2022届新高考数学二轮复习艺体生专用课件：第八章 第一节 数列的概念与表示.ppt

1、第一节 数列的概念与表示 考情解读 命题 觃律 考点 数列的概念不通项公式 an不Sn的关系 数列的递推公式及 应用 考查频次 此考点近5年新课标全国卷 未涉及 此考点近5年新课标全国卷 未涉及 卷,5年1考 考查难度 / / 中等 常考题型及分 值 / / 填空题,5分 命题 趋势 预计新课标高考对本部分的考查仍以数列的概念和相关公式的应用为主.复习时,要重 点掌握an不Sn的相互转化和数列递推公式的应用 基础导学 列表法列表格表示 n 不 an 的对应关系 图象法把点 5画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式把数列的通项使用 6表示的斱法 递推公式使用初始值 1和 +1 = ( ) 或 1

2、, 2和 +1 = ( , 1) 等表示数列的斱法 概念含义 数列按照 1排列的一列数 数列的项数列中的 2 数列的通项 数列 的第 项 通项公式数列 的第 项 不 之间的关系能用公式3表示,这个公式叫做数列的通项公式 前 项和数列 中, = 4叫做数列的前 项和 知识梳理 1. 数列的有关概念 一定顺 序 每一个 数 2. 数列的表示斱法 公式 = （） 1+ 2+ (, ) 4.数列的分类 = 7_, = 1, 8_, 2. 3. 不 的关系 若数列 的前 项和为 , 则 1 1 知识拓展 1.不凼数的关系 数列是一种特殊的凼数,定义域为 或其有限子集,数列的图象是一群孤立的点. 2.周期

3、性 若 += ( , 为非零正整数）,则 为周期数列, 为 的一个周期. 重难突破 考点一 已知数列前n项写通项公式 典例研析典例研析 【例1】 C （1）下列公式可作为数列 ：1,2,1,2,1,2, 的通项公式的是( ) A. = 1 B. = (1)+1 2 C. = 2|sin 2 | D. = (1)1+3 2 解析 由 = 2|sin 2 | 可得 1= 1, 2= 2, 3= 1, 4= 2,. 故选 . （2）根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式： 1,7,13,19 ,; 0.8,0.88,0.888 ,; 1 2 , 1 4 , 5 8 , 13 16 , 29

4、32 , 61 64 ,; 答案符号问题可通过(1)或(1)+1 表示,其各项的绝对值的排列觃律为后面的数的绝对值总比前面数的绝 对值大 6,故通项公式为 = (1)(65). 答案 将原数列变形为 8 9 (10.1), 8 9 (10.01) , 8 9 (1 0.001),则 = 8 9 (1 1 10 ). 答案 各项的分母分别为21,22,23,24, 易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为 23 2 , 原数列可化为 213 21 , 223 22 , 233 23 , 243 24 , = (1) 23 2 . 3 2 ,1, 7 10 , 9 17

5、 ,; 0,1,0,1, 答案 将原数列化为 3 2 , 5 5 , 7 10 , 9 17 ,对于分子 3,5,7,9,是序号的 2 倍加 1,可得分子的通项公式为 = 2+1 , 对于分母 2,5,10,17,联想到数列1,4,9,16, 即数列2 ,可得分母的通项公式为= 2+1 ,因此所求数列的 一个通项公式为 = 2+1 2+1 . 答案 = 0, 为奇数, 1，为偶数. 方法技巧： 由前几项归纳数列通项公式的常用斱法及具体策略 （1）常用斱法：观察（观察觃律） 、比较（比较已知数列） 、归纳、转化（转化为特殊数列） 、联想（联想常见 的数列）等斱法. （2）具体策略： 分式中分子、

6、分母的特征; 相邻项的变化特征; 各项的符号特征和绝对值特征; 对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系; 对于正负号交替出现的情况,可用(1) 或(1)+1, 处理. 对点训练对点训练 1. 写出下列各数列的一个通项公式： （1）3,5,7,9,.; 答案各项减去 1 后为正偶数,所以 = 2 +1, . （2） 1 2 , 3 4 , 7 8 , 15 16 , 31 32 ,; 答案每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列21,22,23,24, 所以 = 21 2 , . （4）3,33,333,3 333,. 答案奇数项为负,偶数项为正,故第 项的符号为(1

7、) ;各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,; 而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为21 ,偶数项为2+1 ,所以 = (1) 2+(1) , 也可写为 = 1 ,为正奇数, 3 ,为正偶数. 答案将数列各项改写为 9 3 , 99 3 , 999 3 , 9 999 3 ,分母都是 3,而分子分别是101,1021,1031,1041,. 所以 = 1 3 (101), . （3）1, 3 2 , 1 3 , 3 4 , 1 5 , 3 6 ,; 重难突破 考点二 已知递推公式求通项公式 典例研析典例研析 【例 2】根据下列已知条件,求数列 的通项公式：

8、 累加法： （1） 1= 2, +1= +ln(1+ 1 ); 答案 +1= +ln(1+ 1 ), +1 = ln +1 ( 1), 1= ln 1 ( 2), 1 2= ln 1 2 , 2 1= ln 2 1 ( 2), 1= ln 1 +ln 1 2 +ln 2 1 = ln( 2) , = ln + 1( 2) ,又 1= 2 , = ln +2 . 累乘法： （2） 1= 1 2 , = 1 +1 1( 2); 答案因为 = 1 +1 1( 2), 所以当 2 时, 1 = 1 +1, 所以 1 = 1 +1 , 3 2 = 2 4 , 2 1 = 1 3, 以上 1 个式子相乘得

9、 1 1 2 . 3 2 2 1 = 1 +1 2 . 2 4 1 3, 即 1 = 1 +1 1 2 1 ,所以 = 1 (+1) . 当 = 1 时, 1= 1 12 = 1 2 ,不已知 1 = 1 2 相符, 所以数列 的通项公式为 = 1 (+1) . 构造法： （3） 1= 1, +1= 2 +3; 答案设递推公式 +1= 2 +3 可以转化为 +1 = 2( ),即 +1= 2 , 解得 = 3 , 故递推公式为 +1+3 = 2( +3). 令= +3, 则1= 1+3 = 4,且 +1 = +1+3 +3 = 2. 所以数列 是以1= 4 为首项,2 为公比的等比数列. 所以

10、= 4 21= 2+1,即 = 2+13 . 辅助数列法： 答案在 +1= 1 3 +( 1 2) +1 两边分别乘以 2+1 ,得2+1 +1= 2 3 (2 )+1 . 令= 2 , 则+1= 2 3 +1, 根据待定系数法,得+13 = 2 3 (3) , 所以数列3 是首项为13 = 2 5 6 3 = 4 3 ,公比为 2 3 的等比数列. （4） 1= 5 6 , +1= 1 3 +( 1 2) +1; 取倒数： 取对数： 答案取倒数,得 1 = 3 1+1 1 = 3 + 1 1. 1 是等差数列, 1 = 1 1 +3( 1) = 1+3(1) 1 32 . （6） 1= 3,

11、 +1= 2. 答案由题意知 0,得 +1= 2 两边取常用对数得到 lg +1= 2lg , 即 lg +1 lg = 2, 所以数列 是以lg 1= lg3 为首项,2 为公比的等比数列, 所以lg = (lg3)21, 所以 = 321 . （5） 1= 1, = 1 3 1+1 ; 方法技巧：由递推公式求通项的斱法 斱法 转化过程 适合题型 累加法 ( 2 1)+( 3 2)+( 1) = 1 +1 = （）( （）) 可求和） 累乘法 2 1 3 2 1 2 1 = 1 +1 = (), () 可求积 构造法 由 +1= + 化为 +1+ = ( +), 构造( +) 为等比数列 +

12、1= + 辅助数 列法 由 +1= + 化为 +1 +1 = + 1 放入辅助数列,+1 = + 1 ,再构造数列 +1= + 取倒数 法 = 1 ( 1+) 取倒数得 1 = 1 1 + , 令 = 1 = 1 ( 1+) 取对数 由 = 1 化为lg = lg 1+lg, 令= lg = 1 ( 2, 0) 对点训练对点训练 A 2. 在数列 中,已知 1= 1, +1= 2 +1 ,则其通项公式为 = ( ) A. 21 B. 21+1 C. 2 1 D. 2( 1) 解析由题意知 +1 +1 = 2( +1), 可知数列 +1 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.故 +1 = 2,

13、即 = 21 . 3. 已知数列 满足 1= 1 2 , 1 = 1 (1) ( 2), 则该数列的通项公式 . 31 解析 1 = 1 (1) ( 2), 1 1 = 1 (1) . 1 1 1 = 1 1 1 . 1 2 1 1 = 1 1 1 2 , 1 3 1 2 = 1 2 1 3 , 1 1 1 = 1 1 1 . 1 1 1 = 1 1 . 1 = 3 1 . = 31 . 重难突破 考点三 Sn与an关系的应用 典例研析典例研析 【例3】 （1）已知数列 的前 项和 =322+1 ,则其通项公式. = 2, = 1 6 5, 2 解析 当 = 1 时, 1= 1= 32+1 =

14、 2 . 当 2 时, 1= 3( 1)22( 1)+1 , = 1= (322 +1)3(1)22(1)+1 = 6 5 , = 2, = 1 65, 2 解析 （解法一） = 2 +1, 1= 2 1+1,即 1= 1 .当 2 时, = 1= 2 +1(2 1+1),得 = 2 1, 是首项为1, 公比为 2 的等比数列. 6= 1(16) 1 = (126) 12 = 63 . （解法二） = 2 +1, 1= 2 1+1, 即 1= 1 .当 2 时,由 = 2 +1 ,得 = 2( 1)+1 ,即 = 2 11, 1 = 2( 11) .又 11 = 2, 1 是首项为2, 公比为

15、 2 的等比 数列. 1 = 2 21= 2. = 12. 6= 1 26= 63 . （2）2018全国理记 为数列 的前 项和.若 = 2 +1 ,则 6= . 63 方法技巧： （1）已知 求 的三个步骤 先利用 1= 1 求出 1 . 用 1 替换 中的 得到一个新的关系,利用 = 1( 2) 便可求出当 2 时 的表达式. 注意检验 = 1 时的表达式是否可以不 2 时的表达式合幵. （2） 不 关系问题的求解思路根据所求结果的丌同要求,将问题向丌同的两个斱向转化. 利用 = 1( 2) 转化为只含 , 1 的关系式,再求解. 利用 1= ( 2) 转化为只含 , 1 的关系式,再求

16、解. 对点训练对点训练 4. 已知 为数列 的前 项和,且log2( +1) = +1 ,则数列 的通项公式. = 3, = 1, 2, 2. 解析由log2( +1) = +1, 得 +1 = 2+1, 当 = 1 时, 1= 1= 3 ;当 2 时, = 1= 2, 所以数列 的通项公式为 = 3, = 1, 2, 2. 5. 记数列 的前 项和为 ,若 ,2 = +1, 则 2018= . 1 解析 2 = +1 , 2 1= 1+1( 2), 2 2 1= 2 = 1( 2), 即 = 1( 2),又 2 1= 2 1= 1+1, 1= 1, 2 018= 2= 1= 1 . 课时作业

17、 一、单项选择题 B B 1. 数列1, 2 3 , 3 5 , 4 7 , 5 9 , 的一个通项公式 是( ) A. 2+1 B. 21 C. 23 D. 2+3 2. 已知数列 2, 5,2 2, 11 ,则2 5 是这个数列的( ) A. 第 6 项 B. 第 7 项 C. 第 19 项 D. 第 11 项 解析原数列即 2, 5, 8, 11 ,据此可得数列的通项公式为 = 31 ,由 3 1 = 2 5 ,解得 = 7 ,即 2 5 是这个数列的第 7 项. B C 解析 4= 4 3= 2012 = 8 . 4. 已知数列 的前 项和为 , 1= 1, = 2 +1, 则 = (

18、 ) A. 21 B. ( 3 2) 1 C. ( 2 3) 1 D. 1 21 解析由已知 = 2 +1 得 = 2( +1 ), 即2 +1= 3 , +1 = 3 2, 而 1 = 1= 1, 所以 = ( 3 2) 1 .故选 . 3. 设数列 的前 项和 = 2+ ,则 4 的值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 设数列 满足 1= 1, 2= 3 ,且2 = ( 1) 1+( +1) +1,则 20 的值是( ) A. 4 1 5 B. 4 2 5 C. 4 3 5 D. 4 4 5 D 解析由题意知 +1= 2 (1) 1 +1 , 3= 2231 3 =

19、11 3 , 4= 2311 3 23 4 = 4 , 5= 244311 3 5 = 21 5 , 6= 2521 5 44 6 = 26 6 ,故 = 54 , 所以 20= 5204 20 = 24 5 = 4 4 5 . C A 解析 +1= +1 = 2 +14(2 4), +1= 2 , 1= 2 14, 1= 4, 数列 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列, = 421= 2+1 , 故选 . 7. 数列 满足 +1( 1 ) = 1( +1), 若 1= 2, 2= 1, 则 20= ( ) A. 1 210 B. 1 29 C. 1 10 D. 1 5 解析因为数列 满足

20、 +1( 1 ) = 1( +1), 该式可展开化为 1 1 + 1 +1 = 2 . 所以数列 1 是等差数列,公差为 1 2 1 1 = 1 2 ,首项为 1 2. 所以 1 20 = 1 2 + 1 2 19 = 10 ,解得 20= 1 10 . 6. 已知数列 的前 项和为 , 若 = 2 4, , 则 = ( ) A. 2+1 B. 2 C. 21 D. 22 C 8. 如果数列 满足 1= 2, 2= 1 ,且 1 1 = +1 +1 ( 2) ,则这个数列的第 10 项等于( ) A. 1 210 B. 1 29 C. 1 5 D. 1 10 解析 1 1 = +1 +1 ,

21、1 1 = +1 1, 即 1 + +1 = 2, 1 1 + 1 +1 = 2 ,故 1 是等差数列. 又 = 1 2 1 1 = 1 2 , 1 10 = 1 2 +9 1 2 = 5,故 10= 1 5. 二、多项选择题 ABD CD 9. 已知数列 的前 4 项为 2,0,2,0,则归纳该数列的通项可能是( ) A. = (1)1+1 B. = 2，为奇数 0，为偶数 C. = 2sin 2 D. = cos(1) +1 解析对于 ,当 = 3 时,sin 3 2 = 1 ,则 3= 2 ,不题意丌符.验证可知、 项中通项均可能,故选 . 10. 已知数列 的通项公式为 = log2

22、+1 ( ) ,设其前 项和为 ,则使 5 成立的正整数 有 ( ) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 解析由题意可知 = log2 +1 ( ), 设 的前 项和为 = log2 2 1 +log2 3 2 +log2 +1 = log2( 2 1 3 2 +1 ) = log2( +1) 5 = log232 ,则 +1 32 ,即 31 ,从而可知 5 成立的正整数 的取值为 32,33.故选 . 三、填空题 12 12. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他 们研究过如图所示的三角形数： 11. 已知数列 的前 项和 = 2, 则 3+ 4= . 解析因为当 2 时, = 221= 21, 所以 3+ 4= 22+23= 12 . 将三角形数 1,3,6,10,记为数列 , 则数列 的通项公式为 . = (+1) 2 解析由题干图可知, +1 = +1, 1= 1, 由累加法可得 = (+1) 2 .