2020-2021学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知集合1U ，2，3，4，5，6，1A，2，3，集合A与B的关系如图所 示，则集合B可能是( ) A2，4，5 B1，2，5 C1，6 D1，3 2 （4 分）若:(0,)px ， 1 2x x ，则p为( ) A 1 (0,),2xx x B 1

2、 (0,),2xx x C 1 (0,),2xx x D 1 (0,),2xx x 3 （4 分）下列函数中，是奇函数且在区间(0,)上单调递减的是( ) A 2 yx B 1 2 yx C 1 yx D 3 yx 4 （4 分）某校高一年级有 180 名男生，150 名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的 看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈已知在女生中抽取了 30 人，则在男生中抽取了( ) A18 人 B36 人 C45 人 D60 人 5 （4 分）已知a，b，cR，且ab，则下列不等式一定成立的是( ) A 22 ab B 11 ab C| | |a cb c

3、 Dcacb 6 （4 分）从数字 2，3，4，6 中随机取两个不同的数，分别记为x和y，则 x y 为整数的概 率是( ) A 1 6 B 1 4 C 1 2 D 7 12 7 （4 分）已知函数 5 ( )2xf x x ，下列区间中含有( )f x的零点的是( ) A( 1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 8 （4 分）已知函数 2 ( )2f xxax，则“0a ”是“函数( )f x在区间(0,)上单调递增” 第 2 页（共 14 页） 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）对任意的正实数x，y，不等式4xy

4、m xy恒成立，则实数m的取值范围是( ) A(0，4 B(0，2 C(，4 D(，2 10 （4 分）植物研究者在研究某种植物1 5年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观 表示现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1 5年内的生长规律，下列函 数模型中符合要求的是( ) A(0 x yabkk，0a ，且1)a Blog(0 a yxbkk，0a ，且1)a C(0)yb x k k D 2 (0)yaxbxc a 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上. 11 （4 分）不等

5、式 2 30 xx的解集为 12 （4 分） 某超市对 6 个时间段内使用A，B两种移动支付方式的次数用茎叶图作了统计， 如图所示 使用支付方式A的次数的极差为 ； 若使用支付方式B的次数的中位数为 17， 则m 第 3 页（共 14 页） 13 （4 分）已知 2 1 log 3 a ， 1 3 2b ， 2 1 ( ) 3 c ，则a，b，c的大小关系是 .（用“” 连结） 14 （4 分）函数( )f x的定义域为D，给出下列两个条件： 对于 1 x， 2 xD，当 12 xx时，总有 12 ()()f xf x； ( )f x在定义域内不是单调函数 请写出一个同时满足条件的函数( )f

6、 x，则( )f x 15 （4 分）已知函数 2 2 2 , ( ) 2 ,. xx x a f x xx xa 给出下列四个结论： 存在实数a，使函数( )f x为奇函数； 对任意实数a，函数( )f x既无最大值也无最小值； 对任意实数a和k，函数( )yf xk总存在零点； 对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数( )f x在区间( 1,)m上单调递减 其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 40.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16 （9 分）已知全集UR， |1| 2Ax x，

7、|05Bxx求： （）AB； （）() UA B 17 （10 分）已知函数 1 ( )f xx x （）用函数单调性的定义证明( )f x在区间(0,)上是增函数； （）解不等式 1 (2)(4 ) xx ff 18 （10 分）某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘 保修期均为 3 年现从该商城已售出的甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取 50 个，统 计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如表： 型号 甲 乙 首次出 现故障 的 01x 12x 23x 01x 12x 23x 第 4 页（共 14 页） 时间x （年) 硬盘数 （个) 2 1 2 1

8、 2 3 假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立 （） 从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个， 试估计首次出现故障发生在保修期 内的概率； （）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出 现故障发生在保修期的第 3 年（即23)x 的概率 19 （11 分）函数( )f x的定义域为D，若存在正实数k，对任意的xD，总有 |( )()|f xfx刱，则称函数( )f x具有性质( )P k （）判断下列函数是否具有性质P（1） ，并说明理由 ( )2021f x ； ( )g xx； （）已知( )f x为二次函数，若存在正实数k，使得函数( )

9、f x具有性质( )P k求证：( )f x 是偶函数； （）已知0a ，k为给定的正实数，若函数 2 ( )log (4) x f xax具有性质( )P k，求a的 取值范围 第 5 页（共 14 页） 2020-2021 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （4 分）已知集合1U ，2，3，4，5，

10、6，1A，2，3，集合A与B的关系如图所 示，则集合B可能是( ) A2，4，5 B1，2，5 C1，6 D1，3 【解答】解：由图可知BA， 而1，31，2，3 故选：D 2 （4 分）若:(0,)px ， 1 2x x ，则p为( ) A 1 (0,),2xx x B 1 (0,),2xx x C 1 (0,),2xx x D 1 (0,),2xx x 【解答】解：因为:(0,)px ， 1 2x x ， 所以p为 1 (0,),2xx x 故选：A 3 （4 分）下列函数中，是奇函数且在区间(0,)上单调递减的是( ) A 2 yx B 1 2 yx C 1 yx D 3 yx 【解答】

11、解：A函数为偶函数，不满足条件 B函数的定义域为0，)，为非奇非偶函数，不满足条件 C函数为奇函数，且当0 x 时， 1 y x 为减函数，满足条件 D函数为奇函数，当0 x 时为增函数，不满足条件 故选：C 4 （4 分）某校高一年级有 180 名男生，150 名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的 第 6 页（共 14 页） 看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈已知在女生中抽取了 30 人，则在男生中抽取了( ) A18 人 B36 人 C45 人 D60 人 【解答】解：由题意计算抽样比例为 301 1505 ， 所以应抽取高一男生为 1 18036 5 （人)

12、故选：B 5 （4 分）已知a，b，cR，且ab，则下列不等式一定成立的是( ) A 22 ab B 11 ab C| | |a cb c Dcacb 【解答】解：由a，b，cR，且ab，取1a ，1b ，0c ，则选项ABC错误 由ab，得ab ，cacb 成立，故D正确 故选：D 6 （4 分）从数字 2，3，4，6 中随机取两个不同的数，分别记为x和y，则 x y 为整数的概 率是( ) A 1 6 B 1 4 C 1 2 D 7 12 【解答】解：从数字 2，3，4，6 中随机取两个不同的数，分别记为x和y， 基本事件总数 2 4 12nA， 其中 x y 为整数包含的基本事件( ,

13、)x y有：(4,2)，(6,2)，(6,3)，共 3 个， 则 x y 为整数的概率是 31 124 m P n 故选：B 7 （4 分）已知函数 5 ( )2xf x x ，下列区间中含有( )f x的零点的是( ) A( 1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 【解答】解：因为函数 5 ( )2xf x x ， 所以 1 5 (1)230 1 f ， 2 53 (2)20 22 f， 所以f（1）f（2）0， 第 7 页（共 14 页） 根据函数零点的判定定理可得，函数( )f x在区间(1,2)上有零点 故选：C 8 （4 分）已知函数 2 ( )2f xxax，则“0a

14、”是“函数( )f x在区间(0,)上单调递增” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 222 ( )2()f xxaxxaa，开口向上，对称轴为xa， 函数( )f x在区间(0,)上单调递增，则0a， “0a ”能推出“函数( )f x在区间(0,)上单调递增” ， 但“函数( )f x在区间(0,)上单调递增”不能推出0a ，a有可能等于 0， 故“0a ”是“函数( )f x在区间(0,)上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 9 （4 分）对任意的正实数x，y，不等式4xy m xy恒成立，则实数m的取值范围是( ) A(0

15、，4 B(0，2 C(，4 D(，2 【解答】解：由题设可得： 4 4 xyxy m yxxy ， 又42 44 xy yx ，当且仅当4xy时取“ “， 4m ， 故选：C 10 （4 分）植物研究者在研究某种植物1 5年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观 表示现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1 5年内的生长规律，下列函 数模型中符合要求的是( ) 第 8 页（共 14 页） A(0 x yabkk，0a ，且1)a Blog(0 a yxbkk，0a ，且1)a C(0)yb x k k D 2 (0)yaxbxc a 【解答】解：由函数图象可知函数单调递增，但是趋于平缓

16、， 选项A：若(0,1)a，则它在(0,)递减， (1,)a，它在(0,)上递增且递增速率变大，故A错误， 选项B：若(0,1)a，则它在(0,)递减， (1,)a，它在(0,)上递增且递增速率变小，B正确， 选项C：当0k时， x k 在(0,)递减，C错误， 选项D：当0a 时，它开口向下，不符合已知，D错误， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上. 11 （4 分）不等式 2 30 xx的解集为 (0,3) 【解答】解：不等式 2 30 xx化为(3)0 x x， 解得0

17、3x， 不等式的解集为(0,3) 故答案为：(0,3) 12 （4 分） 某超市对 6 个时间段内使用A，B两种移动支付方式的次数用茎叶图作了统计， 如图所示使用支付方式A的次数的极差为 23 ；若使用支付方式B的次数的中位数为 17，则m 第 9 页（共 14 页） 【解答】解：由茎叶图可知，使用支付方式A的次数的极差为：25223； 因为使用支付方式B的次数的中位数是 17， 所以9m， 所以16 10 17 2 m ， 解得8m 故答案为：23；8 13 （4 分）已知 2 1 log 3 a ， 1 3 2b ， 2 1 ( ) 3 c ，则a，b，c的大小关系是 acb .（用 “”

18、连结） 【解答】解： 22 1 10 3 loglog，0a， 1 0 3 221，1b， 2 11 ( ) 39 ， 1 9 c ， acb， 故答案为：acb 14 （4 分）函数( )f x的定义域为D，给出下列两个条件： 对于 1 x， 2 xD，当 12 xx时，总有 12 ()()f xf x； ( )f x在定义域内不是单调函数 请写出一个同时满足条件的函数( )f x，则( )f x 1 x （答案不唯一） 【解答】解：结合已知可寻求函数在定义域内不单调，但是在定义域内的一个区间上单调， 结合反比例函数性质可知 1 ( )f x x 符合要求 故答案为： 1 ( )f x x

19、（答案不唯一） 15 （4 分）已知函数 2 2 2 , ( ) 2 ,. xx x a f x xx xa 给出下列四个结论： 存在实数a，使函数( )f x为奇函数； 第 10 页（共 14 页） 对任意实数a，函数( )f x既无最大值也无最小值； 对任意实数a和k，函数( )yf xk总存在零点； 对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数( )f x在区间( 1,)m上单调递减 其中所有正确结论的序号是 【解答】解：由函数( )f x的解析式可得图象如图： 0a 时函数( )f x为奇函数，故正确； 由图象可知对于任意的实数a，函数( )f x无最值，故正确； 当3 k，8a 时函

20、数( )yf xk没有零点，故错误； 由图象可知，当am时，函数( )f x在( 1,)m上单调递减，故正确 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 40.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16 （9 分）已知全集UR， |1| 2Ax x， |05Bxx求： （）AB； （）() UA B 【解答】解：不等式|1| 2x的解为13x ， 故 | 13Axx ， （） | 13 |05 |03ABxxxxxx （） |1 UA x x或3)x， () |1 UA Bx x或0 x 第 11 页（共 14 页） 1

21、7 （10 分）已知函数 1 ( )f xx x （）用函数单调性的定义证明( )f x在区间(0,)上是增函数； （）解不等式 1 (2)(4 ) xx ff 【解答】解： （）证明：任取 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx， 则 121212 1212 111 ( )()()()()(1)f xf xxxxx xxx x ， 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx， 12 12 1 0,10 xx x x ， 12 ( )()0f xf x 即 12 ()()f xf x，函数( )f x在区间(0,)上单调递增； （）根据题意，对于 1 (2)(4 ) xx ff ， 有 1

22、 20 x ，40 x ，而函数( )f x在区间(0,)上单调递增， 则有 1 24 xx ，即 1 21 x ， 解可得1x 不等式的解集为(,1) 18 （10 分）某网上电子商城销售甲、乙两种品牌的固态硬盘，甲、乙两种品牌的固态硬盘 保修期均为 3 年现从该商城已售出的甲、乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取 50 个，统 计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如表： 型号 甲 乙 首次出 现故障 的 时间x （年) 01x 12x 23x 01x 12x 23x 硬盘数 （个) 2 1 2 1 2 3 假设甲、乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立 （） 从该商城销售的甲品牌固

23、态硬盘中随机抽取一个， 试估计首次出现故障发生在保修期 第 12 页（共 14 页） 内的概率； （）某人在该商城同时购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出 现故障发生在保修期的第 3 年（即23)x 的概率 【解答】解： （）在图表中甲品牌的 50 个样本中，首次出现故障发生在保修期内的频率为 5 50 ，即 1 10 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个， 其首次出现故障发生在保修期内为事件 A 利用频率估计概率，得 1 ( ) 10 P A 所以从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个， 估计其首次出现故障发生在保修期内的概率为 1 10 （）在图表中甲品牌

24、的 50 个样本中，首次出现故障发生在保修期第 3 年的频率为 2 50 ，即 1 25 在图表中乙品牌的 50 个样本中，首次出现故障发生在保修期第 3 年的频率为 3 50 设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个， 其首次出现故障发生在保修期内的第三年为事件B， 从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个， 其首次出现故障发生在保修期内的第三年 为事件C， 利用频率估计概率，得 1 ( ) 25 P B ， 3 ( ) 50 P C ， ()( ) ( )( ) ( ) ( )1( )1( ) ( ) 1313 (1)(1) 25502550 119 1250 P BCBCP B P

25、 CP B P C P BP CP B P C 所以某人在该商城同时购买了甲、乙两个品牌的固态硬盘各一个， 估计保修期内恰有一个首次出现故障的概率为 119 1250 19 （11 分）函数( )f x的定义域为D，若存在正实数k，对任意的xD，总有 |( )()|f xfx刱，则称函数( )f x具有性质( )P k （）判断下列函数是否具有性质P（1） ，并说明理由 第 13 页（共 14 页） ( )2021f x ； ( )g xx； （）已知( )f x为二次函数，若存在正实数k，使得函数( )f x具有性质( )P k求证：( )f x 是偶函数； （）已知0a ，k为给定的正实数

26、，若函数 2 ( )log (4) x f xax具有性质( )P k，求a的 取值范围 【解答】 （）解：对于，对于任意实数x，可得|( )()| |20212021| 01f xfx， 所以( )f x具有性质P（1） ； 对于，对于任意实x，可得| ( )()| |()| |2 |g xgxxxx 易知，只需取1x ，则可得| g（1）( 1)| 21g，所以( )g x不具有性质P（1） （）证明：设二次函数 2 ( )(0)f xaxbxc a满足性质( )P k 则对于任意实数x，满足 22 |( )()| |()| |2|f xfxaxbxcaxbxcbx刱 若0b ，则可取 0

27、 0 | x b k ，有 000 |()()| |2| 2f xfxbxkk，矛盾 所以0b ，此时 2 ( )(0)f xaxc a即( )f x为偶函数 （）解：由于0a ，函数 2 ( )log (4) x f xax的定义域为R 易知 22 ( )log (4)log (22 ) xxx f xaxa 若函数( )f x具有性质( )P k， 则对于任意实数x，有 222 22 |( )()| |log (22)log (22 )| |log| 22 xx xxxx xx a f xfxaa a 刱 即 2 22 log 22 xx xx a a k剟k， 即 2 4 log 14

28、x x a a k剟k 由于函数 2 logyx在(0,)上单调递增， 可得 4 22 14 x x a a kk 剟， 即 1 1 22 14x a a aa kk 剟 当1a 时，得21 2 kk 剟，对任意实数x恒成立 第 14 页（共 14 页） 当1a 时，易知 1 0a a ， 由141 x a，得 1 01 14xa ，得 1 1 0 14x a a a aa ， 得 1 11 14x a a a aaa 依题意， 1 1 22 14x a a aa kk 剟对任意实数x恒成立， 所以 1 2, 2 . a a k k 即12a k 当1a 时，易知 1 0a a ， 由141 x a，得 1 01 14xa ，得 1 1 0 14x a a a aa ， 得 1 11 14x a a a aaa 依题意， 1 1 22 14x a a aa kk 剟对任意实数x恒成立， 所以 2 1 2 a a k k ，即12a k 综上所述，a的取值范围为2k，2 k