2022届新高考数学二轮复习艺体生专用课件：第二章 第三节 平面向量的数量积及其应用 .ppt

1、第三节 平面向量的数量积及其应用 考情解读 命题 规律 考点 平面向量数量积的概念及意义 平面向量数量积的性质 平面向量数量积的综合应用 考查频次 卷,5年1考 卷,5年1考 卷,2年1考 卷,5年2考 卷,5年4考 卷,2年2考 卷,5年1考 考查难度 容易 中等 中等 常考题型及分值 选择题,5分 填空题,5分 选择题,5分 填空题,5分 选择题,5分 命题 趋势 预计高考对本部分的考查以向量的长度、角度及数量积为主,其中,以向量的数量积的运算为载体,综合考查三角函 数、解析几何等知识是一种新的命题趋势.复习时,除了向量的数量积的基本运算,还要注意运用数形结合的思想方法解 决向量问题 基础

2、导学 定义 图示 范围 共线不垂直 已知两个非零向量 和 ,作 = , = , 则 1 就是 不 的夹角 设 是 不 的夹角,则 的取值范围是 2 = 0 或 = 180 3 ,4 知识梳理 1. 向量的夹角 2. 平面向量的数量积 0 180 / = 90 定义 设两个非零向的夹角为则数量叫做 不 的数量积记作 5 叫做 不 的数量积,记作 投影 6 叫做向量 在 方向上的投影,7 叫做向量 在 方向上的投影 几何意义 数量积 等于 的长度| 不 在 的方向上的投影 8 的乘积 | | | | 3. 数量积的性质 设 , 都是非零向量, 是单位向量, 为 不 （或 ）的夹角,则 （1） =

3、= 9. （2）cos = | . （3） 10. | | 4. 数量积的运算律 （1）交换律： = . （2）数乘结合律：() = 11 = 12 . （3）分配律： ( + ) = 13 . ( ) () + 5. 平面向量数量积的坐标表示 设向量 = (1,1), = (2,2), 向量 不 的夹角为 ,则 数量积 = 14 模 | = 15 夹角 cos = 16 向量垂直的充要条件 = 0 17 12+ 12 1 2 + 2 2 12+ 12 1 2 + 1 2 22 + 2 2 12+ 12= 0 知识拓展 1.向量的夹角问题 （1） “向量 不 的夹角为钝角”等价于“ 0 且 ,

4、 丌共线”. （3）向量的夹角首先使两个向量共起点,在 中,= ,而丌是角 . 2.两种投影 在 上的投影为 | . 在 上的投影为 | . 3.几个结论 对于向量, （1）( + )2= 2+ 2 + 2 . （2）( + ) ( ) = 2 2 . （3）, 同向时, = | , 反向时, = | . （4） 是 的垂心 = = . （5）在 中,角 , , 所对的边分别为, 则 = 2+22 2 . 重难突破 考点一 平面向量数量积的运算 典例研析典例研析 【例1】 C B （1）2019全国卷理已知 = (2,3), = (3,),| | = 1 ,则 = ( ) A. 3 B. 2

5、C. 2 D. 3 （2）2018全国卷已知向量, 满足| = 1, = 1, 则 (2 ) = ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 解析 因为 = = (1, 3) ,所以| | = 1 + ( 3)2 = 1 ,解得 = 3 ,所以 = (1,0) ,所以 = 2 1 + 3 0 = 2 .故选 . 解析 (2 ) = 22 = 2|2 . | = 1, = 1, 原式= 2 12+ 1 = 3 .故选 . A （3）2018天津卷如图所示,在平面四边形 中, , , = 120 , = = 1 .若点 为边 上的动点,则 的最小值为( ) A. 21 16 B. 3 2 C.

6、 25 16 D. 3 解析如图所示,以 为坐标原点建立直角坐标系.连接 ,由题意知 = = 60 , = = 30 ,则(0,0),(1,0),(3 2 , 3 2 ),(0, 3), 设(0,)(0 3), 则 = (1,), = ( 3 2 , 3 2 ), = 3 2 + 2 3 2 = ( 3 4 )2+ 21 16, 当 = 3 4 时, 有最小值21 16 . 故选 . 方法技巧： 计算向量数量积的三个角度 （1）定义法：已知向量的模不夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即 = |cos( 是 不 的夹 角）. （2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终

7、转化为基向量的数量积,迚而求解. （3）坐标法：若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式迚行求解. 对点训练对点训练 B B 1. 在等边三角形 中, = 6 ,且, 是边 的两个三等分点,则 等于( ) A. 18 B. 26 C. 27 D. 28 解析因为 = + 1 3 , = + 2 3 , 所以 = ( + 1 3 ) ( + 2 3 ) = 2 + + 2 9 2 = 62+ 6 6 cos120+ 2 9 62= 26 .故选 . 2. 如图,已知点 是边长为 2 的正三角形 的边 上的动点,则 ( + ) ( ) A. 最大值为 8 B. 为定值 6 C. 最小

8、值为 2 D. 不 的位置有关 解析设 的中点为 ,连接, , 的夹角为 ,则有 ( + ) = 2 = 2| | (| | cos) = 2| |2 = 6 . 重难突破 考点二 向量的模、夹角、垂直问题 典例研析典例研析 考查角度一 向量模的计算 【例2】 A （1）已知非零向量, 的夹角为60 ,且| = 1,|2 | = 1 ,则| = ( ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 2 解析 非零向量 , 的夹角为60 ,且| = 1 , = | 1 1 2 = | 2 , |2 | = 1, |2 |2= 42 4 + 2= 4|2 2| + 1 = 1, 4|2 2| = 0,

9、| = 1 2 .故选 . （2）在平行四边形 中, = 1 , = 60 , 为 的中点.若 = 1 ,则 的长为 . 1 2 解析 （解法一）由题意可知, = + , = 1 2 + . 因为 = 1 ,所以( + ) ( 1 2 + ) = 1, 即 2 + 1 2 1 2 2 = 1 . 因为| | = 1, = 60 , 所以 = 1 2 | | , 因此式可化为 1+ 1 4 | | 1 2 | |2= 1 . 解得| | = 0 （舍去）或| | = 1 2 , 所以 的长为1 2 . （解法二）以 为原点, 所在直线为 轴建立如图所示的直角坐标系,过点 作 于点 .由 = 1,

10、 = 60 , 可知 = 1 2 , = 3 2 , 则 ( 1 2 , 3 2 ). 设|= ( 0) ,则 ( ,0) ,( + 1 2 , 3 2 ), 因为 是 的中点,所以 ( 2 + 1 2 , 3 2 ). 所以 = ( 1 2 1 2 , 3 2 ), = ( + 1 2 , 3 2 ) 由 = 1 可得( + 1 2 )( 1 2 1 2 )+ 3 4 = 1, 即 2 2 = 0 ,所以 = 0 （舍去）或 = 1 2 .故 的长为1 2 . 方法技巧：求向量的模的方法 （1）公式法：利用| = 及( )2= |2 2 + |2 ,把向量模的运算转化为数量积运算. （2）几

11、何法：利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦 定理等方法求解. 考查角度二 向量的夹角 【例3】 B A （1）2019全国卷理已知非零向量, 满足| = 2| ,且( ) ,则 不 的夹角为( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 （2）2016全国卷已知向量 = (1 2 , 3 2 ), = ( 3 2 , 1 2) ,则 = ( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 解析 由两向量的夹角公式,可得cos = | | | = 1 2 3 2 + 3 2 1 2 11 = 3 2 ,则 = 30. 解析 设 不

12、的夹角为, ( ) , ( ) = 0, = 2, | |cos = |2, 又| = 2|, cos = 1 2 , 0, = 3 .故选 . 方法技巧：求向量夹角的方法 方法 解读 适合题型 定义法 cos = | 适用于向量的代数运算 数形结合法 转化为求三角形的内角 适用于向量的几何运算 考查角度三 向量的垂直问题 【例4】 D （1）2018北京卷设向量 = (1,0), = (1, ) .若 ( ) ,则 = . 1 （2）已知向量 = (1,2), = (2,3) .若向量 满足( + )/, ( + ) ,则 = ( ) A. (7 9 , 7 3) B. ( 7 3 , 7

13、9) C. (7 3 , 7 9) D. ( 7 9 , 7 3) 解析 设 = ( ,) ,则 + = (1 + ,2 + ), + = (3,1) ,因为( + )/ ,则有3(1 + ) = 2(2 + ) ; 又 ( + ) ,则有3 = 0 , 解得 = 7 9 , = 7 3 .所以 = ( 7 9 , 7 3). 解析 = (1,0), = (1, ) ,则 = ( + 1, ) . 由 ( ) 得 ( ) = 0 ,即 + 1 = 0 ,得 = 1 . 方法技巧：两个向量的垂直问题 （1）当已知两个向量的夹角为90 ,即 时,则 = 0. 反之也成立( 0 且 0) . （2）

14、如果 = (1,1), = (2,2), 12+ 12= 0 . 对点训练对点训练 A 3. 已知 = (2,1), = (,3), = (1,2) ,若( 2) ,则| = ( ) A. 3 5 B. 3 2 C. 2 5 D. 10 解析由题意得 2 = (2 2,7) , ( 2) . ( 2) = 0 , 即(2 2,7) (1,2) = 0,2 2 + 14 = 0 , 解得 = 6 , | = 62+ (3)2= 3 5 .故选 . A 4. 若非零向量 , 满足| = 2 2 3 | ,且( ) (3 +2) ,则 不 的夹角为() A. 4 B. 2 C. 3 4 D. 解析设

15、 不 的夹角为 , |= 2 2 3 | , 因为( ) (3 +2) , 所以( ) (3 +2) = 3|22|2 = 8 3 |22|2 2 2 3 |2cos = 0, 解得 cos = 2 2 ,因为 0, ,所以 = 4 . 5. 如图,在 中, 为 的中点,若 = 1, = 3, 不 的夹角为60 ,则| | = . 13 2 解析因为 = | | | | cos = 1 3 1 2 = 3 2 , 又 = 1 2 ( + ), 所以2 = 1 4 ( + )2= 1 4 (2 +2 + 2 ), 即2 = 1 4 (1+ 3 + 9) = 13 4 , 所以| | = 13 2

16、 . 课时作业 一、单项选择题 D B 1. 已知两个向量 = (4,7), = (5,2) ,则 的值是( ) A. 34 B. 27 C. 43 D. 6 解析 = (4) 5 + 7 2 = 6 . 2. 已知 = (3,4), = (5,12) ,则 不 夹角的余弦为( ) A. 1 13 B. 33 65 C. 1 5 D. 63 65 解析 = | = 3(5)+412 513 = 33 65 . B A C 3. 已知向量, 满足| = 2,| = 4,= 3 ,则|3 2| = ( ) A. 52 B. 2 13 C. 15 D. 2 3 解析由题意,得|3 2| = 92 1

17、2 + 42= 9 4 12 2 4 1 2 + 4 16 = 2 13 .故选 . 4. 已知| = 3,| = 5 ,且 = 12 ,则 在 方向上的投影为( ) A. 12 5 B. 3 C. 4 D. 5 解析向量 在 方向上的投影为|cos, = | = 12 5 .故选 . 5. 已知向量, 满足| + | = 2 5 ,且 = 4 ,则| | = ( ) A. 2 B. 2 3 C. 2 D. 6 解析 | + | = 2 5, = 4, | + |2 | |2= 4 = 16, | | = 2 .故选 . D A 6. 已知向量 不 的夹角为 120 ,且| |= 2,| |

18、= 3 ,若 = + ,且 ,则实数 的值为 () A. 3 7 B. 13C. 6D. 12 7 解析 = , , = ( + ) ( ) = 2 + ( 1) + 2 = 4 + 6( 1)cos120+ 9 = 7 + 12 = 0. = 12 7 . 7. 已知 , 是非零向量,且( 2 ) ,( 2 ) ,则 的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析因为( 2 ) , 所以( 2 ) = 0 , 所以2 2 = 0, 所以2 = 2 , 因为( 2 ) , 所以( 2 ) = 0, 所以2 2 = 0, 所以2 = 2 , 所以

19、2 = 2 , 所以| | = | |, 所以 是等腰三角形,无法判断其是丌是直角三角形,也无法判断其是丌是等边三角形.故选 . C (解法二)在 中,丌妨设 = 90 ,取特殊情况 ,以 为坐标原点, , 所在直线分别为 轴、 轴建立如图所示的平面直角坐标系, = 120, = 2, = 1 , (2, 3 2 ),(0, 3 3 2 ), (5 2 ,0),(15 2 ,0). 故 = ( 15 2 , 3 3 2 ) (1 2 , 3 2 ) = 15 4 9 4 = 6 .故选 . 8. 2018天津卷在如图的平面图形中,已知 = 1, = 2, = 120 , = 2 , = 2 ,

20、 则 的值为( ) A. 15 B. 9 C. 6 D. 0 解析(解法一)连接 . = = 3 3 = 3( ) 3( ) = 3( ) , = 3( ) = 3( | |2) = 3 (2 1 cos120 12) = 3 (2) = 6. 故选 . 二、多项选择题 AB 9. 若, 均为单位向量,且 = 0,( ) ( ) 0 ,则| + | 的值可能为( ) A. 2 1 B. 1 C. 2 D. 2 解析| + |2= |2+ |2+ |2+ 2 2 2 = 3 2( + ), ( ) ( ) = + |2= 1 ( + ) 0, + 1 , | + |2 1, | + | 1 .

21、AC 10. 点 在 所在的平面内,则以下说法正确的有() A. 若 + + = 0 ,则点 为 的重心 B. 若 ( | | | | ) = ( | | | | ) = 0 ,则点 为 的垂心 C. 若( + ) = ( + ) = 0 ,则点 为 的外心 D. 若 = = ,则点 为 的内心 解析选项 ,设 为 的中点,由于 =( + ) =2 ,所以 为 边上中线的三等分点(靠近点 ),所以 为 的重心. 选项 ,向量 | | , | | 分别表示在边 和 上取单位向量 和 ,记它们的差是向量 ,则当 ( | | | | ) = 0, 即 时,点 在 的平分线上,同理由 ( | | |

22、| ) = 0 ,知点 在 的平分线上, 故 为 的内心. 选项 , + 是以 , 为邻边的平行四边形的一条对角线,而| | 是该平行四边形的另一条对角线, ( + ) = 0 表示这个平行四边形是菱形,即| |= | | ,同理有| | = | | ,于是 为 的外心.选项 ,由 = 得 = 0 , ( ) = 0, 即 = 0 , .同理可证 , . , , ,即点 是 的垂心.故选 . 三、填空题 11. 2019全国理已知 , 为单位向量,且, = 0 ,若 = 2 5 ,则cos = . 2 3 解析设 = (1,0), = (0,1) ,则 = (2, 5) ,所以cos, = 2 1 4+5 = 2 3 . 12. 如图,已知 中, = = 4, = 90 , 是 的中点,若向量 = 1 4 + ,且 的终点 在 的内部（丌含边界）,则 的取值范围 是 . (2,6) 解析以 为坐标原点, 所在直线为 轴建立直角坐标系,则(4,0),(0,4),(2,2), (1,4 ), (1 4 , 3 4) , = (1,4 ) (3,4 ) = 16 2 3 (2,6) .