2020-2021学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 |(3)(1)0Mxxx， |04Nxx，则(MN ) A(0,1) B( 1,4) C(0,3) D( 1,3) 2 （5 分）已知i为虚数单位，若 1 cossin z i ，则z的共轭复数(z ) Acossini Bsincosi

2、 Csincosi Dcossini 3 （5 分） 九章算术是我国古代的数学巨著，书中有如下问题： “今有大夫、不更、簪裹、 上造、公士，凡五人，共出百錢欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是： “有大 夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5 个人共出 100 钱，按照爵位从高到低每人 所出钱数成等差数列，这 5 个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出 4 钱，则上造出的 钱数为( ) A8 B12 C20 D28 4 （5 分）函数 3| | ( )2() x f xxx e的图象大致是( ) A B C D 5 （5 分）已知平面向量a，b满足()3a ab，且| 2a ，|

3、 1b ，则向量a与b的夹角 为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 6 （5 分） 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合， 终边经过点( 3,4)P ， 则cos2( ) A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 第 2 页（共 19 页） 7 （5 分）已知函数( )f x对任意xR都有(2)( )f xf x ，且当0 x，2)时， 2 ( )log (1)f xx，则(2021)( 2021)(ff ) A2 B1 C1 D2 8（5 分） 已知双曲线 22 00 22 :1(0,0), (,) xy CabP xy ab 是直线20bxaya上

4、任意一点， 若 22 00 ()()2xxyy与双曲线C的右支没有公共点， 则双曲线C的离心率的取值范围是 ( ) A(1，2 B(1，2 C(2,) D 42,) 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）下列命题为真命题的是( ) A若ab，则 22 acbc B若0ab，则 22 aabb C若0cab，则 ab cacb

5、 D若0abc，则 aac bbc 10 （5 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列说法正确的是( ) A若m，n，则/ /mn B若，m，m，则/ /m C若，m，则m D若m，n，/ /m，/ /n，则 / / 11 （5 分）二项展开式 55432 543210 (21)xa xa xa xa xa xa，则( ) A 0 1a B 54321 543210aaaaa C 3 80a D 12345 1aaaaa 12（5 分） 已知函数( )sincos (0)f xaxbx ab， 且对任意xR都有()() 33 fxfx ， 则( ) A( )f x的最小正周期为2

6、B( )f x在 2 , 33 上单调递增 C 5 6 是( )f x的一个零点 D3 a b 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）曲线: x C yxe在点(1, )Me处的切线方程为 第 3 页（共 19 页） 14 （5 分）斜率为 1 的直线经过抛物线 2 4yx的焦点，与抛物线相交于A，B两点，则 |AB 15 （5 分）甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程，则甲、乙所选的课程中 至少有 1 门课程不同的概率为 16 （5 分）已知侧棱长为3的正四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面

7、上，当该棱 锥体积最大时，底面ABCD的边长为 ，此时球O的表面积为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在2sin3sinAB；ABC的面积为 3 15 4 ；( coscos )6b bCcB这三 个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1ab， 1 cos 4 C ，_ （1）求c的值； （2）求tan2B的值 18 （12 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 342 32SSS，

8、1 2a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba， 1 1 nn nn ca b b ，求 n c的前n项和 n T 19 （12 分）2020 年春，我国武汉出现新型冠状病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼 吸困难等症状， 严重的可导致肺炎甚至危及生命 新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心， 为了遏制病毒的传播，危难时刻全国人民众志成城、共克时艰某校为了了解学生对新型冠 状病毒的防护认识，对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动，并从男生、女生中各随机 抽取 20 人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表： 女生成绩 成绩 60，70) 70，80)

9、 80，90) 90，100 频数 7 7 4 2 规定：成绩在 80 分以上（含 80 分）的同学称为“防疫明星” （1）根据以上数据，完成以下22列联表，并判断是否有99%的把握认为“防疫明星”与 性别有关； 男生 女生 合计 第 4 页（共 19 页） 防疫明星 非防疫明星 合计 （2）以样本估计总体， 以频率估计概率， 现从该校男生中随机抽取 4 人，其中“防疫明星” 的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望 附：参考公式 2 2 () ()()()() n adbc K ac bd ab cb 其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.100 0.050 0.025

10、0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20（12 分） 如图 1， 一副标准的三角板中，90BE ，60A，DEEF，BCDF 将 三角板的边BC与DF重合， 把两个三角板拼成一个空间图形， 如图 2 设M是AC的中点， N是BC的中点 （1）求证：平面ABC 平面EMN； （2）若24ACEM，求二面角EACB的余弦值 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点(2,2)P在 第 5 页（共 19 页） 椭圆C上，且满足 2 122 PF PF

11、PF （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线: l yxmk与椭圆C交于不同两点M，N，且OMON证明：总存在一 个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程 22 （12 分）已知函数( ) a f xlnx x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若1a ，证明 1 ( ) x fe x 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在

12、每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 |(3)(1)0Mxxx， |04Nxx，则(MN ) A(0,1) B( 1,4) C(0,3) D( 1,3) 【解答】解： |(3)(1)0 | 31Mxxxxx ， 而 |04Nxx，所以 |01MNxx 故选：A 2 （5 分）已知i为虚数单位，若 1 cossin z i ，则z的共轭复数(z ) Acossini Bsincosi Csincosi Dcossini 【解答】解： 1cossin cossin cossin(cossin )(cossin ) i zi iii ， c

13、ossinzi， 故选：D 3 （5 分） 九章算术是我国古代的数学巨著，书中有如下问题： “今有大夫、不更、簪裹、 上造、公士，凡五人，共出百錢欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是： “有大 夫、不更、簪裹、上造、公士（爵位依次变低）5 个人共出 100 钱，按照爵位从高到低每人 所出钱数成等差数列，这 5 个人各出多少钱？”在这个问题中，若大夫出 4 钱，则上造出的 钱数为( ) A8 B12 C20 D28 【解答】解：设首项为 1 a，公差为0d 由题意可得 1 4a ， 51 54 5100 2 Sad ， 由联立可得 8d ， 则上造出的钱数为 41 343 828aad ，

14、 故选：D 4 （5 分）函数 3| | ( )2() x f xxx e的图象大致是( ) 第 7 页（共 19 页） A B C D 【解答】解：函数 3| | ( )2() x f xxx e， 则 3| | ()2()( ) x fxxx ef x ， ( )f x是奇函数，排除A选项 令( )0f x ，可得1x ， 当 1 2 x 时，可得 111 ( )2()0 282 fe，图象在x轴的下方，排除B，D选项 故选：C 5 （5 分）已知平面向量a，b满足()3a ab，且| 2a ，| 1b ，则向量a与b的夹角 为( ) A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 【解答】解：|

15、2a ， 2 4a 又()3a ab， 2 43aa ba b，得1a b ， 设a与b的夹角为， 则|cos1a ba b ，即2 1 cos1 ，得 1 cos 2 0， 2 3 故选：C 6 （5 分） 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合， 终边经过点( 3,4)P ， 则cos2( ) 第 8 页（共 19 页） A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 【解答】 解： 角的顶点为坐标原点， 始边与x轴的非负半轴重合， 终边经过点( 3,4)P ， 22 44 sin 5 ( 3)4 ， 则 2 167 cos212sin12 2525 ， 故选：B 7

16、 （5 分）已知函数( )f x对任意xR都有(2)( )f xf x ，且当0 x，2)时， 2 ( )log (1)f xx，则(2021)( 2021)(ff ) A2 B1 C1 D2 【解答】解：(2)( )f xf x ， (4)(2)( )f xf xf x ， ( )f x是周期为 4 的周期函数， 当0 x，2)时， 2 ( )log (1)f xx， (2021)ff（1） 2 log 21， 由(2)( )f xf x ，可得( )(2)f xf x ， ( 2021)( 1)fff （1）1 ， (2021)( 2021)2ff 故选：A 8（5 分） 已知双曲线 22

17、 00 22 :1(0,0), (,) xy CabP xy ab 是直线20bxaya上任意一点， 若 22 00 ()()2xxyy与双曲线C的右支没有公共点， 则双曲线C的离心率的取值范围是 ( ) A(1，2 B(1，2 C(2,) D 42,) 【解答】 解： 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线方程为 b yx a ， 即0b x a y ， 0 (P x， 0) y是直线20bxaya上任意一点， 则直线20bxaya与直线0bxay的距离 22 22aa d c ab ， 圆 22 00 ()()2xxyy与双曲线C的右支没有公共点， 2d ，

18、第 9 页（共 19 页） 2 2 a c ， 即2 c e a ， 故e的取值范围为(1，2， 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）下列命题为真命题的是( ) A若ab，则 22 acbc B若0ab，则 22 aabb C若0cab，则 ab cacb D若0abc，则 aac bbc 【解答】解：当0c 时

19、， 22 acbc，所以A不正确； 若0ab，例如2a ，1b ，则 22 ab，所以B不正确； 0cab，()()()0a cbb caacbcc ab，所以 ab cacb ，所以C正确； 若0abc，则 () 0 ()() aacabacabbcc ab bbcb bcb bc ，所以D正确； 故选：CD 10 （5 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列说法正确的是( ) A若m，n，则/ /mn B若，m，m，则/ /m C若，m，则m D若m，n，/ /m，/ /n，则 / / 【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，得： 对于A，若m，n，则由线面垂直

20、的性质定理得/ /mn，故A正确； 对于B，若，m，m，则由面面垂直、线面垂直的性质得/ /m，故B正确； 对于C，若，m，则m与相交、平行或m，故C错误； 对于D，若m，n，/ /m，/ /n，则与相交或平行，故D错误 故选：AB 11 （5 分）二项展开式 55432 543210 (21)xa xa xa xa xa xa，则( ) 第 10 页（共 19 页） A 0 1a B 54321 543210aaaaa C 3 80a D 12345 1aaaaa 【解答】解：由二项展开式 55432 543210 (21)xa xa xa xa xa xa， 令0 x ，可得 0 1a ，

21、故A正确 两边对x求导数，可得 4432 54321 10(21)5432xa xa xa xa xa， 再令1x ，可得 54321 543210aaaaa，故B正确； 23 35 280aC，故C正确； 在展开式中，令1x ，可得 12345 11aaaaa ，故 12345 2aaaaa，故D错 误， 故选：ABC 12（5 分） 已知函数( )sincos (0)f xaxbx ab， 且对任意xR都有()() 33 fxfx ， 则( ) A( )f x的最小正周期为2 B( )f x在 2 , 33 上单调递增 C 5 6 是( )f x的一个零点 D3 a b 【解答】解：函数(

22、 )sincos (0)f xaxbx ab，且对任意xR都有()() 33 fxfx ， 所以函数( )f x的图象关于 3 x 对称， 所以 2 (0)() 3 ff ，即 31 22 bab，所以3ab，由0ab ，可得3 a b ，故D正确； 所以 31 ( )3 sincos2 (sincos )2 sin() 226 f xbxbxbxxbx ， 所以( )f x的最小正周期为2，故A正确； 当 2 , 33 x ， 62 x ， 2 ， 当0b 时，( )f x在 2 , 33 上单调递增； 当0b 时， ( )f x在 2 , 33 上单调递减，故B错误 当 5 6 x 时，(

23、 )0f x ，故 5 6 是( )f x的一个零点，故C正确 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）曲线: x C yxe在点(1, )Me处的切线方程为 2yexe 第 11 页（共 19 页） 【解答】解：函数的( )f x的导数( )(1) x fxx e， 则曲线在(1, ) e处的切线斜率kf（1）2e， 则对应的切线方程为2 (1)yee x， 即2yexe 故答案为：2yexe 14（5 分） 斜率为 1 的直线经过抛物线 2 4yx的焦点， 与抛物线相交于A，B两点， 则|AB 8

24、【解答】解：抛物线焦点为(1,0) 则直线方程为1yx，代入抛物线方程得 2 610 xx 12 6xx 根据抛物线的定义可知 1212 |628 22 pp ABxxxxp 故答案为：8 15 （5 分）甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程，则甲、乙所选的课程中 至少有 1 门课程不同的概率为 5 6 【解答】解：甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程， 基本事件总数 22 44 36nC C， 甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同包含的基本事件个数 22211 42422 30mC CC C C， 则甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同的概率为 3

25、05 366 m P n 故答案为： 5 6 16 （5 分）已知侧棱长为3的正四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面上，当该棱 锥体积最大时，底面ABCD的边长为 2 ，此时球O的表面积为 【解答】解：设四棱锥的高为h， 则 2 22 112 (3) (2 3) 323 hh Vhh ， 2(1)(1)Vhh ， 当1h 时，V最大，此时底面ABCD的边长为 2， 设球半径为R，则 22 2(1)RR， 第 12 页（共 19 页） 解得 3 2 R ， 球O的表面积为 2 3 4( )9 2 S 故答案为：2，9 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答

26、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在2sin3sinAB；ABC的面积为 3 15 4 ；( coscos )6b bCcB这三 个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1ab， 1 cos 4 C ，_ （1）求c的值； （2）求tan2B的值 【解答】解： （1）若选择， 因为2sin3sinAB，由正弦定理可得23ab， 又1ab，解得3a ，2b ， 由余弦定理可得 2 1 94232()16 4 c ，解得4c ； 若选择， 因为 1 cos 4 C ，0C，可得

27、 2 15 sin1 4 Ccos C， 由ABC的面积为 3 151 sin 42 abC，解得6ab ， 又1ab，所以 2 60bb，解得2b ，或3（舍去） ，所以3a ， 由余弦定理，可得 2 1 94232()16 4 c ，解得4c ； 若选择， 因为( coscos )6b bCcB， 由余弦定理可得 222222 ()6 22 abcacb b bc abac ，整理可得6ab ， 又1ab，可得 2 60bb，解得2b ，或3（舍去） ，可得3a ， 由余弦定理，可得 2 1 94232()16 4 c ，解得4c ； （2）由余弦定理可得 222 91647 cos 22

28、348 acb B ac ， 又因为0B， 第 13 页（共 19 页） 所以 2 715 sin1( ) 88 B ， 可得 15 tan 7 B ， 2 2 15 2tan7 15 7 tan2 15 117 1 49 B B tan B 18 （12 分）已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 342 32SSS， 1 2a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba， 1 1 nn nn ca b b ，求 n c的前n项和 n T 【解答】解： （1）等比数列 n a的前n项和为 n S，且 342 32SSS， 1 2a 设公比为q， 则 321123

29、412 3()()2()aaaaaaaaa， 整理得 34 2aa， 故2q 所以 1 1 2 nn n aaq （2）由（1）得 2 log nn ban， 1 1111 22 (1)1 nn nn nn ca b bn nnn ， 故 121 111112(21)12 (222 )(1)(1)2 22312111 n nn n n T nnnn 19 （12 分）2020 年春，我国武汉出现新型冠状病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼 吸困难等症状， 严重的可导致肺炎甚至危及生命 新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心， 为了遏制病毒的传播，危难时刻全国人民众志成城、共克时艰某校为了了解学

30、生对新型冠 状病毒的防护认识，对该校学生开展网上防疫知识有奖竞赛活动，并从男生、女生中各随机 抽取 20 人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数分布表： 女生成绩 成绩 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 频数 7 7 4 2 规定：成绩在 80 分以上（含 80 分）的同学称为“防疫明星” （1）根据以上数据，完成以下22列联表，并判断是否有99%的把握认为“防疫明星”与 性别有关； 男生 女生 合计 第 14 页（共 19 页） 防疫明星 非防疫明星 合计 （2）以样本估计总体， 以频率估计概率， 现从该校男生中随机抽取 4 人，其中“防疫明星” 的人数为X，

31、求随机变量X的分布列与数学期望 附：参考公式 2 2 () ()()()() n adbc K ac bd ab cb 其中nabcd 参考数据： 2 0 ()P K 卥 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由频率分布直方图可得：男生中成绩大于等于 80 的频率为 (0.0350.025) 100.6， 则男生中“防疫明星”的人数为200.612人， “非防疫明星”人数为 8 人， 由频数分布表可得，女生中“防疫明星”的人数为 6 人， “非防疫明星”人数为

32、 14 人， 所以22列联表为： 男生 女生 合计 防疫明星 12 6 18 非防疫明星 8 14 22 合计 20 20 40 所以 2 2 40(12 146 8)20 6.6676.635 2020 18223 K ， 所以有99%的把握认为“防疫明星”与性别有关； （2）从 20 名男生中随机抽取 1 人，是防疫明星的概率为 123 205 ， 第 15 页（共 19 页） 从该校男生中随机抽取 4 人，其中“防疫明星”的人数X服从二项分布， 即 3 (4, ) 5 XB，X的可能取值为 0，1，2，3，4， 则 004 4 3216 (0)( ) ( ) 55625 P XC， 11

33、3 4 3296 (1)( ) ( ) 55625 P XC， 222 4 32216 (2)( ) ( ) 55625 P XC， 331 4 32216 (3)( ) ( ) 55625 P XC， 440 4 3281 (4)( ) ( ) 55625 P XC， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 所以X的数学期望为 312 ()4 55 E X 20（12 分） 如图 1， 一副标准的三角板中，90BE ，60A，DEEF，BCDF 将 三角板的边BC与DF重合， 把两个三角板拼成一个空间图

34、形， 如图 2 设M是AC的中点， N是BC的中点 （1）求证：平面ABC 平面EMN； （2）若24ACEM，求二面角EACB的余弦值 【解答】 （1）证明：因为M，N分别为AC，BC的中点， 所以/ /MNAB，又因为ABBC，所以MNBC， 因为DEEF，所以ENBC， 因为MNENN，且MN，EN都在平面EMN内， 所以BC 平面EMN，因为BC 平面ABC， 所以平面ABC 平面EMN； （2）解：在Rt ABC中，60BAC，4AC ， 第 16 页（共 19 页） 所以2AB ，2 3BC ， 所以1MN ，3EN ， 又因为2EM ，所以 222 EMENMN，所以ENNM，

35、又因为ENBC，MN与BC是平面ABC内的相交直线， 所以EN 平面ABC，又AC 平面ABC，所以ENAC， 过点N作NGAC于点G，连结EG， 则AC 平面EGN，又EG 平面EGN，所以EGAC， 所以EGN为二面角EACB的平面角， 在Rt MNC中，1MN ，3NC ，2MC ，所以 3 2 NG ， 在Rt ENG中，3EN ，所以 315 3 42 EG ， 所以 3 5 2 cos 515 2 NG EGN EG ， 故二面角EACB的余弦值为 5 5 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点(2,2)P在

36、 椭圆C上，且满足 2 122 PF PFPF （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线: l yxmk与椭圆C交于不同两点M，N，且OMON证明：总存在一 个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程 【解答】解： （1） 2 122 PF PFPF， 212 ()0PFPFPF， 即 121 0PFF F，得 121 PFF F， 又点(2,2)P在椭圆C上， 1( 2,0) F， 2(2,0) F， 且由椭圆定义， 第 17 页（共 19 页） 得 2222 12 2|( 22)(02)(22)(02)4 2aPFPF 2 2a ， 22 44ba， 则椭圆C的标准方程为 22 1 84 xy

37、 ； 证明： （2）联立 22 1 84 yxm xy k ，消去y，得 222 (12)42(4)0 xmxmkk 直线: l yxmk与椭圆C交于不同两点M，N， 222222 168(21)(4)8(84)0mmmkkk 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 12 2 4 21 m xx k k ， 2 12 2 2(4) 21 m x x k ， 12121212 ()()OM ONx xy yx xxmxmkk 22 1212 (1)()x xm xxmkk 2222 2 22 2(1)(4)4 2121 mm m kk kk ， 又OMON，0OM ON，

38、即 222222 2(1)(4)4(21)0mmmkkk 22 8(1)3mk 原点O到直线l的距离 2 2 2 |8 13 1 mm d k k 存在定圆 22 8 3 xy与直线l相切 22 （12 分）已知函数( ) a f xlnx x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若1a ，证明 1 ( ) x fe x 【解答】解： （1）( )f x的定义域为(0,)， 2 ( ) xa fx x ， 当0a时，( )0fx在(0,)上恒成立 第 18 页（共 19 页） 所以( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时，(0,)xa时，( )0fx，( )f x单调递减， (,

39、)xa 时，( )0fx，( )f x单调递增， 综上，当0a时，( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时，( )f x在(0,)a单调递减，( )f x在(,)a调递增 （2）当1a 时， 1 ( )f xlnx x ， 令 1 ( )( )() x g xfe x ，(0,)x， 则( ) x g xxlnxe ， 1 ( )1 x g xe x ， 令 1 ( )1 x h xe x ，(0,)x， 2 1 ( )0 x h xe x 恒成立， 所以( )h x在(0,)上单调递增， 因为 1 ( )30 2 he ，h（1）20e ， 所以存在唯一的 0 1 (2x ，1)，使得

40、 0 0 0 1 ()10 x h xe x ， 即 0 0 1 1 x e x ， 当 0 (0,)xx时，( )0h x ，即( )0g x，所以( )g x在 0 (0,)x上单调递减， 当 0 (xx，)时，( )0h x ，即( )0g x，所以( )g x在 0 (x，)上单调递增， 所以 0 000 ( )() x min g xg xxlnxe ， 把代入得 000 0 1 ()1g xxlnx x ， 0 1 (2x ，1)， 设 1 ( )1xxlnx x ， 1 (2x，1)， 则 2 11 ( )10 x xx 恒成立， 所以( ) x在 1 ( 2 ，1)上单调递减， 所以( ) x（1）10 ， 因为 0 1 (2x ，1)， 所以 0 ()0 x，即 0 ()0g x， 所以( )0g x ， 第 19 页（共 19 页） 所以1a 时， 1 ( ) x fe x