2020-2021学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合1A，2，3， 1B ，0，2，3，则(AB ) A0，1，2 B0，2 C2，3 D 1， 0， 1， 2，3 2 （4 分）复数 2 (1)(i ) A0 B1 C2i D2i 3 （4 分） 5 (1)x 的展开式中x的系数为( ) A1 B5 C10 D

2、15 4 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) A 1 6 B 1 3 C 2 3 D2 5 （4 分）若抛物线 2 4yx上的点A到焦点的距离为 10，则点A到y轴的距离是( ) A6 B7 C8 D9 6 （4 分） “”是“函数sin(2)yx为奇函数”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （4 分）直线:1l yxk与圆 22 :(1)4C xy的位置关系是( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 8 （4 分）等差数列 n a的首项为 1，公差不为 0，若 1 a， 2 a， 4 a成等比数列，则 n a

3、前 5 项的和为( ) 第 2 页（共 19 页） A10 B15 C21 D28 9 （4 分）已知函数 2 ,0, ( ) ,0, x x f x x x 则函数 | | ( )2 x yf x的零点个数是( ) A0 B1 C2 D3 10 （4 分）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列 方法画出：如图，在黄金矩形 51 () 2 AB ABCD BC 中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长 为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆 弧EG；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线 记圆弧BE，EG，GI的长度

4、分别为l，m，n，对于以下四个命题： lmn； 2 ml n ； 2mln ； 211 mln 其中正确的是( ) A B C D 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11 （5 分）函数( )1f xxlnx 的定义域为 12 （5 分）已知平面向量(2,1)a ，(4, )by，且/ /ab，则实数y 13 （5 分）已知双曲线的两个焦点为( 3,0)，(3,0)，一个顶点是( 6,0)，则C的标准方程 为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 第 3 页（共 19 页） 14 （5 分）若函数( )sin()cos() 3 f xxx 的一个周期

5、是，则常数的一个取值可以 为 15 （5 分）从4G到5G通信，网络速度提升了 40 倍其中，香农公式 2 log (1) S CW N 是 被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率 C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其 中 S N 叫做信噪比 根据香农公式，以下说法正确的是 （参考数据：50.6990)lg 若不改变信噪比 S N ，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍； 若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低为原来的一 半，则C增加一倍； 若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 2

6、55 提升至 1023，C增加了25%； 若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 999 提升至 4999，C大约增加了23.3% 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16 （13 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD，M， N分别为棱PD，BC的中点，2PAAB （）求证：/ /MN平面PAB； （）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值 17 （13 分）在ABC中，2c ，30C 再从条件、条件、条件这三个条件中选 择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形

7、，求： （）a的值； （）ABC的面积 条件：23ba； 第 4 页（共 19 页） 条件：45A ； 条件：2 3b 18 （14 分）在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽 样的方法， 从全校学生中抽取容量为 200 的样本进行调查 被抽中的同学分别对食堂进行评 分，满分为 100 分调查结果显示：最低分为 51 分，最高分为 100 分随后，兴趣小组将 男、 女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图， 图表 如下： 分数区间 频数 50，60) 3 60，70) 3 70，80) 16 80，90) 38 90，100 20 男

8、生评分结果的频数分布表 为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况” ，二者的对应关系如 下： 分数 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 满意度情况 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 （）求a的值； （）为进一步改善食堂状况，从评分在50，70)的男生中随机抽取 3 人进行座谈，记这 3 人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列； （）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比 较满意”的概率 第 5 页（共 19 页） 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率

9、 3 2 e ，且经过点(0,1)D （）求椭圆C的方程； （）已知点( 1,0)A 和点( 4,0)B ，过点B的动直线l交椭圆C于M，N两点(M在N左 侧） ，试讨论BAM与OAN的大小关系，并说明理由 20 （15 分）设函数 1 ( )f xalnx x ，aR （）设l是( )yf x图象的一条切线，求证：当0a 时，l与坐标轴围成的三角形的面积 与切点无关； （）若函数( )( )g xf xx在定义域上单调递减，求a的取值范围 21 （15 分） 对于数列 n a， 若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和， 则称 n a 为P数列 （）数列 n a为1，1，3，5，7，数

10、列 n b为 11 1 1, 24 8 判断数列 n a， n b是否为P 数列，并说明理由； （） 设数列 n a是首项为 2 的P数列， 其前n项和为(*) n S nN 求证： 当2n时，2n n S ； （） 设无穷数列 n a是首项为(0)a a ， 公比为q的等比数列， 有穷数列 n b， n c是从 n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 1 T， 2 T若 12 TT判 断 n a是否为P数列，并说明理由 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解

11、析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 （4 分）已知集合1A，2，3， 1B ，0，2，3，则(AB ) A0，1，2 B0，2 C2，3 D 1， 0， 1， 2，3 【解答】解：1A，2，3， 1B ，0，2，3， 2AB，3 故选：C 2 （4 分）复数 2 (1)(i ) A0 B1 C2i D2i 【解答】解： 22 (1)122iiii 故选：D 3 （4 分） 5 (1)x 的展开式中x的系数为( ) A1

12、B5 C10 D15 【解答】解： 5 (1)x 的展开式中x的系数为 4 5 5C 故选：B 4 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) A 1 6 B 1 3 C 2 3 D2 【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥的底面为俯视图三角形，面积为 第 7 页（共 19 页） 1 222 2 S ，棱锥的高1h ， 棱锥的体积 112 2 1 333 VSh 故选：C 5 （4 分）若抛物线 2 4yx上的点A到焦点的距离为 10，则点A到y轴的距离是( ) A6 B7 C8 D9 【解答】解：抛物线 2 4yx的准线方程为：1x ，抛物线 2 4yx上的点A到焦点

13、的距离 为 10， 可得9 A x ，则A到y轴的距离是：9 故选：D 6 （4 分） “”是“函数sin(2)yx为奇函数”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若函数sin(2)yx为奇函数，则 k，Zk， “”是“函数sin(2)yx为奇函数的”充分不必要条件 故选：A 7 （4 分）直线:1l yxk与圆 22 :(1)4C xy的位置关系是( ) A相切 B相交 C相离 D不确定 【解答】解：直线:1l yxk过点(0,1)P， 而(0,1)P是圆 22 :(1)4C xy的圆心， 直线:1l yxk与圆 22 :(1)

14、4C xy的位置关系是相交 故选：B 8 （4 分）等差数列 n a的首项为 1，公差不为 0，若 1 a， 2 a， 4 a成等比数列，则 n a前 5 项的和为( ) A10 B15 C21 D28 【解答】解：等差数列 n a的首项为 1，公差不为 0， 若 1 a， 2 a， 4 a成等比数列，则 2 214 aa a， 即 2 (1)1 (13 )dd ，解得1d ， 第 8 页（共 19 页） 5 54 5 115 2 S ， 故选：B 9 （4 分）已知函数 2 ,0, ( ) ,0, x x f x x x 则函数 | | ( )2 x yf x的零点个数是( ) A0 B1

15、C2 D3 【解答】解：函数 | | ( )2 x yf x的零点个数即( )yf x与 | | 2 x y 的图象交点的个数， 分别作出函数( )yf x与 | | 2 x y 的图象，结合图象可知两交点为(1,2)，(2,4)， 所以函数 | | ( )2 x yf x的零点个数是 2 故选：C 10 （4 分）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列 方法画出：如图，在黄金矩形 51 () 2 AB ABCD BC 中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长 为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆 弧EG；如此继续下去

16、，这些圆弧就连成了斐波那契螺线 记圆弧BE，EG，GI的长度分别为l，m，n，对于以下四个命题： lmn； 2 ml n ； 2mln ； 211 mln 第 9 页（共 19 页） 其中正确的是( ) A B C D 【解答】解：不妨设51AB ，则2BC ， 所以 1( 51) 2( 51) 42 l ， 因为35ED ， 所以 1(35) 2(35) 42 m ， 同理可得 1(2 54) 2(2 54) 42 n ， 所以lmn， 2 ml n ，2mln ， 211 mln ， 故正确的是 故选：A 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分

17、 11 （5 分）函数( )1f xxlnx 的定义域为 (0,) 【解答】解：由题意得： 1 0 0 x x ，解得：0 x ， 故函数( )f x的定义域是(0,)， 故答案为：(0,) 12 （5 分）已知平面向量(2,1)a ，(4, )by，且/ /ab，则实数y 2 【解答】解：(2,1)a ，(4, )by，且/ /ab， 240y， 解得：2y 故答案为：2 第 10 页（共 19 页） 13 （5 分）已知双曲线的两个焦点为( 3,0)，(3,0)，一个顶点是( 6,0)，则C的标准方程 为 22 1 63 xy ；C的焦点到其渐近线的距离是 【解答】解：双曲线C的两个焦点为

18、( 3,0)，(3,0)，一个顶点是( 6，0)， 设双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，且6a ，3c ， 2 963b， C的方程为： 22 1 63 xy 故其渐近线为 2 2 yx ，即20 xy， C的焦点到其渐近线的距离为： 22 3 3 1( 2) d ， 故答案为： 22 1 63 xy ，3 14 （5 分）若函数( )sin()cos() 3 f xxx 的一个周期是，则常数的一个取值可以 为 2（答案不唯一） 【解答】解：因为 13 ( )sincossin 22 f xxxx 22 3131 (1)sincos(1)( ) sin() 2222

19、xxx 23sin()x，(tan23)， 所以周期 2 T ，解得2， 故答案为：2， 15 （5 分）从4G到5G通信，网络速度提升了 40 倍其中，香农公式 2 log (1) S CW N 是 被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率 C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其 中 S N 叫做信噪比 根据香农公式，以下说法正确的是 （参考数据：50.6990)lg 若不改变信噪比 S N ，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍； 若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低为原来的一 第

20、 11 页（共 19 页） 半，则C增加一倍； 若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 255 提升至 1023，C增加了25%； 若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 999 提升至 4999，C大约增加了23.3% 【解答】 解： 对于， 若不改变信噪比 S N ， 而将信道带宽W增加一倍， 即 2 2(1)2 S WlogC N ， 则C增加一倍，所以正确， 对于，若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低为原 来的一半， 即 2 2222 22 (1)(1)1() 2(1) 2 SSSSS WlogWlogWlogWlog N NNNN ，所以错误， 对于，若

21、不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 255 提升至 1023， 则 10 22 8 22 (1 1023)2101 111 (1255)284 Wloglog Wloglog ，所以C增加了25%，所以正确， 对于，若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 999 提升至 4999， 则 22 22 (14999)50005000510005 11110.233 (1999)1000100033 Wlogloglglglglg Wlogloglg ，所以正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤

22、或证明过程 16 （13 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD，M， N分别为棱PD，BC的中点，2PAAB （）求证：/ /MN平面PAB； （）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值 【解答】解： （）证明：在四棱锥PABCD中， 取PA的中点E，连接EB、EM， 第 12 页（共 19 页） 因为M是PD的中点， 所以/ /EMAD，且 1 2 EMAD 又因为底面ABCD是正方形，N是BC的中点， 所以/ /BNAD，且 1 2 BNAD 所以/ /EMBN 所以四边形MNBE是平行四边形 所以/ /MNEB 由于EB 平面PAB，MN 平面PAB，

23、所以/ /MN平面PAB ()II因为底面ABCD是正方形，所以ABAD 又因为PA 平面ABCD 所以以点A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴， 如图建立空间直角坐标系(0A，0，0)，(2C，2，0)，(0D，2，0)，(0P，0，2)，(0M， 1，1)，(2N，1，0)(2FC ，2，2)，( 2CD ，0，0)， 设平面PCD的法向量为( , , )mx y z 有： 0, 0, m PC m CD 即 0, 0, xyz x 令1y ，则1z ， 所以(0,1,1).(2,0, 1)mMN 设直线MN与平面PCD所成角为 有： |021 01 ( 1)|10 sin|c

24、os,| 10| |25 MN m MN m MNm 所以直线MN与平面PCD所成角的正弦值为 10 10 第 13 页（共 19 页） 17 （13 分）在ABC中，2c ，30C 再从条件、条件、条件这三个条件中选 择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： （）a的值； （）ABC的面积 条件：23ba； 条件：45A ； 条件：2 3b 【解答】解：选择条件：23ba （）在ABC中， 因为23ba， 所以 3 2 ba 因为2c ，30C 根据余弦定理： 222 cos 2 abc C ab ，得 22 3 ()4 3 2 cos30 23 2 2 aa aa ， 整理，得 2

25、16a ， 由于0a ， 所以4a （）由() I可知， 3 2 3 2 ba 因为4a ，2c ， 所以 222 abc 所以90A 第 14 页（共 19 页） 因此，ABC是直角三角形 所以 11 2 322 3 22 Sbc 选择条件：45A 解： （）在ABC中， 因为45A ，30C ，2c 根据正弦定理： sinsin ac AC ， 所以 2 2 sin2sin45 2 2 2 1 sinsin30 2 cA a C （）在ABC中， 因为sinsin()BAC 所以 62 sinsin(3045 )sin30 cos45cos30 sin45 4 B 所以 1162 sin2

26、 2231 224 SacB 选择条件：不给分 18 （14 分）在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽 样的方法， 从全校学生中抽取容量为 200 的样本进行调查 被抽中的同学分别对食堂进行评 分，满分为 100 分调查结果显示：最低分为 51 分，最高分为 100 分随后，兴趣小组将 男、 女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图， 图表 如下： 分数区间 频数 50，60) 3 60，70) 3 70，80) 16 80，90) 38 90，100 20 男生评分结果的频数分布表 为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了

27、“满意度情况” ，二者的对应关系如 下： 第 15 页（共 19 页） 分数 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 满意度情况 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 （）求a的值； （）为进一步改善食堂状况，从评分在50，70)的男生中随机抽取 3 人进行座谈，记这 3 人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列； （）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比 较满意”的概率 【解答】解： （）因为(0.0050.0200.0400.020) 101a， 所以0.015a （）依题意，随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，

28、3 03 33 3 6 1 (0) 20 CC P X C ， 12 33 3 6 9 (1) 20 CC P X C ， 21 33 3 6 9 (2) 20 CC P X C ， 30 33 3 6 1 (3) 20 CC P X C 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 第 16 页（共 19 页） （）设事件A “随机抽取一名学生，对食堂比较满意 ” 因为样本人数 200 人，其中男生共有 80 人， 所以样本中女生共有 120 人 由频率分布直方图可知， 女生对食堂“比较满意”的人数共有：1200.020 1024人 由频数分布表

29、，可知男生对食堂“比较满意”的共有 16 人， 24161 2005 所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为 1 ( ) 5 P A 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 3 2 e ，且经过点(0,1)D （）求椭圆C的方程； （）已知点( 1,0)A 和点( 4,0)B ，过点B的动直线l交椭圆C于M，N两点(M在N左 侧） ，试讨论BAM与OAN的大小关系，并说明理由 【解答】解： （）由已知1b ， 3 2 c e a ， 又 222 abc，解得2a ，1b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （）依题意设直线l的方程为(

30、4)yxk，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y 联立 2 2 1, 4 (4), x y yx k 消去y，得 2222 (41)326440 xxkkk， 则 2 16(1 12)0k，解得 33 66 k(*) 则 2 12 2 32 41 xx k k ， 2 12 2 644 41 x x k k 若 1 1x ，则 1 3 2 y ， 3 6 k与(*)式矛盾，所以 1 1x 同理 2 1x 所以直线AM和AN的斜率存在，分别设为 AM k和 AN k 因为 12 12 11 AMAN yy xx kk 12 1212 (4)(4)33 2 1111 xx xx

31、xx kkkk k 1212 121212 3 (2)3 (2) 22 (1)(1)1 xxxx xxx xxx kk kk 第 17 页（共 19 页） 2 2 22 22 32 3 (2) 14 2 64432 1 1414 k k k k kk kk 2 2 3 ( 242) 20 363 kk k k ， 所以 AMAN kk 所以BAMOAN 20 （15 分）设函数 1 ( )f xalnx x ，aR （）设l是( )yf x图象的一条切线，求证：当0a 时，l与坐标轴围成的三角形的面积 与切点无关； （）若函数( )( )g xf xx在定义域上单调递减，求a的取值范围 【解答

32、】解： （）证明：当0a 时， 1 ( ),0f xx x ， 2 1 ( )fx x ， 设( )f x图象上任意一点 0 0 1 (,)P x x ， 切线l斜率为 0 2 0 1 ()fx x k 过点 0 0 1 (,)P x x 的切线方程为 0 2 00 11 ()yxx xx 令0 x ，解得 0 2 y x ；令0y ，解得 0 2xx 切线与坐标轴围成的三角形面积为 0 0 12 | |2| 2 2 Sx x 所以l与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； （）由题意，函数( )g x的定义域为(0,) 因为( )g x在(0,)上单调递减， 所以 2 1 ( )1 0 a g

33、 x xx 在(0,)上恒成立， 即当(0,)x， 1 a x x 恒成立， 所以 1 ()minax x ， 因为当(0,)x， 1 2x x ，当且仅当1x 时取等号 所以当1x 时， 1 ()2 min x x ， 所以2a 第 18 页（共 19 页） 所以a的取值范围为(，2 21 （15 分） 对于数列 n a， 若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和， 则称 n a 为P数列 （）数列 n a为1，1，3，5，7，数列 n b为 11 1 1, 24 8 判断数列 n a， n b是否为P 数列，并说明理由； （） 设数列 n a是首项为 2 的P数列， 其前n项和为(*

34、) n S nN 求证： 当2n时，2n n S ； （） 设无穷数列 n a是首项为(0)a a ， 公比为q的等比数列， 有穷数列 n b， n c是从 n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 1 T， 2 T若 12 TT判 断 n a是否为P数列，并说明理由 【解答】解： （）数列 n a不是P数列，数列 n b是P数列 对于数列 n a，1 1357 ，所以数列 n a不是P数列； 对于数列 n b， 111111 1, 1, 1 224248 ， 所以数列 n b是P数列 （）证明：由题意知， 1nn aS ，即 1nnn SSS ，即 1 2 nn S

35、S 又因为 11 20Sa， 所以0 n S 所以当2n时， 12 1 121 2n nn n nn SSS SS SSS ， 命题得证 （）数列 n a不是P数列 理由如下：假设数列 n a是P数列，则 2 aaqa得1q ， 所以数列 n a是单调递增数列，且0 n a ， * nN （1）若数列 n b中的元素都在数列 n c中，则 12 TT； （2）若数列 n c中的元素都在数列 n b中，则 12 TT； （3）若数列 n b和数列 n c有部分公共元素， 将数列 n b和 n c的公共元素去掉得到新的数列 n b 和 n c ， 不妨设数列 n b 和 n c 中的最大元素 m a在数列 n c 中， 则数列 n a的前1m 项和 1mm Sa 因为0 n a ， * nN， 第 19 页（共 19 页） 所以数列 n b 中的所有项和小于等于 1m S 所以数列 n b 中的所有项和小于 m a 所以 12 TT 综上（1） （2） （3）知 12. TT与已知 12 TT矛盾， 所以数列 n a不是P数列