321 2 1222 n nn nn T ， 两式相减得 122 222112112123 11 133. 22222222 n nnnnnnn nnnn T 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式、数列递推关系以及错位相减法求和，考查分析问题求 解能力，属于基础题. 19.如图，在四棱锥中，底面， PABCDPA ABCDBC/ / AD 2 3 BAD ，点是棱的中点. 2PAABBC4ADMPD （1）求证：平面； / /CMPAB （2）求二面角的大小. MACD 【答案】 （1）答案见解析（2）6 【解析】证明：（1）如图，取的中点，连接、. APEBEEM 是的中点， MPD 1 2 EMAD / /EMAD 又，所以， 1 2 BCAD / /BCADEMBC/ /EMBC 四边形为平行四边形， BCME ， / /CMBE 又平面，平面， BE PABCM PAB 平面. / /CMPAB （2）在平面内过点作的垂线，由题意知，两两垂直，以 ABCDAADAxPAAxAD 为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空 AAxADAPx y z 间直角坐标系，由题意知， 2PAABBC4AD 2 3 BAD 可得， 0,0,0A 3,1,0C 0,2,1M 3,1,0AC 0,2,1AM 设平面的法向量为， MAC , ,nx y z 则由，即，令，则， 0 0 n AC n AM 30 20 xy yz 3y 3x 6z 为平面的一个法向量. 3, 3,6n MAC 底面，可取平面的一个法向量为， PA ABCDACD 0,0,1m ， 63 cos, 248 n m n m nm 二面角为锐二面角， MACD 二面角的大小为. MACD6 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了空间向量数量积的运算，属于基础题. 20.某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共 5000 人参加复试，复试 共三道题，第一题考生答对得 3 分，答错得 0 分，后两题考生每答对一道题得 5 分，答错得 0 分，答完三 道题后的得分之和为考生的复试成绩. （1）通过分析可以认为考生初试成绩服从正态分布，其中，试估计初试 X 2 ( ,)N 64 2 169 成绩不低于 90 分的人数； （2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题 3 4 2 3 回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望. YY 附：若随机变量服从正态分布，则， X 2 ( ,)N 0.6826PX ， 220.9544PX330.9974PX 【答案】 （1）114 人；（2）分布列见解析，. 107 12 【解析】 （1）学生笔试成绩服从正态分布，其中， X 2 ,N 64 2 169 2642 1390 1 9021 0.95440.0228 2 P XP X 估计笔试成绩不低于 90 分的人数为人 0.0228 5000114 （2）的取值分别为 0，3，5，8，10，13， Y 则 2 321 0(1) (1) 4336 P Y 2 3231 3(1) 433612 P Y 1 2 3221 5(1)(1) 4339 P YC 1 2 32231 8(1) 43393 P YC 2 321 10(1) ( ) 439 P Y 2 3231 13( ) 4393 P Y 的分布为 Y 故的分布列为： Y 03581013 P 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 111111321107 03581013 361293933612 E Y 【点睛】本题考查了利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题，通过利用对称轴确定 =x 所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，其中对于正态分布， 2 ()N， 由是正态曲线的对称轴可以确定以下结论：对任意的，有； =x a ()()P XaP Xa 属于中档题. 00 1;()P XxP Xx=()P aXbP XbP Xa 21. 已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且. OC 1 1,0F C y A 1 3 AFO （1）求椭圆的标准方程； C （2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当 A 1 k 212 0kk k CAMN 时，直线过定点. 1 2 1 1 k k k MN 【答案】 （1）；（2）答案见解析. 22 1 43 xy 【解析】 （1）在中， 1 Rt AFOOAb 1 1OFc 22 11 AFOAOFa ， 1 3 AFO 1 6 OAF 11 22aAFOF 22 3bac 因此，椭圆的标准方程为； C 22 1 43 xy （2）由题不妨设，设点， :MN ykxm 11 ,M x y 22 ,N xy 联立，消去化简得， 22 1 43 xy ykxm y 222 4384120kxkmxm 且， 12 2 8 43 km xx k 2 12 2 412 43 m x x k ， 1 2 1 1 k k k 1212 k kkk 1212 1212 3333yyyy xxxx 代入，化简得， 1,2 ii ykxm i 22 1212 2132 330kk x xkmxxmm 化简得， 2 8 3333k mm ， 3m 8 333km 8 3 3 3 k m 直线，因此，直线过定点. 8 3 :3 3 k MN ykx MN 8 3 , 3 3 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及椭圆中直线过定点的问题，考查分析问题与运算能力，属于中档 题. 22.已知，当时恒成立 ( ) x f xe 0 x (2 )1fxax （1）求实数的取值范围； a （2）当时，求证： 0, 2 x 22 3sin x xxxe 【答案】 （1）；（2）证明见解析. 2a 【解析】 （1）即恒成立， (2 )1fxax 2 10 x eax 令，则 2 ( )1(0) x h xeaxx 2 ( )2 x h xea 当时，则在是增函数，成立 2a ( )0h x ( )h x 0, (0)0h( )0h x 当时，使 2a 0 x 0 0h x ，为减函数，为增函数 0 0,xx ( )0h x( )h x 0, xx ( )0h x( )h x 所以不合题意所以 0 (0)0h xh 2a （2）由（1）得当时，所以要证只要证 0, 2 x 2 21 x ex 22 3sin x xxxe 2 3sin(21)xxxx 即证：，设， 2 sin0 xxx 2 ( )sinh xxxx 0, 2 x ， ( )21 cosh xxx ( )2sin0h xx 所以在是增函数， ( )h x 0, 2 ，所以存在使 (0)2 h 10 2 h 0 0, 2 x 0 0h x 故时，则为减函数，时则为增函数 0 0,xx ( )0h x( )h