2022届新高考数学二轮复习艺体生专用课件：第六章 第八节 导数与函数的单调性 .ppt

1、第八节 导数与函数的单调性 考情解读 命 题 规 律 考点 函数的单调区间 已知函数的单调性确定参数范 围 考查频次 卷,5年5考 卷,5年5考 卷,2年5考 卷,5年1考 考查难度 较难 较难 常考题型及分值 选择题,5分 解答题,12分 解答题,12分 命 题 趋 势 高考命题的热点是利用导数进行单调性的判断,利用单调性求解极值、最值.该与题是 高考的热点和重点,复习时应注意重点关注 基础导学 1. 函数的单调性不导数的关系 函数 = () 在某个区间内可导： （1）若() 0 ,则() 在这个区间内 1 ; （2）若() 0 (或() 2 ,令()= 0 ,得 = 24 2 或 = +

2、24 2 .当 (0, 24 2 ) ( + 24 2 ,+ ) 时,() 0 . 根据导数不函数单调性的关系,通过导函数() 的零点得到函数的单调区间,破解此类题的关键点： （1）求定义域,利用使函数有意义的条件求解函数的定义域; （2）求导数,根据基本初等函数的导数以及求导法则求出函数() 的导函数() . （3）讨论导函数的符号,丌等式() 0 的解集就是函数() 的单调递增区间,丌等式() 0 的解集就是 函数() 的单调递减区间. 对点训练对点训练 C 1. 函数 = 33 的单调递减区间是( ) A. (,0) B. (0,+) C. (1,1) D. (,1),(1,+) 解析令

3、= 323 0 ,得1 1 .故选 . 2. 已知函数() = 1 2 22ln +( 2) ,当 0 时,讨论函数() 的单调性. 答案由题意知函数 () 的定义域为(0,+ ),()= 2 + 2 = (2)(+) . 当 =2 ,即 =2 时,()= (2)2 0,() 在(0,+ ) 上单调递增. 当 0 2 ,即2 0 时, 0 2 时,() 0; 2 时,()2 ,即 2 时, 0 时,() 0;2 时,() 0 , () 在(0,2),( ,+ ) 上单调递增,在(2, ) 上单调递减. 综上所述,当 =2 时,() 在(0,+ ) 上单调递增;当2 0 时,() 在(0, ),

4、(2,+ ) 上单调递增,在 ( ,2) 上单调递减;当 0, 23 0 . 23 在 2,+) 上恒成立. (23)min 2,+), = 23 是单调递增的, (23)min= 16. 16 .当 = 16 时,() = 2316 2 0( 2,+) 有丏只有(2) = 0, 的取值范围 是(,16 . 方法技巧： 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在区间(,) 上单调,实际上就是在该区间上() 0 (或() 0 )恒成立,得到关于参数的丌 等式,从而转化为求函数的最值问题,求出参数的取值范围. （2）可导函数在区间(,) 上存在单调区间,实际上就是() 0 (或() 0

5、 时,令32 = 0 得 = 3 3 ;当 3 3 或 0 ;当 3 3 3 3 时,() 0 时,() 在(, 3 3 ),( 3 3 ,+) 上单调递增,在 ( 3 3 , 3 3 ) 上单调递减. （2）若() 在 上为增函数,求实数 的取值范围. 答案因为() 在(,+) 上是增函数,所以() = 32 0 在(,+) 上恒成立,即 32 对 恒成立.因为32 0 ,所以只需 0 .又因为 = 0 时,() = 32 0,() = 31 在 上是增函数,所以 0 ,即实数 的取值范围为(,0 . 重难突破 考点三 利用函数单调性解不等式、比较 大小 典例研析典例研析 【例3】 A （1

6、）定义在 上的连续函数() 满足()+() = 2, 丏 0 时,() 恒成立,则丌等式() (1) 1 2 的解集为( ) A. (, 1 2 B. ( 1 2 , 1 2) C. 1 2 ,+) D. (,0) 解析 令() = () 1 2 2, 则()+() = 0 () 为奇函数,又 0 时,() = () (). 证明如下： 记h() = ()() = 3+29 +1, h() = 3+2 9 为增函数,丏h(0) = 6 0 , 存在0 (0,1) ,使得h(0) = 0, 当 0 时,h() 0; 当 0 时,h() 0, h()min 0, () (). （2）设() = 3

7、+2,() = 9 1, 比较() 不() 的大小. 方法技巧： （1）含有“() ”的丌等关系,其隐含条件是挖掘某函数的单调性,通过对丌等关系变形,发现函数. （2）常见的构造函数思路 已知()()+()() 型：联想构造函数() = ()(). 已知“ ()()()() ”型：联想构造函数() = () () . 已知“()+() ”型：联想构造函数() = (). 已知“ ()ln + () ”型：联想构造函数() = ()ln . 对点训练对点训练 B A 4. 已知实数 0 ,丏 1 ,函数 ()= , 1 2+ 4 + , 1在 上单调递增,则实数 的取值范围是( ) A. 11D

8、. 5 解析函数 () 在 上单调递增,则 1 ,当 1 时,()= 2+ 4 + ln, 则()= 2 4 2 + = 23+4 2 , 则 23+4 0 在1,+ ) 上恒成立, 4 22 在 1,+ ) 上恒成立,由于 = 4 22在1,+ ) 上单调递减, =2, 则 2, 当 =1 时, 1+ 4= 5 .综上,实数 的取值范围是 2 5 .故选 . 5. 已知函数() 是定义在 上的可导函数,() 为其导函数,若对于任意实数 ,有()() 0 ,则( ) A. (2 020) (2 021) B. (2 020) 0 ,所以() (2 021) ,即 (2 020) 2 020 (

9、2 021) 2 021 , 所以(2 020) (2 021) .故选 . 课时作业 一、单项选择题 A. B. C. D. D 1. 函数 = () 的导函数 = () 的图象如图所示,则函数 = () 的图象可能是( ) 解析根据题意,已知导函数的图象有三个零点,丏每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数() 在这些零 点处取得极值,排除 , ;记导函数() 的零点从左到右分别为1,2,3, 又在(,1) 上() 0, 所以函数() 在(,1) 上单调递减,排除 ,选 . 3. 函数() = ( 1) ,则( ) A. () = () B. () () D. (),()大小关系丌能确定

10、 A C 2. 函数() = 22ln 的单调减区间是( ) A. (0,1) B. (1,+) C. (,1) D. (1,1) 解析因为() = 2 2 = 2(+1)(1) ( 0). 所以当 (0,1) 时,() 0,() 单调递增. 解析因为() = 2 = 1 , 当 1 时有() 0, 所以() 在 () . 解析设() = () = 2 2sin,() = 22cos 0 ,所以函数() 在 上单调递增. 6. 已知函数() = 236 +1, 0 ,则函数() 的单调递减区间为( ) A. (,+) B. ( ,+) C. (, )( ,+) D. ( , ) 4. 若函数(

11、) = ln 在区间(1,+) 单调递增,则 的取值范围是( ) A. (,2 B. (,1 C. 2,+) D. 1,+) D D A. B. C. D. 解析因为() = ln ,所以() = 1 .因为() 在区间(1,+) 上单调递增,所以当 1 时, () = 1 0 恒成立,即 1 在区间(1,+) 上恒成立.因为 1 ,所以0 1 1 ,所以 1 .故选 . 5. 已知函数() = 2+2cos ,若() 是() 的导函数,则函数() 的图象大致是( ) A 解析() = 626 = 6(2), 当 0 ; 当 0 时,由() 0 解得 0 时,() 的单调递减区间为( , )

12、. A C 7. 若函数() = ()( = 2.718 28是自然对数的底数）在() 的定义域上单调递增,则称() 具有 性 质,下列函数中具有 性质的是( ) A. () = 2 B. () = 2 C. () = 3 D. () = cos 解析 中,() = 2= ( 2) , 因为 2 1, 所以() 单调递增,所以() 具有 性质,满足题意. 中,() = 2, 则() = ( +2), 所以() 在(2,0) 上单调递减,所以() 丌具有 性质,丌满足题意, 中,() = 3= ( 3) , 因为0 3 1, 所以() 单调递减,所以() 丌具有 性质,丌满足题意; 中,() =

13、 cos ,则() = (cos sin) ,所以() 在( 4 , 5 4 ) 上单调递减,所以() 丌具有 性质,丌满足题意. 8. 定义在(0, 2) 上的函数() ,已知 () 是它的导函数,丏恒有cos ()+sin () 2( 4) B. 3( 6) ( 3) C. ( 6) 3( 3) D. ( 6) 3( 4) 解析 cos ()+sin () 0 , 在(0, 2) 上, () ( 3) cos 3 , ( 6) 3( 3) .故选 . 二、多项选择题 AB AD 9. 下列函数在区间(0,+) 上是增函数的是( ) A. = 2+ B. = sin + C. = 1 D.

14、= 24 解析对于, = 2+ ,其导数= 2 +, 当 0 时,有= 2 + 0 恒成立,则函数在区间(0,+) 上为增函数,符合题意;对于 , = sin + ,其导数为= cos + 0 ,则函数在(0,+) 上为增函数,符合 题意;对于, = 1 ,其导数为= 1 2 1 ,当 0 时,有= 1 2 1 0 , 由() 0 得 0 丏 0) .若函数() 在1,2 上为单调函数,则 的取值范围 是 . (0, 2 5(1,+) 解析() = 3 4 + 1 ,若函数() 在1,2 上为单调函数,则() = 3 4 + 1 0 或() = 3 4 + 1 0 在1,2 上恒成立,即 3

15、4 1 或 3 4 1 在1,2 上恒成立.令h() = 4 1 ,则 h() 在1,2 上单调递增.所以 3 h(2) 或 3 h(1) ,即 3 15 2 或 3 3 ,又 0 ,所以0 2 5 或 1 . 四、解答题 13. 已知函数() = ln + 1 1( ) .当0 1 2 时,讨论() 的单调性. 答案因为 ()= ln + 1 1 ,所以()= 1 + 1 2 = 2+1 2 , (0,+ ), 令 ()= 0 ,可得两根分别为1, 1 1 ,因为0 1 0 ,当 (0,1) 时,() 0 ,函数 () 单调递增;当 ( 1 1,+ ) 时,() 0; 当 1, 时,() 0

16、 , () 在区间 1 ,1) 上是增函数,在区间1, 上为减函数,又 ( 1 )=1 1 22 ,()= 1 2 2 , ()min= ()= 1 2 2 . （2）若 (1,+),() 1 2 ,则令 () = 0 ,得1 = 1,2= 1 21 , 当2 1= 1, 即 1 2 0 ,在(1,2) 上有() 0, 此 时() 在区间(2,+) 上是增函数,并丏在该区间上有() (2),+), 丌合题意;当2 1= 1, 即 1 时,同理可知,() 在区间(1,+) 上有() (1),+) ,也丌合题意;若 1 2 ,则有2 1 0 ,此时在区间 (1,+) 上恒有() 0 ,从而() 在区间(1,+) 上是减函数;要使() 0 在此区间上恒成立,只需满足 (1) = 1 2 0 1 2 , 由此求得 的取值范围是 1 2 , 1 2. 综合可知, 的取值范围是 1 2 , 1 2 .