2020-2021学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷.docx

1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知全集 1U ，0，1，2，3，4，集合0A，1，2，则( UA ) A3，4 B 1，3，4 C0，1，2 D 1，4 2 （4 分）已知向量( 1,2)a ，( ,4)bx，且ab，则| (b ) A2 5 B4 3 C4 5 D8 3 （4 分）某三棱锥的三

2、视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的 体积为( ) A 4 3 B 8 3 C3 D4 4 （ 4分 ） 已 知 等 比 数 列 n a的 各 项 均 为 正 数 ， 且 3 9a ， 则 3132333435 l o gl o gl o gl o gl o g(aaaaa ) A 5 2 B 5 3 C10 D15 5 （4 分）设抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点若 | 4PF ，则| (PM ) A21 B5 C2 7 D4 2 6 （4 分）已知函数( )cos(2) 6 f xx ，给出下列四个结论： 函数( )f x是周

3、期为的偶函数； 函数( )f x在区间 7 , 12 12 上单调递减； 第 2 页（共 21 页） 函数( )f x在区间0, 2 上的最小值为1； 将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度后，所得图象与( )sin2g xx的图象重合 其中，所有正确结论的序号是( ) A B C D 7 （4 分）已知定义在R上的奇函数( )f x满足(2)( )f xf x，且f（1）0，当(0,1)x 时，( )2xf xx设af（5） ， 1 ( ) 3 bf， 5 () 2 cf，则a，b，c的大小关系为( ) Abac Bacb Ccab Dbca 8 （4 分）已知圆 22 :4C x

4、y，直线:0l xyt ，则“l与C相交”是“| | 2t ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的 一条渐近线的垂线FD，D为垂足若| |DFDA，则C的离心率为( ) A2 2 B2 C3 D2 10 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线(0)ymx m与曲线 3 yx从左至右依次 交于A，B，C三点若直线:30()lxyRkk上存在点P满足| 2PAPC，则实数 k的取值范围是( ) A( 2,2) B 2 2,2 2

5、C(，2)(2，) D(, 2 22 2,) 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）设aR若复数(1)ziai为纯虚数，则a ， 2 z 12 （5 分）在 26 1 ()x x 的展开式中，常数项是 （用数字作答） 13 （5 分）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜 边叫做弦 根据 周髀算经 记载， 西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例： 若勾为三， 第 3 页（共 21 页） 股为四，则弦为五一般地，像(3，4，5)这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数 组称为勾股数组若从(3，4，

6、5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15， 17)，(9，12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些 勾股数组中随机抽取 1 组， 则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为 14 （5 分）若函数( )sin()cosf xxx为偶函数，则常数的一个取值为 15（5 分） 设函数( )yf x的定义域为D， 若对任意 1 xD， 存在 2 xD， 使得 12 ( )()1f xf x， 则称函数( )f x具有性质M，给出下列四个结论： 函数 3 yxx不具有性质M； 函数 2 xx ee

7、 y 具有性质M； 若函数 8 log (2)yx，0 x， t具有性质M，则510t ； 若函数 3sin 4 xa y 具有性质M，则5a 其中，正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）在ABC中， 7 cos 8 A ，3c ，且bc，再从条件、条件中选择一个作 为已知，求： （）b的值； （）ABC的面积 条件：sin2sinBA； 条件：sinsin2sinABC 17 （13 分）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了 400

8、名用户，从 B地区随机抽取了 100 名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分该公司将收集到 的数据按照20，40)，40，60)，60，80)，80，100分组，绘制成评分频率分布直方 图如图： 第 4 页（共 21 页） （）从A地区抽取的 400 名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低 于 60 分的概率； （）从B地区抽取的 100 名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于 80 分的个 数为X，求X的分布列和数学期望； （）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地 区抽取的 400 名用户对该公司产品的评分的平均值为 1 ，B地

9、区抽取的 100 名用户对该公 司产品的评分的平均值为 2 ，以及A，B两个地区抽取的 500 名用户对该公司产品的评分 的平均值为 0 ，试比较 0 和 12 2 的大小 （结论不要求证明） 18 （14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD 平面ABCD， PAPD，PAPD， 3 BAD ，E是线段AD的中点，连结BE （）求证：BEPA； （）求二面角APDC的余弦值； （）在线段PB上是否存在点F，使得/ /EF平面PCD？若存在，求出 PF PB 的值；若不存 在，说明理由 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3

10、(1,) 2 ，且C的离心率为 3 2 （）求椭圆C的方程； （）过点(1,0)P的直线l交椭圆C于A，B两点，求| |PAPB的取值范围 第 5 页（共 21 页） 20 （15 分）已知函数 2 ( )(2)()f xlnxaxax aR （）当0a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）求( )f x的单调区间； （）若( )f x恰有两个零点，求实数a的取值范围 21（15 分） 已知无穷数列 n a满足：10a ， 2* 1 ( nn aac nN ，)cR 对任意正整数2n， 记 | n Mc对任意1i，2，3，n，|2 i a ， |Mc对任意 * iN

11、，|2 i a （）写出 2 M， 3 M； （）当 1 4 c 时，求证：数列 n a是递增数列，且存在正整数k，使得cM k； （）求集合M 第 6 页（共 21 页） 2020-2021 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。目要求的一项。 1 （4 分）已知全集 1U ，0，1，2，3，4，集合0A，1，2，则( UA ) A3，4

12、B 1，3，4 C0，1，2 D 1，4 【解答】解： 1U ，0，1，2，3，4，0A，1，2， 1 UA ，3，4 故选：B 2 （4 分）已知向量( 1,2)a ，( ,4)bx，且ab，则| (b ) A2 5 B4 3 C4 5 D8 【解答】解：根据题意，向量( 1,2)a ，( ,4)bx， 若ab，则80a bx ，则8x ， 故(8,4)b ，则|64164 5b ， 故选：C 3 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的 体积为( ) A 4 3 B 8 3 C3 D4 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 第 7 页（共 21

13、页） 该几何体为三棱锥PABC，底面三角形ABC是等腰直角三角形， 2ABBC，ABBC，三棱锥的高为2PO 该三棱锥的体积为 114 222 323 V 故选：A 4 （ 4分 ） 已 知 等 比 数 列 n a的 各 项 均 为 正 数 ， 且 3 9a ， 则 3132333435 l o gl o gl o gl o gl o g(aaaaa ) A 5 2 B 5 3 C10 D15 【解答】 解： 5 3132333435312345333 loglogloglogloglog ()loglog 9aaaaaa a a a aa 5 10， 故选：C 5 （4 分）设抛物线 2 :

14、4C yx的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，P是C上一点若 | 4PF ，则| (PM ) A21 B5 C2 7 D4 2 【解答】解： P是C上一点且| 4PF ， 413 P PDxx 代入 2 4yx得 2 12 P y ， 22 12162 7PMPDDM， 第 8 页（共 21 页） 故选：C 6 （4 分）已知函数( )cos(2) 6 f xx ，给出下列四个结论： 函数( )f x是周期为的偶函数； 函数( )f x在区间 7 , 12 12 上单调递减； 函数( )f x在区间0, 2 上的最小值为1； 将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度后，所得图象与( )

15、sin2g xx的图象重合 其中，所有正确结论的序号是( ) A B C D 【解答】解：由()cos( 2)cos(2)( ) 66 fxxxf x ，所以( )f x不是偶函数，故错 误； 因 7 , 12 12 x ，所以20 6 x ，而余弦函数在0，上单调递减，故正确； 因0, 2 x ，所以2 66 x ， 5 6 ，所以( )f x的最小值为 3 2 ，故错误； 将函数( )f x的图象向右平移 6 个单位长度后，cos2()cos(2 )sin2 662 yxxx ， 故正确； 故选：D 7 （4 分）已知定义在R上的奇函数( )f x满足(2)( )f xf x，且f（1）0

16、，当(0,1)x 时，( )2xf xx设af（5） ， 1 ( ) 3 bf， 5 () 2 cf，则a，b，c的大小关系为( ) Abac Bacb Ccab Dbca 【解答】解：因为当(0,1)x时，( )2xf xx， 又(2)( )f xf x，且( )f x为奇函数， 所以f（5）f（3）f（1）0，即0a ， 1 3 11 ( )20 33 bf，故0b ， 1 2 5511 ()( )( )20 2222 cfff ，故0c ， 所以bac 故选：A 第 9 页（共 21 页） 8 （4 分）已知圆 22 :4C xy，直线:0l xyt ，则“l与C相交”是“| | 2t

17、”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：圆心(0,0)C，半径为 2， 则圆心到直线l的距离为 | |2 | | 22 t dt， 因为l与C相交，则有dr，所以 2 | | 2 2 t ， 即| | 2 2t ， 所以“l与C相交”是“| | 2t ”的必要而不充分条件 故选：B 9 （4 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的 一条渐近线的垂线FD，D为垂足若| |DFDA，则C的离心率为( ) A2 2 B2 C3 D2 【解答】解：过点D作DCAF于点C， |

18、|DFDA， 点C为AF的中点， 1 | 22 ac CFAF ， 而点(,0)Fc到渐近线 b yx a 的距离为 2 | | ( )1 b c a DFb b a ， 第 10 页（共 21 页） | cos | DFCF AFD OFDF ，即 2 ac b cb ， 222 ()22()c acbca，即 22 20caca， 2ca 或ca （舍)， 离心率2 c e a 故选：B 10 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线(0)ymx m与曲线 3 yx从左至右依次 交于A，B，C三点若直线:30()lxyRkk上存在点P满足| 2PAPC，则实数 k的取值范围是( ) A

19、( 2,2) B 2 2,2 2 C(，2)(2，) D(, 2 22 2,) 【解答】解： 3 ( )f xx和ymx都是奇函数， B为原点，且A，C两点关于原点对称 故原点O为线段AC的中点 | |2| 2| 2PAPCPBPB， | 1PB 即P为单位圆 22 1xy上的点 直线:3l yxk与单位圆有交点， 2 3 1 1 k ，解得2 2k?或2 2k? 故选：D 第 11 页（共 21 页） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）设aR若复数(1)ziai为纯虚数，则a 0 ， 2 z 【解答】解：因为复数(1)z

20、iaiai 为纯虚数， 所以0a， 则zi， 所以 2 1z 故答案为：0；1 12 （5 分）在 26 1 ()x x 的展开式中，常数项是 15 （用数字作答） 【解答】解： 26 1 ()x x 展开式的通项为 12 212 3 166 1 ( ) rrrrr r TC xC x x 要求常数项，只要令1230r可得4r 4 56 15TC 故答案为：15 13 （5 分）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜 边叫做弦 根据 周髀算经 记载， 西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例： 若勾为三， 股为四，则弦为五一般地，像(3，4，5)这样能够成为一个直角

21、三角形三条边长的正整数 组称为勾股数组若从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15， 17)，(9，12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些 勾股数组中随机抽取 1 组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为 2 5 第 12 页（共 21 页） 【解答】解：从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9， 12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些勾股数组中 随

22、机抽取 1 组， 基本事件总数10n ， 被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的基本事件有：(3，4，5)，(6，8，10)， (9，12，15)，(12，16，20)，共 4 个， 被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率 42 105 P 故答案为： 2 5 14 （5 分）若函数( )sin()cosf xxx为偶函数，则常数的一个取值为 2 （答案不 唯一） 【解答】解：根据题意，函数( )sin()cosf xxx为偶函数， 则()( )fxf x，即sin()cos()sin()cosxxxx ， 变形可得：sin()sin()0 xx， 则有2sin cos0 x，

23、必有cos0，则 2 k， 故答案为： 2 （答案不唯一） 15（5 分） 设函数( )yf x的定义域为D， 若对任意 1 xD， 存在 2 xD， 使得 12 ( )()1f xf x， 则称函数( )f x具有性质M，给出下列四个结论： 函数 3 yxx不具有性质M； 函数 2 xx ee y 具有性质M； 若函数 8 log (2)yx，0 x， t具有性质M，则510t ； 若函数 3sin 4 xa y 具有性质M，则5a 其中，正确结论的序号是 【解答】解：对于：函数 3 yxx的值域为R，则当 1 ()0f x时，不存在 2 xR，使得 12 ( )()1f xf x，即不具有

24、性质M，故正确； 函数( ) 2 xx ee yf x ，满足()( )fxf x，故函数为偶函数，由于2 xx ee，即 第 13 页（共 21 页） 11 1 ( )1 2 xx ee f x ，所以 11 2 1 12 ()(0,1) ( ) xx f x f xee ， 则存在的 1 xD，且 2 xD，使得 12 ( )()1f xf x，即具有性质M，故错误； 若函数 8 log (2)yx，当0 x， t时， 8 1 ,log (2) 3 yt，若满足 12 ( )()1f xf x，则 8 1 log (2)1 3 t，即 8 log (2)3t ，解得510t ，故正确； 若

25、函数 3sin33 , 444 xaaa y ，值域满足对称性，且不包括 0，则 33 1 44 aa ， 解得5a ，故不具有性质M，故错误； 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 （13 分）在ABC中， 7 cos 8 A ，3c ，且bc，再从条件、条件中选择一个作 为已知，求： （）b的值； （）ABC的面积 条件：sin2sinBA； 条件：sinsin2sinABC 【解答】解：选条件：sin2sinBA （）在ABC中，因为 sinsin ba BA ，所

26、以 sin 2 sin aB ba A 因为 222 cos 2 bca A bc ，且3c ， 7 cos 8 A ，2ba， 所以 22 497 128 aa a 化简得 2 2760aa， 解得2a 或 3 2 a 当 3 2 a 时，23bac，与题意矛盾 所以2a ，所以4b （）因为 7 cos 8 A ，(0, )A，所以 15 sin 8 A 所以 11153 15 sin4 3 2284 ABC SbcA 选条件：sinsin2sinABC 第 14 页（共 21 页） （）在ABC中，因为 sinsinsin abc ABC ， 所以由sinsin2sinABC得26abc

27、 因为 222 cos 2 bca A bc ，且3c ， 7 cos 8 A ，6ab， 所以 22 9(6)7 68 bb b 解得4b （）由（）知4b ，所以62ab 因为 7 cos 8 A ，(0, )A，所以 15 sin 8 A 所以 11153 15 sin4 3 2284 ABC SbcA 17 （13 分）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了 400 名用户，从 B地区随机抽取了 100 名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分该公司将收集到 的数据按照20，40)，40，60)，60，80)，80，100分组，绘制成评分频率分布直方 图如图： （）从

28、A地区抽取的 400 名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低 于 60 分的概率； （）从B地区抽取的 100 名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于 80 分的个 数为X，求X的分布列和数学期望； （）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地 区抽取的 400 名用户对该公司产品的评分的平均值为 1 ，B地区抽取的 100 名用户对该公 司产品的评分的平均值为 2 ，以及A，B两个地区抽取的 500 名用户对该公司产品的评分 的平均值为 0 ，试比较 0 和 12 2 的大小 （结论不要求证明） 【解答】解： （）由题知A地区共抽取 4

29、00 名用户，其中有 240 名用户对该公司产品的评 第 15 页（共 21 页） 分不低于 60 分， 所以从A地区抽取的 400 名用户中随机选取一名， 这名用户对该公司产品的评分不低于 60 分的概率是 240 0.6 400 （）由题可知X的可能取值为 0，1， 2 90 2 100 89 2. (0) 110 C P X C ； 11 9010 2 100 2 (1) 11 C C P X C ； 2 10 2 100 1 (2) 110 C P X C 所以X的分布列如下表： X 0 1 2 P 89 110 2 11 1 110 所以X的数学期望 89211 012 110111

30、105 EX （） 12 0 2 18 （14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD 平面ABCD， PAPD，PAPD， 3 BAD ，E是线段AD的中点，连结BE （）求证：BEPA； （）求二面角APDC的余弦值； （）在线段PB上是否存在点F，使得/ /EF平面PCD？若存在，求出 PF PB 的值；若不存 在，说明理由 【解答】解： （）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ABAD， 又因为 3 BAD ，E为AD的中点，所以BEAD， 又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 所以BE 平面PAD， 第 16 页（共 21 页） 因为P

31、A平面PAD，所以BEPA （）连结PE因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD 由（）可知BE 平面PAD，所以BEAD，PEBE 设2ADa，则PEa如图，以E为原点，EA、EB、EP所在直线分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系Exyz 则( ,0,0), (0, 3 ,0),( 2 , 3 ,0),(,0,0), (0,0, )A aBaCaaDaPa 所以(, 3 ,0)DCaa ，( ,0, )DPaa 因为BE 平面PAD，所以(0, 3 ,0)EBa是平面PAD的一个法向量 设平面PCD的法向量为(nx，y，) z， 则 30 0 n DCaxay n DPaxaz ， 所

32、以 3 ,xy xz 令3x ， 则1y ，3z ， 得(3 , 1 ,3 )n ， 所以 37 cos, 7|73 n EBa n EB nEBa 由题知，二面角APDC为钝角，所以二面角APDC的余弦值为 7 7 （）当点F是线段PB的中点时，/ /EF平面PCD理由如下： 因为点E平面PCD， 所以在线段PB上存在点F， 使得/ /EF平面PCD， 等价于0EF n 假设线段PB上存在点F使得/ /EF平面PCD 设(0,1) PF PB ，则PFPB 所以(0,0, )(0, 3 ,)(0, 3,)EFEPPFEPPBaaaa aa 由33()0EF naaa，解得 1 2 所以当点F

33、是线段PB的中点时，/ /EF平面PCD，且 1 2 PF PB 第 17 页（共 21 页） 19 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 (1,) 2 ，且C的离心率为 3 2 （）求椭圆C的方程； （）过点(1,0)P的直线l交椭圆C于A，B两点，求| |PAPB的取值范围 【解答】解： （）由题意得 22 222 3 , 2 13 1, 4 . c a ab abc 解得 2, 1. a b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （5 分） （）当直线l的斜率不存在时，直线:1l x 与椭圆C交于 3 (1,) 2 A， 3 (1,) 2 B两

34、点， 所以 3 | | 2 PAPB，所以 3 | | 4 PAPB 当直线l的斜率存在时，设其方程为(1)yxk， 由 22 (1), 44 yx xy k 得 2222 (14)8440 xxkkk， 且 4222 644(14)(44)16(31)0kkkk 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 12 2 8 14 xx k k ， 2 12 2 44 14 x x k k ， 所以 2 222 121212 2 3(1) | | ( 1|1|)( 1|1|)(1)|()1| 14 PAPBxxx xxx k kkk k ， 令 2 14t k，则1t， 所以

35、 2 2 1 3(1) 3(1)39393 4 | |( ,3 144444 t t PAPB ttt k k ， 当1t ，即0k时，| |PAPB取最大值 3 综上所述，| |PAPB的取值范围是 3 ,3 4 （15 分） 20 （15 分）已知函数 2 ( )(2)()f xlnxaxax aR 第 18 页（共 21 页） （）当0a 时，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）求( )f x的单调区间； （）若( )f x恰有两个零点，求实数a的取值范围 【解答】解： （）当0a 时，( )2f xlnxx， 1 ( )2fx x ， 所以f（1）2 ， f （

36、1）1 所以曲线在点(1，f（1）)处的切线方程为2(1)yx ，即10 xy （）因为 2 ( )(2)f xlnxaxax，定义域为(0,)， 所以 2 12(2)1(21)(1) ( )(2)2 axaxxax fxaax xxx 当0a时，( )f x与( )fx在(0,)上的变化情况如下： x 1 (0, ) 2 1 2 1 ( ,) 2 ( )fx 0 ( )f x 最大值 1 ( )21 24 a fln 所以( )f x在 1 (0, ) 2 内单调递增，在 1 ( ,) 2 内单调递减 当02a时，( )f x与( )fx在(0,)上的变化情况如下： x 1 (0, ) 2

37、1 2 1 1 ( ,) 2 a 1 a 1 (,) a ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 1 ( )21 24 a fln 极小值 11 ( )1flna aa 所以( )f x在 1 (0, ) 2 ， 1 (,) a 内单调递增，在 1 1 ( ,) 2 a 内单调递减 当2a 时，( ) 0fx，所以( )f x在(0,)上单调递增 当2a 时，( )f x与( )fx在(0,)上的变化情况如下： x 1 (0,) a 1 a 1 1 (, ) 2a 1 2 1 ( ,) 2 ( )fx 0 0 ( )f x 极大值 极小值 第 19 页（共 21 页） 11 ( )1flna

38、 aa 1 ( )21 24 a fln 所以( )f x在 1 (0,) a ， 1 ( ,) 2 内单调递增，在 1 1 (, ) 2a 内单调递减 ()III由()II可知： 当0a时，( )f x在 1 (0, ) 2 内单调递增，在 1 ( ,) 2 内单调递减， 当 1 2 x 时，( )f x取得最大值 1 ( )21 24 a fln ( ) i当4 240lna 剟时， 1 ( ) 0 2 f， 所以( )f x在(0,)上至多有一个零点，不符合题意 ( )ii当424aln 时， 1 ( )0 2 f 因为 1 ( )0 2 f，f（1）20 ，( )f x在 1 ( ,)

39、 2 内单调递减， 所以( )f x在 1 ( ,) 2 内有唯一零点 因为424alne ， 所以ae 且 111 0 4242aln 因为 13 ()()11()10flnalnalne aa ， 1 ( )0 2 f， 且( )f x在 1 (0, ) 2 内单调递增，所以( )f x在 1 (0, ) 2 内有唯一零点 所以当424aln 时，( )f x恰有两个零点 当02a时，( )f x在 1 (0, ) 2 ， 1 (,) a 内单调递增，在 1 1 ( ,) 2 a 内单调递减， 因为当 1 2 x 时，( )f x取得极大值 1 ( )210 24 a fln ， 所以(

40、)f x在(0,)上至多有一个零点，不符合题意 当2a 时，( )f x在(0,)上单调递增， 所以( )f x在(0,)上至多有一个零点，不符合题意 当2a 时，( )f x在 1 (0,) a ， 1 ( ,) 2 内单调递增，在 1 1 (, ) 2a 内单调递减 因为当 1 x a 时，( )f x取得极大值 11 ( )10flna aa ， 所以( )f x在(0,)上至多有一个零点，不符合题意 综上所述，实数a的取值范围是(, 4 24)ln 第 20 页（共 21 页） 21（15 分） 已知无穷数列 n a满足：10a ， 2* 1 ( nn aac nN ，)cR 对任意正

41、整数2n， 记 | n Mc对任意1i，2，3，n，|2 i a ， |Mc对任意 * iN，|2 i a （）写出 2 M， 3 M； （）当 1 4 c 时，求证：数列 n a是递增数列，且存在正整数k，使得cM k； （）求集合M 【解答】 （）解：根据题意可得， 2 2M ，2， 3 2M ，1； （） 证明： 当 1 4 c 时， 对任意 * nN， 都有 22 1 111 ()0 244 nnnnn aaacaacc ， 所以 1nn aa ， 所以数列 n a是递增数列， 因为 111211 111 ()()()()()() 444 nnnnn aaaaaaaaccc ， 所以

42、1 1 () 4 n an c ， 令 0 8 | 41 nmin tN t c ， 则 0 10 181 ()()2 4414 n an cc c ， 所以 0 1n cM ， 所以存在正整数 0 1nk，使得cM k； ()III解：由题意得，对任意 * nN，都有 1nn MM 且 n MM 由（）可得，当 1 4 c 时，存在正整数k，使得cM k，所以c M， 所以若cM，则 1 4 c， 又因为 3 2MM ，1， 所以若cM，则2c， 所以若cM，则 1 2 4 c 剟，即 1 2, 4 M 下面证明 1 2, 4 M 当 1 0 4 c剟时，对任意 * nN，都有0 n a 下

43、证对任意 * nN， 1 2 n a 第 21 页（共 21 页） 假设存在正整数k，使得 1 2 ak 令集合 * 1 | 2 SNa k k?，则非空集合S存在最小数 0 s 因为 2 11 0 42 ac剟，所以 0 2s 因为 0 1sS ，所以 0 1 1 0 2 s a 所以 00 2 1 11 42 ss aacc ，与 0 1 2 s a 矛盾 所以对任意 * nN， 1 0 2 n a 所以当 1 0 4 c剟时，|2 n a 当20c时， 2 20cc 下证对任意 * nN，| n ac 假设存在正整数k，使得| |ac k 令集合 * | | |TNac k k，则非空集合T存在最小数 0 t 因为 2 ac，所以 2 |ac，所以 0 2t 因为 0 1tT ， 所以 0 1 | t ac 00 22 1tt aac ccc 剟，且 00 2 1tt aac c ， 所以 0 | t ac，与 0 | | t ac矛盾 所以当20c时，|2 n ac剟 所以当 1 2, 4 c 时，对任意 * nN，都有|2 n a 所以cM，即 1 2, 4 M 因为 1 2, 4 M ，且 1 2, 4 M， 所以 1 | 2 4 Mcc 剟