四川启明星教育 小学奥数36个精彩讲座总汇( 97页资料).doc

1、四川启明星教育四川启明星教育 小学奥数小学奥数 3636 个精彩讲座总汇个精彩讲座总汇 第第 1 1 讲讲 计算综合（一）计算综合（一） 繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题 1繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示： 甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”找到最长的分数线，将其上视 为分子，其下视为分母 2一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数所以需将带分 数化为假分数 3某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观 4对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可 5本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参

2、阅思维导引详解五年级 第 1 讲 循环小数与分数 1计算： 711 4 7 1826 2 135 8 133 3416 【分析与解】【分析与解】原式= 7123 72317 4612 24 14 88128 1312 33 2计算： 【分析与解】【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有 5 19 9 于是，我们想到改变 运算顺序，如果分子与分母在 5 19 9 后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数 的值为 1；如果不一致，也不会增加我们的计算量所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运 算顺序 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为 1

3、9950.5 具体过程如下： 原式= 59 19( 35.22) 1993 0.41.6 910 () 527 1995 0.51995 19( 65.22) 950 = 5 191.32 1993 0.44 0.4 0.5 9 () 5 1995 0.41995 0.5 191.32 9 = 199320.4 1 () 19950.5 = 0.4 1 0.5 = 1 1 4 3计算： 1 1 1 1 1 1 1987 【分析与解】原式= 1 1 1987 1 1986 = 1986 1 3973 = 1987 3973 4计算：已知= 18 1 11 1+ 1 2+ 1 x+ 4 ，则 x

4、等于多少? 【分析与解】方法一【分析与解】方法一： 1118x68 114x1 12x711 1+11 14 8x6 2+2 1 4x1 x+ 4 交叉相乘有 88x+66=96x+56，x=125 方法二方法二：有 1113 11 1 88 2 1 x 4 ，所以 182 22 1 33 x 4 ；所以 13 x 42 ，那么 x 1.25 5求 94 4,43,443,.,44.43 个 这 10 个数的和 【分析与解】方法一【分析与解】方法一： 94 4+43+443 .44.43 个 = 104 4(44 1)(444 1).(44.4 1) 个 = 104 444444.44.49

5、个 = 109 4 (999999 . 999.9)9 9 个 = 100 4 (10 1)(100 1)(1000 1).(1000.0 1) 9 9 个 = 91 4 111.1009=4938271591 9 个 . 方法二方法二：先计算这 10 个数的个位数字和为3 9+4=31； 再计算这 10 个数的十位数字和为 49=36，加上个位的进位的 3，为36339； 再计算这 10 个数的百位数字和为 48=32，加上十位的进位的 3，为32335； 再计算这 10 个数的千位数字和为 47=28，加上百位的进位的 3，为28331； 再计算这 10 个数的万位数字和为 46=24，加

6、上千位的进位的 3，为2432 7； 再计算这 10 个数的十万位数字和为 45=20，加上万位的进位的 2，为2022 2； 再计算这 10 个数的百万位数字和为 44=16，加上十万位的进位的 2，为16218； 再计算这 10 个数的千万位数字和为 43=12，加上百万位的进位的 1，为12 1 13 ； 再计算这 10 个数的亿位数字和为 42=8，加上千万位的进位的 1，为8 19 ； 最后计算这 10 个数的十亿位数字和为 41=4，加上亿位上没有进位，即为4 所以，这 10 个数的和为 4938271591 6.如图 1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中 6

7、条线段的长度之和是多 少? 【分析与解】【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这 6 条线段的长度之和为： 117 3 (0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=6 3440 7.我们规定，符号“”表示选择两数中较大数的运算，例如：352.9=2.93.5=3.5符 号 “”表示选 择两数中 较小数的 运算， 例如 ： 3.5 2.9=2.9 3.5=2.9请计 算： 23155 (0.625) (0.4) 33384 1235 (0.3)(2.25) 3104 【分析与解】原式 155 0.625 5155725 384 2 1 838412256 2.25

8、 3 8 规 定 （ 3 ） =234 ， （ 4 ） =345 ， (5)=456 ， (10)=91011 ， 如 果 111 (16)(17)(17) ，那么方框内应填的数是多少? 【分析与解】【分析与解】 111(17) ()1 (16)(17)(17)(16) = 16 17 181 1 15 16 175 . 9从和式 111111 24681012 中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于 1? 【分析与解】【分析与解】 因为 111 6124 ，所以 1 2 , 1 4 , 1 6 , 1 12 的和为 l，因此应去掉 1 8 与 1 10 . 10 如图 1-2 排列

9、在一个圆圈上 10 个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环 小数，例如 1.892915929那么在所有这种数中。最大的一个是多少? 【分析与解】【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有 92918较大，于是最大的为 9.291892915 11请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个 分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】【分析与解】 有 114 61015 ， 111 10156 ， 111 351410 评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢? 注意到 11ca abc bab c ，当acb 时，有 11ca1 abc

10、 bab cac 当 a、b、c 两两互质时，显然满足题意 显然当 a、b、c 为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为 2，不妨设 a 为 2，那么有2cb ，显然 b、c 为一对孪生质数 即可得出一般公式： 111 2 (c2c (c2)2 c ） ，c 与 c+2 均为质数即可. 12计算： 111 (11. (1) 2 23 310 10 ） （） 【分析与解】【分析与解】 原式= (2 1) (2 1)(3 1) (3 1)(10 1) (10 1) . 2 23 310 10 = 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11

11、2 2 3 3 4 4 . 10 10 = 1 2 3 3 4 4 5 5 . 9 9 10 11 2 2 3 3 4 4 . 9 9 10 10 = 1 2 10 11 2 2 10 10 = 11 20 . 13已知 11 66 12 67 13 68 14 69 15 70 a=100 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 .问 a 的整数部分是多少？ 【分析与解】【分析与解】 11 66 12 67 13 68 14 69 15 70 a=100 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 = 11 (65 1) 12 (66 1) 13 (67

12、1) 14 (68 1) 1569 1 100 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 （） = 11 12 13 14 15 1100 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 （） = 11 12 13 14 15 100100 11 65+12 66 13 67 14 68 15 69 . 因为 1112131415 100 11 65+12 66 13 67 14 68 15 69 11 12 13 14 15100 100 11 12 13 14+156565 （） 所以a 10035 100+101 6565 . 同时 1112131415 1

13、00 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 11 12 13 14 15100 100 11 12 13 14+156969 （） 所以 a 10031 100101 6969 . 综上有 31 101 69 a 35 101 65 所以 a 的整数部分为 101 14问 135799 . 2468100 与 1 10 相比，哪个更大，为什么? 【分析与解】方法一【分析与解】方法一：令 135799 . 2468100 A， 2468100 . 3579101 B， 有 13579924681001 . 24681003579101101 A B. 而 B 中分数对应的都

14、比 A 中的分数大，则它们的乘积也是 BA， 有 AA4B 1 101 （） 111 1001010 ，所以有 AA 11 1010 ，那么 A 1 10 即 135799 . 2468100 与 1 10 相比， 1 10 更大 方法二方法二：设 13579799 . 246898100 A， 则 2 1133559999 . 224466100100 A = 1 3 3 5 5 7 7 . 97 97 99 99 1 2 2 4 4 6 6 8 . 96 98 98 100 100 ， 显然 1 3 2 2 、 3 5 4 4 、 5 7 6 6 、 97 99 98 98 、 99 10

15、0 都是小于 1 的，所以有 A 2 1 100 ，于是 A 1 10 . 15下面是两个 1989 位整数相乘： 1989119891 111.11 111.11 个个 问：乘积的各位数字之和是多少? 【分析与解】【分析与解】 在算式中乘以9， 再除以9， 则结果不变 因为 19891 111.11 个 能被9整除， 所以将一个 19891 111.11 个 乘以 9，另一个除以 9，使原算式变成： 198991988 999.99 123456790.012345679 个共位数 = 198901988 1000.00 1123456790.012345679 个共位数 （） = 1988

16、198901988 123456790.012345679000.00 123456790.012345679 共位数个共位数 = 19881980 123456790.012345679123456789876543209.987654320987654321 共位数共位数 得到的结果中有 19809=220 个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个 “987654321”，所以各位数之和为： 1 2 3 4 5 6 7 92209 8 76 5 4 3 2220 （）（） +1 2 3 4 5 6 7 89 8 76 5 4 3 2 117901 （

17、） （） 评注：1111111119=12345679； M k9 999.9 个 的数字和为 9k(其中 M k9 999.9 个 )可以利用上面性质较快的获得结果 第第 2 2 讲讲 计算综合（二）计算综合（二） 本讲主要是补充计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算 1n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3； 2从 1 开始连续 n 个自然数的平方和的计算公 a 式： 2222 1 123121 6 nnnn 3平方差公式：a 2-b2=(a+b)(a-b) 1 已知 a= 11 , 11 22 11 33 11 1 99 99 100 b 试比

18、较 a、b 的大小. 【分析与解】【分析与解】 11 , 11 22 11 33 11 11 9898 ab AB 其中 A=99,B=99+ 1 . 100 因为 A98+ 1 B ， 1111 9797,9696, 1111 98989797 11 9898 AB AB 11 22, 11 33 11 44 11 11 9898 AB 所以有 a b 2.试求 11 11 21 11 31 11 43 11 4 1 2005 2005 的和？ 【分析与解】【分析与解】 记 1 , 1 3 1 4 1 2005 x 则题目所要求的等式可写为： 11 , 1 2 1 1 x x 而 1111

19、1. 1 222 1 1 x xxx x 所以原式的和为 1 评注：评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想 2 试求 1+2+3+4+4+100 的值? 【分析与解】 方法一：方法一： 利用等差数列求和公式， (首项+末项)项数2=(1+100)1002=5050 方法二：方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+4+ 3+ 2+ 1, 上下两个数相加都是 101，并且有 100 组，所以两倍原式的和为 101100，那么原式的和为 10l100 2=5050 方法三：方法三：整数裂项(重点)， 原式=(12+2

20、2+32+42+1002)2 =1 22 (3 1)3 (42)4 (5 3)100 (101 99)2 =(1 22 31 2 3 42 34 53 4 100 10199 100)2 =100 101 2 =5050. 3 试求 l2+23+34+45+56+99100 【分析与解】方法一：【分析与解】方法一：整数裂项 原式=(123+233+343+453+563+991003)3 =123+23(4-1)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3 (1 2 3 2 3 4 1 2 3 3 4 5 2 3 4 4 5 6 3 4 5 5 6 7 4 5

21、 6 99 100 101 98 99 100 )3 99 100 101 3 33 101 100 3333 100 333300. 方程二方程二：利用平方差公式 1 2+22+32+42+n2=2 (1) (21) . 6 nnn n 原式：1 2+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99 =1 2+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+99 = 99 100 19999 100 62 =328350+4950 =333300 5计算下列式子的值： 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0 【分析与解】【分析与解】这

22、个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后 再进行计算即先计算 13+24+35+46+9799+98100。再除以 100 方法一：方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差 2，于是我们容易想到裂项的方法 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0 =(13+24+35+46+9799+98100)100 =(l2+1)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+(9798+97)+(9899+98)100 =(12+23+34+45+9798+9899)+(1+2+3+4+97+98)100 =( 1 3 989910

23、0+ 1 2 9899)100 =3234+48.51 =3282.51 方法二：方法二：可以使用平方差公式进行计算 0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0 =(13+24+35+46+9799+98l00)100 =(1 2-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1)100 =(1 1+22+32+42+52+992-99)100 =( 1 6 99100199-99)100 =16.5199-0.99 =16.5200-16.5-0.99 =3282.51 评注：评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有

24、联系的下面简 单介绍一下整数裂项 12+23+34+(n-1)n = 1 3 123+233+343+(n-1)n3 = 1 3 123+23(4-1)+34(5-2)+(n-1)nn+1-(n-2) = 1 2 32 3 1 2 3 43 4 23 4 5 1 (1)(2)(1)(1)3nnnnnn = 1 (1)(1) 3 nnn 6.计算下列式子的值： 222222 111111 24 ()() 2 34 520 211121210 【分析与解】【分析与解】 虽然很容易看出 111111 , 2 323 4 545 可是再仔细一看， 并没有什么效 果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项我

25、们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们 想到公式1 2+22+32+n2= 1 6 n(n+1)(2n+1)，于是我们又有 2222 16 . 123(1)(21)nnnn 减号前面括号里的式子有 10 项，减号后面括号里的式子也恰好有 10 项，是不是“一个对一个” 呢? 222222 111111 24 ()() 2 34 520 211121210 = 111 24 () 2 34 520 21 111 6 () 1 2 32 3 510 11 12 = 111 24 () 2 34 520 21 111 24 () 2 4 34 6 520 22 21 = 111111 24()(

26、)() 2 32 4 34 54 6 520 2120 22 21 = 111 24 () 2 44 620 22 = 111 6 () 1 22 310 11 = 1 6 (1) 11 = 60 11 7 7计算下列式子的值： 222 222 11111111111111 (1)()() 23451980122345198012345198012 111111111111 ()()()(1) 45198012561980121980122345198012 【分析与解】【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律. 显然 1 2+1=2; 22 222 2222 111

27、(1)( )(1)4; 222 1111111 (1)()( )(1)6; 2323323 111111111111 (1)()()( )(1)8; 234234344234 所以原式=1980122=396024 习题习题 计算 1718+1819+1920+2930 的值 提示：可有两种方法，整数裂项，利用 1 到 n 的平方和的公式. 答案：(293031-161718)3=291031-16176=7358. 第第 3 3 讲讲 多多位数的运算位数的运算 多位数的运算，涉及利用 9 9999 k个 10 k-1，提出公因数，递推等方法求解问题 一、一、 9 9999 k个 1010 k

28、 k- -1 1 的运用 的运用 在多位数运算中，我们往往运用 9 9999 k个 10 k-1 来转化问题； 如： 20043 3333 个 59049 我们把 20043 3333 个 转化为 2004 9999 个9 3， 于是原式为 20043 3333 个 59049=（ 2004 9999 个9 3）59049= 2004 9999 个9 59049=（ 2004 10000 个0 -1） 19683=19683 2004 10000 个0 -19683 而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解； 20049 1968299999999 个 +1 如： 20049 19999 1

29、9999 1968299999999 1 19683 1968299980316 1 1968299980317 个 个 个 ，于是为 19999 1968299980317 个 简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数 原式= 20043 3333 个 233 2008 3333 个3 = 20043 3333 个 23 2008 9999 个9 = 2003 199998 个9 （ 2008 10000 个0 -1） = 2003 199998 个9 2008 10000 个0 - 2003 199998 个9 = 2003920089 20039 2003920030 200392003

30、0 199997999999999 1 199998 199997999800001 1 199997999800002 个个 个 个个 个个 ,于是为 2003920030 199997999800002 个个 . 2计算1111 2004个1 2222 1002个2 =AA，求 A 【分析与解】【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有1111 n个1 ，从而找出突破口. 1111 2004个1 2222 1002个2 =1111 1002个1 0000 1002个0 1111 1002个1 =1111 1002个1 （10000 1002个0 -1） =1111 1002个1 （9999

31、1002个9 ） =1111 1002个1 （1111 1002个1 33）=A 2 所以，A3333 1002个3 . 3计算6666 2004个6 6666 2003个6 25 的乘积数字和是多少? 【分析与解】【分析与解】我们还是利用9999 k个9 =10000 1 k个0 来简便计算，但是不同于上式的是不易得出 凑成9999 k个9 ，于是我们就创造条件使用： 6666 2004个6 66667 2003个6 25= 2 3 （ 2004 9999 个9 ） 2 3 （ 2004 9999 个9 ）+125 = 2 3 （10000 1 2004个0 ） 2 3 （10000 200

32、4个0 ）+125 = 1 3 1 3 210000 2004个0 -22（10000 2004个0 ）+125 = 25 9 410000 4008个0 -210000 2004个0 -2 = 100 9 9999 4008个9 - 50 9 2004 9999 个9 =100 4008 1111 个1 -50 2004 1111 个1 = 4008120045 11110055550 个个 (求差过程详见评注) = 120045 1111055550 2004个个 所以原式的乘积为 120045 1111055550 2004个个 那么原式乘积的数字和为 12004+52004=12024

33、 评注：对于 4008120045 11110055550 个个 的计算，我们再详细的说一说 4008120045 11110055550 个个 = 20051200312005020045 11110000 11110055550 个个个个 = 20041200312005920045 111109999 1 11110055550 个个个个 = 200412003120044 1111044449 111101 个个个 = 2004120045 111105555 个个 4计算 1998219982 2222 2222 个个 的积? 【分析与解】 我们先还是同上例来凑成 k9 9999 个

34、 ； 1998219982 2222 2222 个个 1998219989 2 99992222 9 个个 1998219980 2 10000 12222 9 个个 1998419980 1 10000 14444 9 个个 199841998419980 1 444400004444 9 个个个 1997419975 1 4444355556 9 个个 (求差过程详见评注) 我们知道 94 4444 个 能被 9 整除，商为：049382716 又知 1997 个 4，9 个数一组，共 221 组，还剩下 8 个 4，则这样数字和为 84=32,加上后面 的 3，则数字和为 35，于是再加

35、上 2 个 5，数字和为 45，可以被 9 整除 8 4444355 个4 能被 9 整除，商为 04938271595； 我们知道5555 9个5 能被 9 整除，商为：061728395； 这样 9 个数一组，共 221 组，剩下的 1995 个 5 还剩下 6 个 5，而 6 个 5 和 1 个、6，数字和 36，可以被 9 整除 55556 6个5 能被 9 整除，商为 0617284 于是，最终的商为： 220049382716221061728395 49382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284 个个

36、评注：对于 1998419980 44440000 个个 - 19984 4444 个 计算，我们再详细的说一说 1998419980 44440000 个个 - 19984 4444 个 199741998 444439999 个个9 +1- 19984 4444 个 199741998 444435555 个个5 +1 199741997 4444355556 个个5 . 二、提出公因式 有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和 式或者差式等 5.计算： （1998+19981998+199819981998+ 19981998个 199819981

37、998） （1999+19991999+199919991999 19981999个 199919991999）1999 【分析与解】【分析与解】 19981998个 1998199819981998 19981001个 100110011001 原式1998 （1+10001+100010001+ 19981001个 100110011001） 1999 （1+10001+100010001+ 19981001个 100110011001） 19991998199919991998. 6试求 1993123999999 乘积的数字和为多少? 【分析与解】【分析与解】 我们可以先求出 1993

38、123 的乘积，再计算与(10000001)的乘积，但是 1993123 还是有点繁琐 设 1993123=M，则(1000123)123000M(2000123=)246000，所以 M 为 6 位数，并且 末位不是 0； 令 Mabcdef 则 M999999M（1000000-1）1000000M-M 000000abcdef-abcdef 1 999999abcdeff +1abcdef 1 999999abcdeffabcdef+1 1 9999991abcdeffabcdef 那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f1)+(9a)+(9b)+(9c)+(9d)+(9e)+(9

39、 f+1)=96=54 所以原式的计算结果的数字和为 54 评注：M k9 9999 个 的数字和为 9k(其中 M 的位数为 x，且 xk) 7试求 999999999999999 9 9999 256个 9 9999 512个 9 9999 1024个 乘积的数字和为多少? 【分析与解】【分析与解】 通过上题的计算，由上题评注： 设 999999999999999 9 9999 256个 9 9999 512个 9 9999 1024个 M， 于是 M 9 9999 1024个 类似的情况，于是，确定好 M 的位数即可； 注意到 999999999999999 9 9999 256个 9

40、9999 512个 M， 则 M10100100013100000000 2560 10000 个 0 10000 512个 0 10000 k个 其中 k=1+2+4+8+16+512=1024l=1023； 即 M 0 10000 1023个 ， 即 M 最多为 1023 位数， 所以满足的使用条件， 那么 M 与 9 9999 1024个 乘 积的数字和为 10249=102401024=9216 原式的乘积数字和为 9216 三、递推法的运用 有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方 法 8我们定义完全平方数 A 2=AA，即一个数乘以自身得到的

41、数为完全平方数；已知： 123456765432149 是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【分析与解】【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律) 的方法来求解： 12111 2；123211112；123432111112 于是，我们归纳为 1234n4321=（1111 n个1 ） 2 所以，1234567654321：1111111 2；则，123456765432149=1111111272=77777772所以， 题中原式乘积为 7777777 的平方 评注：以上归纳的公式 1234n4321（1111 n个1 ） 2，只有在 n1 时，7 克

42、的砝码取得较少，而 3、5 克的砝码却取得较多，不是最少的取 砝码情形 所以共需 2+1+17=20 个砝码，有 3 克、5 克和 7 克的砝码各 2、1、17 个 105 种商品的价格如表 81，其中的单位是元现用 60 元钱恰好买了 10 件商品，那么有多 少种不同的选购方式? 【分析与解】【分析与解】 设 B、C、D、E、A 商品依次买了 b、c、d、e、(10-b-c-d-e) 件，则有 2.9 104.77.210.614.9bcdebcde =60 184377120bcde=310，显然e只能取 0，1，2 有184377bcd=310，其中 d 可取 0，1，2，3，4 (1)

43、当 d=0 时，有1843bc=310，将系数，常数对 6 取模得： c4(mod 6)，于是c最小取 4，那么有 18b=310-434=138，b 不为自然 数所以 d=0 时。不满足； (2)有1843bc=233，将系数，常数对 6 取模得： c5(mod 6),于是最小,那么有 18b=233-435=18, ； (3)有1843bc=156，将系数，常数对 6 取模得： cO(mod 6)，于是c最小取 0，那么有 18b=156，b 不为自然数，所以 d=2 时，不满足； (4)有1843bc=79，将系数、常数对 6 取模得： c1(mod 6)，于是最小那么有 18b=794

44、3=36 (5)当 d=4 时，有1843bc=2，显然不满足 有184377bcd=190，其中 d 可以取 0、1、2 (1)有1843bc=190，将系数、常数对 6 取模有： c4(mod 6)，于是最小那么有 18b=190-434=18, (2)当 d=1 时，有1843bc=113，将系数、常数对 6 取模有： c5(mod 6)，于是c最小取 5，即 18b+215=113，显然 d=1 时，不满足； (3) 有1843bc=36,显然有时 有184377bcd=70，d只能取 0， 有1843bc=70，将系数、常数对 6 取模有： c4(rood 6)，于是c最小取 4，那

45、么有 18b+172=70，显然不满足 最后可得到如下表的满足情况： 共有 4 种不同的选购方法 11有 43 位同学，他们身上带的钱从 8 分到 5 角，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全 部钱各自买了画片 画片只有两种： 3 分一张和 5 分一张 每 11 人都尽量多买 5 分一张的画片 问 他们所买的 3 分画片的总数是多少张? 【分析与解】【分析与解】 钱数除以 5 余 0，1，2，3，4 的人，分别买 0，2，4，1，3 张 3 分的画片因此， 可将钱数 8 分至 5 角 2 分这 45 种分为 9 组，每连续 5 个在一组，每组买 3 分画片 0+2+4+1+3=10 张，9 组

46、共买 109=90 张，去掉 5 角 1 分钱中买的 2 张 3 分画片，5 角 2 分中买的 4 张 3 分画片， 43 个人买的 3 分画片的总数是 90-2-4=84 张 12哥德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶数都可以表示成两个质数之和”试将 168 表示成两 个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是 1 【分析与解】【分析与解】 个位数字是 1 的两位质数有 11，31，41，61，71 其中 168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有 168-71=97 是两位数，而且是质数，所以 168=71+97 是惟一解

47、13(1)将 50 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少? (2)将 60 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少? 【分析与解】【分析与解】 (1)首先确定这 10 个质数或其中的几个质数可以相等，不然 10 个互不相等的质数 和最小为 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于 50 所以，其中一定可以有某几个质数相等 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为 2，且最多可有 9 个 2， 那么最大质数不超过 5029=32，而不超过 32 的最大质数为 31 又有 8

48、2 502222331 个 ，所以满足条件的最大质数为 31 (2)最大的质数必大于 5，否则 10 个质数的之和将不大于 50 所以最大的质数最小为 7，为使和为 60，所以尽可能的含有多个 7 607=84， 87 60=7+7+7+7+4 个 ，而 4=2+2，恰好有 87 60=7+7+7+7+2+2 个 即 8 个 7 与 2 个 2 的和为 60，显然其中最大的质数最小为 7 14 有 30 个贰分硬币和 8 个伍分硬币， 用这些硬币不能构成的 1 分到 1 元之间的币值有多少种? 【分析与解】【分析与解】 注意到所有 38 枚硬币的总币值恰好是 100 分(即 1 元)，于是除了

49、 50 分和 100 分 外，其他 98 种币值就可以两两配对了，即 (1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；(49，51)； 每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然 50 分和 100 分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为 1 分，2 分，3 分，48 分和 49 分这 49 种情 况 1 分和 3 分的币值显然不能构成 2 分，4 分，6 分，46 分，48 分等 2；4 种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成 5 分，7 分，9 分，47 分，49 分等 23 种奇数币值的只须分别在 4 分，6 分,8 分，46 分、 48 分的构

50、成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37 分币值的，由于 36 分币 值可用 18 枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为 37 分 综合以上分析，不能用 30 个贰分和 8 个伍分硬币构成的 1 分到 1 元之间的币值只有四种，即 1 分，3 分，97 分，99 分 15小明买红、蓝两支笔，共用了 17 元两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小强 打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)， 可是他无论怎么买， 都不能把35元恰好用完 那 么红笔的单价是多少元? 【分析与解】【分析与解】如下表 先枚举出所有可能的单价如表 1 再依次考虑： 首先