2020届浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三上学期期中考试数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 20 页 2020 届浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三上学期期中届浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三上学期期中 考试数学试题考试数学试题 一、单选题一、单选题 1已知全集已知全集U R， | 11Mxx ， |0Ny y，则，则 U ()MN （ ） ） A( 1,0) B( 1,0 C(0,1) D0,1) 【答案】【答案】D 【解析】【解析】求出集合 N 的补集，再进行交集运算. 【详解】 因为 |0Ny y，所以 U |0Ny y 所以 U () |01MNxx 故选：D 【点睛】 本题主要考查了集合的交并补混合运算，属于基础题. 2若函数若函数( )sinf xx

2、的最小正周期为的最小正周期为，则正数，则正数的值是（的值是（ ） A 1 2 B1 C2 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据周期公式求解即可. 【详解】 因为函数( )sinf xx的最小正周期为 所以 22 2 T 故选：C 【点睛】 本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题. 3已知已知 a，b 都是实数，那么都是实数，那么“ 22 loglogab”是是“ ab ”的（的（ ） ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】A 第 2 页 共 20

3、页 【解析】【解析】利用对数函数的单调性解不等式得到 22 loglogab ab ，取特殊值 得到 22 loglogaabb ，从而得到“ 22 loglogab”是“ ab ”的充分不 必要条件. 【详解】 因为 22 loglogab，所以0ab 根据不等式的性质得到：ab 即 22 loglogab ab 反过来， 因为当1,0ab时， 2 log b的值没有意义， 所以 22 loglogaabb 则“ 22 loglogab”是“ ab ”的充分不必要条件 故选:A 【点睛】 本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题. 4欧拉公式欧拉公式 eixcos xisin x(i

4、为虚数单位为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指 数函数的定义域扩大到复数， 建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复变函数论里非数函数的定义域扩大到复数， 建立了三角函数和指数函数的关系， 它在复变函数论里非 常重要，被誉为常重要，被誉为“数学中的天桥数学中的天桥”根据欧拉公式可知，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应表示的复数在复平面中对应 的点位于的点位于( ) A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由题意得 2 cos2sin2 i ei，得到复数在复

5、平面内对应的点(cos2,sin2)， 即可作出解答. 【详解】 由题意得，e2icos 2isin 2， 复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2) 2， cos 2(1，0)，sin 2(0，1)， e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选 B. 【点睛】 本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题. 第 3 页 共 20 页 5函数函数 2 ee xx f x x 的图像大致为的图像大致为 ( ) A B C D 【答案】【答案】B 【解析】【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解： 2 0,()( )( ) xx ee xfxf xf x x

6、 为奇函数，舍去 A, 1 (1)0fee 舍去 D; 2 43 ()()2(2)(2) ( )2,( )0 xxxxxx eexeexxexe fxxfx xx ， 所以舍去 C；因此选 B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象 左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变 化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环 往复 6若若( )sin cosf xxx在在, a a是增函数，则是增函数，则a的最大值是（的最大值是（ ） A 4 B 2 C 3 4 D 【答案】【答案】A 【解析】【解

7、析】根据辅助角公式,将函数 ( )f x化简,结合正弦函数的单调性递增区间即可求得函 数 ( )f x的单调递增区间.根据闭区间, a a 内单调递增,即可求得a的最大值. 【详解】 第 4 页 共 20 页 函数( )sincosf xxx 所以( )2sin 4 f xx 由正弦函数的单调递增区间可知, ( )2sin 4 f xx 的单调递增区间为 22, 422 kxkkZ 解得 3 22, 44 kxkkZ 因为在 , a a 是增函数 所以a的最大值是 4 故选:A 【点睛】 本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用,正弦函数单调区间的求法,属于基础 题. 7已知函数已知函数(

8、) x f xaxb的零点的零点 0 ( ,1)(Z)xn nn，其中常数，其中常数 a，b 满足满足 20192020 a ，2020 2019 b ，则整数，则整数n的值是（的值是（ ） A2 B1 C1 D2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】利用指数与对数之间的转化求出a，b，结合函数( ) x f xaxb的单调性 以及零点存在性定理，即可得出整数n的值. 【详解】 20192020 a ，2020 2019 b 2019 log20201a ， 2019 2020 20192019 log201911 log2019 log2020log2020 b a 因为函数 x ya与函数

9、yxb在R上都为增函数，所以函数( ) x f xaxb在R 上是增函数 因为 11 ( 1)( 1)10f aa ， 0 11 (0)010fa aa 所以 ( 1)(0)0ff 第 5 页 共 20 页 函数( ) x f xaxb的零点 0 ( 1,0)x ，即 1n 故选：B 【点睛】 本题主要考查了零点存在性定理的运用，属于中档题. 8 若关于 若关于 x 的不等式的不等式 2 2 |1|xxmx的解集中有的解集中有 2 个整数则实数个整数则实数 m 的取值范的取值范 围是（围是（ ） A21m B21m C11m D11m 【答案】【答案】C 【解析】【解析】去掉绝对值，令 2 (

10、 )21,(,1f xxxx ， 2 ( )3,(1,)g xxx， ym ，画出函数 ( )f x与( )g x的草图，结合图像即可得到实数 m 的取值范围. 【详解】 当1x 时， 22 2 |1|21xxmxmxx 当1x 时， 22 2 |1|3xxmxmx 令 2 ( )21,(,1f xxxx ， 2 ( )3,(1,)g xxx，y m 函数 ( )f x与( )g x的草图如下图所示 由于关于 x 的不等式 2 2 |1|xxmx的解集中有 2 个整数 则(0)(2)fmg，即11m 故选：C 【点睛】 本题主要考查了一元二次不等式的解确定参数的取值范围，属于中档题. 第 6

11、页 共 20 页 9设设a e ，ln1b， e cee ，则（，则（ ） Aabc Bbca Ccba Dbac 【答案】【答案】D 【解析】【解析】构造函数( ) x f xex，( )lng xxx，利用导数得出函数 ( )f x，( )g x的 单调性，结合单调性得出c a ，ba，即可得出答案. 【详解】 设函数( ) x f xex，( )lng xxx ( )1 x fxe 当0 x时，( )0fx ，当0 x 时，( )0fx 所以函数( ) x f xex在(,0)上单调递减，在( ) 0,+?上单调递增 所以( )( ) ee ff eeeeeee 故c a 11 ( )1

12、 x g x xx 当01x时，( )0g x ，当1x 时，( )0g x 所以函数( )lng xxx在(0,1)上单调递增，在( ) 1,+?上单调递减 所以( )( )lnlnln1gg eeee 故ba 综上，bac 故选：D 【点睛】 本题主要考查了比较大小，关键是利用函数的单调性来解决问题，属于中档题. 10设设 O 是是ABC的外心，满足的外心，满足 11 () 22 AOtABt AC，()tR，若，若 | | 4ABAC，则，则ABC的面积是（的面积是（ ） A4 B4 3 C8 D6 【答案】【答案】B 【解析】【解析】取 AC 中点 D,由AO ADDO 以及题设条件得

13、到 8AO AC ，计算 第 7 页 共 20 页 11 () 22 AO ACtAB ACt AC AC，得到 3 sin 2 BAC，由三角形面积公式 求解即可. 【详解】 取 AC 中点 D，因为 O 是ABC的外心，所以DO AC 2 1 =8 2 AO ACADDOACAD ACAC 11 () 22 AOtABt AC 2 1111 ()cos()8 2222 AO ACtAB ACt AC ACt ABACBACt AC 则 1 1 1 cos() 168 22 6BACtt ，解得： 1 cos 2 BAC 所以 3 sin 2 BAC 即 13 sin444 3 22 1 2

14、 ABC SABACBAC 仔仔=创创?=? 故选：B 【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题. 二、填空题二、填空题 11己知向量己知向量( 1,2)a ，( , 1)b，则，则|a _，若，若 / /ab，则 ，则_. 【答案】【答案】5 1 2 【解析】【解析】由向量模长的坐标公式以及平行的坐标公式求解即可. 【详解】 第 8 页 共 20 页 2 2 |125a / /ab 1120 ，解得： 1 2 故答案为：5； 1 2 【点睛】 本题主要考查了向量坐标的模长公式、已知两向量平行求参数，属于基础题. 12已知角已知角的终边经过点的终边经过点(

15、1, 3)P ，则，则tan_， sin()cos() 2 _. 【答案】【答案】3 3 4 【解析】【解析】由任意角的三角函数的定义以及诱导公式求解即可. 【详解】 由任意角的三角函数的定义可知 3 tan3 1 sin()sin ，cos()cos()cos()sin 222 所以 2 2 2 2 33 sin()cos()sin 24 13 故答案为：3； 3 4 【点睛】 本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式，属于基础题. 13已知函数已知函数 3 log,0 ( ) 2,0 x xx f x x ，则，则 2 ( log 3)f _，若，若( )2f x ，则，则 实数实

16、数 x 的值是的值是_. 【答案】【答案】 1 3 9 【解析】【解析】先判断 2 log 30，代入第一段解析式结合对数的运算性质求解即可；讨论 0 x 和0 x两种情况，代入相应解析式，求解即可. 【详解】 第 9 页 共 20 页 2 log 30 2 log 30 2 2 log log 3 2 1 3 1 ( log 3)22 3 f 当0 x 时， 33 lo( )2g 9g2lof xx ，解得9x 当0 x时，( )222 x f x ，解得： 1x （舍） 故答案为： 1 3 ；9 【点睛】 本题主要考查了分段函数已知自变量求函数值以及已知函数值求自变量，属于基础题. 14

17、如图， 四边形 如图， 四边形ABCD中，中，ABD、BCD分别是以分别是以AD和和BD为底的等腰三角形，为底的等腰三角形， 其中其中1AD ，4BC ，ADBCDB，则，则cosCDB_， AC _. 【答案】【答案】 1 4 2 6 【解析】【解析】由余弦定理得出cosCDB，cosADB，由ADBCDB建立等量关 系，得出DB的长，代入cos 8 DB CDB得到cosCDB的值，利用二倍角公式得 到 7 cos 8 ADC ，根据余弦定理即可求出AC. 【详解】 由余弦定理可知： 2222 cos 288 DCDBBCDBDB CDB DC DBDB 222 1 cos 22 ADDB

18、AB ADB AD DBDB 第 10 页 共 20 页 因为ADBCDB，所以 1 82 DB DB ，解得：2DB 所以 21 cos 884 DB CDB 2 17 coscos22cos121 168 ADCCDBCDB 所以 22 2cos1 1672 6ACADDCAD DCADC 故答案为： 1 4 ；2 6 【点睛】 本题主要考查了余弦定理的应用，属于中档题. 15设设1a ，曲线，曲线( ) x f xa与曲线与曲线( )logag xx有且仅有一个公共点，则实数有且仅有一个公共点，则实数 a 的的 值是值是_. 【答案】【答案】 1 e e 【解析】【解析】由于指数函数(

19、) x f xa与对数函数( )logag xx互为反函数，则公共点在直 线y x 上，即函数( ) x f xa，1a 与直线y x 只有一个交点，对应的方程 0 x ax只有一个根 构造函数( ) x h xax，1a ，利用导数求出其最小值，解方程 logln logln0 a a a aa ，即可得出实数 a 的值. 【详解】 因为指数函数( ) x f xa与对数函数( )logag xx互为反函数 所以( ) x f xa与( )logag xx关于直线y x 对称 由于1a 时，曲线( ) x f xa与曲线( )logag xx有且仅有一个公共点 则公共点在直线y x 上 即函

20、数( ) x f xa，1a 与直线y x 只有一个交点 即0 x ax只有一个根 令( ) x h xax，1a ( )ln1 x h xaa 第 11 页 共 20 页 当logln a xa 时，( )0h x 当logln a xa 时，( )0h x 所以函数( )h x在区间(, logln) a a 上单调递减，在区间logln, a a上单 调递增 所以函数( )h x的最小值 logln ( logln)=logln0 a a aa haaa 即 1 ln ln11 0ln(ln )1ln lnln e a aaae aae 故答案为： 1 e e 【点睛】 本题主要考查了根

21、据函数零点的个数求参数， 关键在于发现同底的指数函数与对数函数 互为反函数，关于直线y x 对称，属于较难 题. 16设向量设向量a，b，c，e是单位向量且是单位向量且 0abc ，则，则 aebebececeae_. 【答案】【答案】 3 2 【解析】【解析】将 2 ()()()aebece展开，利用向量的数量积公式，化简即可得出 答案. 【详解】 2 2 3()()()abceaebece 222 ()()()2aebeceaebebececeae 2222 322abceeabcaebebececeae 62aebebececeae 0abc 33abcee 则 2 6239aebebe

22、ceceeea 所以 963 22 aebebececeae 第 12 页 共 20 页 故答案为： 3 2 【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量的混合运算，属于中档题. 17若若 a 为实数，对任意为实数，对任意 1,1k ，当，当(0,4x时，不等式时，不等式 2 6ln9xxxakx 恒成立，则恒成立，则 a 的最大值是的最大值是_. 【答案】【答案】7 【解析】【解析】将原不等式 2 6ln9xxxakx 等价于 2 n86laxxx ，构造函数 2 ( )6l,48n,(0f xxxx x ，利用导数求出其最小值 min ( )7f x，即可得到 a 的最大值. 【详

23、解】 因为对任意 1,1k ，当(0,4x时，不等式 2 6ln9xxxakx 恒成立 所以对任意 1,1k ，当(0,4x时，不等式 2 6ln9xxxa k x 恒成立 即 22 2 min 6ln96ln9 16l8n xxxaxxxa kaxxx xx 所以当(0,4x时，不等式 2 n86laxxx 恒成立 令 2 ( )6l,48n,(0f xxxx x 则 min ( )af x 2 286(22)(3) ( ) xxxx fx xx 当( )0fx 时， (22)(3)0 13 04 xx x x 当( )0fx 时， (22)(3)0 04 xx x 01x或34x 所以函数

24、 ( )f x在区间(0,1)和(3,4上单调递减，在区间(1,3)上单调递增 (1)0 1 87,(4)6ln4 1632166ln4ff 因为 3 166ln4796ln43(3ln16)3ln0 16 e 第 13 页 共 20 页 所以 min ( )7f x 所以7a ，a的最大值为：7 故答案为：7 【点睛】 本题主要考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于难题. 三、解答题三、解答题 18设设:|1| 2p x x ， 2 :(31)30q xmxm . （）解不等式：）解不等式：|1| 2x x ； （）若）若 p 是是 q 成立的必要不充分条件，求成立的必要不充分条件，求

25、m 的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （） |2x x ,（） 2 3 m 【解析】【解析】 （）对x的值进行分类讨论，去掉绝对值，利用一元二次不等式的解法求解 即可； （）令 p 的解集为 A，即 |2Ax x，q 的解集为 B，由题意得到BA, 根据 集合 A,B 的包含关系，对参数 m 进行讨论列出相应关系式，求解即可. 【详解】 （）当0 x，不等式显然成立, 当1x 时，不等式可化为 2 2012xxx ，即12x, 当1x 时，不等式可化为 2 20 xx ，由于 22 17 2()0 24 xxx-+=-+ 则当1x 时，不等式可化为 2 20 xx 恒成立 综上，不等式

26、的解集为 |2x x . （） 由 （） 知， 令 p 的解集为 A， 即 |2 Ax x， q 的解集为 B， 由题意知BA, 方程 2 (31)30 xmxm的两根为1和 3m, 当13m 时，即 1 3 m ，B，BA显然成立, 当13m 时，即 1 3 m ， |31Bxmx ，BA显然成立, 当13m 时，即 1 3 m ， | 13 Bxxm ，要使BA成立, 则32m ，即 2 3 m , 第 14 页 共 20 页 综上 2 3 m . 【点睛】 本题主要考查了解含有绝对值的不等式、 根据必要不充分条件求参数范围， 属于中档题. 19 在 在ABC中，中， a， b， c 分别

27、为角分别为角 A， B， C 所对边的长，所对边的长，cos4 cosaBbA 且且 1 cos 7 A . （）求角）求角 B 的值；的值； （）若）若8a ，求，求ABC的面积的面积. 【答案】【答案】 （） 3 B ,（）10 3 【解析】【解析】（） 利用正弦定理将边化为角并化简得到 1 tantan 4 BA， 由利用 1 cos 7 A， 求出tan4 3A ，从而得到tan3B ，根据 B 的范围，求出 B; （）根据条件得出 4 3 sin 7 A ， 5 3 sin 14 C ，利用正弦定理求出5c ，再由三 角形面积公式求解即可. 【详解】 （）cos4cosaBb A，s

28、incos4sincosABBA, 即 1 tantan 4 BA，又 1 cos 7 A， 2 1 1 7 tan4 3 1 7 A , tan 3B , tan0B , B 为锐角 3 B , （）ABC中， 1 cos 7 A，则 4 3 sin 7 A , 5 3 sinsin()sincoscossin 14 CABABAB , 根据正弦定理5 sinsin ca c CA , 113 sin5 810 3 222 ABC SacB . 第 15 页 共 20 页 【点睛】 本题主要考查了正弦定理解三角形以及正弦定理的边化角公式、三角形面积公式，属于 中档题. 20已知函数已知函数

29、1 ( )2f xx x . （）若不等式）若不等式(2 )20 xx fk在在 1,1上有解，求上有解，求 k 的取值范围；的取值范围； （）若方程）若方程 2 (|21|)30 |21| x x k fk 有三个不同的实数解，求实数有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范的取值范 围围. 【答案】【答案】 （）1k （）0k 【解析】【解析】 （）将不等式(2 )20 xx fk化为 2 12 1 (2 )2 xx k ，令 11 ,2 22 x t ， 构造函数 2 ( )21g ttt， 求出 max ( )g t， 由题意不等式( )kg t有解， 则 max ( )kg t; （）

30、将方程化为 12 |21|230 |21|21| x xx k k ，利用换元法得到 2 (32)210tktk ，根据函数|21|(0) x tt的图像以及题设条件，确定方 程 2 (32)210tktk 有两个根 12 ,t t，且 12 01tt 或 12 01,1tt，构造 函数 2 ( )(32)21h ttktk，列出不等式组，求解即可. 【详解】 （）原式 2 112 22201 2(2 )2 xx xxx kk, 令 11 ,2 22 x t ，则 2 21ktt , 令 2 ( )21g ttt，( )0,1g t 因为对称轴1t ， 所以二次函数( )g t在区间0,1上单

31、调递减， 所以 max ( )(0)1g tg ( )kg t有解， max ( )kg t, 1k . （）原式可化为 12 |21|230 |21|21| x xx k k , 第 16 页 共 20 页 令|21|(0) x tt， 原式可化为 2 12 230(32)210 k tktktk tt 因为方程 12 |21|230 |21|21| x xx k k 有三个不同的实数根，所以由 |21|(0) x tt的图像知, 方程 2 (32)210tktk 有两个根 12 ,t t，且 12 01tt 或 12 01,1tt 令 2 ( )(32)21h ttktk 则 (0)120

32、 (1)0 hk hk 或 (0)120 (1)0 23 01 2 hk hk k 0k . 【点睛】 本题主要考查了函数不等式能成立问题以及根据函数零点的个数求参数的范围， 属于中 档题. 21已知平面向量已知平面向量a，b，且，且 0a b . （）若）若2ab rr ，平面向量，平面向量c满足满足| 1cab，求，求c r 的最大值；的最大值； （）若平面向量）若平面向量c满足满足| 3ca，| 1cb，1 | |5c，求，求|cab的取值的取值 范围范围. 【答案】【答案】 （）2 2 1 ,（） 5,3 【解析】【解析】 （）根据题意用坐标表示向量a，b，c，利用向量的加法运算、平面

33、向量 的模长公式以及| 1cab， 化简得到 22 (2)(2)1xy， 利用 22 cxy 的最大值等价于(0,0)到( 2, 2)的距离加半径，求出c r 的最大值； （）根据题意用坐标表示向量a，b，c，由题设条件以及平面向量的模长公式得到 第 17 页 共 20 页 22 22 22 ()9 ()1 15 xay xyb xy ，化简得到 22 5()()9xayb，利用模长公式得到 22 |()()cabxayb ，根据 22 ()()xayb的范围得到|cab的取 值范围. 【详解】 （）设(2,0)aOA，(0,2)bOB，( , )cOCx y， (20,02)(2,2)cab

34、xyxy 则 22 | 1(2)(2)1cabxy 22 cxy的最大值等价于(0,0)到( 2, 2)的距离加半径 所以 max 2 21c （）设( ,0)aa，(0, )bb，( , )cx y=, 依题意得 22 22 22 ()9 ()1 15 xay xyb xy , 22 11()9()5ybxa , 22 5()()9xayb (0,0)(,)cabxaybxa yb 22 |()() 5,3cabxayb 【点睛】 本题主要考查了向量的坐标运算、坐标表示以及模长公式的应用，关键在于构造坐标， 来解决问题，属于中档题. 22设设, a bR，已知函数，已知函数 ( )lnf x

35、ax， 2 ( )g xxbxb . （）设）设 2 ( ) ( ) xf x F x a ，求，求( )F x在在 ,2 aa上的最大值上的最大值. （）设）设( )( )( )G xf xg x，若，若( )G x的极大值恒小于的极大值恒小于 0，求证：，求证： 4 abe . 第 18 页 共 20 页 【答案】【答案】 （） max 1 ln0 4 ( ) 1 2ln2 4 aa F x aa ,（）证明见解析 【解析】【解析】 （）对函数( )F x求导，得出( )F x的单调性，因为( )F x在区间 1 (0, ) e 单调递 减，在区间 1 ( ,) e 单调递增，所以函数(

36、)F x在闭区间 ,2 aa上的最大值就是区间 ,2 aa端点的函数值中最大的一个，利用作差法比较它们的大小，即可得到函数( )F x 在 ,2 aa上的最大值. （）利用导数求出函数( )G x的极大值 2 111 G( )lnxaxxab，构造函数 2 ( )lnK xaxxab，(0,) 2 a x，利用导数得出 3 ( )()ln0 222 aaa K xKab，从而得到 3 ln 22 aa ba ， 5 ln 222 aaa ab ，通过换元并构造函数( )ln5m tttt ，利用导数得出函数 ( )m t的最大值，即可证明 4 abe . 【详解】 （）由题知0a ， 1 (

37、)(1ln )F xx a 当 1 0 x e 时，( )0F x ；当 1 x e 时，( )0F x 从而( )F x的单调递增区间是 1 ( ,) e ，递减区间是 1 (0, ) e 从而， max ( )max (2 ),( )F xFa F a, 于是 2 (2 )( )ln4lnln4FaF aaaa； 当 1 4 a 时，(2 )( )FaF a，所以 max ( )(2 )2ln2F xFaa; 当 1 0 4 a时，(2 )( )FaF a，所以 max ( )( )lnF xF aa； 综上所得 max 1 ln0 4 ( ) 1 2ln2 4 aa F x aa （）依

38、题知 2 G( )ln(1)xaxxb x，则 第 19 页 共 20 页 2 2 ( )2(0) axbxa G xxbx xx ，因为( )G x存在极大值，则关于 x 的方程 2 20 xbxa ，有两个不等的正根，不妨 12 xx，则 12 2 a x x ，得0a ，且 1 0 2 a x , 设 2 ( )2p xxbxa列表如下： x 1 (0,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 (,)x ( )p x + 0 0 + ( )G x + 0 0 + ( )G x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 从而极大值 2 1111 ( )ln(1)G xaxxb x

39、，又 2 11 (2)bxxa ， 从而 2 111 G( )ln0 xaxxab，对 1 0 2 a x恒成立, 设 2 ( )lnK xaxxab，(0,) 2 a x，则 2 2 ( ) ax K x x 因为 2 ( , )20 xa，所以 2 2 ( )0 ax K x x 所以( )K x在(0,) 2 a 上递增，从而 3 ( )()ln0 222 aaa K xKab 所以 3 ln 22 aa ba ， 55 lnln 22222 aaaaa aba , 设,(0) 2 a tt，则( )ln5m tttt ，又( )4lnm tt. 若 4 (0,)te，( )0m t ；若 4 (,)te，( )0m t ； 从而 44444 ()( )ln5m tm eeeee，即 4 abe . 第 20 页 共 20 页 【点睛】 本题主要考查了利用导数求函数在给定区间的最值以及证明不等式， 考查学生的计算和 推理能力，属于难题.