2022届新高考数学二轮复习艺体生专用课件:第四章 第二节 二项式定理 .ppt
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1、第二节 二项式定理 考情解读 命 题 规 律 考点 二项展开式中的特定项或 系数问题 二项式系数及项的系 数问题 多项式展开式中的特定项 或系数问题 考查频次 近年为单独命题 卷,5年1考 卷,5年3考 卷,5年1考 考查难度 中等 中等 常考题型及 分值 选择题,5分 选择题,5分 命 题 趋 势 预计高考对本部分的考查以二项展开式为主,主要以多项式的综合命题为主.复习时注 意:熟练应用二项展开式,幵对多项式展开式加以注意. 基础导学 知识梳理 1. 二项式定理 ( + ) = 1.其中右端为 ( + ) 的二项展开式. 0 0 + 1 1 + + 0 2. 二项展开式的通项公式,第 +1
2、项为 +1= 2. 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 4 增减性 二项式系数 Ckn 当 6 ( ) 时,是递减的 2 最大值 n 当 n 为偶数时,中间的一项 2 取得最大值 当 n 为奇数时,中间的两项 7 和 8 取得最大值 各二项式系数和 0 + 1 + 2 + = 2 3. 二项式系数 (1)定义:二项式系数为3 (2)二项式系数的性质 0 , 1 , 2 , , = +1 2 +1 2 n 1 2 +1 2 知识拓展 1.一对易混概念 二项展开式中第 +1 项的 (1)二项式系数是 , 而不是 +1. (2)项的系数是该项的数字因数. 2.两个常
3、用公式 (1) 0 + 1 + 2 + = 2 . (2) 0 + 2 + 4 + = 1 + 3 + 5 + = 2 1. (展开式的奇数项、偶数项的二项式系数相等) 3.三个重要特征 (1)字母 的指数按降幂排列由 到 0. (2)字母 的指数按升幂排列由 0 到 . (3)每一项字母 的指数与字母 的指数和等于 . 重难突破 考点一 通项公式法解决特定项或系数问 题 典例研析典例研析 【例1】 C 28 (1)2018全国卷(2+ 2 ) 5 的展开式中4 的系数为( ) A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 (2)2019天津卷(2 1 83) 8 的展开式中的常数项为 .
4、解析 (2+ 2 ) 5 的展开式的通项 +1 = 5 (2)5 (21)= 25 103, 令103 = 4 ,得 = 2 ,所以4 的系数为22 5 2 = 40 .故选 . 解析 二项展开式的通项公式为 +1= 8 (2)8 ( 1 83) = (1) 8 28 23 84 = (1) 8 284 84 , 令84 = 0, 得 = 2, 即 3= (1)2 8 2 20= 8 2 = 28, 故常数项为 28. 5 解析( 2 +)9 展开式的通项 +1= 9 ( 2)9 = 9 2 9 2 ( = 0,1,2,.,9), 令 = 0, 得常数项 1= 9 0 2 9 20= 2 9
5、2= 16 2, 要使系数为有理数,则只需 9 2 ,则 必为奇数, 满足条件的 有 1,3,5,7,9,共五种, 故系数为有理数的项的个数是 5. (3)2019浙江卷在二项式( 2 +)9 的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数 是 . 16 2 方法技巧: 通项公式法即利用二项展开式的通项公式,根据题意,对相应的指数进行赋值,从而解决指定项问题的方法.此方法 适用于已知二项式,求常数项、指定项的系数等问题.破解此类题的关键点: (1)求通项,根据二项式( + ) 的展开式的通项公式 +1= ( = 0,1,2, ), 整理出 +1 = ( ). (2)找方程,依题设条件中的指定项
6、的相关信息,寻找关于 的方程. (3)解方程,通过解方程,求出 的值. (4)得结论,把 的值代入通项公式,得结论. 对点训练对点训练 1 3 1. 二项式( 1 )6( 0) 展开式中2 项的系数为 15,则实数 = . 解析由题意可知 +1= 6 62(1) ,0 6, , 则2项的系数是6 2 2 = 15,又 0, 则 =1 . 2. ( 1 2 4 )8 的展开式中的有理项共有 项. 解析( 1 2 4 )8 的展开式的通项为 +1= 8 ( )8( 1 2 4 )= ( 1 2) 8 163 4 ( = 0,1,2,8), 为使 +1 为有理项, 必须是 4 的倍数,所以 = 0
7、,4,8,故共有 3 个有理项,分别是 1= ( 1 2) 0 8 04 = 4, 5= ( 1 2) 4 8 4 = 35 8 , 9= ( 1 2) 8 8 82 = 1 2562. 重难突破 考点二 赋值法解决二项展开式中各项系 数和问题 (2)若(2 1 ) 的展开式中含 的项为第 6 项,设(13) = 0+ 1 + 22+ ,则 1+ 2+ 的值为 . 典例研析典例研析 【例2】 255 (1)设(5 1 ) 的展开式的各项系数之和为 ,二项式系数之和为 ,若 = 240 ,则展开式中含 的项 为 . 150 解析 二项式(2 1 ) 的展开式的第 6 项是 5+1= 5(1)52
8、 15, 令2 15 = 1, 得 = 8 .在二项式(13)8 的展开式中,令 = 0 ,得 0 = 1; 令 = 1, 得 0+ 1+ 8= (2)8= 256 .所以 1+ 2+ 8= 255 . 解析由已知条件4 2 = 240 ,解得 = 4, +1= 4 (5)4( 1 )= (1)544 4 3 2, 令4 3 2 = 1, 得 = 2, 3= 150 . 方法技巧: 赋值法是指对二项式中的未知元进行赋值,从而求得二项展开式的各项的系数和的方法.此方法体现的是从一般到 特殊的转化思想.破解此类题的关键点: (1)赋值,认真观察已知等式,给未知元合理赋值.常赋的值有1,1,0 等.
9、 (2)求参数,通过合理赋值,建立关于参数的方程,幵解方程,求出参数的值. (3)得结论,求出指定项的系数和. 对点训练对点训练 C D 3. 在( + 3 ) 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 64,则3 的系数为( ) A. 15 B. 45 C. 135 D. 405 解析令( + 3 ) 中 为 1,得各项系数和为4 , 又展开式的各项的二项式系数和为2 , 各项系数的和与各项二 项式系数的和之比为 64, 4 2 = 64, 解得 = 6, 二项式的展开式的通 项公式为 +1= 6 36 3 2, 令6 3 2 = 3, 求得 = 2, 故展开式中3 的系数为6 2 32=
10、 135 .故选 . 4. 若(1+)(12)8= 0+ 1 + 99, , 则 12+ 222+ 929 的值为( ) A. 29 B. 291 C. 39 D. 391 解析(1+ )(12)8= 0+ 1+ 22+ + 99, 令 =0, 得 0=1; 令 =2, 得 0+ 12+ 222+ + 929= 39, 12+ 222+ + 9 29= 391 .故选 . 重难突破 考点三 求非二项式结构的展开式的特定 项(或系数) 典例研析典例研析 【例3】 A (1)2019全国卷理(1+22)(1+)4 的展开式中3 的系数为( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 (2)
11、如果(1+ +2)( )5( 为实常数)的展开式中所有项的系数和为 0,则展开式中含4 项的系数 为 . 5 解析 (1+)4 的二项展开式的通项为 +1= 4 ( = 0,1,2,3,4) ,故 (1+22)(1+)4 的展开式中3 的系数为4 3 +24 1 = 12 .故选 . 解析 (1+ +2)( )5 的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1 )5= 0 , = 1 . (1+ +2)( )5= (1+ +2)( 1)5 = (31)( 1)4= 3( 1)4( 1)4, 其展开式中含4 项的系数为4 3(1)3 4 0(1)0 = 5 . 解析由题意, (2 +1)10= (
12、 1)+110 = 10 0 ( 1)0110+10 1 ( 1)119+10 2 ( 1)218+10 3 ( 1)317+10 10( 1)10 10= 10 0 +10 1 ( 1)+10 2 2( 1)2+10 3 3( 1)3+10 1010( 1)10, 因为 10 3 出现在10 2 2( 1)2+10 3 3( 1)3 = 10 2 2(22 +1)+10 3 3(332+3 1) 中,所以3 的系数为10 2 (2)+10 3 (1) = 90120 = 210 . (3)(2 +1)10 展开式中3 项的系数为 . 210 方法技巧: 方法 解读 适合题型 拆分法 ( +
13、)2( +) = ( 2+2 + 2)( +) , 然后展开 可结合成二项式的和或差 ( + +) = ( + )+ , 将( + ) 看作一项 = ( ) ,将 拆分为两项的和或差 合幵法 ( + ) ( +)= ( + )( +) ( +) ( , , ) 有公因式或含完全平方公式 ( + +) = (+) 通项法 ( + )( +) , 分别求( + ) 的通项 +1 和( +) 的通项 h+1 ,然后将 +1 h+1 求解 两二项式无公因式 对点训练对点训练 C C 5. 2017全国卷( +)(2 )5 的展开式中33 的系数为( ) A. 80 B. 40 C. 40 D. 80
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