2020-2021学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 |1 0Ax x ，0B ，1，2，则(AB ) A0 B1 C2 D1，2 2 （4 分）已知 n a是公差为d的等差数列， n S为其前n项和若 31 33Sa，则(d ) A2 B1 C1 D2 3 （4 分）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1

2、)上单调递增的是( ) A2 x y Bylnx C 1 y x Dsinyx 4 （4 分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左)视图为( ) A B C D 5 （4 分）与圆 22 (1)5xy相切于点(2,2)的直线的斜率为( ) A2 B 1 2 C 1 2 D2 6 （4 分）函数( )2sin()(0f xx ，|) 2 的部分图象如图所示，则( )(f ) 第 2 页（共 19 页） A3 B 3 2 C 3 2 D3 7 （4 分）设a，b是两个不共线向量，则“a与b的夹角为锐角”是“()aab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充

3、分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （4 分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、 猪 现有十二生肖的吉祥物各一个， 甲、 乙、 丙三名同学从中各选一个， 甲没有选择马， 乙、 丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有( ) A242 种 B220 种 C200 种 D110 种 9 （4 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F到准线的距离为 2，过焦点F的直线与抛物 线交于A，B两点，且| 3|AFFB，则点A到y轴的距离为( ) A5 B4 C3 D2 10 （4 分）某公园门票单价 30 元，相关优惠政策如下： 10 人（含)以上团体购票 9 折

4、优惠； 50 人（含)以上团体购票 8 折优惠； 100 人（含)以上团体购票 7 折优惠； 购票总额每满 500 元减 100 元（单张票价不优惠） 现购买 47 张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为( ) A1090 元 B1171 元 C1200 元 D1210 元 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）复数 34i i 12 （5 分）函数( )1f xxlnx 的定义域是 第 3 页（共 19 页） 13 （5 分）已知 1 sin 3 ， 3 ( ,) 2 ，则cos ，cos2 14 （5 分） 已知双曲

5、线 22 22 :1(0,0) xy Mab ab ，ABC为等边三角形 若点A在y轴上， 点B，C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为ABC的中位线，则双曲线M的离心率 为 15 （5 分） 已知函数 sin cos ( )23 xx f x ，0 x，2 ， 其中 x表示不超过x的最大整数 例 如：11，0.50， 0.51 2 () 3 f ； 若( )f xxa对任意0 x，2 都成立，则实数a的取值范围是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （13 分）如图，在四棱锥PABC

6、D中，PD 平面ABCD，4PD ，底面ABCD是边 长为 2 的正方形，E，F分别为PB，PC的中点 （）求证：平面ADE 平面PCD； （）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值 17 （13 分）已知函数( )sin() 6 g xx ，( )cosh xx，再从条件、条件这两个条件中 选择一个作为已知，求： （）( )f x的最小正周期； （）( )f x在区间0， 2 上的最大值 条件：( )( )( )f xg xh x； 条件：( )( )( )f xg xh x 18 （14 分）为了解果园某种水果产量情况，随机抽取 10 个水果测量质量，样本数据分组 第 4 页（共 19 页）

7、 为100，150)，150，200)，200，250)，250，300)，300，350)，350，400（单 位：克） ，其频率分布直方图如图所示： （）用分层抽样的方法从样本里质量在250，300)，300，350)的水果中抽取 6 个，求 质量在250，300)的水果数量； （）从（）中得到的 6 个水果中随机抽取 3 个，记X为质量在300，350)的水果数量， 求X的分布列和数学期望； （）果园现有该种水果约 20000 个，其等级规格及销售价格如表所示， 质量m （单位： 克） 200m 200300m 300m 等级规格 二等 一等 特等 价格（元/ 个） 4 7 10 试估计

8、果园该种水果的销售收入 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点( 2,0)A ，(2,0)B，且离心率为 1 2 （）求椭圆C的方程； （） 设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E， 且与x轴交于点(G E，G不重合） ，ETx 轴，垂足为T求证： | | TAGA TBGB 20 （15 分）已知函数 2 ( )1 x ax f x e ，aR （）若曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线平行于直线yx，求该切线方程； （）若1a ，求证：当0 x 时，( )0f x ； （）若( )f x恰有两个零点，求a的值 21 （15 分）给定正整数m，(

9、)t m t，若数列 1 :A a， 2 a， n a，满足：(0 i a ，1， 第 5 页（共 19 页） ii t aa， 12t aaam，则称数列A具有性质( ,)E t m 对于两个数列 1 :B b， 2 b， n b，； 1 :C c， 2 c， n c， 定义数列 11 :BC bc， 22 bc， nn bc， （）设数列A具有性质(4,2)E，数列B的通项公式为(*) n bn nN，求数列AB的前 四项和； （）设数列(*) i A iN具有性质(4,)Em，数列B满足 1 1b ， 2 2b ， 3 3b ， 4 4b 且 4( *) jj bbjN 若存在一组数列

10、1 A， 2 A，Ak，使得 12 AAAB k 为常数列， 求出m所有可能的值； （） 设数列(*) i A iN具有性质( ,1)E t t （常数2)t， 数列B满足 1 1b ， 2 2b ， t bt 且(*) jj t bbjN 若存在一组数列 1 A， 2 A，Ak， 使得 12 AAAB k 为常数列， 求k的最小值 （只需写出结论） 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40

11、分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知集合 |1 0Ax x ，0B ，1，2，则(AB ) A0 B1 C2 D1，2 【解答】解： |1Ax x，0B ，1，2， 1AB，2 故选：D 2 （4 分）已知 n a是公差为d的等差数列， n S为其前n项和若 31 33Sa，则(d ) A2 B1 C1 D2 【解答】解： 31 33Sa， 11 3333ada， 则1d 故选：C 3 （4 分）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A2 x y Bylnx C 1 y x

12、Dsinyx 【解答】解：对于A，2 x y 为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，ylnx为非奇非偶函数，不符合题意； 对于C， 1 y x 为奇函数，但在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于D，sinyx为奇函数，由正弦函数的图象可知，sinyx在区间(0,1)上单调递增，符 合题意 故选：D 4 （4 分）将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左)视图为( ) 第 7 页（共 19 页） A B C D 【解答】解：将几何体补充为正方体，如图 1 所示： 则该正方体去掉这个四棱锥，得到的几何体的侧（左)视图如图 2 所示： 故选：B 5 （4 分）与圆 22

13、 (1)5xy相切于点(2,2)的直线的斜率为( ) A2 B 1 2 C 1 2 D2 【解答】解：根据题意，圆 22 (1)5xy，其圆心为(0,1)，设圆心为C，切点(2,2)为P， 则 211 202 PC K ， 则切线的斜率2 k， 第 8 页（共 19 页） 故选：A 6 （4 分）函数( )2sin()(0f xx ，|) 2 的部分图象如图所示，则( )(f ) A3 B 3 2 C 3 2 D3 【解答】解：由图可知， 5 () 212122 T ，则T，2 又 5 2 122 ， 3 则( )2sin(2) 3 f xx ， ( )2sin(2)2sin()3 33 f

14、故选：A 7 （4 分）设a，b是两个不共线向量，则“a与b的夹角为锐角”是“()aab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若()aab， 则 2 ()|cos,aabaa ba b |(|cos,)0aaba b a，b是两个不共线向量，0a ，即| 0a ， | |cos,aba b， cos,0a b，,0a b，a与b的夹角为锐角， 而a与b的夹角为锐角，不妨设(1,0),(2,2)ab， 第 9 页（共 19 页） 此时()10aab ，故a与()ab不垂直， “a与b的夹角为锐角”是“()aab”的必要不充分条件

15、故选：B 8 （4 分）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、 猪 现有十二生肖的吉祥物各一个， 甲、 乙、 丙三名同学从中各选一个， 甲没有选择马， 乙、 丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有( ) A242 种 B220 种 C200 种 D110 种 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： 对于甲，不选马和羊，有 10 种选法， 对于乙和丙，有 1 个人选择羊，有 2 种选法， 剩下 1 人在剩下 10 个生肖中任选 1 个，有 10 种选法， 则有102 10200种不同的选法， 故选：C 9 （4 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F到准

16、线的距离为 2，过焦点F的直线与抛物 线交于A，B两点，且| 3|AFFB，则点A到y轴的距离为( ) A5 B4 C3 D2 【解答】解：焦点F到准线的距离为2p ， 过点A作AD垂直于准线l于点D，过点B作BE垂直于l于点E，延长AB交l于点C， 则BCEACD， 所以 1 3 BCBEBF ACADAF ， 记BCx，则3ACx， 因为| 3|AFFB， 所以 11 42 BFABx， 3 3 2 AFBFx， 因为 3 2 CFBCBFx，F为AC的中点， 所以24ADFG， 即点A到y轴的距离为43 2 p 故选：C 第 10 页（共 19 页） 10 （4 分）某公园门票单价 30

17、 元，相关优惠政策如下： 10 人（含)以上团体购票 9 折优惠； 50 人（含)以上团体购票 8 折优惠； 100 人（含)以上团体购票 7 折优惠； 购票总额每满 500 元减 100 元（单张票价不优惠） 现购买 47 张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为( ) A1090 元 B1171 元 C1200 元 D1210 元 【解答】解：由于需要购买 47 张门票，所以不能享受优惠政策中的和， 若只按优惠政策购买，则门票费用为473090%1269元； 若将 47 分为171713，则可享受两次优惠政策，一次优惠政策， 门票费用为(17 30 100)213 30 90%1171

18、元， 因为12691171，所以门票费用最少为 1171 元 故选：B 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）复数 34i i 43i 【解答】解：复数 34(34 ) 43 iii i ii i 故答案为：43i 12 （5 分）函数( )1f xxlnx 的定义域是 1，) 【解答】解：由题意得： 1 0 0 x x ，解得：1x， 第 11 页（共 19 页） 故函数的定义域是1，)， 故答案为：1，) 13 （5 分）已知 1 sin 3 ， 3 ( ,) 2 ，则cos 2 2 3 ，cos2 【解答】解：因为 1

19、sin 3 ， 3 ( ,) 2 ， 可得 22 12 2 cos11() 33 sin ， 可得 22 2 27 cos22cos12()1 39 故答案为： 2 2 3 ， 7 9 14 （5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Mab ab ，ABC为等边三角形 若点A在y轴上， 点B，C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为ABC的中位线，则双曲线M的离心率为 2 【解答】解：双曲线M的实轴为ABC的中位线， 等边ABC的边长为4a， 假设点B在第一象限，则点B的坐标为(2 , 3 )aa， 将其代入双曲线M的方程有， 22 22 43 1 aa ab ， 1 a b ， 离

20、心率 222 22 12 abb e aa 故答案为：2 15 （5 分） 已知函数 sin cos ( )23 xx f x ，0 x，2 ， 其中 x表示不超过x的最大整数 例 如：11，0.50， 0.51 2 () 3 f 4 3 ； 若( )f xxa对任意0 x，2 都成立，则实数a的取值范围是 【解答】解： 2231 sincos 01 3322 24 ()232323 33 f ； 若( )f xxa对任意0 x，2 都成立， 即为 sin cos ( )23 xx af xxx对任意0 x，2 都成立， 第 12 页（共 19 页） 当0 x 或2x时，( )134f xx

21、或42； 当 2 x 时，( )213 22 f xx ； 当x时， 14 ( )1 33 f xx ； 当 3 2 x 时， 1333 ( )1 2222 f xx ； 当0 2 x 时，sin(0,1)x，cos(0,1)x， 可得 00 232 22 a ； 同理可得当 2 x 时，可得 01 4 23 3 a ； 当 3 2 x 时，可得 11 353 23 262 a ； 当 3 2 2 x 时，可得 10 3 2322 2 a 综上可得，a的取值范围是(， 3 2 2 故答案为： 4 3 ；(， 3 2 2 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说

22、明、演算步骤或证明过程。分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16 （13 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，4PD ，底面ABCD是边 长为 2 的正方形，E，F分别为PB，PC的中点 （）求证：平面ADE 平面PCD； （）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值 【解答】 （）证明：因为PD 平面ABCD， 所以PDAD， 因为底面ABCD是正方形， 第 13 页（共 19 页） 所以ADCD， 因为PDCDD， 所以AD 平面PCD， 又AD 平面ADE， 所以平面ADE 平面PCD； （）解：因为PD 平面ABCD， 所以PDAD，PDCD， 因为底面ABCD是

23、正方形， 所以ADCD， 如图建立空间直角坐标系Dxyz， 因为4PD ，底面ABCD是边长为 2 的正方形， 所以(0P，0，4)，(2A，0，0)，(2B，2，0)，(0C，2，0)，(0D，0，0)，(1E，1，2)， (0F，1，2)， 则(2,0,0),(1,1,2),( 2, 1,2)DADEBF ， 设平面ADE的法向量为( , , )mx y z， 则有 0 0 m DA m DE ，可得 20 20 x xyz ， 所以(0,2, 1)m ， 设直线BF与平面ADE所成的角为， 则 |44 5 sin|cos,| 15|95 BF m BF m BFm ， 所以直线BF与平面

24、ADE所成角的正弦值为 4 5 15 第 14 页（共 19 页） 17 （13 分）已知函数( )sin() 6 g xx ，( )cosh xx，再从条件、条件这两个条件中 选择一个作为已知，求： （）( )f x的最小正周期； （）( )f x在区间0， 2 上的最大值 条件：( )( )( )f xg xh x； 条件：( )( )( )f xg xh x 【解答】解：选择条件：( )( )( )f xg xh x， （） 31 ( )sin()cos(sincos )cos 622 f xxxxxx 2 31311cos2 sin coscossin2 22222 x xxxx 31

25、111 sin2cos2sin(2) 444264 xxx ， 所以( )f x的最小正周期 2 2 T （）因为0 x， 2 ，可得2 66 x ， 5 6 ， 所以 1 sin(2) 62 x ，1，可得 111 sin(2) 2642 x ， 1 4 ， 当2 62 x ，即 3 x 时，( )f x有最大值 1 4 选择条件：( )( )( )f xg xh x， （） 31 ( )sin()cos(sincos )cos 622 f xxxxxx 31 sincossin() 226 xxx ， 所以( )f x的最小正周期 2 2 1 T （）因为0 x， 2 ，可得 66 x ，

26、 2 3 ， 所以 1 sin() 62 x ，1， 当 62 x ，即 3 x 时，( )f x有最大值 1 18 （14 分）为了解果园某种水果产量情况，随机抽取 10 个水果测量质量，样本数据分组 为100，150)，150，200)，200，250)，250，300)，300，350)，350，400（单 位：克） ，其频率分布直方图如图所示： 第 15 页（共 19 页） （）用分层抽样的方法从样本里质量在250，300)，300，350)的水果中抽取 6 个，求 质量在250，300)的水果数量； （）从（）中得到的 6 个水果中随机抽取 3 个，记X为质量在300，350)的水果

27、数量， 求X的分布列和数学期望； （）果园现有该种水果约 20000 个，其等级规格及销售价格如表所示， 质量m （单位： 克） 200m 200300m 300m 等级规格 二等 一等 特等 价格（元/ 个） 4 7 10 试估计果园该种水果的销售收入 【解答】 解：（） 质量在250，300)，300，350)的该种水果的频率分别为0.008500.4， 0.004500.2，其比为2:1， 所以按分层抽样从质量在250，300)，300，350)的这种水果中随机抽取 6 个， 质量在250， 300)的该种水果有 4 个； （）由（）可知，6 个水果中有 2 个质量在300，350)，所

28、以X的所有可能取值为 0， 1，2， 3 4 3 6 1 (0) 5 C P X C ， 21 42 3 6 3 (1) 5 C C P X C ， 12 42 3 6 1 (2) 5 C C P X C ， 所以X的分布列为： 第 16 页（共 19 页） 所以 131 ()0121 555 E X ； （）二等品的频率为(0.0020.002) 500.2， 一等品的频率为(0.0030.008) 500.55， 特等品的频率为(0.0040.001) 500.25， 则 20000 个水果中共有二等品 4000 个，一等品 11000 个，特等品有 5000 个， 则销售收入约为4000

29、41100075000撑10143000元 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点( 2,0)A ，(2,0)B，且离心率为 1 2 （）求椭圆C的方程； （） 设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E， 且与x轴交于点(G E，G不重合） ，ETx 轴，垂足为T求证： | | TAGA TBGB 【解答】解： （）由题意可得 222 2 1 2 a c e a abc ，解得： 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆的方程为： 22 1 43 xy ； （）由题意可得直线l的斜率存在且不为 0，设直线l的方程为：(0)yxm mk， 22 1 43 yxm x

30、y k ，整理可得： 222 (34)84120 xmxmkk， 由题意可得0，即 2222 6416(34)(3)0mmkk，解得： 22 34m k 设 1 (G x，0)， 0 (E x， 0) y则 1 m x k ， 0 2 44 34 m x m kk k ， 因为ETx轴，所以 4 (T m k ，0)， 4 |2| | 42|2 | 4 |24 |2 | |2()| TAmm m TBmm m k kk k kk ， 第 17 页（共 19 页） 又因为 | 2| |2 | |2 | |2| m GAm m GBm k k k k ， 所以可证： | | TAGA TBGB 2

31、0 （15 分）已知函数 2 ( )1 x ax f x e ，aR （）若曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线平行于直线yx，求该切线方程； （）若1a ，求证：当0 x 时，( )0f x ； （）若( )f x恰有两个零点，求a的值 【解答】解： （）因为 (2) ( ) x ax x fx e ， 所以f（1）1 a e ，故ae ， 所以f（1）12 a e ， 所以切线方程为21yx，即1yx （）当1a 时， 2 ( )1 x x f x e ， (2) ( ) x x x fx e ， 当(0,2)x时，( )0fx，( )f x单调递减， 当(2,)x时，( )0f

32、x，( )f x单调递增， 所以( )f x的最小值为f（2） 2 4 10 e ， 故0 x 时，( )0f x （）对于函数 2 ( )1 x ax f x e ，aR， 当0a时，( )0f x ，( )f x没有零点， 当0a 时， (2) ( ) x ax x f x e ， 当(,0)x 时，( )0fx，所以( )f x在区间(,0)上单调递增， 当(0,2)x时，( )0fx，所以( )f x在区间(0,2)上单调递减， 当(2,)x时，( )0fx，所以( )f x在区间(2,)上单调递增， 所以(0)1f是函数的极大值，f（2） 2 4 1 a e 是( )f x的极小值，

33、 因为 2 1 11 1 () 11 ()1110 a aa a a fe a ee ， 第 18 页（共 19 页） 所以( )f x在(,0)上有且只有一个零点， 由f（2） 2 4 1 a e ， 若f（2）0，即 2 4 e a ，( )f x在区间(0,)上没有零点 若f（2）0，即 2 4 e a ，( )f x在区间(0,)上只有一个零点 若f（2）0，即 2 4 e a ，由于(0)1f，所以( )f x在区间(0,2)上有一个零点 由（）知，当0 x 时， 2x ex， 所以 333 4222 1616161 (4 )11110 ()(2 ) aa aaa fa eeaa ，

34、 故( )f x在区间(2,4 )a上有一个零点， 因此 2 4 e a 时，( )f x在区间(0,)上有两个零点， 综上，当( )f x有两个零点时， 2 4 e a 21 （15 分）给定正整数m，()t m t，若数列 1 :A a， 2 a， n a，满足：(0 i a ，1， ii t aa， 12t aaam，则称数列A具有性质( ,)E t m 对于两个数列 1 :B b， 2 b， n b，； 1 :C c， 2 c， n c， 定义数列 11 :BC bc， 22 bc， nn bc， （）设数列A具有性质(4,2)E，数列B的通项公式为(*) n bn nN，求数列AB的

35、前 四项和； （）设数列(*) i A iN具有性质(4,)Em，数列B满足 1 1b ， 2 2b ， 3 3b ， 4 4b 且 4( *) jj bbjN 若存在一组数列 1 A， 2 A，Ak，使得 12 AAAB k 为常数列， 求出m所有可能的值； （） 设数列(*) i A iN具有性质( ,1)E t t （常数2)t， 数列B满足 1 1b ， 2 2b ， t bt 且(*) jj t bbjN 若存在一组数列 1 A， 2 A，Ak， 使得 12 AAAB k 为常数列， 求k的最小值 （只需写出结论） 【解答】 解：( ) I数列AB的前四项和为A的前四项和与B的前四项

36、和之和， 为21012， ()II由题知4m，数列(*) i A iN满足 4ii aa， 4( *) jj bbjN ， 故只要考虑数列 i A， j B的前四项， 取 1 A， 2 A， 5 A， 6 A为 1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0；0，1，0，0；0，1，0， ； 第 19 页（共 19 页） 0，0，1，0，可使 126 AAAB的前四项为 4，4，4，4，所以1m 成立； 取 1 A， 2 A， 3 A为 1，1，0，0；1，1，0，0； 1，0，1，0，可使 123 AAAB的前四项 为 4，4，4，4，所以2m 成立； 取 1 A， 2 A， 5 A， 6 A为 1，1，1，0；1，1，1，0； 1，1，0，1； 1，1，1，0； 1，0，1， 1；1，1，0，1，可使 126 AAAB的前四项为 7，7，7，7，所以3m 成立； 当4m 时， i A的前四项是 1，1，1，1，所以对任意的k， 12 AAAB k 不会是常数 列， 综上，1m ，2，3 (III 1 )(1) 2 t t