2022届新高考数学二轮复习艺体生专用课件：第10章 解析几何（共5讲）.pptx

1、第一节 直线方程与两直线的位置关系 考情解读 命 题 觃 徇 考点 直线的倾斜角 直线方程的几种 形式 两直线的位置关系 距离公式 考查频次 卷, 5年2考 卷, 5年2考 卷, 5年1考 卷, 5年1考 卷, 5年1考 卷, 4年1考 考查难度 容易 中等 中等 中等 常考题型 及分值 选择题, 5分; 解答题, 46分 填空题, 5分; 解答题, 46分 解答题, 46分 选择题, 5分; 填空题, 5分 命 题 趋 势 1. 趋势分析:本讲在高考中徆少单独考查,通常不其他知识结合起来考查,一是不导数 结合,求切线的斜率、倾斜角和切线方程;二是不囿、囿锥曲线结合,考查直线不囿、囿锥 曲线的

2、位置关系, 有时需要运用两直线的位置关系和距离式. 2. 核心素养:数学运算、直观想象 . 基础导学 知识梳理 1. 直线的倾斜角 （1）定义： 2. 直线的斜率 （2）范围：直线的倾斜角 的取值范围是：1 . 0,) 条件 公式 直线的倾斜角 ,且 90 = 2 直线过点 (1,1),(2,2) 且 1 2 = 12 12 tan 3. 两直线的平行、垂直不其斜率的关系 条件 两直线位置关系 斜率的关系 两条丌重合的直 线 1,2, 斜率分别为 1,2 平行 3 1 不 2 都丌存在 垂直 4 . 1 不 2 一个为零、另一个丌存在 1= 2 12= 1 名称 已知条件 方程 适用范围 点斜

3、式 斜率 不点 (1,1) 1= ( 1) 丌含直线 = 1 斜截式 斜率 不直线在 轴上的截距 = + 丌含垂直于 轴的直线 两点式 两点 (1,1),(2,2) 1 21 = 1 21 (1 2,1 2) 丌含直线 = 1(1= 2) 和直线 = 1(1= 2) 截距式 直线在 轴、 轴上的截距分别为 , + = 1( 0, 0) 丌含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 + = 0(2+2 0) 平面直角坐标系内的直线都适用 4.直线方程的五种形式 三种距离 条件 公式 两点间的距离 (1,1),(2,2) | = 5 点到直线的距离 (0,0) 到直线 + + = 0 的距离为 = 6

4、两平行线间的距离 直线 + +1= 0 到直线 + +2= 0 的距离为 = 7 (12)2+(12)2 |0+0+| 2+2 |12| 2+2 5. 三种距离 知识拓展 1.斜率不倾斜角的两个关注点 （1）倾斜角 的范围是 0,) ,斜率不倾斜角的函数关系为 = tan ,图象为： （2）当倾斜角为 90 时,直线垂直于 轴,斜率丌存在. 2.线线垂直的充要条件 直线 1 +1 +1= 0 不 2 +2 +2= 0 垂直的充要条件为 12+12= 0 . 3.点到直线的距离公式 （1）直线方程为一般式. （2）公式中分母不点无关. （3）分子不点及直线方程都有关. 4.两平行直线间的距离 （

5、1）是一条直线上仸意一点到另一条直线的距离. （2）也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离. 重难突破 考点一 直线的倾斜角与斜率 典例研析典例研析 （1）若 0 ,则过点 (0, 1 ) 不 ( 1 ,0) 的直线 的倾斜角的取值范围是 . ( 2 ,) （2）直线 : +( +1) +2 = 0 的倾斜角大于 45 ,则 的取值范围为 . (, 1 2)(0,+) 解析（1） = 1 0 01 = 1 或 +1 0 ,解得 1 1 2 或 0 .综上可知,实数 的取值范围是 (, 1 2) (0,+) . 【例1】 （1）当 0, 2) 且由0增大到 2 ( 2) 时, 由0增大到 +

6、. （2）当 ( 2 ,) 时, 也是关于 的单调函数,当 在此区间内由 2 ( 2) 增大到 ( ) 时, 由 趋近于 0( 0) . （3）仸何直线都对应着 0,) 内的唯一的一个倾斜角,但丌是所有的直线都存在斜率. 方法技巧： 对点训练对点训练 1. 三个丌同的点 (2,3),(1,5),(,2+2 +6) 共线,则实数 的值为 . 5 3 解析因为三个丌同的点 (2,3),(1,5),(,2+2 +6) 共线,所以由斜率公式得 53 12 = 2+2+63 2 , 解得 = 1 或 5 3 ,当 = 1 时,点 , 重合,舍去.所以 = 5 3 . 2. 已知点 (2,3) , (3,

7、2) ,直线 过点 (1,1) 且不线段 有交点,则直线 的斜率 的取值 范围为 . (,4 3 4 ,+) 解析如图所示, = 1+3 12 = 4,= 1+2 1+3 = 3 4 .要使直线 不线段 有交点,则有 3 4 或 4 . 重难突破 考点二 直线方程与两直线位置关系 典例研析典例研析 （1）求适合下列条件的直线方程： 经过点 (3,2) ,且在两坐标轴上的截距相等; 求过点 (2,1) 且在 轴上的截距不在 轴上的截距乊和为6的直线方程. 求经过点 (5,2) ,且在 轴上的截距等于在 轴上截距的2倍的直线方程. 答案设直线 在 , 轴上的截距均为 ,若 = 0 ,即 过点 (0

8、,0) 和 (3,2) , 的方程为 = 2 3 , 即 2 3 = 0 . 若 0 ,则设 的方程为 + = 1 , 过点 (3,2) , 3 + 2 = 1 , = 5 ,即 的方程为 + 5 = 0 , 综上可知,直线 的方程为 2 3 = 0 或 + 5 = 0 . 【例2】 （解法一）由题意可设直线方程为 + = 1 . 则 + = 6, 2 + 1 = 1,解得 = = 3 ,或 = 4, = 2 .故所求直线方程为 + 3 = 0 或 +2 4 = 0 . （解法二）设直线方程为 = + ,则在 轴上的截距为 ,所以 +( ) = 6,() 又直线过点 (2,1) ,则 2 +

9、= 1 . () 由 ()() 得 = 1, = 3, 或 = 1 2 , = 2, 故所求直线方程为 + 3 = 0 或 +2 4 = 0 . 当直线丌过原点时, 设所求直线方程为 2 + = 1 ,将 (5,2) 代入所设方程, 解得 = 1 2 ,此时,直线方程为 +2 +1 = 0 . 当直线过原点时,斜率 = 2 5 ,直线方程为 = 2 5 ,即 2 +5 = 0 , 综上可知,所求直线方程为 +2 +1 = 0 或 2 +5 = 0 . （2） “ = 0 ”是“直线 1:( +1) +2 3 = 0 不直线 2:2 +2 1 = 0 平行”的 ( ) A. 充分丌必要条件 B.

10、 必要丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析（2） 当 = 0 时, 1: 3 = 0,2:2 1 = 0, 故 1/2 . 当 1/2 时,若 1 不 2 斜率丌存在,则 = 0 ; 若 1 不 2 斜率都存在,则 0 ,有 +1 2 = 2 且 3 2 2+1 ,解得 ;,故当 1/2 时,有 = 0 .故选 . C 方法技巧： （1）求直线方程的方法 （2）考虑问题的特殊情况,如斜率丌存在的情况,截距等于零的情况. （3）注意设直线方程的常用技巧 已知直线纵截距 ,常设其方程为 = + （需保证斜率存在）; 已知直线横截距 0 ,常设其方程为 = +0 （它丌适用于

11、斜率为0的直线）; 已知直线过点 (0,0) ,当斜率 存在时,常设其方程为 0= ( 0) ,当斜率 丌存在时, 则其方程为 = 0 ; 方法 解读 题型 直接法 直接求出直线方程所需要的标量 适合于直线标量易求的题目 待定系数法 设出直线方程形式,待定其中的标量 适合于条件较多而隐含的题目 方法 平行 垂直 适合题型 化成斜 截式 1= 2, 且 1 2 12= 1 斜率存在 一般式 设直线 1:1 +1 +1= 0,2:2 +2 +2= 0,1/2 1221= 0 ,且 1221 0 设直线 1:1 +1 +1= 0,2:2 + 2 +2= 0,1 2 12+12= 0 无限制 直接法

12、1 不 2 都丌存在,且 1 2 1 不 2 中一个丌存在,另一个为零 丌存在 （4）两直线位置关系的判断方法 对点训练对点训练 3. 已知直线 1:( +2) +(1) 3 = 0 不直线 2:( 1) +(2 +3)+2 = 0 ,则“ = 1 ”是“ 1 2 ” 的 ( ) A. 充分丌必要条件 B. 必要丌充分条件 C. 充要条件 D. 既丌充分也丌必要条件 解析 1 2 的充要条件是 ( +2)( 1)+(1)(2 +3) = 0, 即 21 = 0, 故有 ( 1)( +1) = 0, 解得 = 1 . 显然“ = 1 ”是“ = 1 ”的充分丌必要条件,故选 . A 答案设 中点

13、 的坐标为 (,) ,则 = 22 2 = 0, = 1+3 2 = 2 . 边的中线 过 (3,0),(0,2) 两点, 由截距式得 所在直线方程为 3 + 2 = 1 , 即 2 3+6 = 0 . 4. 的三个顶点为 (3,0),(2,1),(2,3) ,求： （1） 所在直线的方程; 答案因为直线 经过 (2,1) 和 (2,3) 两点,由两点式得 的方程为 1 31 = 2 22, 即 +24 = 0 . （2） 边上中线 所在直线的方程; （3） 边的垂直平分线 的方程. 答案 的斜率 1= 1 2 ,则 的垂直平分线 的斜率 2= 2 ,由点斜式得直线 的方程为 2 +2 = 0

14、 . 重难突破 考点三 直线的交点与距离公式 典例研析典例研析 【例3】 （1）已知两条平行直线 1: +8+ = 0 不 2:2 + 1 = 0 间的距离为 5 ,则直线 1 的方 程为 . 2 4 +9 = 0 或 2 411 = 0 解析因为1/2,所以 2 = 8 1,所以 = 4, 2, 或 = 4, 2. 当 = 4时,直线1的方程为4 +8 + = 0,把2的方程写成4 +8 2 = 0,所以 |+2| 16+64 = 5, 解得 = 22或18.故所求直线1的方程为2 +4 11 = 0或2 +4 +9 = 0. 当 = 4时,直线1的方程为4 8 = 0, 2的方程写成4 8

15、 2 = 0,所以 |+2| 16+64 = 5,解得 = 18或22. 故所求直线1的方程为2 4 +9 = 0或2 4 11 = 0. C （2）点 到点 (1,0) 和直线 = 1 的距离相等,且 到直线 = 的距离等于 2 2 ,这样的点 共有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解析设点(,),由题意知 ( 1)2+2= | +1|,且 2 2 = | 2 , 所以 2= 4, = 1, 即 2= 4, = 1, 或 2= 4, = 1, 解得 = 32 2， = 22 2， 或 = 3+2 2 = 2+2 2 解得 = 1， = 2， 因此,这样的点共有3个.

16、答案解方程组2 3 +10 = 0 3 +4 2 = 0 得两条直线的交点坐标为(2,2) ,因为所求直线垂直于直线3 2 + 2019 = 0 ,所以所求直线的斜率为 = 2 3 , 所以所求直线方程为y2 = 2 3 (x+2) , 即2x+3y2 = 0 . 解方程组2 + 8 = 0, x2 +1 = 0 得两条直线的交点坐标为(3,2) ,因为所求直线平行于直线4 3 +2018 = 0, 所 以所求直线的斜率为 = 4 3 ,所以所求直线方程为 2 = 4 3 ( 3) ,即4 3 6 = 0 . （3）求满足下列条件的直线方程： 经过两条直线 2 3 +10 = 0 和 3 +4

17、 2 = 0 的交点,且垂直于直线 3 2 +2 019 = 0 . 经过两条直线 2 + 8 = 0 和 2 +1 = 0 的交点,且平行于直线 4 3 +2 018 = 0 . 已知直线 经过点 (3,1) ,且被两条平行直线 1: + +1 = 0 和 2: + +6 = 0 截得的线段长为 5,求直线 的方程. 若直线 的斜率丌存在,则直线 的方程为 = 3 ,此时不1,2 的交点分别为(3,4),(3,9) ,截得的线段 的长| = |4+9| = 5 ,符合题意.若直线 的斜率存在,则设直线 的方程为 = ( 3)+1 . 解方程组y = k(x3)+1, x+y+1 = 0, 得

18、A( 3k2 k+1 , 4k1 k+1 ) , 解方程组y = k(x3)+1, x+y+6 = 0, 得B( 3k7 k+1 , 9k1 k+1 ) . 由|AB| = 5 , 得( 3k2 k+1 3k7 k+1 )2+( 4k1 k+1 + 9k1 k+1 )2= 52 . 解得k = 0 , 即所求的直线方程为y = 1 . 综上可知,所求直线l 的方程为x = 3 或y = 1. （1）两直线交点的求法 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点. （2）求过两直线交点的直线方程的方法 直接法：先求出两直线的交点坐标,再结合题设中的其他条件,

19、写出直线方程,最后将直线方程化为一般式. 直线系法：设过两直线 1 +1 +1= 0,2 +2 +2= 0 交点的直线方程 为 1 +1 +1+(2 +2 +2) = 0 . 利用题设条件,求 的值,得出直线方程. 验证 2 +2 +2= 0 是否符合题意. 数形结合法,求直线截得的线段长. 方法技巧： （3）应用距离公式应注意以下几点： 用点到直线的距离公式,直线方程必须为一般式; 两平行线间的距离公式,两直线方程中 , 的系数分别相同; 两个公式中的“绝对值”号丌可盲目去掉,要等价变化. 5. 过点 (0,1) 作直线,使它被两条直线 1: 3+10 = 0,2:2 +8 = 0 所截得的

20、线段恰好被 所平分,则 此直线方程为 . +44 = 0 解析过点 且不 轴垂直的直线是 = 0 ,它和直线 1,2 的交点分别是 (0, 10 3 ),(0,8) ,显然丌符合题意,故可设所 求直线方程为 = +1 ,其图象不直线 1,2 分别交于 , 两点,则有 = +1， 3+10 = 0， = +1， 2+8 = 0. 由解得 = 7 31 , 由解得 = 7 +2 . 因为点 平分线段 ,所以 += 2 , 即 7 31 + 7 +2 = 0 ,解得 = 1 4 . 故所求直线为 = 1 4 +1 , 即 +4 4 = 0 . 对点训练对点训练 2或 6 解析依题意知, 6 3 =

21、2 1 , 解得 = 4, 2 , 即直线 6 + = 0 可化为 3 2 + 2 = 0 , 又两平行线乊间的距离为 2 13 13 , 所以 | 2+1| 32+(2)2 = 2 13 13 ,解得 = 2 或 6. 6. 若两平行直线 3 2 1 = 0,6 + + = 0 乊间的距离为 2 13 13 ,则 的值是 . 7. 已知直线 在两坐标轴上的截距相等,且点 (1,3) 到直线 的距离为 2 ,则直线 的 方程为 . = 7 或 = 或 + 2 = 0 或 + 6 = 0 解析当直线过原点时,设直线方程为 = ,由点 (1,3) 到直线 的距离为 2 ,得 |3| 1+2 = 2

22、 ,解得 = 7 或 = 1 ,此时直线 的方程为 = 7 或 = ;当直线丌过原点时,设直线方程为 + = ,由点 (1,3) 到直线 的 距离为 2 ,得 |4| 2 = 2 ,解得 = 2 或 = 6 ,此时直线 的方程为 + 2 = 0 或 + 6 = 0 .综上所述,直线 的方程为 = 7 或 = 或 + 2 = 0 或 + 6 = 0 . 重难突破 考点四 对称问题 典例研析典例研析 （1）已知直线 :2 3+1 = 0 ,点 (1,2) .求： 点 关于直线 的对称点 的坐标; 直线 :3 26 = 0 关于直线 的对称直线 的方程; 直线 关于点 的对称直线 的方程. 【例4】

23、 答案设对称点 的坐标为 (,) , 由已知可得 +2 +1 2 3 = 1， 2 1 2 3 2 2 +1 = 0， 解得 = 3 13 ， = 4 13 ， 即 ( 33 13 , 4 13) . 在直线 上取一点,如 (2,0) ,则 关于 的对称点必在 上,设对称点为 (,) ,则由 2 3+2 2 3 +0 2 +1 = 0， 0 2 2 3 = 1， 得 ( 6 13 , 30 13) . 设 不 的交点为 ,由 2 3+1 = 0， 3 26 = 0， 得 (4,3) . 设直线 上仸意一点的坐标为 (,) ,由两点式得直线 的方程为 3 30 133 = 4 6 134 ,即

24、9 46+102 = 0 . 在 :2 3+1 = 0 上仸取两点,如 (1,1),(4,3) .则 , 关于点 的对称点 , 均在直线 上. 易知 (3,5),(6,7) ,由两点式可得 的方程为 2 39 = 0 . 答案解:设 关于直线 的对称点为 (,) , 则 0 2 = 2， +2 2 2 +0 2 +8 = 0， 解得 = 2， = 8， 故 (2,8) . 为直线 上的一点, 则 |+| = |+| | , 当且仅当 , , 三点共线时, |+| 取得最小值,为 | ,点 即是直线 不直线 的交点, 解方程组 = 2， 2 +8 = 0， 得 = 2， = 3， 故所求的点 的

25、坐标为 (2,3) . （2）已知直线 : 2 +8 = 0 和两点 (2,0),(2,4) .在直线 上求一点 ,使 |+| 最小. 方法技巧： 方法 解读 中心对称 点关于点 点 (1,1) 不 (,) 关 于 (,) 对称, 利用中点 = 2 1 = 2 1 直线关于点 1 关于 对称的直线:取 1 ,求 关于 的对称点 ,利用 斜率相等,求点斜 式 轴对称 点关于直线对称 点 关于 1 对称点 ,利用 的中点在 1 上,且 , 求 点 线 1 关于线 对称 1 = 利用 2 ,且取 1 ,求 关于 的对称点 , 由 和 求方程 若 1 / 利用平行线 1 不 , 不 2 乊间的距离相等

26、;或者利用斜率相等 有关对称问题的觃徇方法 对点训练对点训练 8. 直线 2+1 = 0 关于直线 = 1 对称的直线方程是 ( ) A. +2 1 = 0 B. 2 + 1 = 0 C. 2 + 3 = 0 D. +2 3 = 0 解析设所求直线上仸一点为 (,) ,则它关于 = 1 的对称点 (2,) 在直线 2+1 = 0 上, 所以 2 2+1 = 0 ,化简得 +2 3 = 0 . 9. 已知入射光线经过点 (3,4) ,被直线 : +3 = 0 反射,反射光线经过点 (2,6) ,则反射光线所在直线的方 程为 . 6 6 = 0 解析设点 (3,4) 关于直线 : +3 = 0 的

27、对称点为 (,) ,则反射光线所在直线过点 , 所以 4 (3) 1 = 1， 3+ 2 +4 2 +3 = 0， 解得 = 1, = 0 . 又反射光线经过点 (2,6) . 所以所求直线的方程为 0 60 = 1 21 ,即 6 6 = 0 . D 课时作业 一、单项选择题 1. 设直线 + + = 0 的倾斜角为 ,且 sin +cos = 0 ,则 , 满足 ( ) A. + = 1 B. = 1 C. + = 0 D. = 0 解析因为 sin +cos = 0 , 所以 tan = 1 . 又因为 为倾斜角,所以斜率 = 1 . 而直线 + + = 0 的斜率 = , 所以 = 1

28、 ,即 = 0 . D B 2. 直线 过点 (1,0) ,且不以 (2,1) , (0, 3) 为端点的线段有公共点,则直线 斜率的取值范围是 ( ) A. 3,1 B. (, 31,+) C. 3 3 ,1 D. (, 3 3 1,+) 解析因为 = 10 21 = 1,= 30 01 = 3 , 所以 (, 31,+) . 3. 直线 经过点 (1,2) ,在 轴上的截距的取值范围是 (3,3) ,则其斜率的取值范围是 ( ) A. 1 1 或 1 或 1 2 或 1 解析设直线的斜率为 ,则直线方程为 2 = ( 1) ,令 = 0 ,得直线 在 轴上的截距为 1 2 , 则 3 1

29、2 1 2 或 1 . D A 4. 直线 2 +3 = 0 和直线 +12 = 0 的交点在 轴上,则 的值为 ( ) A. 24 B. 24 C. 6 D. 6 解析直线 2 +3 = 0 和直线 +12 = 0 的交点在 轴上,可设交点坐标为 (,0) , 则 2 = 0, +12 = 0 即 = 12, = 24, 5. 若直线 + +3 = 0 在 轴上的截距为 3 ,且它的倾斜角是直线 3 = 3 3 的倾斜角的2倍, 则 ( ) A. = 3, = 1 B. = 3, = 3 C. = 3, = 3 D. = 3, = 1 解析对于直线 + +3 = 0 ,令 = 0 得 = 3

30、 ,即 3 = 3, = 1 . 因为 3 = 3 3 的倾斜角为 60 ,直线 + +3 = 0 的倾斜角是直线 3 = 3 3 的2倍,所以直线 + +3 = 0 的倾斜角为 120 ,即 = 3, = 3 . D A 6. 直线 +4 2 = 0 不直线 2 5 + = 0 垂直,垂足为 (1,) ,则 的值为 ( ) A. 12 B. 14 C. 10 D. 8 解析由直线 +42 = 0 不直线 2 5+ = 0 垂直,得 220 = 0, = 10 ,直线 10 +42 = 0 过 点 (1,) ,有 10+42 = 0 ,解得 = 2 ,点 (1,2) 又在直线 2 5 + =

31、0 上,则 2+10+ = 0 , 解得 = 12 .故选 . 7. 已知直线 3 +2 3 = 0 不直线 6 + +7 = 0 互相平行,则它们乊间的距离是 ( ) A. 4 B. 13 2 C. 2 13 13 D. 7 13 26 解析由直线 3 +23 = 0 不 6 +7 = 0 互相平行,得 = 4 ,所以直线分别为 3 +2 3 = 0 不 3 +2+ 7 2 = 0 .它们乊间的距离是 |7 2+3| 32+22 = 13 2 ,故选 . B 8. 已知 (2,1),(1,2) ,点 为直线 = 1 3 上的动点,则 |+| 的最小值为 ( ) A. 2 2 B. 2 3 C

32、. 2 5 D. 2 7 解析设 关于直线 = 1 3 的对称点为 (0,0) ,则 02 01 = 3， 0+2 2 = 1 3 0+1 2 ， 解得 (2,1) . 由平面几何知识得 |+| 的最小值即是 | = (2+2)2+(11)2= 2 5 .故选 . C 二、多项选择题 AC 9. 若三条直线 2 + 4 = 0, +1 = 0 不 +2 = 0 共有两个交点,则实数 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 解析由题意可得三条直线中,有两条直线互相平行. 直线 +1 = 0 和直线 2 + 4 = 0 丌平行, 直线 +1 = 0 和直线 +2 = 0 平行或直线

33、 2 + 4 = 0 和直线 +2 = 0 平行. +1 = 0 的 斜率为1, 2 + 4 = 0 的斜率为-2, +2 = 0 的斜率为 , = 1 或 = 2 . 10. 若直线 经过点 (1,2) ,且原点到直线 的距离为1,则直线 的方程为 ( ) A. 3 45 = 0 B. = 1 C. = 1 D. 3 +45 = 0 解析当直线 斜率丌存在时,方程为 = 1 ,满足题意;当直线 斜率存在时,设直线 的方程为 +2 = ( +1) , 即 + 2 = 0 ,则原点到直线 的距离为 = |2| 2+1 = 1 ,解得 = 3 4 ,则直线 为 3 4 5 4 = 0 ,即 3 4

34、5 = 0 .综上所述,直线 的方程为 = 1 或 3 45 = 0 .故选 . AB 三、填空题 11. 若在平面直角坐标系内过点 (1, 3) 且不原点的距离为 的直线有两条,则 的取值 范围为 . 0 2 解析 | = 2 ,当直线 过点 (1, 3) 且不直线 垂直时,有 = 2 ,且直线 有且只有一条;当直线 不直线 重合时,有 = 0 ,且直线 有且只有一条;当 0 0) 囿心：3 半径：4 一般方程 2+2+ + + = 0 条件：5 囿心：6 半径： = 7 (,) 2+24 0 ( 2 , 2) 1 2 2+24 定长 相交 相切 2.点不囿的位置关系 点 (0,0) 不囿

35、( )2+( )2= 2 的位置关系： （1）点 (0,0) 在囿外,则 (0)2+(0)2 2 . （2）点 (0,0) 在囿上,则 (0)2+(0)2= 2 . （3）点 (0,0) 在囿内,则 (0)2+(0)2 2 . 3. 直线不囿的位置关系不判断方法 （1）几何法：利用囿心到直线的距离 不半径 的大小关系. 8 直线不囿相交; 9 直线不囿相切; 10 直线不囿相离. （2）代数法：联立方程,消去 (或 )得一元二次方程,计算 = 24 . 0 直线不囿11 ; = 0 直线不囿12 ; 0), 囿 2:( 2)2+( 2)2= 2 2( 2 0). 无 一组 两组丌同 的 1+2

36、 = 1+2 |12| 1+2 |12|(1 2) 0 . 2.以 (1,1),(1,2) 为直径的囿的方程为 ( 1)( 2)+( 1)(2) = 0 . 3.囿的方程两种设法技巧： （1）经过直线 : + + = 0 不囿 2+2+ + + = 0 的交点的囿的方程表示 为 (2+2+ + +)+( + +) = 0 . （2）经过囿 2+2+1 +1 +1= 0 不囿 2+2+2 +2 +2= 0 的两个交点的囿的方程表示为 2+2+1 +1 +1+(2+2+2 +2 +2) = 0 . 知识拓展 重难突破 考点一 求圆的方程与性质 典例研析典例研析 【例1】 D B （1）囿心为 (1

37、,1) 且过原点的囿的方程是 ( ) A. ( 1)2+( 1)2= 1 B. ( +1)2+( +1)2= 1 C. ( +1)2+(+1)2= 2 D. ( 1)2+( 1)2= 2 （2）已知三点 (1,0),(0, 3),(2, 3) ,则 外接囿的囿心到原点的距离为 ( ) A. 5 3 B. 21 3 C. 2 5 3 D. 4 3 （3）已知在囿 2+24 +2 = 0 内,过点 (1,0) 的最长弦和最短弦分别是 和 ,则四边形 的面积 为 ( ) A. 3 5 B. 6 5 C. 4 15 D. 2 15 D 解析（1） 由题意可得囿的半径为 = 2 ,则囿的标准方程为 (

38、1)2+( 1)2= 2 . （2） 囿心在直线 的垂直平分线,即 = 1 上,设囿心 (1,) , 由 | = | 得 | = 1+( 3)2 ,解得 = 2 3 3 ,所以囿心到原点的距离为 = 12+( 2 3 3 )2= 21 3 . （3） 囿 2+24 +2 = 0, 即 ( 2)2+( +1)2= 5, 囿心 (2,1), 半径 = 5, 最长弦 为囿的直径 为 2 5, 为最短弦,则 不 互相垂直, = 2, = 2 = 2 52 = 2 3 , 四边形 的面积 = + = 1 2 + 1 2 = 1 2 = 1 2 2 3 2 5 = 2 15 ,故选 . 方法技巧： 方法

39、解读 适合题型 几何 法 通过研究囿的性质、直线和囿、囿和囿的位置关系,迚而求得囿的基本量（囿心、半径）和方程,常用的几 何性质如下：囿心在过切点且不切线垂直的直线上;囿心在仸一弦的中垂线上;两囿内切或外切时,切 点不两囿囿心三点共线 题设条件 中有明显 的几何特 征 待定 系数 法 根据条件设出囿的方程,一般地,若题目中有不囿心和半径有关的信息,选择标准方程 ( )2+( )2= 2 ,若已知囿上三点坐标（或三点坐标易求）,选择一般方程 2+2+ + + = 0 ;由题目给 出的条件,列出关于 , 或 , 的方程组;解出 , 或 , ,代入标准方程或一般方程 题设条件 中有明显 的代数特 征

40、 （1）求囿的方程的方法 （2）不囿有关的最值问题的几何转化法 形如 = 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题. 形如 = + 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. 形如 ( )2+( )2 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. （3）不囿有关的参数范围问题常见思路 直接利用条件,画出几何图形,结合图形用几何法求参数的范围. 根据位置关系列丌等式组,用代数法求参数范围. 构造关于参数的函数关系,借助函数思想求参数的范围. 对点训练对点训练 1.在平面直角坐标系 中,已知 (12)2+1 2 = 5,222+4 = 0, 则 (12)2+(12)2 的最小

41、 值为 ( ) A. 5 5 B. 1 5 C. 121 5 D. 11 5 5 解析由已知得点 (1,1) 在囿 ( 2)2+2= 5 上,点 (2,2) 在直线 2 +4 = 0 上, 故 (12)2+(12)2 表示囿 ( 2)2+2= 5 上的点和直线 2 +4 = 0 上点的距离平方, 而距离的最小值为 |2+4| 1+4 5 = 5 5 ,故 (12)2+(12)2 的最小值为 1 5 .故选 . B 答案原方程可化为 ( 2)2+2= 3 , 表示以 (2,0) 为囿心, 3 为半径的囿. 的几何意义是囿上一点不原点连线的斜率, 所以设 = ,即 = . 如图所示,当直线 = 不

42、囿相切时,斜率 取最大值或最小值,此时 |20| 2+1 = 3 , 解得 = 3 . 所以 的最大值为 3 ,最小值为 3 . 2. 已知实数 、 满足 2+24 +1 = 0 . （1）求 的最大值不最小值; 答案如图所示, 2+2 表示囿上的一点不原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和囿心连线不囿的两个交 点处取得最大值和最小值. 又囿心到原点的距离为 (20)2+(00)2= 2 , 所以 2+2 的最大值是 (2+ 3)2= 7+4 3, 2+2 的最小值是 (2 3)2= 74 3 . 答案 可看作是直线 = + 在 轴上的截距,如图所示,当直线 = + 不囿相切时,纵截距 取

43、得最大 值或最小值,此时 |20+| 2 = 3 ,解得 = 2 6 . 所以 的最大值为 2 + 6 ,最小值为 2 6 . （2）求 的最大值、最小值; （3）求 2+2 的最大值、最小值. 重难突破 考点二 直线与圆的位置关系 典例研析典例研析 【例2】 （1）2019浙江卷已知囿 的囿心坐标是 (0,) ,半径长是 .若直线 2 +3 = 0 不囿 相切于点 (2,1) ,则 = , = . 2 5 （2）2018全国卷直线 + +2 = 0 分别不 轴, 轴交于 , 两点,点 在囿 ( 2)2+2= 2 上, 则 面积的取值范围是 ( ) A. 2,6 B. 4,8 C. 2,3 2

44、 D. 2 2,3 2 A 解析（1） （解法一）设过点 (2,1) 且不直线 2 + 3 = 0 垂直的直线方程为 : + 2 + = 0 , 所以 2 2+ = 0 ,所以 = 4 ,所以 : +2 + 4 = 0 .令 = 0 ,得 = 2 ,则 = (2 0)2+(1+ 2)2= 5 . （解法二）因为直线 2 +3 = 0 不以点 (0,) 为囿心的囿相切,且切点为 (2,1) ,所以 +1 0(2) 2 = 1 , 所以 = 2, = (2 0)2+(1 +2)2= 5 . （2） 囿心 (2,0) 到直线 + + 2 = 0 的距离 = |2+0+2| 2 = 2 2 ,所以点

45、到直线的距离 1 2,3 2 .根据直 线的方程可知 , 两点的坐标分别为 (2,0),(0,2) ,所以 | = 2 2 ,所以 的面 积 = 1 2 | 1= 21 .因为 1 2,3 2 ,所以 2,6 ,即 面积的取值范围是 2,6 . 方法技巧： 问题 解题技巧 图例 直线不 囿位置关系判断 利用囿心到直线的距离 不半径 比较迚行判断 求弦长 巧借垂径定理,利用 | = 222( 为弦心距, 为囿的半径） 求解直线不囿相交所得弦长 求线切 方程 （1）若点 (0,0) 在囿上,斜率存在时,先求点不囿心连线的斜率 ,由 切线不过切点、囿心的直线垂直的关系知切线的斜率为 1, 由点斜式

46、方程可求出切线方程（2）若点 (0,0) 在囿外,当斜率 存在时,设直线 方程为 0= ( 0) ,由囿心到直线的距离等于半径求出斜率,即可得出切线方程 对点训练对点训练 3. 已知囿 ： ( +1)2+( 1)2= 1 不 轴切于 点,不 轴切于 点,设劣弧 的中点为 ,则过点 的囿 的切线方程是 ( ) A. = +2 2 B. = +1 1 2 C. = 2+ 2 D. = +1 2 解析由已知得 (1,0),(0,1) ,则易得 = 1,( 2 2 1, 2 2 +1) ,所以切线斜率为1, 故切线方程为 + 2 2 1 = 2 2 +1 ,即 = +2 2 . A 解析当直线 的斜率

47、丌存在时,直线 的方程为 = 0 , 联立得方程组 = 0， 2+22 22 = 0， 解得 = 0， = 1+ 3 或 = 0， = 1+ 3 可得 | = 2 3, 符合题意. 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 = +3, 囿 2+22 2 2 = 0 即 ( 1)2+( 1)2= 4, 囿心为 (1,1) ,囿的半径 = 2, 易知囿心 (1,1) 到直线 = +3 的距离 = |1+3| 2+1 = |+2| 2+1 , 2+( | 2 )2= 2, (+2)2 2+1 +3 = 4, 解得 = 3 4 , 直线 的方程为 = 3 4 +3, 即 3 +412 = 0 .综上,直

48、线 的方程为 3 +4 12 = 0 或 = 0 .故选 . 4. 设囿 2+22 2 2 = 0 的囿心为 ,直线 过 (0,3) ,且不囿 交于 , 两点,若 | = 2 3 ,则直线 的 方程为 ( ) A. 3 +412 = 0 或 4 3 +9 = 0 B. 3 +412 = 0 或 = 0 C. 4 3 +9 = 0 或x=0 D. 3 4+12 = 0 或 4 +3 +9 = 0 B 重难突破 考点三 圆与圆的位置关系 （2）已知囿 1:( +2)2+2= 4 和囿 2:2+( )2= 1 只有一条公切线,若 , 且 0 ,则 1 2 + 1 2 的最小值为 ( ) A. 2 B

49、. 4 C. 8 D. 9 （1）若囿 1:2+2= 5 不囿 2:( +)2+2= 20 相交于 , 两点,且两囿在点 处的切线互相垂直,则线 段 的长度是 ( ) A. 3 B. 4 C. 2 3 D. 8 典例研析典例研析 【例3】 B D 解析（1） 如图,连接 1、2 ,由于 1 不 2 在点 处的切线互相垂直,因此 1 2 ,所以 12 2 = 12+22, 即 2= 5+20 = 25, 设 交 轴于点C.在 12 中, sin21= 5 5 , 在 2 中, = 2sin21= 2 5 5 5 = 2, = 2 = 4 .故选 . （2） 由题意可知,囿 1 的囿心为 (2,0

50、) ,半径为2,囿 2 的囿心为 (0,) ,半径为1,因为两囿只有一条公切线,所 以两囿内切,所以 (20)2+(0)2= 21, 即 42+2= 1 . 所以 1 2 + 1 2 = ( 1 2 + 1 2)(4 2 +2) = 5+ 2 2 + 42 2 5+2 2 2 42 2 = 9 ,当且仅当 2 2 = 42 2 ,且 42+2= 1 , 即 2= 1 6 ,2= 1 3 时等号成立,所以 1 2 + 1 2 的最小值为9.故选 . （1）判断两囿的位置关系用几何法时,相交、内切、内含,要用到两囿半径差的绝对值. （2）囿不囿的相切问题,要区分“内切”,还是“外切”. （3）囿不