行程问题.docx

1、小学奥数行程问题之我见小学奥数行程问题之我见 -小手冰凉 献给普通的孩子 数学尤其是奥数，一般都有多种解题思路和方法，就像上楼一样，有人坐点电梯，有人爬楼 梯， 但是两方法都可以实现上楼， 现在我主要以一般人都能听懂的方法解答， 牛娃可以忽略。 数学题一定要先读懂题，然后找到已知条件，根据数学理论，利用已知条件直接或者间接 求出答案，奥数题一般不可能直接求出来，基本都是间接求得，那就需要弄明白这些条件跟 问题的关系，以及这些条件可以得到哪里对解题有用的信息或者数据。 对于行程问题，需要用到的道路一般有三种 1，线，2，圆，3，电梯(河流)。行进方法一 般有两种，1，同向追及，2，相向相遇，其实

2、这两种都可以理解为相遇。那综上看来，不管 是在何种道路，用哪种方式，相遇是不可缺少的（当然也有例外） ，那么相遇基本上是解题 思路的一个突破点，不管是是什么情况，行程问题的公式是必不可少的，那就是 S=VT。 那最初的行程也是大家最容易理解的，那就是一段路 S，一个人或者物用速度 V，花了时 间为 T 把这段路走完，那么 S=VT，已知其中任何两个数量，都可以轻松求出第三个变量， 那么增加到两人， 增加到两个人的时候， 那么这两个人必定有共同或者共通的条件关系或者 对等关系，那么这些关系是解题的重点和突破点，也就是以不变应万变，以静制动,不变的 就是 S=VT 以及根据这个关系推到的各种比例关

3、系，最经常用到的就是，相同时间 T， V1/V2=S1/S2，任何一段时间都适合，这个理论在奥数竞赛中用到的几率最多。以静制动就 是当题目中出现相遇时或者到达时， 把这个点当做是静止的， 当你把这个步骤计算或者达到 某些条件后，再让他们动起来，然后在静止。 （类似与我们玩的“木头人”游戏）喊一个木 头人，静止了，得到一个对等关系或者比例关系。然后在跑，然后再喊得到第二个，第三 个，这些关系结合一起，就可以得到解题的方法，或者得到可以解题的条件。 例例1，甲、乙二人以均匀的速度分别从甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇

4、地 点离点离A 地地4 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B 地地3 千米处第二千米处第二 次相遇，求两次相遇地点之间的距离次相遇，求两次相遇地点之间的距离. 解析：解析：题中要算的是距离，给的已知数也只有距离，完全没速度和时间怎么算？那么就可以肯定这题肯定是利用比例关 系解题的。而依照题意，两个人是同时出发，所以时间T是一样的，那么思路就来了，时间一样，那么两人的速度 比等于任意时段的路程比。下面开始解题，这个题是路两头相对同时走相遇的问题，那么可以知道在任何一个相 遇点，他们走路的时间是一样的，这个就是对等关系的

5、一个突破点，那么根据时间不变路程和速度成正比，速度 是不变的， 而路程在不断变化， 并且题中也只给了路程相关的条件， 所以就利用所有时段的甲乙速度比是不变的， 可以得到任何时段甲乙走的路程的比值也是不变的。 详细如下： 第一次相遇点离A点4KM， 那说明从A点出发的人， 我们设为甲好了，在相遇时，喊“木头人”，此时甲走了4KM。假设总路程是S，那么相遇时乙走了S-4，到这里 第一次相遇的条件基本用完了，继续走，那么第二次相遇，继续喊“木头人”，又停下来了，这时候，由题意可 以知道，第二次相遇甲走到头折回来走了3KM，那么甲全程走了S+3，乙是走到头折回来走了S-3，所以全程乙走 了2S-3，

6、根据时间相同路程跟速度成正比关， 可以得到， V甲/V乙=S甲/S乙， 所以第一次相遇， V甲/V乙=4/ （S-4） ， 第二次相遇V甲/V乙=(S+3)/(2S-3)，所以得到4/（S-4）=(S+3)/(2S-3)，解得S=9，那么两个相遇点相距就是 9-4-3=2KM，这个解题过程出现了2次方程，但是不必惊慌，一般情况下是可以约掉变成一次方程解答。这就是数 学的“巧合” 读者可以自己画个图来表示一下，更容易理解读者可以自己画个图来表示一下，更容易理解 例2甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60 米，乙每分钟走米，乙每分钟走67.5 米，丙每分钟走米，丙每分钟走

7、 75 米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后， 又经过又经过2 分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 解析：这个题比较简单，读题，速度都有了，时间只有一小段，求的是路程。要求的路程跟给出的时间不匹配，所 以无法用公式直接求得结果的，那就分析这个时间是干嘛的吧，丙和甲相遇后又经过2分钟与甲相遇，很好理解嘛，乙 比甲跑的快，所以乙先见到丙，甲后见到，那么注意这个时间，是乙和丙相遇后2分钟遇到甲的，那么也就是说乙和丙 相遇时（喊声木头人），这时甲和丙（乙和丙在

8、同一个位置）还有一段距离，这个距离甲和丙需要走2分钟，很容易算 出来2分钟甲和丙走了2x（60+75）=270米。那么题目又可以理解为，乙和丙相遇时甲和丙（乙）相距270米（变得简单 许多了），也就是乙比甲多走270米，那甲要用多长时间呢？，好像追击问题的距离差，这个就是T=S/(V1-V2)，更加直 白的说就是，乙每分钟比甲多走了67.5-60=7.5米，那么多走270米需要多久？270/7.5=36秒，这个时间也是乙和丙相遇 的时间，那么根据相遇路程S=T(V1+V2)可以计算出来总路程=36X（67.5+75）=5130米。那么算出来结果可以快速用甲丙 相遇验证一下，相遇时间=5130/

9、(60+75)=38.确实比乙丙相遇晚了2分钟。（用36+2=38的时间来验算路程是非5130也可 以） 例3爷爷坐汽车，小李骑自行车，沿一条公路同时从爷爷坐汽车，小李骑自行车，沿一条公路同时从A A 地去地去B B 地。汽车每小时行地。汽车每小时行40 40 千米，千米， 是自行车速度的是自行车速度的2 25 5 倍。结果爷爷比小李提前倍。结果爷爷比小李提前3 3 小时到达小时到达B B 地。地。A A、B B 两地间的路程是多两地间的路程是多 少千米少千米? ? 解析：解析：题中条件：1，汽车速度也就是爷爷速度是40,2，自行车速度也就是小李的速度是40/2.5=16（这个是个隐含条 件，

10、但比较容易看出）,3，爷爷比小李提前3个小时，换句话说也就是小李多用了3个小时。给出机种解法 解法1：这题方程很容易算出来。设两地路程是X，那么爷爷走的时间X/40，小李走的时间X/16。他们的关系如下 X/40=X/16-3， 解得到X=80，所以两地相距80KM。 解法2：对于木有学过方程的同学，这个题还有另外的解法，分析题，如果我们在爷爷到达B地时，喊声木头人，那 么此时小李在哪里呢，依照题意可以得到，小李在半路，并且，小李还需要3个小时才能到达终点，那么此时就可以算 出来小李离B点的距离是16X3=48KM,因为爷爷也刚好到达的B，也就是说此时爷爷比小李多走了48公里，那么爷爷走了多 久了呢，48/（40-16）=2小时，也就是说爷爷走了2小时的时候超过小李48KM，爷爷刚好已经走完了全路程，那么全部 路程就是爷爷坐车速度40X2=80KM。 解法3：同样的路程爷爷坐车的速度是小李的2.5倍，根据S=VT，那么小李用的时间是爷爷的2.5倍，因为题目说的是 小李比爷爷多了3小时，所以看看小李比爷爷多了多少倍？多 1.5倍，多1.5倍是多3小时，那么1倍是2小时，那么就可 以得到爷爷用了2小时，小李用了5小时，S=VT=40X2或者16X5=80KM