2020-2021学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）.docx

1、第 1 页（共 22 页） 2020-2021 学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设全集UR，集合 |2Ax x， |1Bx x，则集合()( UA B ) A(,2) B2，) C(1,2) D(,1)2，) 2 （5 分）已知复数z满足(12 ) |43 |zii（其中i为虚数单位） ，则复数z的虚部为( )

2、 A2 B2i C1 Di 3 （5 分）化简式子cos15 cos45sin15 sin45的值是( ) A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 4 （5 分）已知 0.5 2a ，log 3b ， 2 1 log 3 c ，则( ) Abac Bbca Ccab Dabc 5 （5 分）函数 2 ( )(1)sin2f xxx，()x 剟的图象可能是( ) A B C D 6 （5 分）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点 0 (P x，2)，若点P到 该抛物线焦点的距离为 4，则|OP等于( ) A2 2 B2 3 C4 D2 5 7 （5 分）已知球面上A，B，

3、C三点，O是球心如果3ABBCAC，且球的体积 第 2 页（共 22 页） 为 20 5 3 ，则三棱锥OABC的体积为( ) A1 B3 C 3 2 D2 8 （5 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2sincos0BAC， 则cosB的最小值为( ) A2 B3 C 3 2 D 3 3 9 （5 分）记函数( )sin xx g xeex ，若不等式 2 (2)(1)0gxag x，对 1x ，1 恒成立，则a的取值范围为( ) A2，) B(2,) C( 2,) D 2，) 10 （5 分）先将函数( )sin(0)f xx的图象向左平移 2 个单位长度，再向上

4、平移 2 个单 位长度后得到函数( )g x的图象，若方程( )( )f xg x有实根，则的值可以为( ) A 1 2 B1 C2 D4 11 （5 分）众所周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳 鱼太极图” 如图是放在平面直角坐标系中的 “太极图” 整个图形是一个圆形 22 4xy 其 中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 1 2 ； 当 3 2 a 时，直线2yaxa与白色部分有公共点； 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点( , )x y，则xy的最大值为21； 若点(0,1)P，

5、MN为圆 22 4xy过点P的直径，线段AB是圆 22 4xy所有过点P的 弦中最短的弦，则()AMBNAB的值为 12 其中所有正确结论的序号是( ) 第 3 页（共 22 页） A B C D 12 （5 分）已知A，B，C是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三个点，直线AB经过原 点O，AC经过右焦点F，若0BF AC ，且 1 4 AFAC，则该双曲线的离心率为( ) A 5 2 B 2 3 C 10 3 D 10 2 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 2 0 2 0 1 xy

6、xy x ，则32zxy的最小值为 14 （5 分）随机变量服从正态分布 2 (1,)N，已知(0)0.3P，则(2)P 15（5分） 已知 25 3 (3) a x x 的展开式中所有项的系数之和为32， 则展开式中的常数项为 16 （5 分）已知矩形ABCD中，3AB ，4BC ，沿对角线AC将三角形ABC折起，使得 点B在平面ACD上的射影在线段AD上，此时cosBAD的值是 三三.解答题（共解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 2

7、2，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共） （一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列 n a是一个等差数列，且 3 3a ， 25 7aa，数列 n b是各项均为正 数的等比数列，且满足： 13 5 11 , 2256 bb b （1）求数列 n a与 n b的通项公式； 第 4 页（共 22 页） （2）设数 n c列满足 nnn ca b，其前n项和为 n T求证：2 n T 18（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，ABAD，/ /ABCD， PC 底面ABCD，224ABADCD，2PC

8、a，E是PB的中点 （）求证：平面EAC 平面PBC； （）若二面角PACE的余弦值为 6 3 ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值 19 （12 分）在平面直角坐标系中，已知 1( 1,0) F ，直线:4l x ，点P为平面内的动点， 过点P做直线l的垂线，垂足为点M，且 11 (2(2)0PFPMPFPM，点P的轨迹为曲线 C （1）求曲线C的方程； （2） 设 2( 1 , 0 ) F， 过 2 F且与x轴不重合的直线n与曲线C相交于不同的两点A，B 则 1 F AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值及此时直线n的方程； 若不存在， 请说明理由 20 （12 分

9、）已知函数 2 ( )3(6)()f xxa xalnx aR （1）求函数( )yf x的单调区间； （2）当1a 时，证明：对任意的0 x ， 2 ( )352 x f xexx 21（12 分） 某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒， 需要去某医院检验血液是否为阳性， 现有 * (Nk k，2)k?份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是 相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为(01)pp下面有以下两种检验方 案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混 合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果

10、为阳性，为 了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验逐份检验和混合检验中 的每一次检验费用都是(0)a a 元， 若k份血液样本采用混合检验方案， 则需要额外收取 5 4 a 元的材料费和服务费 第 5 页（共 22 页） （1）若(*,2)Nk kk?份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X的分 布列及数学期望；（2） 若5,0150.45p k， 以检验总费用的数学期望为决策依据， 试说明该单位选择方案二的合理性；若 1 1 7 p e ，采用方案二总费用的数学期望低于 方案一的，求k的最大值 （参考数据：20.7ln ，31ln ，1，71.9ln ，10

11、2.3ln，112.4)ln （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，那么按所做题中任选一题作答如果多做，那么按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）若以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位 建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是 2 6cos sin （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若直线l的参数方程为 3 22 ( 3 2 t xx t yt 为参数） ， 3 ( ,0) 2 P，当直线l与曲线C相交于A， B两点，求

12、 2 | | | AB PAPB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |23|21|f xxx （1）解不等式：( ) 6f x ； （2） 设xR时，( )f x的最小值为M 若正实数a，b，c满足abcM， 求a b b c c a 的最大值 第 6 页（共 22 页） 2020-2021 学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出

13、的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设全集UR，集合 |2Ax x， |1Bx x，则集合()( UA B ) A(,2) B2，) C(1,2) D(,1)2，) 【解答】解：UR， |2Ax x， |1Bx x， |2 UA x x，()( UA B ，1)2，) 故选：D 2 （5 分）已知复数z满足(12 ) |43 |zii（其中i为虚数单位） ，则复数z的虚部为( ) A2 B2i C1 Di 【解答】解：由 22 (12 ) |43 |4( 3)5zii ， 得 55(12 ) 12 12(12 )(12 ) i zi iii ， 复数

14、z的虚部为2 故选：A 3 （5 分）化简式子cos15 cos45sin15 sin45的值是( ) A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 【解答】解：由两角差的余弦公式可得 cos15 cos45sin15 sin45 3 cos(4515 )cos30 2 故选：B 4 （5 分）已知 0.5 2a ，log 3b ， 2 1 log 3 c ，则( ) Abac Bbca Ccab Dabc 【解答】解： 0.5 21a ，log 3(0,1)b ， 2 1 log0 3 c abc 故选：D 第 7 页（共 22 页） 5 （5 分）函数 2 ( )(1)sin2f xxx

15、，()x 剟的图象可能是( ) A B C D 【解答】解： 22 ()(1)sin( 2 )(1)sin2( )fxxxxxf x ， 则函数( )f x是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B， 当 2 x 时， 2 ()()1sin(2)0 222 f 排除C， 故选：D 6 （5 分）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点 0 (P x，2)，若点P到 该抛物线焦点的距离为 4，则|OP等于( ) A2 2 B2 3 C4 D2 5 【解答】解：由题意设抛物线的方程为 2 2(0)xpy p， 抛物线的准线方程为 4 p y ， 由抛物线的性质可得24 2 p ，解得4p

16、， 所以抛物线的方程为 2 8xy， 将P点的坐标代入可得 2 0 8216x ， 所以 22 0 |21642 5OPx， 故选：D 第 8 页（共 22 页） 7 （5 分）已知球面上A，B，C三点，O是球心如果3ABBCAC，且球的体积 为 20 5 3 ，则三棱锥OABC的体积为( ) A1 B3 C 3 2 D2 【解答】解：由3ABBCAC，可得ABC为正三角形，设其中心为G， 可得其外接圆的半径 3 1 2sin60 r ， 再设球的球心为O，半径为R，连接OG， 由球的体积为 20 5 3 ，得 3 420 5 33 R，得5R ， 球心到平面ABC的距离为 22 5 12OG

17、Rr ， 又 133 3 33 224 ABC S， 13 33 2 342 O ABC V ， 故选：C 8 （5 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2sincos0BAC， 则cosB的最小值为( ) A2 B3 C 3 2 D 3 3 【解答】解：sin2sincos0BAC， 由正弦定理及余弦定理得： 222 20 2 abc ba ab ，可得： 222 20abc， 又 22222 333 cos 24442 acbacac B acacca ，当且仅当 3 44 ac ca ，即3 c a 时取等号， 即cosB的最小值为 3 2 故选：C 9 （5 分

18、）记函数( )sin xx g xeex ，若不等式 2 (2)(1)0gxag x，对 1x ，1 恒成立，则a的取值范围为( ) 第 9 页（共 22 页） A2，) B(2,) C( 2,) D 2，) 【解答】解：函数( )sin xx g xeex ， 由()sin()(sin )( ) xxxx gxeexeexg x ，可得( )g x为奇函数， 又( )cos xx g xeex ， 由22 xxxx eeee ，1 cos1x 剟， 可得( )0g x，( )g x在R上递增， 由 2 (2)(1)0gxag x，即 2 (2)(1)gxag x ， 可得 22 (2)(1)

19、(1)gxag xgx ， 即为 2 21xax 在 1x ，1恒成立， 也即 2 21axx 在 1x ，1恒成立， 由 2 21yxx在 1x ，1递增， 可得 2 21yxx的值域为 2，2， 则2a ，即2a ， 故选：B 10 （5 分）先将函数( )sin(0)f xx的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单 位长度后得到函数( )g x的图象，若方程( )( )f xg x有实根，则的值可以为( ) A 1 2 B1 C2 D4 【解答】解：先将函数( )sin(0)f xx的图象向左平移 2 个单位长度，可得 sin() 2 yx 的图象； 再向上平移 2 个单位长

20、度后得到函数( )sin()2 2 g xx 的图象， 若方程( )( )f xg x有实根，即sinsin()2 2 xx 能成立 当 1 2 时，方程即sinsin()2 224 xx ，它不会成立 当1时，方程即sinsin()2 4 xx ，它不会成立 第 10 页（共 22 页） 当2时，方程即sin2sin(2)2sin22xxx ，即sin21x ，它能成立； 当4时，方程即sin4sin(42 )2sin42xxx，它不会成立； 故选：C 11 （5 分）众所周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳 鱼太极图” 如图是放在平面直角坐标系中的 “太极图

21、” 整个图形是一个圆形 22 4xy 其 中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 1 2 ； 当 3 2 a 时，直线2yaxa与白色部分有公共点； 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点( , )x y，则xy的最大值为21； 若点(0,1)P，MN为圆 22 4xy过点P的直径，线段AB是圆 22 4xy所有过点P的 弦中最短的弦，则()AMBNAB的值为 12 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 【解答】 解： 对于， 设黑色阴影部分的面积为 b S， 整圆所面积为S， 一由对称性知， 1 2 b SS

22、所以随机点取自黑色阴影部分的概率为： 1 1 2 2 b S S p SS ，所以对； 对于，直线方程为 33 2 22 yx ，即3260 xy，下面求(0,0)到此直距离： 22 |3 0206|6 2 13 32 d ，直线与圆 22 4xy相离，2yaxa与白色部分没有公共 点， 所以错； 第 11 页（共 22 页） 对于， 设xy k， 黑色阴影部分的边界在第一象限的方程为： 22 (1)1xy， 圆心(0,1)， 由点到直线距离公式得， 22 |1 01 1|1| 11212 2 11 d kk 剟k?， “”成立时， 即 22 (1)1xy与直线xy k在第一象限相切，此时xy

23、取最大值21，所以对； 对于， 由于MN为圆 22 4xy过点P的直径，M、N为与y轴交点，(0,2)M，(0, 2)N， 线段AB是圆 22 4xy所有过点P的弦中最短的弦，则AB是平行于x轴的弦，设AB与y 轴交点Q点， 222 |AQOAOQ， 22 |213AQ ，(3A ，1)，( 3B，1)， (2 3AB ，0)，(0(3)AM ，21)( 3，1)，(3BN ，21)(3 ，3)， ()(33, 3 1) (2 3AMBNAB ，0)12 ，所以错； 故选：A 12 （5 分）已知A，B，C是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三个点，直线AB经过原 点O，

24、AC经过右焦点F，若0BF AC ，且 1 4 AFAC，则该双曲线的离心率为( ) A 5 2 B 2 3 C 10 3 D 10 2 【解答】解：取双曲线的左焦点F，可设AFt，3CFt， 由双曲线的定义可得23CFat ，2AFat ， BFAC，可得四边形AFBF为矩形， 可得AF C为直角三角形， 即有 222 AFACCF， 即 222 (2)16(23 )attat， 解得at， 即有AFa，3AFa ，2FFc ， 可得 222 AFAFFF， 可得 222 94aac， 即 22 104ac， 即 10 2 c e a 第 12 页（共 22 页） 故选：D 二、填空题： （

25、每题二、填空题： （每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 2 0 2 0 1 xy xy x ，则32zxy的最小值为 4 【解答】解：由约束条件 2 0 2 0 1 xy xy x 作出可行域如图中阴影部分所示， 作出直线320 xy并平移，由图知当直线320 xyz经过点(0,2)A时， 32zxy取得最小值，即3 0224 min z 故答案为：4 14 （5 分）随机变量服从正态分布 2 (1,)N，已知(0)0.3P，则(2)P 0.7 第 13 页（共 22 页） 【解答】解：随机变量服从正态分布 2 (1,)N， 曲线关于1x 对称，

26、 (0)(2)0.3PP， (2)10.30.7P ， 故答案为：0.7 15 （5 分）已知 25 3 (3) a x x 的展开式中所有项的系数之和为 32，则展开式中的常数项为 270 【解答】解：根据题意，令1x ，可得 5 (3)32a，解得1a ， 所 以 25 3 (3) a x x 即 25 3 1 (3)x x 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 25 15 3 1 (3)()( 1) 3 rrrr r TCx x 510 5 5 rrr C x ， 令1050r，解得2r ， 所以展开式中的常数项为 2 ( 1) 3 32 5 270C 故答案为：270 16 （5 分

27、）已知矩形ABCD中，3AB ，4BC ，沿对角线AC将三角形ABC折起，使得 点B在平面ACD上的射影在线段AD上，此时cosBAD的值是 2 3 【解答】解：设点B在平面ACD上的射影在线段AD上为H， 则BH 平面ADC， AHDC，又DCAD，且ADBHH， DC平面ABD，可得CDBD， 在Rt BDC中，由4BC ，3CD ，可得 2222 437BDBCCD； 设DHx，则4AHx， 2222 BDDHABAH， 第 14 页（共 22 页） 即 22 77(4)xx，解得2x ， 可得 2 cos 3 AH BAD AB 故答案为： 2 3 三三.解答题（共解答题（共 70 分

28、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共） （一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知数列 n a是一个等差数列，且 3 3a ， 25 7aa，数列 n b是各项均为正 数的等比数列，且满足： 13 5 11 , 2256 bb b （1）求数列 n a与 n b的通项公式； （2）设数 n c列满足 nnn ca b，其前n项和为 n T求证：2 n T

29、【解答】解： （1）解： n a为等差数列，设公差为d， 1 11 23 47 ad adad ， 1 1 1 a d ， 1 (1) n aandn， n b为等比数列，0 n b ，设公比为q，则0q ， 2 354 1 256 b bb， 3 41 1 16 bbq， 1 1111 ,( )( ) 2222 nn n qb ，即 n an， 1 ( ) 2 n n b ； （2）证明：由（1）得 1 ( ) 2 n nnn ca bn， 231 11111 12( )3 ( )(1)( )( ) 22222 nn n Tnn ， 2341 111111 1 ( )2( )3 ( )(1)

30、( )( ) 222222 nn n Tnn ， 由得： 第 15 页（共 22 页） 23111 11 1( ) 11111111 22 ( )( )( )( )( )1(2) ( ) 1 22222222 1 2 n nnnn n Tnnn ， 1 2(2) ( ) 2 n n Tn，2 n T 18（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，ABAD，/ /ABCD， PC 底面ABCD，224ABADCD，2PCa，E是PB的中点 （）求证：平面EAC 平面PBC； （）若二面角PACE的余弦值为 6 3 ，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值 【解答】解：

31、 （）PC 平面ABCD，AC 平面ABCD，ACPC 4AB ，2ADCD，2 2ACBC 222 ACBCAB，ACBC 又BCPCC，AC平面PBC AC 平面EAC， 平面EAC 平面PBC（5 分） （）如图，以点C为原点，DA，CD，CP分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直 角坐标系，则(0C，0，0)，(2A，2，0)，(2B，2，0) 设(0P，0，2 )(0)a a ，则(1E，1，)a，(2CA ，2，0)，(0CP ，0，2 )a，(1CE ， 1，)a 取(1m ，1，0)，则0m CAm CP，m为面PAC的法向量 设(nx，y，) z为面EAC的法向量，则0n

32、CAn CE， 即 0 0 xy xyaz ，取xa，ya ，2z ，则(na，a，2)， 第 16 页（共 22 页） 依题意，|cosm， 2 |6 | | |3 2 m na n mn a ，则2a （10 分） 于是(2n ，2，2)，(2PA ，2，4) 设直线PA与平面EAC所成角为， 则sin|cosPA， |2 | 3| | PA n n PAn ， 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 2 3 （13 分） 19 （12 分）在平面直角坐标系中，已知 1( 1,0) F ，直线:4l x ，点P为平面内的动点， 过点P做直线l的垂线，垂足为点M，且 11 (2(2)0PFP

33、MPFPM，点P的轨迹为曲线 C （1）求曲线C的方程； （2） 设 2( 1 , 0 ) F， 过 2 F且与x轴不重合的直线n与曲线C相交于不同的两点A，B 则 1 F AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值及此时直线n的方程； 若不存在， 请说明理由 【解答】解： （1）设动点( , )P x y，则( 4, )My， 由 1( 1,0) F ，则 1 ( 1,)PFxy ，( 4,0)PMx ， 1 2(2, 2 )PFPMxy， 1 2( 63 , 2 )PFPMxy ， 11 (2) (2)0PFPMPFPM， 222 4(1)4(4)xyx， 化简得： 22

34、 1 43 xy 第 17 页（共 22 页） 所求曲线C的方程为 22 1 43 xy （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，不妨令 1 0y ， 2 0y ， 设 1 F AB的内切圆半径为R，则 1 F AB的周长为48a ， 1 12 1 (|)4 2 F AB SABFBF B RR， 由此可知，当 1 F AB的面积最大时， 1 F AB的内切圆面积最大， 可设直线n的方程为1xmy， 联立 22 1 1 43 xmy xy 得： 22 (34)690mymy， 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ，则 1 2 2 121

35、2 222 169121 |()4 2343434 FAB mm SFFyy mmm ， 令 2 1mt，则 22 1(1)mtt， 1 2 1212 1 31 3 F AB t S t t t ， 令 1 ( )3(1)f ttt t ，则 2 1 ( )3ft t ， 当1t时，( )0f t恒成立，则 1 ( )3f tt t 在1，)上单调递增， ( )f tf（1）4，即( )f t的最小值为 4 1 3 F AB S，即当1t 时， 1 F AB S的面积最大为 3， 此时， 1 F AB的内切圆的最大半径为 3 4 R ， 所以， 1 F AB的内切圆的面积取得最大值为 2 9

36、16 SR 故直线n的方程为1x ， 1 F AB的内切圆的面积最大值为 9 16 20 （12 分）已知函数 2 ( )3(6)()f xxa xalnx aR （1）求函数( )yf x的单调区间； （2）当1a 时，证明：对任意的0 x ， 2 ( )352 x f xexx 【解答】解： （1）由题意知，函数( )f x的定义域为(0,)， 第 18 页（共 22 页） 由已知得 2 6(6)(6)(1) ( )6(6) axa xaxa x fxxa xxx ， 当0a时，( )0fx，函数( )f x在(0,)上单调递增， 所以函数( )f x的单调递增区间为(0,)， 当0a 时

37、，由( )0fx，得 6 a x ，由( )0fx，得0 6 a x， 所以函数( )f x的单调递增区间为(,) 6 a ，单调递减区间为(0,) 6 a ， 综上，当0a时，函数( )f x的单调递增区间为(0,)， 0a 时，函数( )f x的单调递增区间为(,) 6 a ，单调递减区间为(0,) 6 a ； （2）当1a 时，不等式 2 ( )352 x f xexx可变为20 x elnx， 令( )2 x h xelnx，则 1 ( ) x h xe x ， 可知函数( )h x在(0,)单调递增， 而 1 3 1 ( )30 3 he，h（1）10e ， 所以方程( )0h x在

38、(0,)上存在唯一实根 0 x，即 0 0 1 x e x ， 当 0 (0,)xx时，( )0h x，函数( )h x单调递减， 当 0 (xx，)时，( )0h x，函数( )h x单调递增； 所以 0 0 000 00 111 ( )()2220 x min x h xh xelnxlnx xxe ， 即20 x elnx在(0,)上恒成立， 所以对任意0 x ， 2 ( )352 x f xexx成立 21（12 分） 某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒， 需要去某医院检验血液是否为阳性， 现有 * (Nk k，2)k?份血液样本，假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是 相

39、互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为(01)pp下面有以下两种检验方 案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混 合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为 了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验逐份检验和混合检验中 的每一次检验费用都是(0)a a 元， 若k份血液样本采用混合检验方案， 则需要额外收取 5 4 a 元的材料费和服务费 第 19 页（共 22 页） （1）若(*,2)Nk kk?份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X的分 布列及数学期望；（2） 若5,015

40、0.45p k， 以检验总费用的数学期望为决策依据， 试说明该单位选择方案二的合理性；若 1 1 7 p e ，采用方案二总费用的数学期望低于 方案一的，求k的最大值 （参考数据：20.7ln ，31ln ，1，71.9ln ，102.3ln，112.4)ln 【解答】解： （1）X所以对任意 1 和1 (1)(1)P Xp k k， (1)1(1)P Xp k k， 所以随机变量X的分布列为： X 1 1k P (1)p k 1(1)p k 所以()1 (1)(1) 1(1) 1(1)E Xppp kkk kkk （2）设方案一总费用为Z，方案二总费用为Y，则 5 4 YaXa， 所以方案二

41、总费用的数学期望为： 55 ( )()1(1) 44 E YaE Xaapa k kk， 又5k， 所以 55 529 ( )65(1) 5 (1) 44 E Yapaapa ， 又方案一的总费用为5Za， 所以 5 9 ( )5(1) 4 ZE Yap， 当0150.45p 时， 55 9911 (1)1,05(1) 2044 pp， 又0a ， 所以 5 9 5(1)0 4 ap， 所以( )ZE Y， 所以该单位选择方案二合理 由知方案二总费用的数学期望 55 ( )()1(1) 44 E YaE Xaapa k kk， 第 20 页（共 22 页） 当 1 1 7 p e 时， 7 1

42、59 ( )1() () 447 E Yaaae e k k kkkkk， 又方案一的总费用为Za k， 令( )E YZ得， 7 9 () 4 aea k kkk， 所以 7 9 () 4 aea k kkk， 即 7 9 4 e k k， 即 7 9 () 4 lneln k k， 所以 9 0 74 lnln k k， 设 9 ( ),2,) 74 x f xlnxlnx， 所以 117 ( ),2,) 77 x fxx xx ， 令( )0fx，得27x ，( )0fx得7x ， 所以( )f x在区间2，7)上单调递增，在区间(7,)上单调递减， ( )maxf xf（7）712(

43、32)0.10lnlnln ， 888 (8)3 22( 32)5 22 31.30 777 flnlnlnlnln， 999 (9)2 32( 32)2 22 21.40 777 flnlnlnlnln， 1010 (10)102( 32)1.50 77 flnlnln， 1111 (11)112( 32)1.60 77 flnlnln， 121212 (12)122( 32)4 231.70 777 flnlnlnlnln， 所以k的最大值为 11 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 题中任选一题作答如果多做，那么按所做题中任选一题作答如果多做，那

44、么按所做 的第一题计分的第一题计分选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）若以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位 建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是 2 6cos sin （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； 第 21 页（共 22 页） （2）若直线l的参数方程为 3 22 ( 3 2 t xx t yt 为参数） ， 3 ( ,0) 2 P，当直线l与曲线C相交于A， B两点，求 2 | | | AB PAPB 【解答】解： 2 6cos (1) sin ， 22 sin6 cos， 根据 222 cos& sin&

45、& x y xy ， 曲线C的直角坐标系方程为 2 6yx （2）直线l的参数方程为 31 22 3 2 xt yt ， 代入 2 6yx得 2 4120tt 则 121 212121 2 4,12,| |()48ttt tABttttt t ， 因为 3 ( ,0) 2 P在直线l上， 所以 1 2 | | | 12PAPBt t， 2 |6416 | |123 AB PAPB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |23|21|f xxx （1）解不等式：( ) 6f x ； （2） 设xR时，( )f x的最小值为M 若正实数a，b，c满足abcM， 求a b b

46、 c c a 的最大值 【解答】解： （1）当 1 2 x时，不等式等价为2321 6xx ，解得1x； 当 13 22 x时，不等式等价为2321 6xx ，无解； 当 3 2 x时，不等式等价为2321 6xx ，解得2x； 综上，不等式的解集为(，12，)； （2） 由| 23 | | 21 | | 23 21 | 4xxxx ， 可得( )f x的最小值为4M ， 即4abc， 第 22 页（共 22 页） 由 22 2abab， 22 2bcbc， 22 2caca， 可得 222 abcabbcca， 当且仅当 “abc” 时取等号， 所以 2 3() ()16abbccaabc，故 16 3 abbcca，当且仅当“abc”时取等号， 故abbcca的最大值为16 3