2022届新高考数学二轮复习艺体生专用课件：第十章 第四节 双曲线 .ppt

1、第四节 双曲线 考情解读 命 题 规 律 考点 双曲线的定 义 双曲线的标准方程 双曲线的几何性质 考查频次 卷,5年1考 卷,5年1考 卷,5年2考 卷,5年3考 卷,5年2考 卷,2年1考 考查难度 较难 中等 中等 常考题型及分 值 选择题,5分 选择题,5分 选择题,5分; 填空题,5分 命 题 趋 势 高考考查仍以双曲线的定义、标准方程、几何性质为主,不平面向量、直线、囿、函 数等知识综合考查的可能性较大,应予以重视.复习的重点是双曲线的定义及其几何性质 的理解和应用 基础导学 1. 双曲线的定义 （1）平面内不两个定点 1,2 的距离1 （ |12| = 2 0 ）)为非零常数 2

2、(2 0, 0 . 当4 时, 点的轨迹是双曲线; 当5 时, 点的轨迹是两条射线; 当6 时, 点丌存在. 知识梳理 之差的绝对 值 焦点 2 |12| 焦距 图形 标准方程 2 2 2 2 = 1( 0, 0) 2 2 2 2 = 1( 0, 0) 性质 范围 7 8 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 顶点坐标: 1 9 , 2 10 顶点坐标: 1 11 , 2 渐近线 = 13 = 14 离心率 = , 15 实、虚轴 线段 12 叫作双曲线的实轴,它的长 |12| = 16 ;线段 12 叫作双曲线的虚轴,它的 长 |12| = 17 ;

3、叫作双曲线的实半轴长, 叫作双曲线的虚半轴长 , 间的关系 2= 18 ( 0, 0) 2. 双曲线的标准方程不几何性质 或 或 （,0） （,0） （0,） （0,） (1,+) 2 2 2+2 1.在双曲线的定义中, |1|2| = 2 ,表示靠近 2 的一支, |2|1| = 2 ,表示靠近 1 的一支. 2.双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长. 3.方程 2 2 = 1( 0) 表示的曲线 （1）当 0, 0 时,表示焦点在 轴上的双曲线. （2）当 0, 0 时,则表示焦点在 轴上的双曲线. 4.方程的常见设法 （1）不双曲线 2 2 2 2 = 1 共渐近线的方程可设为 2

4、2 2 2 = ( 0) . （2）若渐近线的方程为 = ,则可设双曲线方程为 2 2 2 2 = ( 0) . 知识拓展 重难突破 考点一 双曲线的定义及应用 （1）已知双曲线 2 2 24 = 1 的两个焦点为 1,2, 为双曲线右支上一点.若 |1| = 4 3 |2| ,则 12 的面积为 ( ) A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 典例研析典例研析 【例1】 B （2）已知两囿 1:( +4)2+2= 2,2:( 4)2+2= 2, 动囿 不两囿 1,2 都相切,则动囿囿心 的轨迹方 程是 ( ) A. = 0 B. 2 2 2 14 = 1( 2) C. 2 2 2 1

5、4 = 1 D. 2 2 2 14 = 1 或 = 0 D 解析（1） 由双曲线的定义可得 |1|2| = 1 3 |2| = 2 = 2 ,解得 |2| = 6, 故 |1| = 8, 又 |12| = 10, 故 12 为直角三角形,因此 12= 1 2 |1| |2| = 24 . （2） 动囿 不两囿 1,2 都相切,有四种情况：动囿 不两囿都外切;动囿 不两囿都内切;动囿 不囿 1 外切、不囿 2 内切;动囿 不囿 1 内切、不囿 2 外切.在情况下,显然,动囿囿心 的轨迹方程为 = 0 ; 在的情况下,设动囿 的半径为 ,则 |1| = + 2,|2| = 2 . 故得 |1|2|

6、 = 2 2 ; 在的情况下,同理得 |2|1| = 2 2 . 由得 |1|2| = 2 2 .已知 |12| = 8 , 根据双曲线定义,可知点 的轨迹是以 1(4,0),2(4,0) 为焦点的双曲线,且 = 2, = 4,2= 22= 14 ,其 方程为 2 2 2 14 = 1 .故选 . 应用双曲线定义时要注意 （1）距离之差的绝对值,丌能漏掉“绝对值”,否则轨迹是一支. （2） 2 0, 0) . 方法技巧： 1.设过双曲线 22= 9 右焦点 2 的直线交双曲线的左支于点 , ,若 | = 7 ,则 2 的周长 为 ( ) A. 19 B. 26 C. 43 D. 50 对点训练

7、对点训练 B 解析如图所示,由双曲线的定义 可得 2 1= 2, 2 2= 2, + ,得 |2|+|2| = 4 , 故 2 的周长为 |2|+|2|+| = 4 +|+| = 4 3+2 7 = 26 . 2. 已知动囿 不囿 1:( +4)2+2= 2 外切,不囿 2:( 4)2+2= 2 内切,则动囿囿心 的轨迹方 程为 ( ) A. 2 2 2 14 = 1( 2) B. 2 2 2 14 = 1( 2) C. 2 2 + 2 14 = 1( 2) D. 2 2 + 2 14 = 1( 2) 解析设动囿的半径为 ,由题意可得 |1| = + 2,|2| = 2 ,所以 |1|2| =

8、 2 2 = 2 ,故由双曲 线的定义可知动点 在以 1(4,0),2(4,0) 为焦点,实轴长为 2 = 2 2 的双曲线的右支上, 即 = 2, = 4 2= 162 = 14 ,故动囿囿心 的轨迹方程为 2 2 2 14 = 1( 2) . A 重难突破 考点二 双曲线的标准方程与几何性质 典例研析典例研析 【例2】 A A （1）2019全国卷双曲线 : 2 4 2 2 = 1 的右焦点为 ,点 在 的一条渐近线上, 为坐标原点.若 | = | ,则 的面积为 ( ) A. 3 2 4 B. 3 2 2 C. 2 2 D. 3 2 （2）2019全国卷设 为双曲线 ： 2 2 2 2

9、= 1( 0, 0) 的右焦点, 为坐标原点,以 为直径的囿不 囿 2+2= 2 交于 , 两点.若 | = | ,则 的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 （3）2019全国卷已知双曲线 ： 2 2 2 2 = 1( 0, 0) 的左、右焦点分别为 1,2, 过 1 的直线不 的 两条渐近线分别交于 , 两点.若 1 = , 1 2 = 0 ,则 的离心率为 . 2 解析（1） 丌妨设点 在第一象限,根据题意可知 2= 6 ,所以 | = 6 .又 tan = = 2 2 ,所以等腰三角 形 的高 h = 6 2 2 2 = 3 2 ,所以 = 1 2 6 3 2 =

10、3 2 4 . （2） 如图,由题意,知以 为直径的囿的方程为 ( 2) 2 +2= 2 4 ,将2+2= 2 记为式,-得 = 2 , 则以 为直径的囿不囿 2+2= 2 的相交弦所在直线的方程为 = 2 ,所以 | = 2 2( 2 )2 . 由 | = |, 得 2 2( 2 )2= , 整理得 4422+44= 0, 即 442+4 = 0, 解得 = 2 .故选 . （3） （解法一）因为 1 2 = 0, 所以 1 2, 如图. 所以 |1| = | ,所以 1 = 1 ,所以 2= 21 .因为 1 = , 所以点 为 1 的中点,又点 为 12 的中点,所以 /2 ,所以 1

11、,因为直线 , 为双曲线 的两条渐近线, 所以 tan1 = ,tan2= .因为 tan2= tan(21) ,所以 = 2 1( ) 2, 所以 2= 32, 所以 22= 32 ,即 2 = , 所以双曲线的离心率 = = 2 . （解法二）因为 1 2 = 0, 所以 1 2, 在 12 中, | = |2|, 所以 2 = 2, 又 1 = , 所以 为 1 的中点,所以 /2, 所以 1 = 2 .又 1 = 2, 所以 2 为等 边三角形.由 2(,0) 可得 ( 2 , 3 2 ), 因为点 在直线 = 上,所以 3 2 = 2, 所以 = 3, 所以 = 1+ 2 2 = 2

12、 . 方法技巧： 方法 解法 题型 直接法 直接求 , 利用 = 或 = 1 +( ) 2 适合易求 、 构造法 构造 、 、 间的等式或丌等式的齐次关系 可能是 、 或 、 的关系 求离心率的方法 对点训练对点训练 3. 2019浙江卷渐近线方程为 = 0 的双曲线的离心率是 ( ) A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2 解析因为双曲线的渐近线方程为 = 0 ,所以无论双曲线的焦点在 轴上还是在 轴上,都满足 = ,所以 = 2 ,所以双曲线的离心率 = = 2 .故选 . C 解析由已知得双曲线的两条渐近线方程为 = 1 3 . 设两渐近线夹角为 2 ,则 有 tan = 1 3 =

13、 3 3 ,所以 = 30. 所以 = 2 = 60. 又 为直角三角形,由于双曲线具有对称性,丌妨设 ,如图所示. 在 中, | = 2 ,则 | = 3 . 则在 中, | = |tan2 = 3 tan60= 3. 故选 . 4. 2018全国卷已知双曲线 ： 2 3 2= 1, 为坐标原点, 为 的右焦点,过 的直线不 的两条渐近线的交 点分别为 , .若 为直角三角形,则 | = ( ) A. 3 2 B. 3 C. 2 3 D. 4 B 5. 2018全国卷设 1,2 是双曲线 ： 2 2 2 2 = 1( 0, 0) 的左,右焦点, 是坐标原点.过 2 作 的一条 渐近线的垂线,

14、垂足为 .若|1| = 6|, 则 的离心率为 ( ) A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 解析如图所示,过点 1 向 的反向延长线作垂线,垂足为 ,连接 2 ,由题意可知,四边形 12 为平行四边 形,且 2 是直角三角形. 因为 |2| = ,|2| = , 所以 | = , 又 |1| = 6 = |2|,| = 2, 所以 |2| = 2 = . 所以 = 2+2= 3, 所以 = = 3 .故选 . C 课时作业 一、单项选择题 D 1. 平面内有两个定点 1(5,0) 和 2(5,0) ,动点 满足 |1|2| = 6 ,则动点 的轨迹方程是 ( ) A. 2 16 2 9 =

15、 1( 4) B. 2 9 2 16 = 1( 3) C. 2 16 2 9 = 1( 4) D. 2 9 2 16 = 1( 3) 解析根据双曲线的定义可得动点 的轨迹方程是 2 9 2 16 = 1( 3) . 2. “ 9 是“方程 2 25 + 2 9 = 1表示双曲线”的( ) A.充分丌必要条件 B.必要丌充分条件 C.充要条件 D.既丌充分也丌必要条件 解析 方程 2 25 + 2 9 = 1 表示双曲线, (25)( 9) 0 . 25 . “ 0 62= +4 = 1 4. 双曲线 2 3 2= 1 的渐近线方程为 ( ) A. = 3 B. = 3 3 C. = 2 D.

16、= 2 3 3 解析由 2 3 2= 1 ,得 = 3 1 ,渐近线方程为 = 3 . A A 5. 双曲线 2+2= 1 的虚轴长是实轴长的2倍,则 的值为 ( ) A. 1 4 B. 4 C. 4 D. 1 4 解析由双曲线方程 2+2= 1, 知 0, 0) .由右焦点为 (3,0) ,可知 = 3 ,又因为离心率等于 3 2 ,所以 = 3 2 .所以 = 2 .由 2= 2+2 ,知 2= 5 ,双曲线 的方程为 2 4 2 5 = 1 .故选 . B 7. 过双曲线 2 2 2 2 = 1( 0, 0) 的右焦点不对称轴垂直的直线不渐近线交于 , 两点,若 的面积的 为 13 3

17、,则双曲线的离心率为 ( ) A. 5 2 B. 5 3 C. 13 2 D. 13 3 解析由题意可求得 | = 2 ,所以 = 1 2 2 = 13 3 ,整理 = 13 3 ,即 = 13 3 .故选 . D 8. 已知双曲线 2 2 2 2 = 1( 0, 0) 的左、右焦点分别为点 1,2, 为双曲线上任一点,且 1 2 的最小值 的取值范围是 3 4 2, 1 2 2 ,则该双曲线的离心率的取值范围为 ( ) A. (1, 2 B. 2,2 C. (1, 2) D. 2,+) 解析设 (,), 则 2 2 2 2 = 1, 即 2= 2(1+ 2 2), 设 1(,0),2(,0)

18、, 则 1 = ( ,),2 = ( ,), 则 1 2 = 22+2 = 2(1 + 2 2) 2 +2= 2(1 + 2 2)+ 2 2 22 (当 = 0 时取等号), 则 1 2 的最小值为 22, 由题意可得 3 4 2 22 1 2 2, 即 1 4 2 2 1 2 2, 即 1 2 2 2 , 则 2 2 .故选 . B 二、多项选择题 9. 若方程 2 5 + 2 1 = 1 所表示的曲线为 ,则下列说法正确的是 ( ) A. 若 1 5 ,则 为椭囿 B. 若 1 ,则 为双曲线 C. 若 为双曲线,则焦距为4 D. 若 为焦点在 轴上的椭囿,则 3 0 1 0 5 1 ,解

19、得 1 0 1 0 5 1 ,解得 3 5 , 正确;对于 ,当 0, 1 0 ,此时 为焦点在 轴上的双曲线, 正确;对于 ,当 = 0 时,方程 2 5 2= 1 表示双曲线,此 时双曲线的焦距为 2 6 , 错误.故选 . BD 10. 已知 1,2 分别是双曲线 :22= 1 的左、右焦点,点 是双曲线 上异于顶点的一点,且 1 2 = 0 , 则下列结论正确的是 ( ) A. 双曲线 的渐近线方程为 = B. 以 12 为直径的囿的方程为 2+2= 1 C. 点 1 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D. 12 的面积为1 解析对于 ,由双曲线 :22= 1, 可知双曲线 的渐近线方程

20、为 = , 正确.对于 , 由题意得 1( 2,0),2( 2,0), 则以 12 为直径的囿的方程为 2+2= 2 , 错误.对于 ,1( 2,0) 到渐近线 = 的 距离为1, 正确.对于 , 设 (0,0) ,则 12 = 0 2 +0 2 2 = 0 .又 0 2 0 2 = 1, 所以解得 0= 6 2 ,0= 2 2 , 所以 12 的面积为 1 2 2 2 2 2 = 1 , 正确.故选 . ACD 三、填空题 11. 设 1,2 是双曲线 2 16 2 20 = 1 的两焦点,点 在双曲线上,若点 到焦点 1 的距离等于9,则点 到焦点 2 的距 离等于 . 解析由双曲线的定义知： |1|2| = 2 = 8, 又 |1| = 9, 所以 |2| = 1 或17,又 |2| = 6 4 = 2 ,故点 到焦点 2 的距离等于17. 12. 已知双曲线经过点 (2 2,1) ,其一条渐近线方程为 = 1 2 ,则该双曲线的标准方程为 . 2 4 2= 1 解析设双曲线方程为： 2+2= 1( 0) ,由题意可知： 8 + = 1, 1 2 , 解得 = 1 4 , = 1, 则双曲线的标准方 程为 2 4 2= 1 . 17